1 что такое случайная величина. Понятие случайной величины

Определение случайной величины. Многие случайные собы­тия могут быть оценены количественно случайными величинами.

Случайной называют такую величину, которая принима­ет значения в зависимости от стечения случайных обсто­ятельств.

Случайными величинами являются: число больных на приеме у врача, число студентов в аудитории, число рождений в городе, продолжительность жизни отдельного человека, скорость моле­кулы, температура воздуха, погрешность в измерении какой-либо величины и др. Если пронумеровать шары в урне примерно так, как это делают при разыгрывании тиража лото, то произвольное вынимание шара из урны покажет число, являющееся случайной величиной.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает счетное множество значений: число букв на произ­вольной странице книги, энергия электрона в атоме, число волос на голове человека, число зерен в колосьях, число молекул в вы­деленном объеме газа и т. п.

Непрерывная случайная величина принимает любые зна­чения внутри некоторого интервала: температура тела, масса зерен в колосьях пшеницы, координата места попадания пули в цель (принимаем пулю за материальную точку) и др.

Распределение дискретной случайной величины. Диск­ретная случайная величина считается заданной, если указаны ее возможные значения и соответствующие им вероятности. Обозна­чим дискретную случайную величину X, ее значения x 1 x 2 , …., а вероятности Р(х 1) = p 1, Р(х 2) = р 2 и т. д. Совокупность X и Р называется распределением дискретной случайной величи­ны (табл. 1).

Таблица 1

Случайной величиной является номер вида спорта в игре «Спортло-10». Общее число видов равно 49. Указать распределение этой случайной величины (табл. 3).

Таблица 3

Так как при l = 1 происходят также и два других сложных со­бытия: (А и А и А)и(А и А и А), то необходимо, воспользовав­шись теоремой сложения вероятностей (2.4), получить полную ве­роятность для l = 1, сложив трижды предыдущее выражение:

Значение I = 2 соответствует случаю, при котором событие А произошло в двух из трех испытаний. Рассуждениями, подобны­ми приведенным выше, получим полную вероятность для этого случая:

При 1 = 3 событие А появляется во всех трех испытаниях. Ис­пользуя теорему умножения вероятностей, находим

На основе многолетних наблюдений вызов врача в данный дом оце­нивается вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что в течение шести дней произойдет четыре вызова врача; Р(А) = 0,5, п = 6,1 = 4. Т Воспользуемся формулой (2.10):

Числовые характеристики дискретной случайной величи­ны. Во многих случаях, наряду с распределением случайной ве­личины или вместо него, информацию об этих величинах могут дать числовые параметры, получившие название числовых ха­рактеристик случайной величины. Рассмотрим наиболее упот­ребительные из них.

Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины есть сумма произведений всех возможных ее значе­
ний на вероятности этих значений:

Пусть при большом числе испытаний п дискретная случайная величина X принимает значения x v x 2 , ..., х п соответственно m 1 , m г, ..., т п раз. Среднее значение равно

Если п велико, то относительные частоты т 1 /п, т 2 /п, ... будут стремиться к вероятностям, а средняя величина - к математиче­скому ожиданию. Именно поэтому математическое ожидание час­то отождествляют со средним значением.

Найти математическое ожидание для дискретной случайной вели­чины, которая задается цифрой на грани при бросании игральной кости (см. табл. 2).

Используем формулу (2.11):

Найти математическое ожидание для дискретной случайной вели­чины, которая определяется тиражом «Спортлото» (см. табл. 3). Согласно формуле (2.11), находим

Возможные значения дискретной случайной величины рассеяны во­круг ее математического ожидания, часть из них превышает М{Х), часть - меньше М{Х). Как оценить степень разброса случайной величины отно­сительно ее среднего значения? Может показаться, что для решения та­кой задачи следует вычислить отклонения всех случайных величин от ее математического ожидания X - М(Х), а затем найти математическое ожидание (среднее значение) этих отклонений: М[Х - М(Х)]. Вез доказа­тельства отметим, что эта величина равна нулю, так как отклонения слу­чайных величин от математического ожидания имеют как положитель­ные, так и отрицательные значения. Поэтому целесообразно учитывать либо абсолютные значения отклонений М[Х - М (X)], либо их квадраты М[Х - М(Х)] 2 . Второй вариант оказывается предпочтительнее, так при­ходят к понятию дисперсии случайной величины.

Дисперсией случайной величины называют математиче­ское ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Она означает, что дисперсия равна разности между математи­ческим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания.

Найти дисперсию случайной величины, которая задается цифрой на грани при бросании игральной кости (см. табл. 2).

Математическое ожидание этого распределения равно 3,5. Запишем значения квадратов отклонения случайных величин от математического ожидания: (1 - 3,5) 2 = 6,25; (2 - 3,5) 2 = 2,25; (3 - 3,5) 2 = 0,25; (4 - 3,5) 2 = 0,25; (5 - 3,5) 2 = 2,25; (6 - 3,5) 2 = 6,25. По формуле (2.12) с учетом (2.11) няходим дисперсию:

Как следует из (2.12), дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Для того чтобы оценивать расстояние случайной величины в единицах той же размерности, вводят понятие среднего квадратического отклонения, под которым понимают квадратный корень из дисперсии:

Распределение и характеристики непрерывной случайной величины. Непрерывную случайную величину нельзя задать тем же законом распределения, что и дискретную. В этом случае поступают следующим образом.

Пусть dP - вероятность того, что непрерывная случайная величина X принимает значения между х и х + dx. Очевидно, что Ирм больше интервал dx, тем больше и вероятность dP: dP ~ dx. Шроме того, вероятность должна зависеть и от самой случайной Величины, вблизи которой расположен интервал, поэтому

где f(x) - плотность вероятности, или функция распределения вероятностей. Она показывает, как изменяется вероятность, отнесенная к интервалу dx случайной величины, в зависимости от значения самой этой величины:

Интегрируя выражение (2.15) в соответствующих пределах, находим вероятность того, что случайная величина принимает какое-либо значение в интервале (ab):

Условие нормировки для непрерывной случайной величины имеет вид

Как видно из (2.19), эта функция равна вероятности того, что случайная величина принимает значения, меньшие х:

Для непрерывной случайной величины математическое ожи­дание и дисперсия записываются соответственно в виде

Если классическая теория вероятностей изучала, в основном, события и вероятность их появления (наступления), то современная теория вероятностей изучает случайные явления и их закономерности с помощью случайных величин. Понятие случайной величины, таким образом, является основополагающим в теории вероятностей. Ещё ранее проводились события, состоящие в появлении того или иного числа. Например, при бросании игральной кости могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперёд определить число появившихся очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная, а числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта принимает то или иное (причём, одно и только одно) возможное числовое значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайны величины принято, обычно, обозначать прописными буквами , а их возможное значения - соответствующими строчными буквамиНапример, если случайная величинаимеет три возможных значения, то они, соответственно, обозначаются так:. Для удобства будем писать:.

ПРИМЕР 1 . Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть величина случайная, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, ..., 100.

ПРИМЕР 2 . Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть также величина случайная. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин (силы и направления ветра, температуры и т. п.), которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины, очевидно, принадлежат некоторому промежутку (интервалу) .

Заметим, что с каждым случайным событием можно связать какую-либо случайную величину, принимающую значения из R. Например, опыт - выстрел по мишени; событие - попадание в мишень; случайная величина - число попаданий в мишень.

Вернёмся к примерам, приведённым выше. В первом из них случайная величина могла принять одно из следующих возможных значений: 0, 1, 2,..., 100. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений. Таким образом, в этом примере случайная величина принимает отдельные, изолированные, возможные значения.

Во втором примере случайная величина могла принять любое из значений промежутка . Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.

Уже из сказанного можно заключить о целесообразности различать случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные значения и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.

Дискретной ( прерывной ) случайной величиной называется такая случайная величина, которая принимает конечное или счётное множество 1 различных значений. Другими словами - это такая случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка действительной числовой оси.

Очевидно, во-первых, число возможных значений непрерывной случайной величины – бесконечно. Во-вторых, дискретная случайная величина является частным случаем непрерывной случайной величины.

Закон распределения вероятностей

I . Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно перечислить все её возможные значения. В действительности это не так: различные случайные величины иногда могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а соответствующие вероятности этих значений – различные. Поэтому для полной характеристики мало знать значения случайной величины, нужно ещё знать, как часто эти значения встречаются в опыте при его повторении, т.е. нужно ещё указать вероятности их появления.

Рассмотрим случайную величину . Появление каждого их возможных значенийсвидетельствует о том, что произошло соответственно одно из событий, которые образуют полную группу 2 . Допустим, что вероятности этих событий известны:

, . . . , ,

Тогда: соответствие, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения вероятностей случайной величины , или просто – законом распределения случайной величины.

Закон распределения вероятностей данной случайной величины можно задать таблично (ряд распределения), аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности, т.е.

В целях наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки , а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения. При этом, сумма ординатпостроенного многоугольника равна единице.

Аналитически закон распределения дискретной случайной величины можно записать, например, используя формулу Бернулли для схемы повторения независимых опытов. Так, если обозначить случайную величину, которой является число бракованных деталей в выборке, через , то возможные её значениябудут 0, 1, 2, . . . ,. Тогда, очевидно, формула Бернулли будет устанавливать зависимость между значениямии вероятностью() их появления, где

,

что о определяет закон распределения данной случайной величины.

II . Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Вспомним, что дискретная случайная величина задаётся перечнем всех её возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим: он не применим, например, для непрерывных случайных величин.

Действительно, рассмотрим случайную величину , возможные значения которой сплошь заполняют интервал. Можно ли составить перечень всех возможных значений? Очевидно, что этого сделать нельзя. Этот пример указывает на целесообразность дать общий способ задания любых типов случайных величин (как уже отмечалось, дискретная случайная величина является частным случаем непрерывной случайной величины). С этой целью вводятинтегральную функцию распределения.

Пусть – переменная, принимающая произвольные действительные значения (на оси:) . Рассмотрим событие, состоящее в том, что случайная величинапримет значение меньшее. Тогда, вероятностьсобытиязависит от, т.е. является функцией от. Эту функцию принято обозначать черези называть функцией распределения случайной величины или, ещё – интегральной функцией распределения. Другими словами:

интегральной функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значенияR вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее, т.е.

.

Геометрически это равенство можно истолковывать так: есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки.

Свойства интегральной функции :

Доказательство этого свойства вытекает из определения интегральной функции как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Действительно, пусть – событие, состоящее в том, что случайная величинапримет значение меньшее; аналогично,
– событие, состоящее в том, что случайная величинапримет значение меньшее. Другими словами:

Что и требовалось показать.

Это свойство вполне очевидно. Так, если - достоверное событие, а– невозможное событие, то

Но ,В результате, можем записать:, что и требовалось показать.

Мы будем в основном изучать такие непрерывные случайные величины, функции распределения которых непрерывны.

.

Для непрерывной случайной величины более наглядной является не интегральная, а дифференциальная функция распределения или, так называемая, плотность распределения случайной величины.

Одним из важнейших основных понятий теории вероятностей является понятие о случайной величине.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Примеры случайных величин:

1) число попаданий при трех выстрелах;

2) число вызовов, поступавших на телефонную станцию за сутки;

3) частота попадания при 10 выстрелах.

Во всех трех приведенных примерах случайные величины могут принимать отдельные, изолированные значения, которые можно заранее перечислить.

Так, в примере 1) эти значения:

в примере 2):

в примере 3)

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

Такие случайные величины, принимающие только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются прерывными или дискретными случайными величинами.

Существуют случайные величины другого типа, например:

1) абсцисса точки попадания при выстреле;

2) ошибка взвешивания тела на аналитических весах;

3) скорость летательного аппарата в момент выхода на заданную высоту;

4) вес наугад взятого зерна пшеницы.

Возможные значения таких случайных величин не отделены друг от друга; они непрерывно заполняют некоторый промежуток, который иногда имеет резко выраженные границы, а чаще – границы неопределенные, расплывчатые.

Такие случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными случайными величинами.

Понятие случайной величины играет весьма важную роль в теории вероятностей. Если «классическая» теория вероятностей оперировала по преимуществу с событиями, то современная теория вероятностей предпочитает, где только возможно, оперировать со случайными величинами.

Приведем примеры типичных для теории вероятностей приемов перехода от событий к случайным величинам.

Производится опыт, в результате которого может появиться или не появиться некоторое событие. Вместо события можно рассмотреть случайную величину , которая равна 1, если событие происходит, и равна 0, если событие не происходит. Случайная величина, очевидно, является прерывной; она имеет два возможных значения: 0 и 1. Эта случайная величина называется характеристической случайной величиной события . На практике часто вместо событий оказывается удобнее оперировать их характеристическими случайными величинами. Например, если производится ряд опытов, в каждом из которых возможно появление события , то общее число появлений события равно сумме характеристических случайных величин события во всех опытах. При решении многих практических задач пользование таким приемом оказывается очень удобным.

С другой стороны, очень часто для вычисления вероятности события оказывается удобно связать это событие с какой-то непрерывной случайной величиной (или системой непрерывных величин).

Пусть, например, измеряются координаты какого-то объекта О для того, чтобы построить точку М, изображающую этот объект на панораме (развертке) местности. Нас интересует событие , состоящее в том, что ошибка R в положении точки М не превзойдет заданного значения (рис. 2.4.1). Обозначим случайные ошибки в измерении координат объекта. Очевидно, событие равносильно попаданию случайной точки М с координатами в пределы круга радиуса с центром в точке О. Другими словами, для выполнения события случайные величины и должны удовлетворять неравенству

Вероятность события есть не что иное, как вероятность выполнения неравенства (2.4.1). Эта вероятность может быть определена, если известны свойства случайных величин .

Такая органическая связь между событиями и случайными величинами весьма характерна для современной теории вероятностей, которая, где только возможно, переходит от «схемы событий» к «схеме случайных величин». Последняя схема сравнительно с первой представляет собой гораздо более гибкий и универсальный аппарат для решения задач, относящихся к случайным явлениям.

Понятие случайной величины

Случайной называется величина, которая в результате испытаний принимает то или иное (но при этом только одно) возможное значение, заранее неизвестное, меняющееся от испытания к испытанию и зависящее от случайных обстоятельств. В отличие от случайного события, являющегося качественной характеристикой случайного результата испытания, случайная величина характеризует результат испытания количественно. Примерами случайной величины могут служить размер обрабатываемой детали, погрешность результата измерения какого-либо параметра изделия или среды. Среди случайных величин, с которыми приходится встречаться на практике, можно выделить два основных типа: дискретные и непрерывные.

Дискретной называется случайная величина, принимающая конечное или бесконечное счетное множество значений. Например: частота попаданий при трех выстрелах; число бракованных изделий в партии из n штук; число вызовов, поступающих на телефонную станцию в течение суток; число отказов элементов прибора за определенный промежуток времени при испытании его на надежность; число выстрелов до первого попадания в цель и т. д.

Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного интервала. Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Например: ошибка при измерении дальности радиолокатора; время безотказной работы микросхемы; погрешность изготовления деталей; концентрация соли в морской воде и т. д.

Случайные величины обычно обозначают буквами X,Y и т. д., а их возможные значения - x,y и т. д. Для задания случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения. Необходимо также знать, как часто могут появиться те или иные ее значения в результате испытаний при одних и тех же условиях, т. е. нужно задать вероятности их появления. Совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей составляет распределение случайной величины.

Законы распределения случайной величины

Законом распределения случайной величины называется соответствие между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину говорят, что она подчиняется данному закону распределения. Две случайные величины называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит то того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми . Несколько случайных величин называются взаимно независимыми , если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Закон распределения случайной величины может быть задан в виде таблицы, функции распределения либо плотности распределения. Таблица, содержащая возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности, является простейшей формой задания закона распределения случайной величины.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline{X}&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_{n-1}&x_n\\\hline{P}&p_1&p_2&p_3&\cdots&p_{n-1}&p_n\\\hline\end{array}

Табличное задание закона распределения можно использовать только для дискретной случайной величины с конечным числом возможных значений. Табличная форма задания закона случайной величины называется также рядом распределения.

Для наглядности ряд распределения представляют графически. При графическом изображении в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают все возможные значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие вероятности. Точки (x_i,p_i) , соединенные прямолинейными отрезками, называют многоугольником распределения (рис. 5). Следует помнить, что соединение точек (x_i,p_i) выполняется только с целью наглядности, так как в промежутках между x_1 и x_2 , x_2 и x_3 и т. д. не существует значений, которые может принимать случайная величина X , поэтому вероятности её появления в этих промежутках равны нулю.

Многоугольник распределения, как и ряд распределения, является одной из форм задания закона распределения дискретной случайной величины. Они могут иметь различную форму, однако все обладают одним общим свойством: сумма ординат вершин многоугольника распределения, представляющая собой сумму вероятностей всех возможных значений случайной величины, всегда равна единице. Это свойство следует из того, что все возможные значения случайной величины X образуют полную группу несовместных событий, сумма вероятностей которых равна единице.

Функция распределения вероятностей и ее свойства

Функция распределения является наиболее общей формой задания закона распределения. Она используется для задания как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Обычно ее обозначают F(x) . Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина X принимает значения, меньшие фиксированного действительного числа x , т. е. F(x)=P\{Xинтегральной функцией распределения.

Геометрическая интерпретация функции распределения очень проста. Если случайную величину рассматривать как случайную точку X оси Ox (рис. 6), которая в результате испытания может занять то или иное положение на оси, то функция распределения F(x) - это вероятность того, что случайная точка X в результате испытания попадет левее точки x .

Для дискретной случайной величины X , которая может принимать значения , функция распределения имеет вид

F(x)=\sum\limits_{x_i
где неравенство x_i

Непрерывная случайная величина имеет непрерывную функцию распределения, график этой функции имеет форму плавной кривой (рис. 8).

Рассмотрим общие свойства функций распределения.

Свойство 1. Функция распределения - неотрицательная, функция, заключенная между нулем и единицей:

0\leqslant{F(x)}\leqslant1

Справедливость этого свойства вытекает из того, что функция распределения F(x) определена как вероятность случайного события, состоящего в том, что X

Свойство 2. Вероятность попадания случайной величины в интервал [\alpha;\beta) равна разности значений функции распределения на концах этого интервала, т. е.

P\{\alpha\leqslant{X}<\beta\}=F(\beta)-F(\alpha)

Отсюда следует, что вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Свойство 3. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция, т. е. F(\beta)\geqslant{F(\alpha)} .

Свойство 4. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, а на плюс бесконечности - единице, т. е. \lim_{x\to-\infty}F(x)=0 и \lim_{x\to+\infty}F(x)=1 .

Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением

F(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant1\\a(x-1)^2,&10\end{cases}.

Найти коэффициент a и построить график F(x) . Определить вероятность того, что случайная величина X в результате опыта примет значение на интервале .

Решение. Так как функция распределения непрерывной случайной величины X непрерывна, то при x=3 получим a(3-1)^2=1 . Отсюда a=\frac{1}{4} . График функции F(x) изображен на рис. 9.

Исходя из второго свойства функции распределения, имеем

P\{1\leqslant{X}<2\}=F(2)-F(1)=\frac{1}{4}.

Плотность распределения вероятности и ее свойства

Функция распределения непрерывной случайной величины является ее вероятностной характеристикой. Но она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси. Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины дает функция, которая называется плотностью распределения вероятности, или дифференциальной функцией распределения случайной величины.

Плотность распределения f(x) равна производной от функции распределения F(x) , т. е.

F(x)=F"(x).

Смысл плотности распределения f(x) состоит в том, что она указывает на то, как часто случайная величина X появляется в некоторой окрестности точки x при повторении опытов. Кривая, изображающая плотность распределения f(x) случайной величины, называется кривой распределения.

Рассмотрим свойства плотности распределения.

Свойство 1. Плотность распределения неотрицательна, т. е.

F(x)\geqslant0.

Свойство 2. Функция распределения случайной величины равна интегралу от плотности в интервале от -\infty до x , т. е.

F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(x)\,dx.

Свойство 3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X на участок (\alpha;\beta) равна интегралу от плотности распределения, взятому по этому участку, т. е.

P\{\alpha\leqslant{X}\leqslant\beta\}=\int\limits_{\alpha}^{\beta}f(x)\,dx.

Свойство 4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1.

Пример 2. Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью

F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\a\sin{x},&0\pi\end{cases}

Определить коэффициент а; построить график плотности распределения; найти вероятность попадания случайной величины на участок от 0 до \frac{\pi}{2} определить функцию распределения и построить ее график.

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=a\int\limits_{0}^{\pi}\sin{x}\,dx=\Bigl.{-a\cos{x}}\Bigl|_{0}^{\pi}=2a.

Учитывая свойство 4 плотности распределения, находим a=\frac{1}{2} . Следовательно, плотность распределения можно выразить так:

F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\\dfrac{1}{2}\sin{x},&0\pi\end{cases}.

График плотности распределения на рис. 10. По свойству 3, имеем

P\!\left\{0

Для определения функции распределения воспользуемся свойством 2:

F(x)=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{x}\sin{x}\,dx=\Bigl.{\-\frac{1}{2}\cos{x}}\Bigl|_{0}^{x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos{x}.

Таким образом, имеем

F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos{x},&0\pi\end{cases}.

График функции распределения изображен на рис. 11

Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Но при решении ряда практических задач нет необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями. Такие показатели называются числовыми характеристиками случайной величины. Основными из них являются математическое ожидание, дисперсия, моменты различных порядков, мода и медиана.

Математическое ожидание иногда называют средним значением случайной величины. Рассмотрим дискретную случайную величину X , принимающую значения x_1,x_2,\ldots,x_n с вероятностями соответственно p_1,p_2,\ldots,p_n Определим среднюю арифметическую значений случайной величины, взвешенных по вероятностям их появлений. Таким образом, вычислим среднее значение случайной величины, или ее математическое ожидание M(X) :

M(X)=\frac{x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_ip_i}{\sum\limits_{i=1}^{n}p_i}.

Учитывая, что \sum\limits_{i=1}^{n}p_i=1 получаем

M(X)=\sum\limits_{i=1}^{n}x_ip_i}.~~~~~~~(4.1)

Итак, математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности.

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание

M(X)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}xf(x)\,dx.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат отрезку ,

M(X)=\int\limits_{a}^{b}xf(x)\,dx.~~~~~~~(4.2)

Используя функцию распределения вероятностей F(x) , математическое ожидание случайной величины можно выразить так:

M(X)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}x\,d(F(x)).

Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Свойство 2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY)=M(X)M(Y).

Свойство 3. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

M(c)=c.

Свойство 4. Постоянный множитель случайной величины можно вынести за знак математического ожидания:

M(cX)=cM(X).

Свойство 5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

M(X-M(X))=0.

Пример 3. Найти математическое ожидание количества бракованных изделий в выборке из пяти изделий, если случайная величина X (количество бракованных изделий) задана рядом распределения.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline{X}&0&1&2&3&4&5\\\hline{P}&0,\!2373&0,\!3955&0,\!2637&0,\!0879&0,\!0146&0,\!0010\\\hline\end{array}

Решение. По формуле (4.1) находим

M(X)=0\cdot0,\!2373+1\cdot0,\!3955+2\cdot0,\!2637+3\cdot0,\!0879+4\cdot0,\!0146+5\cdot0,\!0010 =1,\!25.

Модой M_0 дискретной случайной величины называется наиболее вероятное ее значение.

Модой M_0 непрерывной случайной величины называется такое ее значение, которому соответствует наибольшее значение плотности распределения. Геометрически моду интерпретируют как абсциссу точки глобального максимума кривой распределения (рис. 12).

Медианой M_e случайной величины называется такое ее значение, для которого справедливо равенство

P\{XM_e\}.

С геометрической точки зрения медиана - это абсцисса точки, в которой площадь фигуры, ограниченной кривой распределения вероятностей и осью абсцисс, делится пополам (рис. 12). Так как вся площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице, то функция распределения в точке, соответствующей медиане, равна 0,5, т. е.

F(M_e)=P\{X

С помощью дисперсии и среднеквадратического отклонения можно судить о рассеивании случайной величины вокруг математического ожидания. В качестве меры рассеивания случайной величины используют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, которое называют дисперсией случайной величины X и обозначают D[X] :

D[X]=M((X-M(X))^2).

Для дискретной случайной величины дисперсия равна сумме произведений квадратов отклонений значений случайной величины от ее математического ожидания на соответствующие вероятности:

D[X]=\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-M(X))^2p_i.

Для непрерывной случайной величины, закон распределения которой задан плотностью распределения вероятности f(x) , дисперсия

D[X]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(x-M(X))^2f(x)\,dx.

Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины и поэтому ее нельзя интерпретировать геометрически. Этих недостатков лишено среднее квадратическое отклонение случайной величины, которое вычисляется по формуле

\sigma=\sqrt{D[X]}.

Свойства дисперсии случайных величин

Свойство 1. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D=D[X]+D[Y].

Свойство 2. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания:

D[X]=M(X^2)-(M(X))^2.~~~~~~~(4.3).

Свойство 3. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D[c]=0.

Свойство 4. Постоянный множитель случайной величины, можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

D=c^2D[X].

Свойство 5. Дисперсия произведения двух независимых случайных величин X и Y определяется по формуле

D=D[X]D[Y]+(M(X))^2D[Y]+(M(X))^2D[X].

Пример 4. Вычислить дисперсию количества бракованных изделий для распределения примера 3.

Решение. По определению дисперсии

Обобщением основных числовых характеристик случайной величины является понятие моментов случайной величины.

Начальным моментом q-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины X^q :

Начальный момент первого порядка представляет собой математическое ожидание, а центральный момент второго порядка - дисперсию случайной величины.

Нормированный центральный момент третьего порядка служит характеристикой скошенности или асимметрии распределения (коэффициент асимметрии ):

A_s=\frac{\mu_{{}_3}}{\sigma^3}.

Нормированный центральный момент четвертого порядка служит характеристикой островершинности или плосковершинности распределения (эксцесс ):

E=\frac{\mu_{{}_4}}{\sigma^4}-3.

Пример 5. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей

F(x)=\begin{cases}0,&x<0;\\ax^2,&02.\end{cases}.

Найти коэффициент a , математическое ожидание, дисперсию, асимметрию и эксцесс.

Решение. Площадь, ограниченная кривой распределения, численно равна

\int\limits_{0}^{2}f(x)\,dx=a\int\limits_{0}^{2}x^2\,dx=\left.{a\,\frac{x^3}{3}}\right|_{0}^{2}=\frac{8}{3}\,a.

Учитывая, что эта площадь должна быть равна единице, находим a=\frac{3}{8} . По формуле (4.2) найдем математическое ожидание:

M(X)=\int\limits_{0}^{2}xf(x)\,dx=\frac{3}{8}\int\limits_{0}^{2}x^3\,dx=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^4}{4}}\right|_{0}^{2}=1,\!5.

Дисперсию определим по формуле (4.3). Для этого найдем сначала математическое ожидание квадрата случайной величины:

M(X^2)=\int\limits_{0}^{2}x^2f(x)\,dx=\frac{3}{8}\int\limits_{0}^{2}x^4\,dx=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^5}{5}}\right|_{0}^{2}=2,\!4.

Таким образом,

\begin{aligned}D(X)&=M(X^2)-(M(X))^2=2,\!4-(1,\!5)^2=0,\!15;\\ \sigma(X)&=\sqrt{D(X)}=\sqrt{0,\!15}\approx0,\!3873.\end{aligned}

Используя начальные моменты, вычисляем центральные моменты третьего и четвертого порядка:

\begin{aligned}\nu_1&=M(X)=1,\!5;\quad\nu_2=M(X^2)=2,\!4.\\ \nu_3&=M(X^3)=\int\limits_0^2{x^3f(x)\,dx}=\frac{3}{8}\int\limits_0^2{x^5\,dx}=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^6}{6}}\right|_0^2=4;\\ \nu_4&=M(X^4)=\int\limits_0^2{x^4f(x)\,dx}=\frac{3}{8}\int\limits_0^2{x^6\,dx}=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^7}{7}}\right|_0^2\approx6,\!8571;\\ \mu_3&=\nu_3-3\nu_1\nu_2+2\nu_1^3=4-3\cdot1,\!5\cdot2,\!4+2\cdot(1,\!5)^3=-0,\!05.\\ \mu_4&=\nu_4-4\nu_1\nu_3+6\nu_1^2\nu_2-3\nu_1^4=\\&=6,\!8571-4\cdot1,\!5\cdot4+6\cdot(1,\!5)^2\cdot2,\!4-3\cdot(1,\!5)^4=0,\!0696.\\ A_s&=\frac{\mu_3}{\sigma^3}=-\frac{0,\!05}{(0,\!3873)^3}=-0,\!86.\\ E&=\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3=\frac{0,\!0696}{(0,\!3873)^4}-3=-0,\!093.\end{aligned}

Числовые характеристики среднего арифметического n независимых случайных величин

Пусть x_1,x_2,\ldots,x_n - значения случайной величины X , полученные при n независимых испытаниях. Математическое ожидание случайной величины равно M(X) , а ее дисперсия D[X] . Эти значения можно рассматривать как независимые случайные величины X_1,X_2,\ldots,X_n с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями:

M(X_i)=M(X); \quad D=D[X],~~i=1,2,\ldots,n.

Средняя арифметическая этих случайных величин

\overline{X}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{X_i}{n}.

Используя свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины, можно записать:

\begin{aligned}M(\overline{X})&=M\!\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}M(X_i)=M(X).~~~~~~~(4.4)\\ D[\overline{X}]&=D\!\left[\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right]=\frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^{n}D=\frac{D[X]}{n}.~~~~~~~(4.5)\end{aligned}

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Случайные величины, их классификация и способы описания.

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, но какое именно заранее не известно. Для случайной величины, таким образом, можно указать только значения, одно из которых она обязательно примет в результате опыта. Эти значения в дальнейшем будем называть возможными значениями случайной величины. Так как случайная величина количественно характеризует случайный результат опыта, она может рассматриваться как количественная характеристика случайного события.

Случайные величины обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, например, X..Y..Z, а их возможные значения- соответствующими малыми буквами.

Различают три типа случайных величин:

Дискретные; Непрерывные; Смешанные.

Дискретной называется такая случайная величина, число возможных значений которой образует счетное множество. В свою очередь, счетным называется множество, элементы которого можно пронумеровать. Слово «дискретный» происходит от латинского discretus , что означает «прерывистый, состоящий из отдельных частей» .

Пример 1. Дискретной случайной величиной является число бракованных деталей Х в партии из nтук. Действительно, возможными значениями этой случайной величины является ряд целых чисел от 0 до n.

Пример 2. Дискретной случайной величиной является число выстрелов до первого попадания в цель. Здесь, как и в примере 1, возможные значения можно пронумеровать, хотя в предельном случае возможное значение является бесконечно большим числом.

Непрерывной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал числовой оси, называемый иногда интервалом существования этой случайной величины. Таким образом, на любом конечном интервале существования число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно велико.

Пример 3. Непрерывной случайной величиной является расход электроэнергии на предприятии за месяц.

Пример 4. Непрерывной случайной величиной является ошибка измерения высоты с помощью высотомера. Пусть из принципа работы высотомера известно, что ошибка лежит в пределах от 0 до 2 м. Поэтому интервалом существования данной случайной величины является интервал от 0 до 2 м.

Закон распределения случайных величин.

Случайная величина считается полностью заданной, если на числовой оси указаны ее возможные значения и установлен закон распределения.

Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями.

Про случайную величину говорят, что она распределена по данному закону, или подчинена данному закону распределения. В качестве законов распределения используются ряд вероятностей, функция распределения, плотность вероятности, характеристическая функция.

Закон распределения дает полное вероятное описание случайной величины. По закону распределения можно судить до опыта о том какие возможные значения случайной величины будут появляться чаще, а какие – реже.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица (матрица), в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие их вероятности, т.е.

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины. 1

События Х 1 , Х 2 ,..., Х n , состоящие в том, что в результате испытания случайная величина X примет соответственно значения х 1 , x 2 ,...х n являются несовместными и единственно возможными (ибо в таблице перечислены все возможные значения случайной величины), т.е. образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Таким образом, для любой дискретной случайной величины

(Эта единица как-то распределена между значениями случайной величины, отсюда и термин «распределение»).

Ряд распределения может быть изображен графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие их вероятности. Соединение полученных точек образует ломаную, называемую многоугольником или полигоном распределения вероятностей (рис. 1).

Пример В лотерее разыгрывается: автомобиль стоимостью 5000 ден. ед., 4 телевизора стоимостью 250 ден. ед., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 ден. ед. Всего продается 1000 билетов по 7 ден. ед. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет.

Решение . Возможные значения случайной величины X - чистого выигрыша на один билет - равны 0-7 = -7 ден. ед. (если билет не выиграл), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. ед. (если на билет выпал выигрыш соответственно видеомагнитофона, телевизора или автомобиля). Учитывая, что из 1000 билетов число невыигравших составляет 990, а указанных выигрышей соответственно 5, 4 и 1, и используя классическое определение вероятности, получим.