Класс: 8а Предмет: Алгебра
Тема урока: Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень.
Цель: вспомнить правила умножения и деления числовых дробей; объяснить правила умножения и деления алгебраических дробей; научиться выполнять действия умножения и деления алгебраических дробей; формировать умение выполнять действия с алгебраическими дробями.
Форма урока: урок изучения нового материала.
Метод обучения: проблемный, с самостоятельным поиском решения.
Оборудование: Компьютер, проектор.
Ход урока
Урок проводится с использованием компьютерной презентации.
Ι. Организация урока.
ΙΙ. Актуализация опорных знаний с целью подготовки к изучению новой темы.
Устно:
(Ответы выводятся с помощью компьютера.)
1. Разложить на множители:
2. Сократить дробь:
3. Умножить дроби:
Как называются эти числа? (Взаимообратные числа)
Найти число, обратное числу
Какие два числа называются взаимообратными? (Два числа называются взаимообратными, если их произведение равно 1.)
Найти дробь обратную:
Разделить дроби:
Проговариваем правила умножения и деления обыкновенных дробей. 
ΙΙΙ. Новая тема
Обращаясь к плакату, учитель говорит: a, b, c, d - в данном случае числа. А если это будут алгебраические выражения, как называются такие дроби? (Алгебраические дроби)
Правила их умножения и деления остаются теми же самыми.
Выполнить действия:
Первый и второй пример самостоятельно, с последующей записью решения учащимися на доске. Решение третьего примера учитель показывает на доске.
ΙV. Закрепление
1)Работа по задачнику: № 5.4 (а, в), № 5.7 (а, в), №5.12(а,в)
2) Работа в парах по карточкам:
(Решения и ответы отражены через проектор.)
V. Итог урока
№5.16(а,в) и 5.19(а,в) – если остается время
VI. Домашнее задание
№ 5.8; № 5.10; № 5.13(а, б).
Видеоурок «Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень» - вспомогательное средство для ведения урока математики по данной теме. С помощью видеоурока учителю легче сформировать у учеников умение выполнять умножение и деление алгебраических дробей. Наглядное пособие содержит подробное понятное описание примеров, в которых выполняются операции умножения и деления. Материал может быть продемонстрирован во время объяснения учителя или стать отдельной частью урока.
Чтобы сформировать умение решать задания на умножение и деление алгебраических дробей, по ходу описания решения даются важные комментарии, моменты, требующие запоминания и глубокого понимания выделяются с помощью цвета, жирного шрифта, указателей. С помощью видеоурока учитель может повысить эффективность урока. Данное наглядное пособие поможет быстро и эффективно достичь учебных целей.
Видеоурок начинается с представления темы. После этого указывается, что операции умножения и деления с алгебраическими дробями производятся аналогично операциям с обыкновенными дробями. На экране демонстрируются правила умножения, деления и возведения в степень дробей. С помощью буквенных параметров демонстрируется умножение дробей. Отмечается, что при умножении дробей числители, а также знаменатели перемножаются. Так получается результирующая дробь a/b·c/d=ac/bd. Демонстрируется деление дробей на примере выражения a/b:c/d. Указывается, что для выполнения операции деления необходимо в числитель записать произведение числителя делимого и знаменателя делителя. Знаменателем частного становится произведение знаменателя делимого и числителя делителя. Таким образом, операция деления превращается в операцию умножения дроби делимого и дроби, обратной делителю. Возведение в степень дроби приравнивается дроби, в которой числитель и знаменатель возводятся в назначенную степень.
Далее рассматривается решение примеров. В примере 1 необходимо выполнить действия (5х-5у)/(х-у)·(х 2 -у 2)/10х. Чтобы решить данный пример, числитель второй дроби, входящей в произведение, раскладывается на множители. Используя формулы сокращенного умножения, делается преобразование х 2 -у 2 =(х+у)(х-у). Затем числители дробей и знаменатели перемножаются. После проведения операций видно, что в числителе и знаменателе есть множители, которые можно сократить, используя основное свойство дроби. В результате преобразований получается дробь (х+у) 2 /2х. Здесь же рассматривается выполнение действий 7а 3 b 5 /(3a-3b)·(6b 2 -12ab+6a 2)/49a 4 b 5 . Все числители и знаменатели рассматриваются на предмет возможности разложения на множители, выделения общих множителей. Затем перемножаются числители и знаменатели. После умножения производятся сокращения. Результатом преобразования становится дробь 2(a-b)/7а.
Рассматривается пример, в котором необходимо выполнить действия (х 3 -1)/8у:(х 2 +х+1)/16у 2 . Чтобы решить выражение, предлагается преобразовать числитель первой дроби, используя формулу сокращенного умножения х 3 -1=(х-1)(х 2 +х+1). Согласно правилу деления дробей, первая дробь умножается на дробь, обратную второй. После перемножения числителей и знаменателей получается дробь, которая содержит в числителе и знаменателе одинаковые множители. Они сокращаются. В результате получается дробь (х-1)2у. Здесь же описывается решение примера (a 4 -b 4)/(ab+2b-3a-6):(b-a)(a+2). Аналогично предыдущему примеру, для преобразования числителя применяется формула сокращенного умножения. Также преобразуется знаменатель дроби. Затем первая дробь перемножается с дробью, обратной второй дроби. После умножения выполняются преобразования, сокращения числителя и знаменателя на общие множители. В результате получается дробь -(a+b)(a 2 +b 2)/(b-3). Обращается внимание учеников, как меняются знаки числителя и знаменателя при умножении.
В третьем примере необходимо выполнить действия с дробями ((х+2)/(3х 2 -6х)) 3:((х 2 +4х+4)/(х 2 -4х+4)) 2 . В решении данного примера применяется правило возведения дроби в степень. И первая, и вторая дробь возведены в степень. Они преобразуются возведением в степень числители и знаменателя дроби. Кроме того, для преобразования знаменателей дробей применяется формула сокращенного умножения, выделение общего множителя. Чтобы поделить первую дробь на вторую, необходимо умножить первую дробь на обратную дробь ко второй. В числителе и знаменателе образуются выражения, которые можно сократить. После преобразования получается дробь (х-2)/27х 3 (х+2).
Видеоурок «Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень» применяется для повышения эффективности традиционного урока математики. Материал может быть полезен учителю, осуществляющему обучение дистанционно. Детальное понятное описание решения примеров поможет ученикам, самостоятельно осваивающим предмет или требующим дополнительных занятий.
На данном уроке будут рассмотрены правила умножения и деления алгебраических дробей, а также примеры на применение данных правил. Умножение и вычитание алгебраических дробей не отличается от умножения и деления обыкновенных дробей. Вместе с тем, наличие переменных приводит к несколько более сложным способам упрощения полученных выражений. Несмотря на то, что умножение и деление дробей выполняется проще, чем их сложение и вычитание, к изучению данной темы необходимо подойти крайне ответственно, поскольку в ней существует много «подводных камней», на которые обычно не обращают внимания. В рамках урока мы не только изучим правила умножения и деления дробей, но и разберём нюансы, которые могут возникнуть при их применении.
Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок: Умножение и деление алгебраических дробей
1. Правила умножения и деления обыкновенных и алгебраических дробей
Правила умножения и деления алгебраических дробей абсолютно аналогичны правилам умножения и деления обыкновенных дробей. Напомним их:
То есть, для того, чтобы умножить дроби, необходимо умножить их числители (это будет числитель произведения), и умножить их знаменатели (это будет знаменатель произведения).
Деление на дробь - это умножение на перевёрнутую дробь, то есть, для того, чтобы разделить две дроби, необходимо первую из них (делимое) умножить на перевёрнутую вторую (делитель).
2. Частные случаи применения правил умножения и деления дробей
Несмотря на простоту данных правил, многие при решении примеров по данной теме допускают ошибки в ряде частных случаев. Рассмотрим подробнее эти частные случаи:
Во всех этих правилах мы пользовались следующим фактом: .
3. Примеры умножения и деления обыкновенных дробей
Решим несколько примеров на умножение и деление обыкновенных дробей, чтобы вспомнить, как пользоваться указанными правилами.
Пример 1
Примечание: при сокращении дробей мы пользовались разложением числа на простые множители. Напомним, что простыми числами
называются такие натуральные числа, которые делятся только на и на само себя. Остальные числа называются составными
. Число не относится ни к простым, ни к составным. Примеры простых чисел: 
.
Пример 2
Рассмотрим теперь один из частных случаев с обыкновенными дробями.
Пример 3
Как видим, умножение и деление обыкновенных дробей, в случае правильного применения правил, не является сложным.
4. Примеры умножения и деления алгебраических дробей (простые случаи)
Рассмотрим умножение и деление алгебраических дробей.
Пример 4
Пример 5
Отметим, что сокращать дроби после умножения можно и даже нужно по тем же правилам, которые мы до этого рассматривали на уроках, посвящённых сокращению алгебраических дробей. Рассмотрим несколько простых примеров на частные случаи.
Пример 6
Пример 7
Рассмотрим теперь несколько более сложных примеров на умножение и деление дробей.
Пример 8
Пример 9
Пример 10
Пример 11
Пример 12
Пример 13
5. Примеры умножения и деления алгебраических дробей (сложные случаи)
До этого мы рассматривали дроби, в которых и числитель, и знаменатель являлись одночленами. Однако в ряде случаев необходимо перемножить или поделить дроби, числители и знаменатели которых являются многочленами. В этом случае правила остаются такими же, а для сокращения необходимо использовать формулы сокращённого умножения и вынесение за скобки.
Пример 14
Пример 15
Пример 16
Пример 17
Пример 18
На данном уроке мы рассмотрели правила умножения и деления алгебраических дробей , а также применение этих правил для конкретных примеров.
Список литературы
1. Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. - М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2006.
1. Портал для всей семьи.
2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» .
3. Вся элементарная математика.
Домашнее задание
1. №№73-77, 80. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.
2. Выполнить умножение: а), б)
3. Выполнить деление: а) , б)
В этой статье мы продолжаем изучение основных действий, которые можно выполнять с алгебраическими дробями. Здесь мы рассмотрим умножение и деление: сначала выведем нужные правила, а затем проиллюстрируем их решениями задач.
Как правильно делить и умножать алгебраические дроби
Чтобы выполнить умножение алгебраических дробей или разделить одну дробь на другую, нам нужно использовать те же правила, что и для обыкновенных дробей. Вспомним их формулировки.
Когда нам надо умножить одну обыкновенную дробь на другую, мы выполняем отдельно умножение числителей и отдельно знаменателей, после чего записываем итоговую дробь, расставив по местам соответствующие произведения. Пример такого вычисления:
2 3 · 4 7 = 2 · 4 3 · 7 = 8 21
А когда нам надо разделить обыкновенные дроби, мы делаем это с помощью умножения на дробь, обратную делителю, например:
2 3: 7 11 = 2 3 · 11 7 = 22 7 = 1 1 21
Умножение и деление алгебраических дробей выполняется в соответствии с теми же принципами. Сформулируем правило:
Определение 1
Чтобы перемножить две и более алгебраические дроби, нужно перемножить отдельно числители и знаменатели. Результатом будет дробь, в числителе которой будет стоять произведение числителей, а в знаменателе – произведение знаменателей.
В буквенном виде правило можно записать как a b · c d = a · c b · d . Здесь a , b , c и d будут представлять из себя определенные многочлены, причем b и d не могут быть нулевыми.
Определение 2
Для того чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно выполнить умножение первой дроби на дробь, обратную второй.
Это правило можно также записать как a b: c d = a b · d c = a · d b · c . Буквы a , b , c и d здесь означают многочлены, из которых a , b , c и d не могут быть нулевыми.
Отдельно остановимся на том, что такое обратная алгебраическая дробь. Она представляет из себя такую дробь, которая при умножении на исходную дает в итоге единицу. То есть такие дроби будут аналогичны взаимно обратным числам. Иначе можно сказать, что обратная алгебраическая дробь состоит из таких же значений, что и исходная, однако числитель и знаменатель у нее меняются местами. Так, по отношению к дроби a · b + 1 a 3 дробь a 3 a · b + 1 будет обратной.
Решение задач на умножение и деление алгебраических дробей
В этом пункте мы посмотрим, как правильно применять озвученные выше правила на практике. Начнем с простого и наглядного примера.
Пример 1
Условие: умножьте дробь 1 x + y на 3 · x · y x 2 + 5 , а потом разделите одну дробь на другую.
Решение
Сначала выполним умножение. Согласно правилу, нужно отдельно перемножить числители и знаменатели:
1 x + y · 3 · x · y x 2 + 5 = 1 · 3 · x · y (x + y) · (x 2 + 5)
Мы получили новый многочлен, который нужно привести к стандартному виду. Заканчиваем вычисления:
1 · 3 · x · y (x + y) · (x 2 + 5) = 3 · x · y x 3 + 5 · x + x 2 · y + 5 · y
Теперь посмотрим, как правильно разделить одну дробь на другую. По правилу нам надо заменить это действие умножением на обратную дробь x 2 + 5 3 · x · y:
1 x + y: 3 · x · y x 2 + 5 = 1 x + y · x 2 + 5 3 · x · y
Приведем полученную дробь к стандартному виду:
1 x + y · x 2 + 5 3 · x · y = 1 · x 2 + 5 (x + y) · 3 · x · y = x 2 + 5 3 · x 2 · y + 3 · x · y 2
Ответ: 1 x + y · 3 · x · y x 2 + 5 = 3 · x · y x 3 + 5 · x + x 2 · y + 5 · y ; 1 x + y: 3 · x · y x 2 + 5 = x 2 + 5 3 · x 2 · y + 3 · x · y 2 .
Довольно часто в процессе деления и умножения обыкновенных дробей получаются результаты, которые можно сократить, например, 2 9 · 3 8 = 6 72 = 1 12 . Когда мы выполняем эти действия с алгебраическими дробями, мы также можем получить сократимые результаты. Для этого полезно предварительно разложить числитель и знаменатель исходного многочлена на отдельные множители. Если нужно, перечитайте статью о том, как правильно это делать. Разберем пример задачи, в которой нужно будет выполнить сокращение дробей.
Пример 2
Условие: перемножьте дроби x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 и 6 · x x 2 - 1 .
Решение
Перед тем, как вычислять произведение, разложим на отдельные множители числитель первой исходной дроби и знаменатель второй. Для этого нам потребуются формулы сокращенного умножения. Вычисляем:
x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 - 1 = x + 1 2 18 · x 3 · 6 · x (x - 1) · (x + 1) = x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x - 1 · x + 1
У нас получилась дробь, которую можно сократить:
x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x - 1 · x + 1 = x + 1 3 · x 2 · (x - 1)
О том, как это делается, мы писали в статье, посвященной сокращению алгебраических дробей.
Перемножив одночлен и многочлен в знаменателе, мы получим нужный нам результат:
x + 1 3 · x 2 · (x - 1) = x + 1 3 · x 3 - 3 · x 2
Вот запись всего решения без пояснений:
x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 - 1 = x + 1 2 18 · x 3 · 6 · x (x - 1) · (x + 1) = x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x - 1 · x + 1 = = x + 1 3 · x 2 · (x - 1) = x + 1 3 · x 3 - 3 · x 2
Ответ: x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 - 1 = x + 1 3 · x 3 - 3 · x 2 .
В некоторых случаях исходные дроби перед умножением или делением удобно преобразовать, чтобы дальнейшие вычисления стали быстрее и проще.
Пример 3
Условие: разделите 2 1 7 · x - 1 на 12 · x 7 - x .
Решение: начнем с упрощения алгебраической дроби 2 1 7 · x - 1 , чтобы избавиться от дробного коэффициента. Для этого умножим обе части дроби на семь (это действие возможно благодаря основному свойству алгебраической дроби). В итоге у нас получится следующее:
2 1 7 · x - 1 = 7 · 2 7 · 1 7 · x - 1 = 14 x - 7
Видим, что знаменатель дроби 12 · x 7 - x , на которую нам нужно разделить первую дробь, и знаменатель получившейся дроби являются противоположными друг другу выражениями. Изменив знаки числителя и знаменателя 12 · x 7 - x , получим 12 · x 7 - x = - 12 · x x - 7 .
После всех преобразований можем наконец перейти непосредственно к делению алгебраических дробей:
2 1 7 · x - 1: 12 · x 7 - x = 14 x - 7: - 12 · x x - 7 = 14 x - 7 · x - 7 - 12 · x = 14 · x - 7 x - 7 · - 12 · x = = 14 - 12 · x = 2 · 7 - 2 · 2 · 3 · x = 7 - 6 · x = - 7 6 · x
Ответ: 2 1 7 · x - 1: 12 · x 7 - x = - 7 6 · x .
Как умножить или разделить алгебраическую дробь на многочлен
Чтобы выполнить такое действие, мы можем воспользоваться теми же правилами, что мы приводили выше. Предварительно нужно представить многочлен в виде алгебраической дроби с единицей в знаменателе. Это действие аналогично преобразованию натурального числа в обыкновенную дробь. Например, можно заменить многочлен x 2 + x − 4 на x 2 + x − 4 1 . Полученные выражения будут тождественно равны.
Пример 4
Условие: разделите алгебраическую дробь на многочлен x + 4 5 · x · y: x 2 - 16 .
Решение
x + 4 5 · x · y: x 2 - 16 = x + 4 5 · x · y: x 2 - 16 1 = x + 4 5 · x · y · 1 x 2 - 16 = = x + 4 5 · x · y · 1 (x - 4) · x + 4 = (x + 4) · 1 5 · x · y · (x - 4) · (x + 4) = 1 5 · x · y · x - 4 = = 1 5 · x 2 · y - 20 · x · y
Ответ: x + 4 5 · x · y: x 2 - 16 = 1 5 · x 2 · y - 20 · x · y .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
