Определение. Бесконечно удаленная точка комплексной плоскости называетсяизолированной особой точкой однозначной аналитической функцииf (z ), есливне круга некоторого радиуса R ,

т.е. при , нет ни одной конечной особой точки функцииf (z ).

Для исследования функции в бесконечно удаленной точке сделаем замену
Функция

будет иметь особенность в точкеζ = 0, причем эта точка будет изолированной, так как

внутри круга
других особых точек по условию нет. Являясь аналитической в этом

круге (за исключением т. ζ = 0), функция
может быть разложена в ряд Лорана по степенямζ . Классификация, описанная в предыдущем параграфе полностью сохраняется.

Однако, если вернуться к исходной переменной z , то ряды по положительным и отрицательным степенямz ‘поменяются’ местами. Т.е. классификация бесконечно удаленных точек будет выглядеть следующим образом:

Примеры. 1.
. Точкаz = i − полюс 3-го порядка.

2.
. Точкаz = ∞ − существенно особая точка.

§18. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке.

Пусть точка z 0 является изолированной особой точкой однозначной аналитической функции

f (z ) . Согласно предыдущему, в окрестности этой точкиf (z ) может быть представлена единственным образом рядом Лорана:
где

Определение. Вычетом аналитической функцииf (z ) в изолированной особой точкеz 0

называется комплексное число, равное значению интеграла
, взятому в положительном направлении по любому замкнутому контуру, лежащему в области аналитичности функции и содержащему внутри себя единственную особую точкуz 0 .

Вычет обозначается символом Res [f (z ),z 0 ].

Нетрудно видеть, что вычет в правильной или устранимой особой точке равен нулю.

В полюсе или существенно особой точке вычет равен коэффициенту с -1 ряда Лорана:

.

Пример. Найти вычет функции
.

{Пусть Легко видеть, что

коэффициент с -1 получится при умножении слагаемых приn = 0:Res[f (z ),i ] =
}

Часто удается вычислять вычеты функций более простым способом. Пусть функция f (z ) имеет в т.z 0 полюс первого порядка. В этом случае разложение функции в ряд Лорана имеет вид (§16):. Умножим это равенство на (z−z 0) и перейдем к пределу при
. В результате получим:Res[f (z ),z 0 ] =
Так, в

последнем примере имеем Res[f (z ),i ] =
.

Для вычисления вычетов в полюсах более высокого порядка следует умножить функцию

на
(m − порядок полюса) и продифференцировать полученный ряд (m − 1) раз.

В этом случае имеем: Res[f (z ),z 0 ]

Пример. Найти вычет функции
в т.z= −1.

{Res[f (z ), −1] }

Мы определили окрестности этой точки как внешности кругов с центром в начале координат: U (∞, ε ) = {z ∈ | | z | > ε}. Точка z = ∞ является изолированной особой точкой аналитической функции w = f (z ), если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек этой функции. Для определения типа этой особой точки сделаем замену переменной , при этом точка z = ∞ переходит в точку z 1 = 0, функция w = f (z ) примет вид . Типом особой точки z = ∞ функции w = f (z ) будем называть тип особой точки z 1 = 0 функции w = φ (z 1). Если разложение функции w = f (z ) по степеням z в окрестности точки z = ∞, т.е. при достаточно больших по модулю значениях z , имеет вид , то, заменив z на , получим . Таким образом, при такой замене переменной главная и правильная части ряда Лорана меняются местами, и тип особой точки z = ∞ определяется количеством слагаемых в правильной части разложения функции в ряд Лорана по степеням z в окрестности точки z = 0. Поэтому
1. Точка z = ∞ - устранимая особая точка, если в этом разложении правильная часть отсутствует (за исключением, возможно, члена A 0);
2. Точка z = ∞ - полюс n -го порядка, если правильная часть заканчивается слагаемым A n ·z n ;
3. Точка z = ∞ - существенно особая точка, если правильная часть содержит бесконечно много членов.

При этом остаются справедливыми признаки типов особых точек по значению : если z = ∞ - устранимая особая точка, то этот предел существует и конечен, если z = ∞ - полюс, то этот предел бесконечен, если z = ∞ - существенно особая точка, то этот предел не существует (ни конечный, ни бесконечный) .

Примеры: 1. f (z ) = -5 + 3 z 2 - z 6 . Функция уже является многочленом по степеням z , старшая степень - шестая, поэтому z
Этот же результат можно получить по-другому. Заменим z на , тогда . Для функции φ (z 1) точка z 1 = 0 - полюс шестого порядка, поэтому для f (z ) точка z = ∞ - полюс шестого порядка.
2. . Для этой функции получить разложение по степеням z затруднительно, поэтому найдём : ; предел существует и конечен, поэтому точка z
3. . Правильная часть разложения по степеням z содержит бесконечно много слагаемых, поэтому z = ∞ - существенно особая точка. По другому этот факт можно установить исходя из того, что не существует.

Вычет функции в бесконечно удалённой особой точке .

Для конечной особой точки a , где γ - контур, не содержащий других, кроме a , особых точек, проходимый так, что область, им ограниченная и содержащая особую точку, остаётся слева (против часовой стрелке).

Определим аналогичным образом: , где Γ − - контур, ограничивающий такую окрестность U (∞, r ) точки z = ∞, которая не содержит других особых точек, и проходимый так, что эта окрестность остаётся слева (т.е. по часовой стрелке). Таким образом, все остальные (конечные) особые точки функции должны находиться внутри контура Γ − . Изменим направление обхода контура Γ − : . По основной теореме о вычетах , где суммирование ведётся по всем конечным особым точкам. Поэтому, окончательно,

,

т.е. вычет в бесконечно удалённой особой точке равен сумме вычетов по всем конечным особым точкам, взятой с противоположным знаком .

Как следствие, имеет место теорема о полной сумме вычетов : если функция w = f (z ) аналитична всюду в плоскости С , за исключением конечного числа особых точек z 1 , z 2 , z 3 , …, z k , то сумма вычетов во всех конечных особых точках и вычета в бесконечности равна нулю.

Отметим, что если z = ∞ - устранимая особая точка, то вычет в ней может быть отличен от нуля. Так для функции , очевидно, ; z = 0 - единственная конечная особая точка этой функции, поэтому , несмотря на то, что , т.е. z = ∞ - устранимая особая точка.

Определение
Окрестностью действительной точки x 0 называется любой открытый интервал, содержащий эту точку:
.
Здесь ε 1 и ε 2 - произвольные положительные числа.

Эпсилон - окрестностью точки x 0 называется множество точек, расстояние от которых до точки x 0 меньше ε :
.

Проколотой окрестностью точки x 0 называется окрестность этой точки, из которой исключили саму точку x 0 :
.

Окрестности конечных точек

В самом начале было дано определение окрестности точки. Ее обозначают как . Но можно явно указать, что окрестность зависит от двух чисел, используя соответствующие аргументы:
(1) .
То есть окрестность - это множество точек, принадлежащее открытому интервалу .

Приравняв ε 1 к ε 2 , получим эпсилон - окрестность:
(2) .
Эпсилон - окрестность - это множество точек, принадлежащее открытому интервалу с равноудаленными концами.
Разумеется, букву эпсилон можно заменить на любую другую и рассматривать δ - окрестность, σ - окрестность, и т.д.

В теории пределов можно использовать определение окрестности, основанное как на множестве (1), так и на множестве (2). Использование любой из этих окрестностей дает эквивалентные результаты (см. ). Но определение (2) проще, поэтому часто используют именно эпсилон - окрестность точки, определяемую из (2).

Также широко используют понятия левосторонних, правосторонних и проколотых окрестностей конечных точек. Приводим их определения.

Левосторонняя окрестность действительной точки x 0 - это полуоткрытый интервал, расположенный на действительной оси слева от точки x 0 , включая саму точку:
;
.

Правосторонняя окрестность действительной точки x 0 - это полуоткрытый интервал, расположенный справа от точки x 0 , включая саму точку:
;
.

Проколотые окрестности конечных точек

Проколотые окрестности точки x 0 - это те же самые окрестности, из которых исключена сама точка. Они обозначаются с кружочком над буквой. Приводим их определения.

Проколотая окрестность точки x 0 :
.

Проколотая эпсилон - окрестность точки x 0 :
;
.

Проколотая левосторонняя окрестность :
;
.

Проколотая правосторонняя окрестность :
;
.

Окрестности бесконечно удаленных точек

Наряду с конечными точками, также вводят окрестности бесконечно удаленных точек. Все они являются проколотыми, поскольку не существует бесконечно удаленного действительного числа (бесконечно удаленная точка определяется как предел бесконечно большой последовательности).

.
;
;
.

Можно было определить окрестности бесконечно удаленных точек и так:
.
Но вместо M мы используем , чтобы окрестность с меньшим ε являлась подмножеством окрестности с большим ε , как и для окрестностей конечных точек.

Свойство окрестности

Далее мы используем очевидное свойство окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Оно заключается в том, что окрестности точек с меньшими значениями ε являются подмножествами окрестностей с большими значениями ε . Приводим более строгие формулировки.

Пусть есть конечная или бесконечно удаленная точка. И пусть .
Тогда
;
;
;
;
;
;
;
.

Также справедливы и обратные утверждения.

Эквивалентность определений предела функции по Коши

Теперь покажем, что в определении предела функции по Коши, можно использовать как произвольную окрестность , так и окрестность с равноудаленными концами .

Теорема
Определения предела функции по Коши, в которых используются произвольные окрестности и окрестности с равноудаленными концами эквивалентны.

Доказательство

Сформулируем первое определение предела функции .
Число a является пределом функции в точке (конечной или бесконечно удаленной), если для любых положительных чисел существуют такие числа , зависящие от и , что для всех , принадлежит соответствующей окрестности точки a :
.

Сформулируем второе определение предела функции .
Число a является пределом функции в точке , если для любого положительного числа существует такое число , зависящее от , что для всех :
.

Доказательство 1 ⇒ 2

Докажем, что если число a является пределом функции по 1-му определению, то оно также является пределом и по 2-му определению.

Пусть выполняется первое определение. Это означает, что имеются такие функции и , так что для любых положительных чисел выполняется следующее:
при , где .

Поскольку числа и произвольные, то приравняем их:
.
Тогда имеются такие функции и , так что для любого выполняется следующее:
при , где .

Заметим, что .
Пусть есть наименьшее из положительных чисел и . Тогда, согласно отмеченному выше ,
.
Если , то .

То есть мы нашли такую функцию , так что для любого выполняется следующее:
при , где .
Это означает, что число a является пределом функции и по второму определению.

Доказательство 2 ⇒ 1

Докажем, что если число a является пределом функции по 2-му определению, то оно также является пределом и по 1-му определению.

Пусть выполняется второе определение. Возьмем два положительных числа и . И пусть - наименьшее из них. Тогда, согласно второму определению, имеется такая функция , так что для любого положительного числа и для всех , следует, что
.

Но согласно , . Поэтому из того, что следует, что
.

Тогда для любых положительных чисел и , мы нашли два числа , так что для всех :
.

Это означает, что число a является пределом и по первому определению.

Теорема доказана.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

Бесконечно удаленная точка.

Пусть функция аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки (кроме самой точки). Говорят, что является устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой функции в зависимости от того, конечен, бесконечен или вовсе не существует .

Положим и, тогда будет аналитиче-ской в некоторой окрестности точки Последняя будет для особой точкой того же типа, что и для ибо. Лорановское разложение в окрестности можно получить простой заменой в лорановском разложении в окрестности. Но при такой замене правильная часть заменяется главной, и обратно. Таким образом, справедлива

Теорема 1. В случае устранимой особенности в бесконечно удалённой точке, лорановское разложение функции в окрестности этой точки вовсе не содержит положительных степеней, в случае полюса содержит конечное их число, а в случае существенной особенности - бесконечное.

Если имеет в точке устранимую особенность, то обычно говорят, что она аналитична в бесконечности , и принимают. В этом случае функция, очевидно, ограничена и в некоторой окрестности точки.

Пусть функция аналитична в полной поскости. Из аналитичности функции в бесконечно удаленной точке следует её ограниченность в окрестности этой точки; пусть при. С другой стороны, из аналитичности в замкнутом круге следует её ограниченность в этом круге; пусть в нём. Но тогда функция ограничена во всей плоскости: для всех имеем. Таким образом, теореме Лиувилля можно придать следующую форму.

Теорема 2. Если функция аналитична в полной плоскости, то она постоянна.

Введем теперь понятие вычета в бесконечно удаленной точке . Пусть функция аналитична в некоторой окрестности точки (кроме, быть может, самой этой точки); под вычетом функции в бесконечности понимают

где - достаточно большая окружность, проходимая по часовой стрелке (так что окружность точки остается слева).

Из этого определения непосредственно следует, что вычет функции в бесконечности равен коэффициенту при в лорановском её разложении в окрестности точки, взятому с обратным знаком:

Теорема 3. Если функция имеет в полной плоскости конечное число особых точек, то сумма всех её вычетов, включая и вычет в бесконечности, равна нулю.

Доказательство. В самом деле, пусть а 1 ,…а n – конечные особые точки функции и - окружность, содержащая их все внутри. По свойству интегралов, теореме о вычетах и определению вычета в бесконечно удаленной точке имеем:

Ч.т.д.

Приложения теории вычетов к вычислению интегралов.

Пусть требуется вычислить интеграл от действительной функции по какому-нибудь (конечному или бесконечному) отрезку ( a,b ) оси х . Дополним (a , b ) некоторой кривой, ограничивающей вместе с ( a , b ) область, и аналитически продолжим в.

К построенному аналитическому продолжению применяем теорему о вычетах:

(1)

Если интеграл по удается вычислить или выразить через искомый интеграл, то задача вычисления решена.

В случае бесконечных отрезков ( a , b ) обычно рассматривают семейства неограниченно расширяющихся контуров интегрирования, которые строят так, чтобы в результате предельного перехода получить интеграл по ( a , b ). В этом случае интеграл по в соотношении (1) можно не вычислять, а лишь найти его предел, который часто оказывается равен нулю.

Весьма полезной при этом оказывается следующая

Лемма (Жордана). Если на некоторой последовательности дуг окружностей,(, а фиксировано) функция стремится к нулю равномерно относительно, то для

. (2)

Доказательство. Обозначим

По условиям леммы при также стремится к нулю, причем Пусть a >0; на дугах АВ и CD имеем.

Следовательно, и интеграл по дугам АВ , CD стремится к нулю при.

Поскольку при справедливо неравенство, то на дуге ВЕ

Поэтому и, таким образом, также стремится к нулю при. Если на дуге СЕ полярный угол отсчитывать по часовой стрелке, то для получится такая же оценка. В случае, когда доказательство упрощается, т.к. будет излишней оценка интеграла по дугам АВ и CD . Лемма доказана .

Замечание 1. Последовательность дуг окружностей в лемме можно заменить семейством дуг

тогда, если функция при стремится на к нулю равномерно относительно то для

. (3)

Доказательство остается в силе.

Замечание 2. Заменим переменную: iz=p , тогда дуги окружностей леммы заменятся дугами, и мы получим, что для любой функции F (p ), стремящейся на к нулю при равномерно относительно и для любого положительного t

. (4)

Заменяя в (4) р на (-р ) мы получим, что в тех же условиях для

, (5)

где - дуга окружности (см. рис.).

Рассмотрим примеры вычисления интегралов.

Пример 1. .

Выберем вспомогательную функцию. Т.к. функция на удовлетворяет неравенству, то она равномерно стремится к нулю при, и по лемме Жордана, при

Для имеем по теореме о вычетах

В пределе при получаем:

Отделяя действительные части и используя четность функции, найдем

Пример 2. Для вычисления интеграла

возьмем вспомогательную функцию. Контур интегрирования обходит особую точку z =0. По теореме Коши

Из леммы Жордана видно, что. Для оценки рассмотрим лорановское разложение в окрестности точки z =0

где - регулярная в точке z =0 функция. Отсюда видно, что

Таким образом, теорему Коши можно переписать в виде

Заменяя в первом интеграле х на – х , получим, что он равен, поэтому имеем

В пределе при и окончательно:

. (7)

Пример 3. Вычислить интеграл

Введем вспомогательную функцию и выберем контур интегрирования таким же, как и в предыдущем примере. Внутри этого контура логарифм допускает выделение однозначной ветви. Пусть означает ту ветвь, которая определяется неравенством. Функция имеет в точке z=i полюс второго порядка с вычетом

По теореме о вычетах.

При, начиная с некоторого достаточно большого R , следовательно, .

Аналогично при, начиная с некоторого достаточно малого r , следовательно

В первом интеграле после замены z=-x получим:

и, таким образом, в пределе при имеем:

Сравнение действительных и мнимых частей дает:

, .

Пример 4. Для интеграла

выберем вспомогательную функцию и контур, указанный на рисунке. Внутри контура однозначен, если считать, что.

На верхнем и нижнем берегах разреза, входящих в этот контур, принимает соответственно значения и, поэтому интегралы от взаимно уничтожаются, что дает возможность вычислить искомый интеграл. Внутри контура лежат два полюса первого порядка функции с вычетами соответственно равными:

где. Применяя теорему о вычетах, получим:

В соответствии со сказанным выше имеем:

Так же как и в предыдущем примере, докажем, что, и тогда в пределе, при будем иметь:

Отсюда, сравнивая мнимые части, получим:

Пример5. Вычислить главное значение особого интеграла

Выберем вспомогательную функцию и контур, изобра-женный на рисунке. Внутри контура функция регулярна. На нижнем берегу разреза вдоль положительной полуоси. Таким образом, по теореме Коши:

(8).

Очевидно, что при и при. Вдоль, имеем соответственно и, где  меняется от 0 до и от до соответственно. Следовательно,

Переходя в (8) к пределу при получим, таким образом,

откуда искомый интеграл равен

Пример 6. Вычислить интеграл

Рассмотрим функцию. Проведем разрез *) .

Положим. При обходе против часовой стрелки замкнутого пути (см. рис., пунктир) и получают приращение,

следовательно, arg f (z )=( 1 +2  2 )/3 получает также приращение. Таким образом, во внешности разреза функция распадается на 3 регулярные ветви, отличающиеся друг от друга выбором исходного элемента функции, т.е. значением в некоторой точке.

Будем рассматривать ту ветвь функции, которая на верхнем берегу разреза (-1,1) принимает положительные значения, и возьмем контур,

___________________

*) На самом деле проведены два разреза: и, однако, на оси х правее точки х =1 функция непрерывна: над разрезом, под разрезом.

изображенный на рисмунке. На берегу I имеем, т.е. , на берегу II (после обхода точки z =1 по часовой стрелке) (т.е.), т.е. , интегралы же по окружностям и, очевидно, стремятся к нулю **) при. Следовательно, по теореме Коши для многосвязных областей

Для вычисления воспользуемся разложением ветви 1/ в окрестности бесконечно удаленной точки. Вынесем из-под знака корня, тогда получим, где и - ветви этих функций, положи-тельные на отрезке (1,) действительной оси.

на отрезке действительной оси. Разлагая последние по формуле бинома:

находим вычет выбранной ветви 1/ в бесконечно удаленной точке: (коэффициент при 1/ z с обратным знаком). Но интеграл равен этому вычету, помноженному на, т.е. имеем, откуда окончательно

Пример 7. Рассмотрим интеграл.

__________________

**) Рассмотрим, например интеграл по. На имеем, т.е.

Положим, тогда, таким образом,

Внутри окружности подинтегральная функция имеет один полюс II порядка с вычетом

По теореме о вычетах имеем

Пример 8. Аналогично вычислим интеграл

После подстановки имеем:

Один из полюсов подынтегральной функции лежит внутри единичной окружности, а другой - вне её, ибо по свойству корней квадратного уравнения, при этом в силу условия, эти корни действительны и различны. Таким образом, по теореме о вычетах

(9)

где - полюс, лежащий внутри окружности. Т.к. правая часть (9) действительна, то она дает искомый интеграл