9.Операция транспонирования матрицы и её свойства.

Определение: Матрица А’ получающаяся из матрицы А путем замены строк столбцами называется транспонированной по отношению к матрице А.

Справедливы следующие правила транспонирования матриц:

(αА+αВ)’=αA’ + αB’

(AB)’=B’A’

Идея доказательства показать что матрицы (AB)’ и B’A’ имеют одинаковую размерность и у них равны соответствующие элементы.

Определение: Если А – произвольная квадратная матрица и A=A’ (-A=A’), то матрица А называется симметрической
или кососимметрической

10. Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.

Определение:

А А -1= А -1 А=Е Отсюда следует что для матрицы А -1 обратной будет (А -1) -1 =А

Теорема: У каждой обратимой матрицы существует единственное обращение.

Доказательство: Предположим что у матрицы А существует наряду с Х еще одна обратная матрица У, т.е. АУ=Е. Тогда

(ХА)У=ЕУ=У ┐

Х(АУ)=ХЕ=Х ┘Следовательно Х=У. Т.е. у матрицы А существует единственное обращение.(ч.т.д.)

11. Определение обратной матрицы. Доказать что (АВС) -1 =С -1 В -1 А -1 .

Определение: Квадратная матрица А называется обратимой если существует такая квадратная матрица Х что АХ=ХА=Е. (1)

Каждая матрица Х удовлетворяющая равенству (1) называется обратной матрице А или обращением матрицы А. Обратная матрица к матрице А обозначается А -1

А А -1= А -1 А=Е Отсюда следует что для матрицы А -1 обратной будет (А -1) -1 =А (3)

Теорема: Если квадратные матрицы А, В, С одного и того же порядка обратимы, то их произведение тоже обратимо и (АВС) -1 =С -1 В -1 А -1 .

Доказательство: А(В(СС -1)В -1)А -1 =Е и С -1 (В -1 (А -1 А)В)С=Е (ч.т.д.)

Для любого натурального m по определению А m =А*А*…*А – m-раз.

По определению А 0 =Е.

Определение: Для каждой обратимой матрицы А, А -2 =А -1 *А -1 ; А -3 = А -1 *А -1 *А -1 (4)

Из (3) и (4) следует что для каждой обратимой матрицы А и любых целых чисел р и q имеют место обычные правила действия со степенями:

А р А q =А р+ q

(АВ) р =А р В р если АВ=ВА

(А р) q =А р* q

12.Доказать что в результате транспонирования обратимой матрицы получается снова обратимая матрица и ( A ’) -1 =( A -1 )’.

Теорема: В результате транспонирования обратимой матрицы А получается снова обратимая матрица и (A’) -1 =(A -1)’.

Доказательство: Применим правила транспонирования к соотношению АХ=ХА=Е:

(АХ)’=(ХА)’=Е’

А’Х’=Х’А’=Е

Из определения обратной матрицы следует что (A’) -1 = Х’=(A -1)’(ч.т.д.)

13. Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.

Прямоугольную матрицу А можно вертикальными и горизонтальными линиями разбить на прямоугольные клетки(блоки). В частности матрица может быть разбита только горизонтальными или только вертикальными линиями. (А α,β) s , t – блочная матрица. Рассмотрим две матрицы А и В одинаковой размерности и с одинаковым разбиением на блоки. Соответствующие блоки А α,β и В α,β имеют одинаковую размерность m α x n β , α=1..s, β=1..t. Тогда в соответствии с правилом сложения матриц операция сложения блочных матриц одинаковых размеров с одинаковым разбиением на блоки, производится точно также как если бы вместо блоков стояли числовые элементы.

Чтобы распространить правило умножения матриц на блочные матрицы необходимо чтобы все горизонтальные размеры блоков первой матрицы совпали с соответствующими размерами второго сомножителя. Число столбцов блока А α,β равно числу строк блока В β,с.

Β изменяется от 1 доt, с изменяется от 1 до u. Таким образом возможно умножение матриц А и В формально также как если бы вместо блоков стояли числовые элементы.

Определение: Квадратная матрица у которой все элементы расположенные под(над) главной диагональю равны 0 называется верхней(нижней) треугольной матрицей. Аналогичные понятия вводятся и для блочных матриц.

Определение: Блочная матрица А называется верхней(нижней) квазитреугольной матрицей если все диагональные блоки и сама матрица А квадратные матрицы, и все не диагональные блоки расположенные под(над) диагональными блоками нулевые матрицы.

Определение: Блочная матрица А называется квазидиагональной если все диагональные блоки и сама матрица А квадратные матрицы, а все недиагональные блоки – нулевые матрицы.

Теорема: Определитель квазитреугольной матрицы связан с определителем диагональных матриц следующим соотношением:

(♀) где П – произведение.

Доказательство: Рассмотрим сначала квазитреугольную матрицу
где А 12 =0,
,
,

По определению

Т.к. А 12 =0 то из всех произведений могут быть ≠0 только те в которых индексы
. Вследствие этого остальные индексы могут принимать значения только из множества
. В этих условиях число инверсий в перестановке
равно:

Учитывая это находим что

Отсюда следует что

Рассматривая в общем случае квазитреугольную матрицу

Как матрицу
где

согласно (*) будем иметь
. Матрица
снова квазитреугольная. Проделав над ней туже операцию, получим
. После (р-1) таких шагов придем к (♀).

Аналогично доказывается равенство (♀) применительно к верхней квазитреугольной матрице.(ч.т.д.)

Часто приходится пользоваться матрицами, разбитыми на прямоугольные части - «клетки» или «блоки». Рассмотрению таких «блочных» матриц мы посвящаем настоящий параграф.

1. Пусть дана прямоугольная матрица

При помощи горизонтальных и вертикальных линий рассечем матрицу на прямоугольные блоки:

. (58)

Про матрицу (58) будем говорить, что она разбита на блоков размером или что она представлена в виде блочной матрицы. Вместо (58) будем сокращенно писать:

В случае будем пользоваться и такой записью:

Действия над блочными матрицами производятся по тем же формальным правилам, как и в случае, когда вместо блоков имеем числовые элементы. Пусть, например, даны две прямоугольные матрицы одинаковых размеров и с одинаковым разбиением на блоки:

Легко усмотреть, что

. (62)

Подробнее остановимся на умножении блочных матриц. Известно (см. гл. I, стр. 17), что при умножении двух прямоугольных матриц и длина строк в первом сомножителе должна совпадать с высотой столбцов во втором сомножителе . Для возможности блочного умножения этих матриц мы дополнительно потребуем, чтобы при разбиении на блоки все горизонтальные размеры в первом сомножителе совпадали с соответствующими вертикальными размерами во втором:

, . (63)

Тогда легко проверить, что

, где . (64)

Отдельно отметим тот частный случай, когда одним из сомножителей является квазидиагональная матрица. Пусть - квазидиагональная матрица, т. е. и при . В этом случае формула (64) нам дает:

При умножении блочной матрицы слева на квазидиагональную матрицу строки блочной матрицы умножаются слева на соответствующие диагональные клетки квазидиагональной матрицы.

Пусть теперь - квазидиагональная матрица, т. е. и при . Тогда из (64) получаем:

При умножении блочной матрицы справа на квазидиагональную все столбцы блочной матрицы умножаются справа на соответствующие диагональные клетки квазидиагональной матрицы.

Заметим, что умножение квадратных блочных матриц одного и того же порядка всегда выполнимо, когда сомножители разбиты на одинаковые квадратные схемы блоков и в каждом из сомножителей на диагональных местах стоят квадратные матрицы.

Блочная матрица (58) называется верхней (нижней) квазитреугольной, если и все при (соответственно все при ). Частным случаем квазитреугольной матрицы является квазидиагональная матрица.

Из формулы (64) легко усмотреть, что произведение двух верхних (нижних) квазитреугольных матриц является снова верхней (нижней) квазитреугольной матрицей; при этом диагональные блоки произведения получаются путем перемножения соответствующих диагональных блоков сомножителей.

Действительно, полагая в (64) и

.

Аналогично разбирается случай нижних квазитреугольных матриц.

Отметим правило вычисления определителя квазитреугольной матрицы. Это правило можно получить, исходя из разложения Лапласа.

Если - квазитреугольная (в частности, квазидиагональная) матрица с квадратными диагональными блоками, то определитель этой матрицы равен произведению определителей диагональных блоков:

(67)

2. Пусть дана блочная матрица

(68)

Прибавим к -й блочной строке -ю строку, предварительно помноженную слева на прямоугольную матрицу размером . Получим блочную матрицу

. (69)

Введем вспомогательную квадратную матрицу , представленную в виде следующей квадратной схемы блоков:

. (70)

В диагональных клетках матрицы стоят единичные матрицы, порядки которых равны соответственно; все недиагональные блоки матрицы равны нулю, за исключением блока , стоящего на пересечении -й блочной строки с -м блочным столбцом.

Нетрудно видеть, что

Отсюда, поскольку - неособенная матрица, для рангов матриц и имеем

В частном случае, когда – квадратная матрица, из (71) имеем:

Но определитель квазитреугольной матрицы равен 1:

Следовательно,

К таким же выводам можно прийти, если к какому-либо столбцу матрицы (67) прибавлять другой столбец, предварительно помноженный справа на прямоугольную матрицу надлежащих размеров.

Полученные результаты могут быть сформулированы в виде следующей теоремы.

Теорема 3. Если в блочной матрице к -й блочной строке (столбцу) прибавить -ю блочную строку (столбец), предварительно помноженную слева (справа) на прямоугольную матрицу соответствующих размеров, то при этом преобразовании не изменятся ранг матрицы , а также в случае, когда - квадратная матрица, и определитель матрицы .

3. Рассмотрим теперь тот частный случай, когда в матрице диагональный блок - квадратная и притом неособенная матрица ().

К -й строке матрицы прибавим первую строку, помноженную слева на . Тогда получим матрицу

, (76)

. (77)

Если - квадратная неособенная матрица, то этот процесс можно продолжить. Мы приходим, таким образом, к обобщенному алгоритму Гаусса.

Пусть - квадратная матрица. Тогда

. (78)

Формула (78) сводит вычисление определителя состоящего из блоков, к вычислению определителя меньшего порядка, состоящего из блоков.

Рассмотрим определитель , разбитый на четыре блока:

где и - квадратные матрицы.

Пусть . Тогда вычтем из второй строки первую, предварительно помноженную слева на . Получим:

. (I)

Точно так же, если , то мы вычтем в из первой строки вторую, предварительно помноженную слева на . Получим:

. (II)

В частном случае, когда все четыре матрицы , , , - квадратные (одного и того же порядка ), из (I) и (II) следуют формулы Шура, сводящие вычисление определителя -го порядка к вычислению определителя -го порядка:

(), (Iа)

(). (IIа)

Если матрицы и перестановочны между собой, то из (Iа) следует:

(при условии ). (Iб)

Точно так же, если и перестановочны между собой, то

(при условии ). (IIб)

Формула (Iб) была получена в предположении , а формула (IIб) при условии . Однако, исходя из соображений непрерывности, эти ограничения можно отбросить.

Из формул (Iа) - (IIб) можно получить еще шесть формул, поменяв местами в правых частях и и одновременно и .

.

По формуле (Iб)

.

4. Установим формулу Фробениуса для обращения блочной матрицы. Пусть неособенная квадратная матрица () разбита на блоки

, (80)

и пусть - также неособенная квадратная матрица (). Требуется определить .

Применим к матрице обобщенный алгоритм Гаусса. Из второй блочной строки вычтем первую, предварительно помноженную слева на . Эта операция равносильна умножению матрицы слева на матрицу , где . Поэтому

. (81)

Введем обозначение

и заметим, что из равенства (81) следует:

Поэтому, поскольку , то и . Переходя к обратным матрицам в равенстве (81), получим

. (83)

Обратную матрицу для матрицы будем искать в виде . Тогда из равенства

находим, что . Таким образом,

. (84)

Но тогда из равенства (83) находим

Выполняя умножение блочных матриц в правой части равенства (85), приходим к формуле Фробениуса

, (86)

. (87)

Формула Фробениуса (86) сводит обращение матрицы порядка к обращению двух матриц порядка и и к операциям сложения и умножения матриц с размерами , , и .

Если предположить, что (вместо ) и поменять ролями матрицы и , то можно получить другой вид формулы Фробениуса:

, (88)

. (89)

Пример. Требуется найти элементы обратной матрицы для матрицы

.

Полагаем

Находим последовательно

, ,

, ,

,

,

,

.

Поэтому по формуле (86) находим:

.

5. Из теоремы 3 вытекает так же

Теорема 4. Если прямоугольная матрица представлена в блочном виде

где - квадратная неособенная матрица порядка (), то ранг матрицы равен только в том случае, когда

Доказательство. Вычтем из второй блочной строки матрицы первую, предварительно помноженную слева на . Тогда получим матрицу

. (92)

Матрицы и согласно теореме 3 имеют один и тот же ранг. Ранг же матрицы совпадает с рангом матрицы (т. е. с ) тогда и только тогда, когда имеет место , т. е. (91). Теорема доказана.

Проиллюстрируем этот способ нахождения на следующем примере.

Пример. Пусть

Требуется вычислить .

Применяем несколько видоизмененный метод исключения к матрице

.

Ко всем строкам прибавляем вторую строку с некоторым множителем и добиваемся того, чтобы все элементы первого столбца, кроме второго элемента, равнялись нулю. После этого ко всем строкам, кроме второй, прибавляем третью строку с некоторым множителем и достигаем того, чтобы во втором столбце все элементы, кроме второго и третьего, были равны нулю. После этого к последним трем строкам прибавляем первую строку с некоторым множителем и получаем матрицу вида

.

,

,

.

Глава 1
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

В этой главе изучаются таблицы из чисел, называемые матрицами и играющие в дальнейшем важнейшую роль. Здесь вводятся основные операции над матрицами и детально изучаются свойства так называемых определителей, являющихся основной числовой характеристикой квадратных матриц.

§ 1. Матрицы

1. Понятие матрицы. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа тип называются порядками матрицы. В случае, если m = n , матрица называется квадратной, а число m = n - ее порядком. В дальнейшем для записи матрицы будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки:

Впрочем, для краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква (например, А), либо символ ║a ij ║ , а иногда и с разъяснением:
Числа a ij , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a ij - первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j - номер столбца.
В случае квадратной матрицы

вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ a 11 a 22 ...a nn , идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ a n1 a (n-1)2 ...a 1n , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

2. Основные операции над матрицами и их свойства. Прежде всего договоримся считать две матрицы равными , если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.
Перейдем к определению основных операций над матрицами.
а) Сложение матриц. Суммой двух матриц А = ║a ij ║ (i = 1, 2,..., m ; j = 1, 2,... , n ) и В = (i = 1, 2,..., m ; j = 1, 2,... , n ) одних и тех же порядков m и n называется матрица С= (i = 1, 2,..., m ; j = 1, 2,... , n ) тех же порядков m и n , элементы c ij - которой равны

C ij = a ij + b ij (i = 1, 2,..., m ; j = 1, 2,... , n ) (1.2

Для обозначения суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операция составления суммы матриц называется их сложением . Итак, по определению

Из определения суммы матриц, а точнее, из формулы (1.2), непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:
1) переместительным свойством: А + В = В + А;
2) сочетательным свойством: (А + В) + С = А + (Б + С).
Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

б) Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А = ║a ij ║ (i = 1, 2,..., m ; j = 1, 2,... , n ) на вещественное
число λ называется матрица С = (i = 1, 2,..., m ; j = 1, 2,... , n ), элементы c ij которой равны

c ij = λ a ij (i = 1, 2,..., m ; j = 1, 2,... , n ) (1.3)

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись С = λ А или С = Аλ . Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число. Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:
1) сочетательным свойством относительно числового множителя: (λµ )А = λ (µ А);

2) распределительным свойством относительно суммы матриц: λ (А + В) = λ А + λ В;
3) распределительным свойством относительно суммы чисел: (λ + µ )А = λ А + µ A.
Замечание. Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков тип естественно назвать такую матрицу С тех же порядков m и n , которая в сумме с матрицей В дает матрицу А. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: С = А - В.
Очень легко убедиться в том, что разность С двух матриц А и В может быть получена по правилу С = А + (-1)В.
в) Перемножение матриц. Произведением матрицы А = ║a ij ║ (i = 1, 2,..., m ; j = 1, 2,... , n ), имеющей порядки, соответственно равные m и n , на матрицу В = (i = 1, 2,..., n ; j = 1, 2,... , p ), имеющую порядки, соответственно равные n и p , называется матрица С= (i = 1, 2,..., m ; j = 1, 2,... , p ), имеющая порядки, соответственно равные m и p , и элементы c ij , определяемые формулой

Для обозначения произведения матрицы А на матрицу В используют запись С = А - В. Операция составления произведения матрицы А на матрицу В называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В : необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В.
В частности, оба произведения А В и В А можно определить лишь в том случае, когда число столбцов А совпадает с числом строк Б, а число строк А совпадает с числом столбцов В. При этом обе матрицы А - В и В - А будут квадратными, но порядки их будут, вообще говоря, различными. Для того чтобы оба произведения А В и В А не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы А и В были квадратными матрицами одного и того же порядка.
Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы С, являющейся произведением матрицы А на матрицу В. Это правило можно сформулировать и словесно: элемент c ij , стоящий на пересечении i -й строки и j- го столбца матрицы

С = А В, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы А и у го столбца матрицы В .
В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка

Из формулы (1.4) вытекают следующие свойства произведения матрицы А на матрицу В:
1) сочетательное свойство: (АВ)С = А(ВС);
2) распределительное относительно суммы матриц свойство: (А + В)С = АС + ВС или А(В + С) = АВ + АС.
Распределительное свойство сразу вытекает из формул (1.4) и (1.2), а для доказательства сочетательного свойства достаточно заметить, что если А = ║a ij ║ (i = 1, 2,..., m ; j = 1, 2,... , n ), В = (i = 1, 2,..., n ; j = 1, 2,... , p ), С= (i = 1, 2,..., m ; j = 1, 2,... , p ), то
элемент d il матрицы (АВ)С в силу (1.4) равен а элемент d il " матрицы А(ВС) равен , но тогда равенство d il = d il " вытекает из возможности изменения порядка суммирования относительно j и к.
Вопрос о перестановочном свойстве произведения матрицы А на матрицу В имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц А и В одинакового порядка (ибо, как указывалось выше, только для таких матриц А и В оба произведения АВ и В А определены и являются матрицами одинаковых порядков). Элементарные примеры показывают, что произведение двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает, вообще говоря, перестановочным свойством . В самом деле, если положить

Здесь мы укажем, однако, важные частные случаи, в которых справедливо перестановочное свойство (Две матрицы, для произведения которых справедливо перестановочное свойство, принято называть коммутирующими). Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Каждая диагональная матрица порядка n имеет вид

где d 1 , d 2 ,..., d n - какие угодно числа. Легко видеть, что если все эти числа равны между собой, т. е. d 1 = d 2= ...= d n = d, то для любой
квадратной матрицы А порядка n справедливо равенство AD = DA. В самом деле, обозначим символами Cij и cf{j элементы, стоящие на пересечении i -й строки и j-ro столбца матриц AD и DA соответственно. Тогда из равенства (1.4) и из вида матрицы D получим, что c ij =a ij d j = a ij d , c ij " = d i a ij = da ij (1.6) , т.е. c ij = c ij " .

Среди всех диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами d 1 = d 2= ...= d n особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается при d = 1, называется единичной матрицей п-го порядка и обозначается символом Е. Вторая матрица получается при d = 0, называется нулевой матрицей п-го порядка и обозначается символом О. Таким образом,

В силу доказанного выше АЕ = ЕА и АО = О А. Более того, из формул (1.6) очевидно, что

AE = EA = E, АО = ОА = О. (1.7)

Первая из формул (1.7) характеризует особою роль единичной матрицы Е, аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул (1.7), но и элементарно проверяемое равенство А + О = О + А = А (это равенство является прямым следствием формулы (1.2)).
В заключение заметим, что понятие нулевой матрицы можно вводить и для неквадратных матриц (нулевой называют любую матрицу, все элементы которой равны нулю).
3. Блочные матрицы. Предположим, что некоторая матрица А = ║a ij ║ при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших размеров и называется блоком исходной матрицы . В таком случае возникает возможность рассмотрения исходной матрицы А как некоторой новой (так называемой блочной) матрицы А = ║A αβ ║ , элементами A αβ которой служат указанные блоки.
Указанные элементы мы обозначаем большой латинской буквой, чтобы подчеркнуть, что они являются, вообще говоря, матрицами, а не числами и (как обычные числовые элементы) снабжаем двумя индексами, первый из которых указывает номер «блочной» строки, а второй - номер «блочного» столбца. Например, матрицу

можно рассматривать как блочную матрицу , элементами которой служат следующие блоки:

Замечательным является тот факт, что основные операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, по которым они совершаются с обычными числовыми матрицами, только в роли элементов выступают блоки.
В самом деле, элементарно проверяется, что если матрица А = ║a ij ║ является блочной и имеет блочные элементы A αβ , то при том же разбиении на блоки матрице λ А = ║λa ij ║ отвечают блочные элементы λA αβ (При этом блочные элементы λA αβ сами вычисляются по правилу умножения матрицы A αβ на число λ ).
Столь же элементарно проверяется, что если матрицы A и В имеют одинаковые порядки и одинаковым образом разбиты на блоки, то сумме матриц А и В отвечает блочная матрица с элементами A αβ = A αβ + B αβ (здесь A αβ и B αβ - блочные элементы матриц А и В).
Пусть, наконец, А и В - две блочные матрицы такие, что число столбцов каждого блока A αβ равно числу строк блока В β γ (так что
при любых α, β и γ определено произведение матриц A αβ В β γ ). Тогда произведение С = А В представляет собой матрицу с элементами С α γ , определяемыми формулой

Для доказательства этой формулы достаточно расписать левую и правую ее части в терминах обычных (числовых) элементов матриц A и В (предоставляем это сделать читателю).
В качестве примера применения блочных матриц остановимся на понятии так называемой прямой суммы квадратных матриц. Прямой суммой двух квадратных матриц А и В порядков m и n соответственно называется квадратная блочная матрица С порядка m + n, равная . Для обозначения прямой суммы матриц А и В используется запись С = А