В разделе на вопрос Какая скорость вращения Луны вокруг Земли? заданный автором шеврон лучший ответ это Орбитальная скорость1,022 км/с
Движение Луны
В первом приближении можно считать, что Луна двигается по эллиптической орбите с эксцентриситетом 0,0549 и большой полуосью 384 399 км. Реальное движение Луны довольно сложно, при его расчёте необходимо учитывать множество факторов, например, сплюснутость Земли и сильное влияние Солнца, которое притягивает Луну в 2,2 раза сильнее, чем Земля. Более точно движение Луны вокруг Земли можно представить как сочетание нескольких движений :
вращение вокруг Земли по эллиптической орбите с периодом 27,32 сут;
прецессия (поворот плоскости) лунной орбиты с периодом 18,6 лет (см. также сарос) ;
поворот большой оси лунной орбиты (линии апсид) с периодом 8,8 лет;
периодическое изменение наклона лунной орбиты по отношению к эклиптике от 4°59′ до 5°19′;
периодическое изменение размеров лунной орбиты: перигея от 356,41 Мм до 369,96 Мм, апогея от 404,18 Мм до 406,74 Мм;
постепенное удаление Луны от Земли (примерно на 4 см в год) так, что её орбита представляет собой медленно раскручивающуюся спираль . Это подтверждают измерения, проводившиеся на протяжении 25 лет.

Ответ от Прососаться [новичек]
Вот же умники википедийные елки палки. Понакопировали из всяких википедий различной зауми и даже отсылки на внуренние ресурсы типа "-" или "(см так же сарос)" не потрудились удалить. Элиптическая орбита ещё куда не шло, но вот эксцентриситет 0,0549 или большая полуось в 384 399 километров это уже перебор.
Ну написали бы что Луна движется вокруг нашей планеты по довольно вытянутой эллиптической орбите и совершает довольно сложные эволюционные движения и либрации, то бишь медленные колебательные движения хорошо заметные при наблюдении с Земли. Средняя орбитальная скорость земного спутника составляет 1,023 км/с или 3682,8 километров в час. Вот и всё.

Ответ от Просып [новичек]
1.022

Ответ от Ђони Тунофф [новичек]
Луна движется по орбите вокруг Земли со скоростью 1,02 км в сек. Если Луна вращается вокруг оси с такой же скоростью, то разделив длину экватора Луны на скорость 1,02 км в сек, мы узнаем время 1 оборота Луны вокруг оси в секундах. Длина экватора Луны равна 10920,166 км.

Здесь, потратив немного времени на изучение интерфейса, мы добудем все необходимые нам данные. Выберем дату, например, да нам всё равно, но пусть это будет 27 июля 2018 года UT 20:21. Как раз в этот момент наблюдалась полная фаза лунного затмения. Программа выдаст нам огромную портянку

Полный вывод для эфемерид Луны на 27.07.2018 20:21 (начало координат в центре Земли)

******************************************************************************* Revised: Jul 31, 2013 Moon / (Earth) 301 GEOPHYSICAL DATA (updated 2018-Aug-13): Vol. Mean Radius, km = 1737.53+-0.03 Mass, x10^22 kg = 7.349 Radius (gravity), km = 1738.0 Surface emissivity = 0.92 Radius (IAU), km = 1737.4 GM, km^3/s^2 = 4902.800066 Density, g/cm^3 = 3.3437 GM 1-sigma, km^3/s^2 = +-0.0001 V(1,0) = +0.21 Surface accel., m/s^2 = 1.62 Earth/Moon mass ratio = 81.3005690769 Farside crust. thick. = ~80 - 90 km Mean crustal density = 2.97+-.07 g/cm^3 Nearside crust. thick.= 58+-8 km Heat flow, Apollo 15 = 3.1+-.6 mW/m^2 k2 = 0.024059 Heat flow, Apollo 17 = 2.2+-.5 mW/m^2 Rot. Rate, rad/s = 0.0000026617 Geometric Albedo = 0.12 Mean angular diameter = 31"05.2" Orbit period = 27.321582 d Obliquity to orbit = 6.67 deg Eccentricity = 0.05490 Semi-major axis, a = 384400 km Inclination = 5.145 deg Mean motion, rad/s = 2.6616995x10^-6 Nodal period = 6798.38 d Apsidal period = 3231.50 d Mom. of inertia C/MR^2= 0.393142 beta (C-A/B), x10^-4 = 6.310213 gamma (B-A/C), x10^-4 = 2.277317 Perihelion Aphelion Mean Solar Constant (W/m^2) 1414+-7 1323+-7 1368+-7 Maximum Planetary IR (W/m^2) 1314 1226 1268 Minimum Planetary IR (W/m^2) 5.2 5.2 5.2 ******************************************************************************* ******************************************************************************* Ephemeris / WWW_USER Wed Aug 15 20:45:05 2018 Pasadena, USA / Horizons ******************************************************************************* Target body name: Moon (301) {source: DE431mx} Center body name: Earth (399) {source: DE431mx} Center-site name: BODY CENTER ******************************************************************************* Start time: A.D. 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB Stop time: A.D. 2018-Jul-28 20:21:00.0003 TDB Step-size: 0 steps ******************************************************************************* Center geodetic: 0.00000000,0.00000000,0.0000000 {E-lon(deg),Lat(deg),Alt(km)} Center cylindric: 0.00000000,0.00000000,0.0000000 {E-lon(deg),Dxy(km),Dz(km)} Center radii: 6378.1 x 6378.1 x 6356.8 km {Equator, meridian, pole} Output units: AU-D Output type: GEOMETRIC cartesian states Output format: 3 (position, velocity, LT, range, range-rate) Reference frame: ICRF/J2000.0 Coordinate systm: Ecliptic and Mean Equinox of Reference Epoch ******************************************************************************* JDTDB X Y Z VX VY VZ LT RG RR ******************************************************************************* $$SOE 2458327.347916670 = A.D. 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 1.537109094089627E-03 Y =-2.237488447258137E-03 Z = 5.112037386426180E-06 VX= 4.593816208618667E-04 VY= 3.187527302531735E-04 VZ=-5.183707711777675E-05 LT= 1.567825598846416E-05 RG= 2.714605874095336E-03 RR=-2.707898607099066E-06 $$EOE ******************************************************************************* Coordinate system description: Ecliptic and Mean Equinox of Reference Epoch Reference epoch: J2000.0 XY-plane: plane of the Earth"s orbit at the reference epoch Note: obliquity of 84381.448 arcseconds wrt ICRF equator (IAU76) X-axis: out along ascending node of instantaneous plane of the Earth"s orbit and the Earth"s mean equator at the reference epoch Z-axis: perpendicular to the xy-plane in the directional (+ or -) sense of Earth"s north pole at the reference epoch. Symbol meaning : JDTDB Julian Day Number, Barycentric Dynamical Time X X-component of position vector (au) Y Y-component of position vector (au) Z Z-component of position vector (au) VX X-component of velocity vector (au/day) VY Y-component of velocity vector (au/day) VZ Z-component of velocity vector (au/day) LT One-way down-leg Newtonian light-time (day) RG Range; distance from coordinate center (au) RR Range-rate; radial velocity wrt coord. center (au/day) Geometric states/elements have no aberrations applied. Computations by ... Solar System Dynamics Group, Horizons On-Line Ephemeris System 4800 Oak Grove Drive, Jet Propulsion Laboratory Pasadena, CA 91109 USA Information: http://ssd.jpl.nasa.gov/ Connect: telnet://ssd.jpl.nasa.gov:6775 (via browser) http://ssd.jpl.nasa.gov/?horizons telnet ssd.jpl.nasa.gov 6775 (via command-line) Author: [email protected] *******************************************************************************

$$SOE 2458327.347916670 = A.D. 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 1.537109094089627E-03 Y =-2.237488447258137E-03 Z = 5.112037386426180E-06 VX= 4.593816208618667E-04 VY= 3.187527302531735E-04 VZ=-5.183707711777675E-05 LT= 1.567825598846416E-05 RG= 2.714605874095336E-03 RR=-2.707898607099066E-06 $$EOE
Да-да-да, они декартовы! Если внимательно прочесть всю портянку, то мы узнаем, что начало этой системы координат совпадает с центром Земли. Плоскость XY лежит в плоскости земной орбиты (плоскости эклиптики) на эпоху J2000. Ось X направлена вдоль линии пересечения плоскости экватора Земли и эклиптики в точку весеннего равноденствия. Ось Z смотрит в направлении северного полюса Земли перпендикулярно плоскости эклиптики. Ну а ось Y дополняет всё это счастье до правой тройки векторов. По-умолчанию единицы измерения координат: астрономические единицы (умнички из NASA приводят и величину автрономической единицы в километрах). Единицы измерения скорости: астрономические единицы в день, день принимается равным 86400 секундам. Полный фарш!

Аналогичную информацию мы можем получить и для Земли

Полный вывод эфемерид Земли на 27.07.2018 20:21 (начало координат в центре масс Солнечной системы)

******************************************************************************* Revised: Jul 31, 2013 Earth 399 GEOPHYSICAL PROPERTIES (revised Aug 13, 2018): Vol. Mean Radius (km) = 6371.01+-0.02 Mass x10^24 (kg)= 5.97219+-0.0006 Equ. radius, km = 6378.137 Mass layers: Polar axis, km = 6356.752 Atmos = 5.1 x 10^18 kg Flattening = 1/298.257223563 oceans = 1.4 x 10^21 kg Density, g/cm^3 = 5.51 crust = 2.6 x 10^22 kg J2 (IERS 2010) = 0.00108262545 mantle = 4.043 x 10^24 kg g_p, m/s^2 (polar) = 9.8321863685 outer core = 1.835 x 10^24 kg g_e, m/s^2 (equatorial) = 9.7803267715 inner core = 9.675 x 10^22 kg g_o, m/s^2 = 9.82022 Fluid core rad = 3480 km GM, km^3/s^2 = 398600.435436 Inner core rad = 1215 km GM 1-sigma, km^3/s^2 = 0.0014 Escape velocity = 11.186 km/s Rot. Rate (rad/s) = 0.00007292115 Surface Area: Mean sidereal day, hr = 23.9344695944 land = 1.48 x 10^8 km Mean solar day 2000.0, s = 86400.002 sea = 3.62 x 10^8 km Mean solar day 1820.0, s = 86400.0 Moment of inertia = 0.3308 Love no., k2 = 0.299 Mean Temperature, K = 270 Atm. pressure = 1.0 bar Vis. mag. V(1,0) = -3.86 Volume, km^3 = 1.08321 x 10^12 Geometric Albedo = 0.367 Magnetic moment = 0.61 gauss Rp^3 Solar Constant (W/m^2) = 1367.6 (mean), 1414 (perihelion), 1322 (aphelion) ORBIT CHARACTERISTICS: Obliquity to orbit, deg = 23.4392911 Sidereal orb period = 1.0000174 y Orbital speed, km/s = 29.79 Sidereal orb period = 365.25636 d Mean daily motion, deg/d = 0.9856474 Hill"s sphere radius = 234.9 ******************************************************************************* ******************************************************************************* Ephemeris / WWW_USER Wed Aug 15 21:16:21 2018 Pasadena, USA / Horizons ******************************************************************************* Target body name: Earth (399) {source: DE431mx} Center body name: Solar System Barycenter (0) {source: DE431mx} Center-site name: BODY CENTER ******************************************************************************* Start time: A.D. 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB Stop time: A.D. 2018-Jul-28 20:21:00.0003 TDB Step-size: 0 steps ******************************************************************************* Center geodetic: 0.00000000,0.00000000,0.0000000 {E-lon(deg),Lat(deg),Alt(km)} Center cylindric: 0.00000000,0.00000000,0.0000000 {E-lon(deg),Dxy(km),Dz(km)} Center radii: (undefined) Output units: AU-D Output type: GEOMETRIC cartesian states Output format: 3 (position, velocity, LT, range, range-rate) Reference frame: ICRF/J2000.0 Coordinate systm: Ecliptic and Mean Equinox of Reference Epoch ******************************************************************************* JDTDB X Y Z VX VY VZ LT RG RR ******************************************************************************* $$SOE 2458327.347916670 = A.D. 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 5.755663665315949E-01 Y =-8.298818915224488E-01 Z =-5.366994499016168E-05 VX= 1.388633512282171E-02 VY= 9.678934168415631E-03 VZ= 3.429889230737491E-07 LT= 5.832932117417083E-03 RG= 1.009940888883960E+00 RR=-3.947237246302148E-05 $$EOE ******************************************************************************* Coordinate system description: Ecliptic and Mean Equinox of Reference Epoch Reference epoch: J2000.0 XY-plane: plane of the Earth"s orbit at the reference epoch Note: obliquity of 84381.448 arcseconds wrt ICRF equator (IAU76) X-axis: out along ascending node of instantaneous plane of the Earth"s orbit and the Earth"s mean equator at the reference epoch Z-axis: perpendicular to the xy-plane in the directional (+ or -) sense of Earth"s north pole at the reference epoch. Symbol meaning : JDTDB Julian Day Number, Barycentric Dynamical Time X X-component of position vector (au) Y Y-component of position vector (au) Z Z-component of position vector (au) VX X-component of velocity vector (au/day) VY Y-component of velocity vector (au/day) VZ Z-component of velocity vector (au/day) LT One-way down-leg Newtonian light-time (day) RG Range; distance from coordinate center (au) RR Range-rate; radial velocity wrt coord. center (au/day) Geometric states/elements have no aberrations applied. Computations by ... Solar System Dynamics Group, Horizons On-Line Ephemeris System 4800 Oak Grove Drive, Jet Propulsion Laboratory Pasadena, CA 91109 USA Information: http://ssd.jpl.nasa.gov/ Connect: telnet://ssd.jpl.nasa.gov:6775 (via browser) http://ssd.jpl.nasa.gov/?horizons telnet ssd.jpl.nasa.gov 6775 (via command-line) Author: [email protected] *******************************************************************************

$$SOE 2458327.347916670 = A.D. 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 5.755663665315949E-01 Y =-8.298818915224488E-01 Z =-5.366994499016168E-05 VX= 1.388633512282171E-02 VY= 9.678934168415631E-03 VZ= 3.429889230737491E-07 LT= 5.832932117417083E-03 RG= 1.009940888883960E+00 RR=-3.947237246302148E-05 $$EOE
Для Луны нам понадобятся координаты и скорость относительно барицентра Солнечной системы, мы можем их посчитать, а можем попросит NASA дать нам такие данные

Полный вывод эфемерид Луны на 27.07.2018 20:21 (начало координат в центре масс Солнечной системы)

******************************************************************************* Revised: Jul 31, 2013 Moon / (Earth) 301 GEOPHYSICAL DATA (updated 2018-Aug-13): Vol. Mean Radius, km = 1737.53+-0.03 Mass, x10^22 kg = 7.349 Radius (gravity), km = 1738.0 Surface emissivity = 0.92 Radius (IAU), km = 1737.4 GM, km^3/s^2 = 4902.800066 Density, g/cm^3 = 3.3437 GM 1-sigma, km^3/s^2 = +-0.0001 V(1,0) = +0.21 Surface accel., m/s^2 = 1.62 Earth/Moon mass ratio = 81.3005690769 Farside crust. thick. = ~80 - 90 km Mean crustal density = 2.97+-.07 g/cm^3 Nearside crust. thick.= 58+-8 km Heat flow, Apollo 15 = 3.1+-.6 mW/m^2 k2 = 0.024059 Heat flow, Apollo 17 = 2.2+-.5 mW/m^2 Rot. Rate, rad/s = 0.0000026617 Geometric Albedo = 0.12 Mean angular diameter = 31"05.2" Orbit period = 27.321582 d Obliquity to orbit = 6.67 deg Eccentricity = 0.05490 Semi-major axis, a = 384400 km Inclination = 5.145 deg Mean motion, rad/s = 2.6616995x10^-6 Nodal period = 6798.38 d Apsidal period = 3231.50 d Mom. of inertia C/MR^2= 0.393142 beta (C-A/B), x10^-4 = 6.310213 gamma (B-A/C), x10^-4 = 2.277317 Perihelion Aphelion Mean Solar Constant (W/m^2) 1414+-7 1323+-7 1368+-7 Maximum Planetary IR (W/m^2) 1314 1226 1268 Minimum Planetary IR (W/m^2) 5.2 5.2 5.2 ******************************************************************************* ******************************************************************************* Ephemeris / WWW_USER Wed Aug 15 21:19:24 2018 Pasadena, USA / Horizons ******************************************************************************* Target body name: Moon (301) {source: DE431mx} Center body name: Solar System Barycenter (0) {source: DE431mx} Center-site name: BODY CENTER ******************************************************************************* Start time: A.D. 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB Stop time: A.D. 2018-Jul-28 20:21:00.0003 TDB Step-size: 0 steps ******************************************************************************* Center geodetic: 0.00000000,0.00000000,0.0000000 {E-lon(deg),Lat(deg),Alt(km)} Center cylindric: 0.00000000,0.00000000,0.0000000 {E-lon(deg),Dxy(km),Dz(km)} Center radii: (undefined) Output units: AU-D Output type: GEOMETRIC cartesian states Output format: 3 (position, velocity, LT, range, range-rate) Reference frame: ICRF/J2000.0 Coordinate systm: Ecliptic and Mean Equinox of Reference Epoch ******************************************************************************* JDTDB X Y Z VX VY VZ LT RG RR ******************************************************************************* $$SOE 2458327.347916670 = A.D. 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 5.771034756256845E-01 Y =-8.321193799697072E-01 Z =-4.855790760378579E-05 VX= 1.434571674368357E-02 VY= 9.997686898668805E-03 VZ=-5.149408819470315E-05 LT= 5.848610189172283E-03 RG= 1.012655462859054E+00 RR=-3.979984423450087E-05 $$EOE ******************************************************************************* Coordinate system description: Ecliptic and Mean Equinox of Reference Epoch Reference epoch: J2000.0 XY-plane: plane of the Earth"s orbit at the reference epoch Note: obliquity of 84381.448 arcseconds wrt ICRF equator (IAU76) X-axis: out along ascending node of instantaneous plane of the Earth"s orbit and the Earth"s mean equator at the reference epoch Z-axis: perpendicular to the xy-plane in the directional (+ or -) sense of Earth"s north pole at the reference epoch. Symbol meaning : JDTDB Julian Day Number, Barycentric Dynamical Time X X-component of position vector (au) Y Y-component of position vector (au) Z Z-component of position vector (au) VX X-component of velocity vector (au/day) VY Y-component of velocity vector (au/day) VZ Z-component of velocity vector (au/day) LT One-way down-leg Newtonian light-time (day) RG Range; distance from coordinate center (au) RR Range-rate; radial velocity wrt coord. center (au/day) Geometric states/elements have no aberrations applied. Computations by ... Solar System Dynamics Group, Horizons On-Line Ephemeris System 4800 Oak Grove Drive, Jet Propulsion Laboratory Pasadena, CA 91109 USA Information: http://ssd.jpl.nasa.gov/ Connect: telnet://ssd.jpl.nasa.gov:6775 (via browser) http://ssd.jpl.nasa.gov/?horizons telnet ssd.jpl.nasa.gov 6775 (via command-line) Author: [email protected] *******************************************************************************

6. 38 попугаев и одно попугайское крылышко

Все это конечно очень хорошо, но мы не задали начальные условия для Солнца. «Зачем?» - спросил бы меня какой-нибудь лингвист. А я бы ответил, что Солнце отнюдь не неподвижно, а тоже вращается по своей орбите вокруг центра масс Солнечной системы. В этом можно убедится, взглянув на данные NASA для Солнца

$$SOE 2458327.347916670 = A.D. 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 6.520050993518213E+04 Y = 1.049687363172734E+06 Z =-1.304404963058507E+04 VX=-1.265326939350981E-02 VY= 5.853475278436883E-03 VZ= 3.136673455633667E-04 LT= 3.508397935601254E+00 RG= 1.051791240756026E+06 RR= 5.053500842402456E-03 $$EOE
Взглянув на параметр RG мы увидим, что Солнце вращается вокруг барицентра Солнечной системы, и на 27.07.2018 центр звезды находится от него на расстоянии в миллион километров. Радиус Солнца, для справки - 696 тысяч километров. То есть барицентр Солнечной системы лежит в полумиллионе километров от поверхности светила. Почему? Да потому что все остальные тела, взаимодействующие с Солнцем так же сообщают ему ускорение, главным образом, конечно тяжеленький Юпитер. Соответственно у Солнца тоже есть своя орбита.

Мы конечно можем выбрать эти данные в качестве начальных условий, но нет - мы же решаем модельную задачу трех тел, и Юпитер и прочие персонажи в неё не входят. Так что в ущерб реализму, зная положение и скорости Земли и Луны мы пересчитаем начальные условия для Солнца, так, чтобы центр масс системы Солнце - Земля - Луна находился в начале координат. Для центра масс нашей механической системы справедливо уравнение

Поместим центр масс в начало координат, то есть зададимся , тогда

откуда

Перейдем к безразмерным координатам и параметрам, выбрав

Дифференцируя (6) по времени и переходя к безразмерному времени получаем и соотношение для скоростей

где

Теперь напишем программу, которая сформирует начальные условия в выбранных нами «попугаях». На чем будем писать? Конечно же на Питоне! Ведь, как известно, это самый лучший язык для математического моделирования.

Однако, если уйти от сарказма, то мы действительно попробуем для этой цели питон, а почему нет? Я обязательно приведу ссылку на весь код в моем профиле Github .

Расчет начальных условий для системы Луна - Земля - Солнце

# # Исходные данные задачи # # Гравитационная постоянная G = 6.67e-11 # Массы тел (Луна, Земля, Солнце) m = # Расчитываем гравитационные параметры тел mu = print("Гравитационные параметры тел") for i, mass in enumerate(m): mu.append(G * mass) print("mu[" + str(i) + "] = " + str(mu[i])) # Нормируем гравитационные параметры к Солнцу kappa = print("Нормированные гравитационные параметры") for i, gp in enumerate(mu): kappa.append(gp / mu) print("xi[" + str(i) + "] = " + str(kappa[i])) print("\n") # Астрономическая единица a = 1.495978707e11 import math # Масштаб безразмерного времени, c T = 2 * math.pi * a * math.sqrt(a / mu) print("Масштаб времени T = " + str(T) + "\n") # Координаты NASA для Луны xL = 5.771034756256845E-01 yL = -8.321193799697072E-01 zL = -4.855790760378579E-05 import numpy as np xi_10 = np.array() print("Начальное положение Луны, а.е.: " + str(xi_10)) # Координаты NASA для Земли xE = 5.755663665315949E-01 yE = -8.298818915224488E-01 zE = -5.366994499016168E-05 xi_20 = np.array() print("Начальное положение Земли, а.е.: " + str(xi_20)) # Расчитываем начальное положение Солнца, полагая что начало координат - в центре масс всей системы xi_30 = - kappa * xi_10 - kappa * xi_20 print("Начальное положение Солнца, а.е.: " + str(xi_30)) # Вводим константы для вычисления безразмерных скоростей Td = 86400.0 u = math.sqrt(mu / a) / 2 / math.pi print("\n") # Начальная скорость Луны vxL = 1.434571674368357E-02 vyL = 9.997686898668805E-03 vzL = -5.149408819470315E-05 vL0 = np.array() uL0 = np.array() for i, v in enumerate(vL0): vL0[i] = v * a / Td uL0[i] = vL0[i] / u print("Начальная скорость Луны, м/с: " + str(vL0)) print(" -//- безразмерная: " + str(uL0)) # Начальная скорость Земли vxE = 1.388633512282171E-02 vyE = 9.678934168415631E-03 vzE = 3.429889230737491E-07 vE0 = np.array() uE0 = np.array() for i, v in enumerate(vE0): vE0[i] = v * a / Td uE0[i] = vE0[i] / u print("Начальная скорость Земли, м/с: " + str(vE0)) print(" -//- безразмерная: " + str(uE0)) # Начальная скорость Солнца vS0 = - kappa * vL0 - kappa * vE0 uS0 = - kappa * uL0 - kappa * uE0 print("Начальная скорость Солнца, м/с: " + str(vS0)) print(" -//- безразмерная: " + str(uS0))

Гравитационные параметры тел mu = 4901783000000.0 mu = 386326400000000.0 mu = 1.326663e+20 Нормированные гравитационные параметры xi = 3.6948215183509304e-08 xi = 2.912016088486677e-06 xi = 1.0 Масштаб времени T = 31563683.35432583 Начальное положение Луны, а.е.: [ 5.77103476e-01 -8.32119380e-01 -4.85579076e-05] Начальное положение Земли, а.е.: [ 5.75566367e-01 -8.29881892e-01 -5.36699450e-05] Начальное положение Солнца, а.е.: [-1.69738146e-06 2.44737475e-06 1.58081871e-10] Начальная скорость Луны, м/с: -//- безразмерная: [ 5.24078311 3.65235907 -0.01881184] Начальная скорость Земли, м/с: -//- безразмерная: Начальная скорость Солнца, м/с: [-7.09330769e-02 -4.94410725e-02 1.56493465e-06] -//- безразмерная: [-1.49661835e-05 -1.04315813e-05 3.30185861e-10]

7. Интегрирование уравнений движения и анализ результатов

Интегрирования уравнений движения в задаче трех тел

# # Вычисление векторов обобщенных ускорений # def calcAccels(xi): k = 4 * math.pi ** 2 xi12 = xi - xi xi13 = xi - xi xi23 = xi - xi s12 = math.sqrt(np.dot(xi12, xi12)) s13 = math.sqrt(np.dot(xi13, xi13)) s23 = math.sqrt(np.dot(xi23, xi23)) a1 = (k * kappa / s12 ** 3) * xi12 + (k * kappa / s13 ** 3) * xi13 a2 = -(k * kappa / s12 ** 3) * xi12 + (k * kappa / s23 ** 3) * xi23 a3 = -(k * kappa / s13 ** 3) * xi13 - (k * kappa / s23 ** 3) * xi23 return # # Система уравнений в нормальной форме Коши # def f(t, y): n = 9 dydt = np.zeros((2 * n)) for i in range(0, n): dydt[i] = y xi1 = np.array(y) xi2 = np.array(y) xi3 = np.array(y) accels = calcAccels() i = n for accel in accels: for a in accel: dydt[i] = a i = i + 1 return dydt # Начальные условия задачи Коши y0 = # # Интегрируем уравнения движения # # Начальное время t_begin = 0 # Конечное время t_end = 30.7 * Td / T; # Интересующее нас число точек траектории N_plots = 1000 # Шаг времени между точкими step = (t_end - t_begin) / N_plots import scipy.integrate as spi solver = spi.ode(f) solver.set_integrator("vode", nsteps=50000, method="bdf", max_step=1e-6, rtol=1e-12) solver.set_initial_value(y0, t_begin) ts = ys = i = 0 while solver.successful() and solver.t <= t_end: solver.integrate(solver.t + step) ts.append(solver.t) ys.append(solver.y) print(ts[i], ys[i]) i = i + 1

Во-первых, таки не окружность - заметно смещение проекции траектории от начала координат вправо и вниз. Во-вторых - ничего не замечаете? Не, ну правда?

Можно сделать вывод, что солнечная гравитация влияет на орбиту Луны достаточно существенно - старушка не ходит по небу дважды одним и тем же путём. Картинка за полгода движения позволяет (по крайней мере качественно) убедится в этом (картинка кликабельна)

Интересно? Ещё бы. Астрономия вообще наука занятная.

Постскриптум

Я люблю механику. Всё то хорошее, чего я добился в своей жизни и карьере произошло благодаря этой науке и моим замечательным учителям. Я уважаю механику.

Поэтому, я никогда не позволю издеваться над этой наукой и нагло эксплуатировать её в своих целях никому, будь он хоть трижды доктор наук и четырежды лингвист, и разработал хоть миллион учебных программ. Я искренне считаю, что написание статей на популярном публичном ресурсе должно предусматривать их тщательную вычитку, нормальное оформление (формулы LaTeX - это не блажь разработчиков ресурса!) и отсутствие ошибок, приводящих к результатам нарушающим законы природы. Последнее вообще «маст хэв».

Я часто говорю своим студентам: «компьютер освобождает ваши руки, но это не значит, что при этом нужно отключать и мозг».

Ценить и уважать механику я призываю и вас, мои уважаемые читатели. Охотно отвечу на любые вопросы, а исходный текст примера решения задачи трех тел на языке Python, как и обещал, Добавить метки

ЛИБРАЦИЯ ЛУНЫ: Луна совершает полный оборот вокруг Земли за 27,32166 суток. Точно за такое же время она совершает и оборот вокруг собственной оси. Это не случайное совпадение, а связано с влиянием Земли на свой спутник. Поскольку период обращения Луны вокруг своей оси и вокруг Земли одинаков, Луна должна быть обращена к Земле всегда одной стороной. Однако во вращении Луны и ее движении вокруг Земли существуют некоторые неточности.

Вращение Луны вокруг оси происходит весьма равномерно, но вот скорость обращения ее вокруг нашей планеты меняется в зависимости от расстояния до Земли. Минимальное расстояние от Луны до Земли 354 тыс. км, максимальное – 406 тыс. км. Точка лунной орбиты, ближайшая к Земле, называется перигеем от «пери» (peri) – вокруг, около, (возле и «re» (ge) – земля], точка максимального удаления – апогеем [от греч. «апо» (аро) – сверху, над и «re». На более близких расстояниях от Земли скорость движения Луны по орбите увеличивается, поэтому ее вращение вокруг своей оси несколько «отстает». В результате для нас становится видимой небольшая часть обратной стороны Луны, восточного ее края. На второй половине своей околоземной орбиты Луна замедляет свое движение, в результате чего она немного «спешит» с поворотом вокруг своей оси, и мы можем увидеть небольшую часть ее другого полушария с западного края. Человеку, который наблюдает за Луной в телескоп из ночи в ночь, кажется, что она медленно колеблется вокруг своей оси, сначала в течение двух недель в восточном направлении, а затем столько же – в западном. (Правда, такие наблюдения практически затруднены тем, что обычно часть поверхности Луны затеняется Землей. – Ред.) Рычажные весы тоже некоторое время колеблются около положения равновесия. По-латыни весы – «либра» (libra), поэтому кажущиеся колебания Луны, обусловленные неравномерностью ее движения по орбите вокруг Земли при равномерности вращения вокруг своей оси, называют либрацией Луны. Либрации Луны происходят не только в направлении восток-запад, но и в направлении север – юг, так как ось вращения Луны наклонена к плоскости ее орбиты. Тогда наблюдатель видит небольшой участок обратной стороны Луны в районах ее северного и южного полюсов. Благодаря обоим видам либрации с Земли можно видеть (не одновременно) почти 59 % поверхности Луны.

ГАЛАКТИКА

Солнце – одна из многих сотен миллиардов звезд, собранных в гигантское скопление, имеющее линзообразную форму. Диаметр этого скопления примерно втрое больше его толщины. Наша Солнечная система находится во внешнем тонком его крае. Звезды похожи на отдельные светлые точки, рассыпанные в окружающей темноте далекого космоса. Но если мы посмотрим вдоль диаметра линзы собранного скопления, то увидим неисчислимое количество других звездных скоплений, которые образуют мерцающую мягким светом ленту, протянувшуюся через весь небосвод.

Древние греки считали, что эта «дорожка» на небе образована каплями пролившегося молока, и назвали ее галактикой. «Галактикос» (galakticos) погречески млечный от «галактос» (galaktos), что означает молоко. Древние римляне называли ее «виа лактеа», что дословно означает Млечный Путь. Как только начались регулярные исследования с помощью телескопа, среди далеких звезд были обнаружены туманные скопления. Английские астрономы отец и сын Гершели, а также французский астроном Шарль Мессье были одними из первых, кто обнаружил эти объекты. Их назвали небулами от латинского «нэбуля» (nebula) туман. Это латинское слово было заимствовано из греческого языка В греческом «нефеле» (nephele) тоже означало облако, туман а богиню туч именовали Нефёла. Многие из обнаруженных туманностей оказались пылевыми облаками, которые закрывали некоторые участки нашей Галактики, не пропуская от них свет.

При наблюдении они походили на черные объекты. Но многие «облака» расположены далеко за пределами Галактики и представляют собой скопления звезд, такие же большие, как и наш собственный космический «дом». Малыми они кажутся только из-за гигантских расстояний, которые разделяют нас. Самой ближней к нам галактикой является знаменитая туманность Андромеды. Такие далекие звездные скопления называют еще экстрагалактическими туманностями «экстра» (extra) по латыни означает приставку «вне», «сверх». Чтобы отличать их от относительно небольших по размеру пылевых образований внутри нашей Галактики. Существуют сотни миллиардов таких экстрагалактических туманностей – галактик, поскольку теперь говорят о галактиках во множественном числе. Более того: поскольку галактики сами образуют скопления в космическом пространстве, то говорят о галактиках галактик.

ИНФЛЮЭНЦА

Древние считали, что звезды оказывают влияние на судьбы людей, поэтому была даже целая наука, которая занималась определением того, как они это делают. Речь идет, конечно, об астрологии, название которой происходит от греческих слов «астер» (aster) – звезда и «логос» (logos) – слово. Другими словами, астролог – «говорящий о звездах». Обычно «-логия» служит непременной составляющей в названиях многих наук, однако астрологи настолько дискредитировали свою «науку», что для истинной науки о звездах пришлось подыскать другой термин: астрономия. Греческое слово «немейн» (nemein) означает распорядок, закономерность. Поэтому астрономия – наука, «упорядочивающая» звезды, исследующая законы их движения, возникновения и угасания. Астрологи считали, что звезды излучают загадочную силу, которая, стекая на Землю, управляет судьбами людей. По-латыни вливаться, стекать, проникать – «инфлюэре» (influere), это слово употребляли, когда хотели сказать, что звездная сила «вливается» в человека. В те дни истинных причин болезней не знали, и вполне естественно было услышать от врача, что и посетивший человека недуг – следствие влияния звезд. Поэтому одну из самых распространенных болезней, которая сегодня нам известна как грипп, назвали инфлюэнцей (дословно – влиянием). Это название родилось в Италии (ит. influenca).

Итальянцы обратили внимание на связь между малярией и болотами, но просмотрели комара. Для них он был всего лишь мелким досаждающим насекомым; реальную причину они видели в миазмах плохого воздуха над болотами (он несомненно был «тяжелым» из-за повышенной влажности и выделяемых распадающимися растениями газов). Итальянское слово для определения чего-то плохого – «мала» (mala), поэтому плохой, тяжелый воздух (aria) они называли «малариа» (malaria), что стало со временем общепринятым научным названием всем известной болезни. Сегодня по-русски никто, конечно, не назовет грипп инфлюэнцей, хотя поанглийски он так и называется, правда, в разговорной речи чаще всего сократившись до коротенького «флу» (flu).

Перигелий

Древние греки считали, что небесные тела движутся по орбитам, которые представляют собой идеальные окружности, потому как окружность – идеальная замкнутая кривая, а сами небесные тела совершенны. Латинское слово «орбита» (orbita) значит колея, дорога, но образовано оно от «орбис» (orbis) – круг.

Однако в 1609 г. немецкий астроном Иоганн Кеплер доказал, что каждая планета движется вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. А если Солнце находится не в центре окружности, то планеты в некоторых точках своей орбиты приближаются к нему больше, чем в других. Ближайшая к Солнцу точка орбиты небесного тела, обращающегося вокруг него, называется перигелием.

В греческом языке «пери-» (peri-) – часть сложных слов, означающая около, вокруг, а «гелиос» (hellos) – Солнце, так что перигелий можно перевести как «вблизи Солнца». Подобным образом точку наибольшего удаления небесного тела от Солнца греки стали называть «апгелиос» (арheliqs). Приставка «апо» (аро) означает вдали, от, поэтому это слово можно перевести как «вдали от Солнца». В русской передаче слово «апгелиос» превратилось в афелий: латинские буквы р и h рядом читаются как «ф». Эллиптическая орбита Земли близка к идеальной окружности (здесь греки были правы), поэтому у Земли разница между перигелием и афелием составляет всего 3 %. Термины для небесных тел, описывающих орбиты вокруг других небесных тел, были образованы аналогичным образом. Так, Луна обращается вокруг Земли по эллиптической орбите, при этом Земля находится в одном из ее фокусов. Точку наибольшего приближения Луны к Земле назвали перигеем «re», (ge) по-гречески Земля, а точку наибольшего удаления от Земли – апогеем. Астрономам известны двойные звезды. В этом случае две звезды обращаются по эллиптическим орбитам вокруг общего центра масс под действием сил тяготения, причем, чем больше масса звезды-спутника, тем меньше эллипс. Точка наибольшего сближения обращающейся звезды с главной звездой называется периастром, а точка наибольшего удаления – апоастром от греч. «астрон» (astron) – звезда.

Планета - определение

Еще в далекой древности человек не мог не заметить, что звезды занимают постоянное положение на небе. Они двигались только группой и совершали лишь небольшие перемещения вокруг некой точки на северном небосклоне. Это было очень далеко от точек восхода и заката, где появлялись и исчезали Солнце и Луна.

Каждую ночь происходило неприметное смещение всей картины звездного неба. Каждая звезда всходила на 4 минуты раньше и на 4 минуты раньше по сравнению с предыдущей ночью заходила, поэтому на западе звезды постепенно уходили с горизонта, а на востоке появлялись новые. Через год круг замыкался, и картина восстанавливалась. Однако на небе наблюдалось пять похожих на звезды объектов, которые светились столь же ярко, а то и ярче, чем звезды, но не подчинялись общему распорядку. Один из таких объектов сегодня мог располагаться между двумя звездами, а завтра сместиться, еще через ночь смещение было еще большим и т.д. Три таких объекта (мы называем их Марс, Юпитер и Сатурн) тоже совершали полный круг на небесах, но довольно сложным путем. А два других (Меркурий и Венера) не отходили слишком далеко от Солнца. Другими словами, эти объекты «бродили» между звездами.

Греки называли своих бродяг «планэтэс» (planetes), вот и этих небесных бродяг они назвали планетами. В средние века к планетам причисляли Солнце и Луну. Но к XVII в. астрономы уже осознали тот факт, что Солнце является центром Солнечной системы, поэтому планетами стали называть небесные тела, которые обращаются вокруг Солнца. Солнце потеряло статус планеты, а Земля, наоборот, приобрела его. Луна тоже перестала быть планетой, потому что она вращается вокруг Земли и только вместе с Землей обходит Солнце.

Земля и Луна находятся в непрерывном вращении вокруг собственной оси и вокруг Солнца. Луна, кроме того, обращается вокруг нашей планеты. В связи с этим мы можем наблюдать на небе многочисленные явления, связанные с небесными телами.

Ближайшее космическое тело

Луна – это естественный спутник Земли. Ее мы видим как светящийся шар на небосклоне, хотя сама по себе она не излучает свет, а только отражает его. Источником света является Солнце, сияние которого освещает лунную поверхность.

Каждый раз можно увидеть на небе разную Луну, разные ее фазы. Это прямой результат вращения Луны вокруг Земли, которая, в свою очередь, обращается вокруг Солнца.

Исследование Луны

За Луной наблюдали многие ученые и астрономы долгие века, но по-настоящему, так сказать «вживую», изучение спутника Земли началось в 1959 году. Тогда советская межпланетная автоматическая станция "Луна-2" достигла этого небесного светила. Тогда этот аппарат не имел возможности перемещаться по поверхности Луны, а только мог фиксировать с помощью приборов некоторые данные. Результатом стало прямое измерение солнечного ветра – потока ионизированных частиц, исходящих от Солнца. Тогда на Луну был доставлен сферический вымпел с изображением герба Советского Союза.

Космический аппарат "Луна-3", запущенный чуть позднее, сделал из космоса первую фотографию обратной стороны Луны, которая не видна с Земли. Спустя несколько лет, в 1966 году, на земном спутнике высадилась еще одна автоматическая станция под названием "Луна-9". Она смогла совершить мягкую посадку и передать на Землю телепанорамы. Земляне впервые увидели телесеанс напрямую с Луны. До запуска этой станции было несколько неудачных попыток именно мягкого «прилунения». С помощью исследований, проведенных посредством этого аппарата, подтвердилась метеорно-шлаковая теория о наружном строении спутника Земли.

Путешествие с Земли на Луну осуществили американцы. Первыми людьми, побывавшими на Луне, посчастливилось стать Армстронгу и Олдрину. Это событие произошло в 1969 году. Советские же ученые пожелали исследовать небесное светило только с помощью автоматики, использовали луноходы.

Характеристики Луны

Среднее расстояние между Луной и Землей составляет 384 тысячи километров. Когда спутник находится ближе всего к нашей планете, эта точка называется Перигей, удаленность составляет 363 тысячи километров. А когда между Землей и Луной максимальное расстояние (это состояние называется апогей), оно составляет 405 тысяч километров.

Орбита Земли имеет наклон по отношению к орбите своего естественного спутника – 5 градусов.

Луна перемещается по своей орбите вокруг нашей планеты со средней скоростью 1,022 километра в секунду. А за час она пролетает приблизительно 3681 километр.

Радиус Луны, в отличие от Земли (6356), составляет приблизительно 1737 километров. Это среднее значение, так как в разных точках на поверхности он может варьироваться. Например, на лунном экваторе радиус чуть больше среднего – 1738 километров. А в районе полюса он чуть меньше – 1735. Луна тоже является скорей эллипсоидом, чем шаром, как будто ее немного «сплющили». Та же самая особенность есть и у нашей Земли. Форма нашей родной планеты получила название «геоид». Она является прямым следствием вращения вокруг оси.

Масса Луны в килограммах - приблизительно 7,3*1022, Земля весит в 81 раз больше.

Фазы Луны

Фазы Луны – это различные положения спутника Земли относительно Солнца. Первой фазой является новолуние. Затем идет первая четверть. После нее наступает полнолуние. А затем последняя четверть. Линия, отделяющая освещенную часть спутника от темной, называется терминатором.

Новолуние – это фаза, когда спутник Земли на небе не наблюдается. Луны не видно потому, что она находится ближе к Солнцу, чем наша планета, и соответственно, ее сторона, обращенная к нам, не освещается.

Первая четверть – видна половина небесного светила, звезда озаряет только ее правую часть. Между новолунием и полнолунием Луна «растет». Именно в это время мы видим сияющий серп на небе и называем его «растущим месяцем».

Полнолуние – Луна видна как светлый круг, который озаряет все своим серебряным светом. Свет небесного светила в это время может быть очень ярким.

Последняя четверть – спутник Земли виден лишь частично. В этой фазе Луну называют «старой» или «убывающей», потому что освещается лишь левая ее половина.

Отличить растущий месяц от убывающей Луны можно легко. Когда луна идет на убыль она напоминает букву «С». А когда она растет, если приставить палочку к месяцу, то получится буква «Р».

Вращение

Так как Луна и Земля находятся достаточно близко друг к другу, они образуют единую систему. Наша планета значительно больше, чем ее спутник, поэтому она влияет на него своей силой притяжения. Луна обращена к нам одном стороной все время, поэтому до космических полетов в ХХ веке обратную сторону никто не видел. Это происходит потому, что Луна и Земля вращаются вокруг своей оси в одном и том же направлении. А оборот спутника вокруг своей оси длится то же самое время, что и оборот вокруг планеты. Кроме того, вместе они делают оборот вокруг Солнца, который длится 365 дней.

Но при этом сказать, в какую сторону вращается Земля и Луна, невозможно. Казалось бы, это простой вопрос, либо по часовой стрелке, либо против, но ответ может зависеть только от точки отсчета. Плоскость, на которой находится орбита Луны, немного наклонена по отношению к таковой у Земли, угол наклона составляет примерно 5 градусов. Точки, где орбиты нашей планеты и ее спутника пересекаются, называются узлы лунной орбиты.

Сидерический месяц и Синодический

Сидерический или звездный месяц – это тот промежуток времени, за который Луна обращается вокруг Земли, возвращаясь в то же самое место, откуда она начала движение, относительно звезд. Длится этот месяц 27,3 суток, протекающих на планете.

Синодический месяц – промежуток, за который Луна делает полный оборот, только относительно Солнца (время, за которое происходит смена лунных фаз). Длится 29,5 земных суток.

Синодический месяц длиннее сидерического на двое суток из-за вращения вокруг Солнца Луны и Земли. Так как спутник вращается вокруг планеты, а та, в свою очередь, вращается вокруг звезды, то получается, что для того, чтобы спутник прошел все свои фазы, нужно дополнительное время сверх полного оборота.