При изучении материала темы необходимо усвоить:
· виды тел вращения;
· определения тел вращения;
· определения элементов тел вращения;
· понятия развёртки цилиндра и конуса;
· определение и вычисление боковой и полной поверхности цилиндра и конуса;
· определение касательной плоскости к сфере и её свойства;
· понятие площади поверхности сферы;
· определение многогранника, вписанного в сферу, и описанного около неё.
В процессе решения задач проверяются следующие умения:
· изображать тела вращения;
· вычислять элементы тел вращения;
· изображать сечения тел;
· вычислять площади боковой и полной поверхности цилиндра и конуса;
· составлять уравнение сферы.
Вопросы теоретического зачёта
Вариант 1
1. Понятие цилиндрической поверхности и её элементов. Сформулируйте определение цилиндра и его элементов.
2. Выведите формулу для вычисления площади поверхности сферы.
3. Найдите отношение площади боковой поверхности и осевого сечения конуса.
Вариант 2
1. Понятие конической поверхности. Сформулируйте определение конуса и его элементов.
2. Определите положение центра сферы, описанной около правильной четырёхугольной пирамиды. Докажите своё утверждение.
3. Найдите отношение площадей боковой поверхности и осевого сечения цилиндра.
Вариант 3
1. Сформулируйте определение усечённого конуса и его элементов.
2. Определите положение центра сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду. Докажите своё утверждение.
3. Докажите, что полная поверхность равностороннего конуса равновелика поверхности шара, имеющего диаметром высоту конуса.
Вариант 4
1. Сформулируйте определения сферы и шара. Запишите уравнения сферы радиусом R с центром в точке О(0; 0; 0) и в точке А(x0; y0; z0).
2. Выведите формулу для вычисления боковой поверхности конуса.
3. Докажите, что площадь полной поверхности цилиндра равна площади боковой поверхности другого цилиндра того же радиуса, высота которого равна сумме радиуса и высоты данного цилиндра.
Самостоятельная работа 17
Вариант 1
1. Площадь осевого сечения цилиндра равна 16. Найдите площадь сечения этого цилиндра, которое параллельно оси и находится от неё на расстоянии, равном половине радиуса основания цилиндра.
2. Полукруг свёрнут в коническую поверхность. Найдите угол между образующей и высотой конуса.
3. Радиусы двух шаров 16 и 20 дм, расстояние между их центрами 25 дм. Найдите длину окружности, по которой пересекаются их поверхности.
Вариант 2
1. Радиус основания цилиндра 26 см, образующая 4,8 дм. На каком расстоянии от оси цилиндра следует провести сечение, параллельное оси и имеющее форму квадрата?
2. Радиус сектора равен 3 м, его угол 120°. Сектор свёрнут в коническую поверхность. Найдите радиус основания конуса.
3. Диагонали ромба 30 и 40 см. Шаровая поверхность касается всех сторон ромба. Найдите расстояние от центра шара до плоскости ромба, если радиус шара равен 13 см.
Вариант 3
1. Радиус основания цилиндра равен 12 см. Найдите расстояние между осевым сечением и сечением с вдвое меньшей площадью.
2. Угол развёртки боковой поверхности конуса равен 120°. Образующая конуса 15 см. Вычислите диаметр основания конуса.
3. На шар, радиус которого 10 см, наложен ромб так, что каждая сторона его, равная 12,5 см, касается шара. Плоскость ромба удалена от центра шара на 8 см. Найдите площадь ромба.
Вариант 4
1. Через образующую цилиндра проведены два взаимно перпендикулярных сечения, площади которых равны 60 и 80 дм. Найдите площадь осевого сечения.
2. Радиус основания конуса равен 12 см, образующая 40 см. Вычислите угол развёртки этого конуса.
3. Стороны треугольника 10 дм, 10 дм и 12 дм. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касательного к сторонам треугольника. Радиус шара 5 дм.
Самостоятельная работа 18
Вариант 1
1. Диагональ осевого сечения цилиндра на 25 \% превышает диаметр его основания. Найдите полную поверхность цилиндра, если расстояние между его центрами равно 15 см.
2. Развёртка боковой поверхности цилиндра – квадрат со стороной 4 дм. Найдите объём цилиндра.
3. Диагонали осевого сечения усечённого конуса взаимно перпендикулярны, высота конуса H, образующая l. Найдите боковую поверхность конуса.
4. Радиус основания конуса равен 12 см, образующая 40 см. Найдите угол развёртки боковой поверхности конуса.
5. Образующая усечённого конуса 10 см, разность оснований 6 см, площадь осевого сечения 112 см2. Найдите боковую поверхность конуса.
6. Параллелограмм, у которого стороны равны 21 см и 89 см, а диагональ равна 100 см, вращается вокруг меньшей стороны. Найдите объём тела вращения.
7. Прямоугольный треугольник с катетами 16 и 12 см вращается вокруг гипотенузы. Найдите объём и площадь вращения.
Вариант 2
1. Боковая поверхность цилиндра составляет половину его полной поверхности. Найдите полную поверхность цилиндра, если диагональ осевого сечения 10 дм.
2. Полная поверхность цилиндра 500 p см2, диаметр его основания 20 см. Найдите объём цилиндра.
3. Образующая усечённого конуса относится к высоте его как 41:40. Радиусы оснований равны 24 и 6 см. Найдите боковую поверхность конуса.
4. Угол развёртки боковой поверхности конуса равен 120°. Образующая конуса 15 см. Найдите полную поверхность конуса.
5. Найдите высоту усечённого конуса, если его боковая поверхность равновелика сумме площадей оснований, а радиусы оснований R и r.
6. Равнобедренная трапеция с основаниями 12 и 18 см и острым углом 60° вращается вокруг меньшего основания. Найдите поверхность и объём тела вращения.
7. Треугольник, у которого две стороны равные 5 см и 8 см, заключают угол 60°, вращается вокруг наибольшей стороны. Найдите поверхность и объём тела вращения.
Самостоятельная работа 19
Вариант 1
1. Прямоугольный треугольник с катетами 16 и 12 см вращается вокруг гипотенузы. Найдите поверхность тела вращения.
2. Радиусы оснований шарового пояса равны 63 и 39 см, высота его равна 36 см. Найдите поверхность шарового пояса.
3. Высота правильной треугольной пирамиды h. Боковые рёбра взаимно перпендикулярны. Найдите радиус описанного шара.
4. В правильной треугольной усечённой пирамиде высота 17 см, радиусы окружностей, описанных вокруг оснований, 5 и 12 см. Найдите радиус описанного шара.
5. Квадрат со стороной равной а вращается вокруг перпендикуляра к диагонали, проведённого через её конец. Найдите поверхность полученного тела.
Вариант 2
1. Треугольник, у которого две стороны равны 5 и 8 см, заключают угол в 60°, вращается вокруг наибольшей стороны. Найдите поверхность тела вращения.
2. Полная поверхность шарового сегмента равна S. Определите высоту сегмента, если радиус шара равен R.
3. Основанием пирамиды служит правильный треугольник, сторона которого равна 3 дм. Одно из боковых рёбер равно 2 дм и перпендикулярно основанию. Найдите радиус описанного шара.
4. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды 7 и 1 дм. Боковое ребро наклонено к основанию под углом 45°.Найдите радиус описанного шара.
5. Правильный шестиугольник со стороной а вращается вокруг внешней оси, которая параллельна стороне и отстоит от неё на длину апофемы. Найдите поверхность полученного тела.
Самостоятельная работа 20
Вариант 1
1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно b и образует с плоскостью основания угол a. В пирамиду вписан равносторонний цилиндр так, что плоскость основания лежит в плоскости основания пирамиды. Найдите объём цилиндра.
2. Основание пирамиды правильный треугольник. Одно боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания и равно l, а два других с плоскостью основания образуют угол a. В пирамиду вписана прямая призма, три вершины которой лежат на боковых рёбрах пирамиды, а три другие – на основании пирамиды, диагональ боковой грани призмы составляет с плоскостью основания Ð b. Найдите высоту призмы.
3. В правильной четырёхугольной призме площадь боковой грани равна q. Найдите площадь диагонального сечения.
4. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 и 9 см. На какие части делится объем шара?
Вариант 2
1. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 2b. Длина окружности основания равна c. Определить площадь боковой поверхности конуса.
2. Диагонали осевого сечения усечённого конуса точкой пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от большого основания. Угол между диагоналями, обращённый к основанию, равен a. Диагональ равна l. Найдите объём конуса.
3. Боковое ребро прямого параллелепипеда равно 5 см, стороны основания 6 и 8 см, одна из диагоналей основания 12 см. Найдите диагонали параллелепипеда.
4. Какую часть объёма шара составляет объём шарового сегмента с высотой 0,1 диаметра шара?
Вариант 3
1. Образующая конуса равна l и наклонена к плоскости основания под углом a. Определите площадь полной поверхности вписанного куба.
2. В основание конуса вписан квадрат, сторона которого a. Плоскость, проходящая через одну из сторон этого квадрата и вершину конуса, при пересечении с поверхностью конуса образует равнобедренный треугольник с углом при вершине равным a. Найдите объём конуса.
3. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы 15 см, а высота 20 см. Найдите кратчайшее расстояние от стороны основания до непересекающей её диагонали призмы.
4. Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объём общей части шаров к объёму целого шара?
Вариант 4
1. В конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом a, вписана прямая треугольная призма с равными ребрами. Найдите объём призмы, если радиус основания конуса равен R.
2. Объём конуса равен V. В конус вписана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом a между боковыми сторонами. Найдите объём пирамиды.
3. В прямом параллелепипеде боковое ребро равно 1 м, стороны основания 23 дм и 11 дм, диагонали основания относятся как 2: 3. Найдите площади диагональных сечений.
4. По стороне основания a и боковому ребру b найдите полную поверхность правильной шестиугольной призмы.
Cтраница 2
Прямоугольные треугольники, образованные соответственно точками О, (а Ь) / 2, t и 0, (а а) / 2, t, собственно подобны.
Прямоугольный треугольник с катетами 5 еж и 12 см вращается вокруг внешней оси, которая параллельна большему катету и отстоит от него на 3 см. Определить объем и поверхность тела вращения.
Прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см вращается вокруг перпендикуляра к гипотенузе, проведенного через вершину большего острого угла.
Прямоугольные треугольники подобны, если они имеют по равному острому углу.
Прямоугольные треугольники подобны, если катеты одного пропорциональны катетам другого.
Прямоугольный треугольник может иметь стороны, каждая из которых является целым числом. Набор трех целочисленных значений для сторон прямоугольного треугольника называется пифагоровой тройкой. Эти три стороны должны удовлетворять следующему соотношению: сумма квадратов двух катетов равна квадрату гипотенузы. Используйте цикл for с тройной вложенностью, в котором просто перебираются все возможности. Это является примером вычисления с помощью грубой силы. Многим оно не приносит эстетического удовлетворения. Но есть много причин, по которым эти методы важны. Во-первых, при мощности вычислительной техники, возрастающей такими необыкновенными темпами, решения, для получения которых понадобились бы годы или даже столетия компьютерного времени при использовании технологий, применявшихся всего лишь несколько лет тому назад, теперь могут быть получены за часы, минуты или даже секунды. Современные микропроцессорные схемы могут обрабатывать более 100 миллионов операций в секунду. И в 90 - е годы, по всей вероятности, должны появиться микропроцессорные схемы, способные обрабатывать миллиард операций в секунду. Во-вторых, как вы узнаете из курсов по информатике для продолжающих обучение, существует большое число интересных задач, для которых не известны алгоритмические подходы, отличные от решения с помощью грубой силы.
Прямоугольный треугольник, катеты которого 12 см и 16 см, вращается вокруг гипотенузы.
Прямоугольные треугольники, у которых стороны измеряются целыми числами.
Прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 15 см вращается около большего катета.
Прямоугольный треугольник с площадью S и острым углом а вращается вокруг оси, содержащей гипотенузу.
Прямоугольный треугольник с площадью S и острым углом а вращается вокруг оси, проведенной через вершину прямого угла параллельно гипотенузе.
Прямоугольный треугольник с катетом а и противолежащим ему углом 30 вращается вокруг гипотенузы.
Прямоугольный треугольник перемещается в плоскости так, что вершины его острых углов скользят по двум взаимно перпендикулярным прямым. Какую фигуру образуют вершины прямого угла этого треугольника.
Одним из наиболее эффективных методов определения метрических характеристик плоских фигур является вращение вокруг оси, в качестве которой обычно используют линию уровня или проецирующую прямую.
Основные правила построения
- Радиус вращения точки равен расстоянию между точкой и линией уровня, выполняющей роль оси. Натуральную величину радиуса определяют методом прямоугольного треугольника .
- При вращении вокруг горизонтали h точка перемещается по окружности, которая проецируется на горизонтальную плоскость в отрезок прямой, перпендикулярный горизонтальной проекции горизонтали h". На фронтальную плоскость окружность, по которой движется точка, проецируется в эллипс. Строить его нет необходимости.
- При вращении вокруг фронтали f точка перемещается по окружности, которая проецируется на фронтальную плоскость в отрезок прямой, перпендикулярный фронтальной проекции фронтали f"". Вместе с тем горизонтальная проекция линии перемещения представляет собой эллипс, строить который не обязательно.
Рассмотрим, как определить действительную величину угла между прямыми a и b, пересекающимися в точке A. Построения представлены на рисунке и выполнены согласно алгоритму, который описан ниже.
Алгоритм решения
- Проводим фронтальную проекцию h"" горизонтали h. Она пересекает прямые a"" и b"" в точках 1"" и 2"". Определяем горизонтальные проекции 1" и 2" и через них проводим h".
- Находим центр вращения O. Его горизонтальная проекция O" лежит на пересечении прямой h" с перпендикуляром, проведенным из A" к h".
- Определяем натуральную величину радиуса вращения R = O"A" 0 . Для этого строим прямоугольный треугольник O"A"A" 0 , катет которого A"A" 0 равен расстоянию от A"" до h"".
- Проводим дугу окружности радиусом R до пересечения её с прямой O"A" в точке A" 1 . Соединяем A" 1 с точками 1" и 2". Искомый угол ϕ построен.
§ 24. Тела вращения.
Цилиндр, конус и усечённый конус.
1. Квадрат со стороной а вращается вокруг перпендикуляра к диагонали, проведённого через её конец. Определить объём и поверхность полученного тела.
2. Квадрат со стороной а вращается вокруг внешней оси, которая параллельна его стороне и отстоит от неё на длину стороны. Требуется: 1) определить объём и поверхность полученного тела; 2) определить, в каком отношении объём, образуемый вращением квадрата, разделится поверхностью, которую опишет его диагональ.
3. Равносторонний треугольник вращается вокруг перпендикуляра к стороне, проведённого через её конец. Как относятся между собой поверхности, описываемые сторонами треугольника?
4. Равносторонний треугольник вращается сначала вокруг стороны, а потом вокруг параллели к стороне, проведённой через вершину. Во второй раз получаются объём и поверхность, вдвое большие, чем в первый раз. Доказать.
5. Равносторонний треугольник со стороной а вращается вокруг внешней оси, которая параллельна стороне и удалена от неё на расстояние, равное апофеме треугольника. Определить объём и поверхность полученного тела.
6. Одна из сторон а равностороннего треугольника продолжена на равную ей длину, и через конец продолжения проведён перпендикуляр к нему. Определить объём и поверхность тела, которое получится, если вращать треугольник вокруг этого перпендикуляра.
7. Высота равностороннего треугольника продолжена за вершину на свою длину, и через конец продолжения проведён перпендикуляр к нему. По стороне а определить объём и поверхность тела, образуемого вращением треугольника вокруг этого перпендикуляра.
8. Стороны квадрата служат сторонами равносторонних треугольников, построенных снаружи, и образовавшаяся фигура вращается вокруг прямой, соединяющей наружные вершины двух противоположных треугольников. Сторона квадрата равна а . Определить объём и поверхность полученного тела.
9. По стороне а правильного шестиугольника определить объём и поверхность тел, образуемых его вращением: 1) вокруг диаметра; 2) вокруг апофемы.
10. По стороне а правильного шестиугольника определить объём и поверхность тела, образуемого его вращением вокруг стороны.
11. а вращается вокруг оси, проходящей через его вершину перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту вершину. Определить объём и поверхность тела вращения.
12. Правильный шестиугольник со стороной а вращается вокруг внешней оси, которая параллельна стороне и отстоит от неё на длину апофемы. Определить объём и поверхность полученного тела.
13. Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вращается вокруг внешней оси, которая параллельна большему катету и отстоит от него на 3 см. Определить объём и поверхность тела вращения.
14. Прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см вращается вокруг перпендикуляра к гипотенузе, проведённого через вершину большего острого угла. Определить объём и поверхность тела вращения.
15. Треугольник со сторонами 9 см, 10 см и 17 см вращается вокруг высоты, проведённой из вершины его меньшего угла. Определить объём и поверхность полученного тела.
16. Треугольник со сторонами 8 см и 5 см, заключающими угол в 60°, вращается вокруг оси, проходящей через вершину этого угла перпендикулярно к меньшей из его сторон. Определить объём и поверхность тела вращения.
17. Объёмы, образуемые вращением параллелограмма последовательно вокруг двух смежных сторон, обратно пропорциональны этим сторонам. Доказать.
18. Ромб, площадь которого равна Q, вращается вокруг стороны. Определить поверхность полученного тела.
19. 1) Ромб со стороной а и острым углом в 60° вращается вокруг оси, проведённой через вершину этого угла перпендикулярно к стороне. Определить объём и поверхность тела вращения.
2) Такая же задача для угла в 45°.
20. Равнобедренная трапеция, у которой острый угол равен 45° и боковая сторона равна меньшему основанию, вращается вокруг боковой стороны. По её длине а определить объём и поверхность тела вращения.
21. В полукруг радиуса R вписана трапеция так, что её нижним основанием служит диаметр этого круга, а боковая сторона стягивает дугу в 30°. Определить объём и поверхность тела, образуемого вращением этой трапеции вокруг радиуса, перпендикулярного к её основанию.
22. АВ - диаметр данной полуокружности радиуса R; ВС-дуга, содержащая 60°. Проведены хорда АС и касательная CD, где D - точка на продолжении диаметра АВ. Определить объём и поверхность тела, получаемого при вращении треугольника ACD вокруг оси AD.
Шар и его части.
23. На полуокружности радиуса R от конца её диаметра АВ отложена дуга ВМС в 60°, и точка С соединена с А. Определить объём и поверхность тела, которое образуется, если вращать вокруг АВ фигуру, ограниченную диаметром АВ, хордой АС и дугой ВМС.
24. На полуокружности радиуса R от конца её диаметра АВ отложена дуга ВМС в 45°, из точки С проведена касательная, пересекающая продолжение диаметра АВ в точке D. Фигура, ограниченная прямыми BD и CD и дугой ВМС, вращается вокруг BD. Определить объём и поверхность полученного тела.
25. О - центр дуги АМС радиуса R; В-точка на продолжении радиуса ОА; ВС-касательная к дуге АМС; CD - перпендикуляр на радиус ОА. Фигура вращается вокруг оси ОВ. Определить расстояние OD, если поверхность, образуемая вращением дуги АМС, делит пополам объём, образуемый вращением треугольника ОСВ вокруг оси ОВ.
26. АМС, CND и DPB - последовательные трети полуокружности с диаметром АВ и центром О. Проведены радиусы ОС и OD и хорды АС и AD, и фигура вращается вокруг диаметра АВ. Доказать, что фигурами ACND и OCND будут описаны равные объёмы, составляющие каждый половину объёма шара.
27. Круговой сегмент вращается вокруг параллельного хорде диаметра. Доказать, что полученный объём равен объёму шара с диаметром, равным хорде сегмента.
28. 1) АОВ - квадрант с центром О и радиусом R; АМС - дуга, содержащая 60°; AD- касательная, причём D точка её пересечения с продолжением радиуса ОС. Фигура, ограниченная отрезками AD и CD и дугой АМС, вращается вокруг радиуса ОВ. Определить объём и поверхность полученного тела.
2) Такая же задача для дуги АМС, равной 45°.
Теоремы Гюльдена.
29. Проверить обе теоремы Гюльдена для случаев вращения:
1) прямоугольника вокруг одной из его сторон;
2) ромба со стороной а и высотой h вокруг одной из его сторон;
3) правильного треугольника со стороной а вокруг оси, проходящей через вершину параллельно основанию;
4) прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов;
5) прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы.
30. Поперечное сечение железного кольца - квадрат со стороной а = 4 см; средний диаметр кольца d = 80 см и удельный вес его 8,6. Найти вес кольца.
31. Спасательный круг, поперечное сечение которого - окружность, можно рассматривать как тело, получившееся от вращения круга вокруг некоторой оси. Диаметр сечения d =12 см; внешний диаметр спасательного круга D = 75 см. Вычислить поверхность спасательного круга и его объём.
32. Паровозное депо имеет в плане вид полукольца (черт. 44), внутренний диаметр которого равен 20 м; ширина полукольца 9 м; в поперечном сечении депо имеет вид прямоугольной трапеции ABCD, параллельные стороны которой равны 4,25 м и 6,5 м. Найти объём депо.
33. Стороны треугольника 9 см, 10 см и 17 см. Треугольник вращается около большей своей высоты. Определить объём поверхность тела вращения.
34. Доказать, что объёмы, полученные при вращении треугольника вокруг основания и вокруг прямой, параллельной основанию проходящей через вершину треугольника, относятся как 1: 2.
