Основные определения.
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называетсячисловым рядом .
При
этом числа
будем называть членами ряда, аu
n
– общим членом ряда.
Определение.
Суммы
,n
= 1, 2, …
называются частными
(частичными) суммами
ряда.
Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S 1 , S 2 , …, S n , …
Определение.
Ряд
называетсясходящимся
,
если сходится последовательность его
частных сумм. Сумма
сходящегося ряда
– предел последовательности его частных
сумм.
Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.
Свойства рядов.
1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.
2)
Рассмотрим два ряда
и
,
где С – постоянное число.
Теорема.
Если ряд
сходится
и его сумма равна
S
,
то ряд
тоже
сходится, и его сумма равна С
S
.
(C
0)
3)
Рассмотрим два ряда
и
.Суммой
или разностью
этих рядов будет называться ряд
,
где элементы получены в результате
сложения (вычитания) исходных элементов
с одинаковыми номерами.
Теорема.
Если ряды
и
сходятся
и их суммы равны соответственно
S
и
,
то ряд
тоже сходится и его сумма равна
S
+
.
Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.
Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.
О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.
При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.
Критерий Коши.
(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)
Для
того, чтобы последовательность
была
сходящейся, необходимо и достаточно,
чтобы для любого
существовал такой номер
N
,
что при
n
>
N
и любом
p
> 0, где р – целое число, выполнялось
бы неравенство:
.
Доказательство. (необходимость)
Пусть
,
тогда для любого числа
найдется
номер N
такой, что неравенство
выполняется
при n>N.
При n>N
и любом целом p>0
выполняется также неравенство
.
Учитывая оба неравенства, получаем:
Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.
Сформулируем критерий Коши для ряда.
Для
того, чтобы ряд
был
сходящимся необходимо и достаточно,
чтобы для любого
существовал номер
N
такой, что при
n
>
N
и любом
p
>0
выполнялось бы неравенство
.
Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:
1)
Если ряд
сходится,
то необходимо, чтобы общий член u
n
стремился к нулю. Однако, это условие
не является достаточным. Можно говорить
только о том, что если общий член не
стремится к нулю, то ряд точно расходится.
Например, так называемый гармонический
ряд
является расходящимся, хотя его общий
член и стремится к нулю.
Пример.
Исследовать сходимость ряда
Найдем
- необходимый признак сходимости не
выполняется, значит ряд расходится.
2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.
Однако, этот признак также не является достаточным.
Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что
Однако,
при этом последовательность частных
сумм ограничена, т.к.
при любомn
.
Ряды с неотрицательными членами.
При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.
Теорема.
Для сходимости
ряда
с
неотрицательными членами необходимо
и достаточно, чтобы частные суммы ряда
были ограничены
.
Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
Пусть
даны два ряда
и
приu
n
,
v
n
0
.
Теорема.
Если u
n
v
n
при любом n
,
то из сходимости ряда
следует
сходимость ряда
,
а из расходимости ряда
следует
расходимость ряда
.
Доказательство.
Обозначим через S
n
и
n
частные суммы рядов
и
.
Т.к. по условию теоремы ряд
сходится,
то его частные суммы ограничены, т.е.
при всехn
n
M,
где М – некоторое число. Но т.к. u
n
v
n
,
то S
n
n
то частные суммы ряда
тоже
ограничены, а этого достаточно для
сходимости.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
Т.к.
,
а гармонический ряд
расходится, то расходится и ряд
.
Пример.
Т.к.
,
а ряд
сходится (как убывающая геометрическая
прогрессия), то ряд
тоже сходится.
Также используется следующий признак сходимости:
Теорема.
Если
и существует предел
,
где
h
– число, отличное от нуля, то ряды
и
ведут
одинаково в смысле сходимости.
Признак Даламбера.
(Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французский математик)
Если
для ряда
с положительными членами существует
такое число
q
<1,
что для всех достаточно больших
n
выполняется неравенство
то
ряд
сходится, если же для всех достаточно
больших
n
выполняется условие
то
ряд
расходится.
Предельный признак Даламбера.
Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера.
Если
существует предел
,
то при
< 1 ряд сходится, а при
> 1 – расходится. Если
= 1, то на вопрос о сходимости ответить
нельзя.
Пример.
Определить сходимость ряда
.
Вывод: ряд сходится.
Пример.
Определить сходимость ряда
Вывод: ряд сходится.
Признак Коши. (радикальный признак)
Если
для ряда
с
неотрицательными членами существует
такое число
q
<1,
что для всех достаточно больших
n
выполняется неравенство
,
то
ряд
сходится,
если же для всех достаточно больших
n
выполняется неравенство
то
ряд
расходится.
Следствие.
Если существует предел
,
то при<1
ряд сходится, а при >1
ряд расходится.
Пример.
Определить сходимость ряда
.
Вывод: ряд сходится.
Пример.
Определить сходимость ряда
.
Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю.
,
таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.
Интегральный признак Коши.
Если
(х)
– непрерывная положительная функция,
убывающая на промежутке
и
то интегралы
и
ведут себя одинаково в смысле сходимости.
Знакопеременные ряды.
Знакочередующиеся ряды.
Знакочередующийся ряд можно записать в виде:
где
Признак Лейбница.
Если
у знакочередующегося ряда
абсолютные величины
u
i
убывают
и общий член стремится к нулю
,
то ряд сходится.
Абсолютная и условная сходимость рядов.
Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).
(1)
и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):
(2)
Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого >0 существует число N, такое, что при n>N и любом целом p>0 верно неравенство:
По свойству абсолютных величин:
То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
Определение.
Ряд
называетсяабсолютно
сходящимся
,
если сходится ряд
.
Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.
Определение.
Ряд
называетсяусловно
сходящимся
,
если он сходится, а ряд
расходится.
Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
Пусть
-
знакопеременный ряд.
Признак
Даламбера.
Если существует предел
,
то при<1
ряд
будет абсолютно сходящимся, а при>
Признак
Коши.
Если
существует предел
,
то при<1
ряд
будет абсолютно сходящимся, а при>1
ряд будет расходящимся. При =1
признак не дает ответа о сходимости
ряда.
Свойства абсолютно сходящихся рядов.
1)
Теорема.
Для абсолютной
сходимости ряда
необходимо
и достаточно, чтобы его можно было
представить в виде разности двух
сходящихся рядов с неотрицательными
членами
.
Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами.
2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда.
3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.
Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.
4) Теорема. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда .
5)
Если ряды
и
сходятся абсолютно и их суммы равны
соответственноS
и ,
то ряд, составленный из всех произведений
вида
взятых в каком угодно порядке, также
сходится абсолютно и его сумма равнаS
- произведению сумм перемножаемых рядов.
Если же производить перемножение условно сходящихся рядов, то в результате можно получить расходящийся ряд.
Функциональные последовательности.
Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х , то ряд называется функциональным .
Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х , при которых ряд сходится.
Совокупность таких значений называется областью сходимости .
Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:
Определение. Последовательность {f n (x ) } сходится к функции f (x ) на отрезке , если для любого числа >0 и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N = N(, x), такой, что неравенство
выполняется при n>N.
При выбранном значении >0 каждой точке отрезка соответствует свой номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка , будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка , т.е. будет общим для всех точек.
Определение. Последовательность {f n (x ) } равномерно сходится к функции f (x ) на отрезке , если для любого числа >0 существует номер N = N(), такой, что неравенство
выполняется при n>N для всех точек отрезка .
Пример.
Рассмотрим последовательность
Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f (x )=0 , т.к.
Построим графики этой последовательности:
sinx
Как видно, при увеличении числа n график последовательности приближается к оси х .
Функциональные ряды.
Определение.
Частными
(частичными) суммами
функционального ряда
называются функции
Определение.
Функциональный ряд
называетсясходящимся
в точке (х=х
0
),
если в этой точке сходится последовательность
его частных сумм. Предел последовательности
называетсясуммой
ряда
в точкех
0
.
Определение.
Совокупность всех значений х
,
для которых сходится ряд
называетсяобластью
сходимости
ряда.
Определение.
Ряд
называетсяравномерно
сходящимся
на отрезке ,
если равномерно сходится на этом отрезке
последовательность частных сумм этого
ряда.
Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)
Для
равномерной сходимости ряда
необходимо
и достаточно, чтобы для любого числа
>0
существовал такой номер
N
(
),
что при
n
>
N
и любом целом
p
>0
неравенство
выполнялось бы для всех х на отрезке [ a , b ].
Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)
(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)
Ряд
сходится
равномерно и притом абсолютно на отрезке
[
a
,
b
],
если модули его членов на том же отрезке
не превосходят соответствующих членов
сходящегося числового ряда с положительными
членами:
т.е. имеет место неравенство:
.
Еще
говорят, что в этом случае функциональный
ряд
мажорируется
числовым
рядом
.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
.
Так
как
всегда, то очевидно, что
.
При
этом известно, что общегармонический
ряд
при=3>1
сходится, то в соответствии с признаком
Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно
сходится и притом в любом интервале.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
.
На
отрезке [-1,1] выполняется неравенство
т.е. по признаку Вейерштрасса на этом
отрезке исследуемый ряд сходится, а на
интервалах (-,
-1)
(1, )
расходится.
Свойства равномерно сходящихся рядов.
1) Теорема о непрерывности суммы ряда.
Если
члены ряда
- непрерывные на отрезке [
a
,
b
]
функции и ряд сходится равномерно, то
и его сумма
S
(x
)
есть непрерывная функция на отрезке
[
a
,
b
].
2) Теорема о почленном интегрировании ряда.
Равномерно сходящийся на отрезке [ a , b ] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [ a , b ] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку .
3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.
Если
члены ряда
сходящегося на отрезке [
a
,
b
]
представляют собой непрерывные функции,
имеющие непрерывные производные, и ряд,
составленный из этих производных
сходится
на этом отрезке равномерно, то и данный
ряд сходится равномерно и его можно
дифференцировать почленно.
На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х , можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.
На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.
Степенные ряды.
Определение. Степенным рядом называется ряд вида
.
Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
Применяем признак Даламбера:
.
Получаем,
что этот ряд сходится при
и
расходится при
.
Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.
При
х = 1:
ряд сходится по признаку Лейбница (см.
Признак
Лейбница.
).
При
х = -1:
ряд расходится (гармонический ряд).
Теоремы Абеля.
(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)
Теорема.
Если степенной
ряд
сходится при
x
=
x
1
, то он сходится и притом абсолютно для
всех
.
Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то
где k - некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:
Из
этого неравенства видно, что при x
<
x
1
численные величины членов нашего ряда
будут меньше (во всяком случае не больше) соответствующих членов ряда правой
части записанного выше неравенства,
которые образуют геометрическую
прогрессию. Знаменатель этой прогрессии
по условию теоремы меньше единицы,
следовательно, эта прогрессия представляет
собой сходящийся ряд.
Поэтому
на основании признака сравнения делаем
вывод, что ряд
сходится, а значит ряд
сходится абсолютно.
Таким
образом, если степенной ряд
сходится
в точкех
1
,
то он абсолютно сходится в любой точке
интервала длины 2
с центром в точкех
= 0.
Следствие.
Если при х =
х
1
ряд расходится, то он расходится для
всех
.
Таким
образом, для каждого степенного ряда
существует такое положительное число
R,
что при всех х
таких, что
ряд абсолютно сходится, а при всех
ряд
расходится. При этом числоR
называется радиусом
сходимости
.
Интервал (-R,
R)
называется интервалом
сходимости
.
Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.
Радиус сходимости может быть найден по формуле:
Пример.
Найти область сходимости ряда
Находим
радиус сходимости
.
Следовательно, данный ряд сходится прилюбом значении х . Общий член этого ряда стремится к нулю.
Теорема.
Если степенной ряд
сходится для положительного значениях=х
1
, то он сходится равномерно в любом
промежутке внутри
.
Действия со степенными рядами.
На практике часто не столь важно найти сумму ряда, как ответить на вопрос о сходимости ряда. Для этой цели используются признаки сходимости, основанные на свойствах общего члена ряда.
Необходимый признак сходимости ряда
ТЕОРЕМА 1
Если
ряд
сходится, то его общий член
стремится к нулю при
,
т.е.
.
Кратко : если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.
Доказательство.
Пусть ряд сходится и его сумма равна
.
Для любого
частичная сумма
.
Тогда .
Из
доказанного необходимого признака
сходимости вытекает достаточный
признак расходимости ряда:
если при
общий член ряда не стремится к нулю, то
ряд расходится.
Пример
4.
Для
этого ряда общий член
и
.
Следовательно, данный ряд расходится.
Пример
5.
Исследовать
на сходимость ряд
Очевидно,
что общий член этого ряда, вид которого
не указан ввиду громоздкости выражения,
стремится к нулю при
,
т.е. необходимый признак сходимости
ряда выполняется, однако этот ряд
расходится, так как его сумма
стремится к бесконечности.
Знакоположительные числовые ряды
Числовой ряд, все члены которого положительны, называется знакоположительным.
ТЕОРЕМА 2 (Критерий сходимости знакоположительного ряда)
Для сходимости знакоположительного ряда необходимо и достаточно, чтобы все его частичные суммы были ограничены сверху одним и тем же числом.
Доказательство.
Так как для любого
,
то,
т.е. последовательность
– монотонно возрастающая, поэтому для
существования предела необходимо и
достаточно ограничение последовательности
сверху каким-либо числом.
Эта теорема в большей степени имеет теоретическое, чем практическое значение. Далее приведены другие признаки сходимости, имеющие большее применение.
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
ТЕОРЕМА 3 (Первый признак сравнения)
Пусть даны два знакоположительных ряда:
(1)
(2)
причем,
начиная с некоторого номера
,
для любого
выполняется неравенство
Тогда:
Схематическая запись первого признака сравнения:
сход.сход.
расх.расх.
Доказательство.
1) Так как отбрасывание конечного числа
членов ряда не влияет на его сходимость,
докажем теорему для случая
.
Пусть для любого
имеем
, (3)
где
и
-
соответственно частичные суммы рядов
(1) и (2).
Если
ряд (2) сходится, то существует число
.
Поскольку
при этом последовательность
- возрастающая, ее предел больше любого
из ее членов, т.е.
для
любого
.
Отсюда
из неравенства (3) следует
.
Таким
образом, все частичные суммы ряда (1)
ограничены сверху числом
.
Согласно
теореме 2 этот ряд сходится.
2) Действительно, если бы ряд (2) сходился, то по признаку сравнения сходился бы и ряд (1).
Для применения этого признака часто используют такие ряды-эталоны, сходимость или расходимость которых известна заранее, например:
3)
-
ряд
Дирихле (он сходится при
и расходится при
).
Кроме этого часто используют ряды, которые можно получить с помощью следующих очевидных неравенств:
,
,
,
.
Рассмотрим на конкретных примерах схему исследования знакоположительного ряда на сходимость с помощью первого признака сравнения.
Пример
6.
Исследовать
ряд
на сходимость.
Шаг
1. Проверим знакоположительность ряда:
для
Шаг
2. Проверим выполнение необходимого
признака сходимости ряда:
.
Так как
,
то
(если вычисление предела вызывает трудности, то этот шаг можно пропустить).
Шаг
3. Используем первый признак сравнения.
Для этого подберем для данного ряда
ряд-эталон. Так как
,
то в качестве эталона можно взять ряд
,
т.е. ряд Дирихле. Этот ряд сходится, так
как показатель степени
.
Следовательно, согласно первому признаку
сравнения сходится и исследуемый ряд.
Пример
7.
Исследовать ряд
на сходимость.
1)
Данный ряд знакоположительный, так как
для
2) Необходимый признак сходимости ряда выполняется, ибо
3)
Подберем ряд-эталон. Так как
,
то в качестве эталона можно взять
геометрический ряд
.
Этот ряд сходится, следовательно,
сходится и исследуемый ряд.
ТЕОРЕМА 4 (Второй признак сравнения)
Если
для знакоположительных рядов
и
существует отличный от нуля конечный
предел
,
то
ряды
сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство.
Пусть ряд (2) сходится; докажем, что тогда
сходится и ряд (1). Выберем какое-нибудь
число
,
большее,
чем
.
Из
условия
вытекает
существование такого номера
,
что для всех
справедливо неравенство
,
или,
что то же,
(4)
Отбросив
в рядах (1) и (2) первые
членов (что не влияет на сходимость),
можно считать, что неравенство (4)
справедливо для всех
Но ряд с общим членом
сходится
в силу сходимости ряда (2). Согласно
первому признаку сравнения, из неравенства
(4) следует сходимость ряда (1).
Пусть теперь сходится ряд (1); докажем сходимость ряда (2). Для этого следует просто поменять ролями заданные ряды. Так как
то, по доказанному выше, из сходимости ряда (1) должна следовать сходимость ряда (2).
Если
при
(необходимый признак сходимости), то из
условия
,
следует, что
и
– бесконечно малые одного порядка
малости (эквивалентные при
).
Следовательно, если дан ряд
,
где
при
,
то для этого ряда можно брать ряд-эталон
,
где общий член
имеет тот же порядок малости, что и общий
член данного ряда.
При
выборе ряда-эталона можно пользоваться
следующей таблицей эквивалентных
бесконечно малых при
:
1)
; 4)
;
2)
; 5)
;
3)
; 6)
.
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд
.
для любого
.
Так
как
,
то возьмем в качестве ряда-эталона
гармонический расходящийся ряд
.
Поскольку предел отношения общих членов
и
конечен и отличен от нуля (он равен 1),
то на основании второго признака
сравнения данный ряд расходится.
Пример
9.
по двум признакам сравнения.
Данный
ряд знакоположительный, так как
,
и
.
Поскольку
,
то в качестве ряда-эталона можно брать
гармонический ряд
.
Этот ряд расходится и следовательно,
по первому признаку сравнения, исследуемый
ряд также расходится.
Так
как для данного ряда и ряда-эталона
выполняется условие
(здесь использован 1-й замечательный
предел), то на основании второго признака
сравнения ряд
– расходится.
ТЕОРЕМА 5 (Признак Даламбера)
существует конечный предел
,
то ряд сходится при
и расходится при
.
Доказательство.
Пусть
.
Возьмем какое-либо число
,
заключенное
между
и
1:
.
Из условия
следует,
что начиная с некоторого номера
выполняется
неравенство
;
;
(5)
Рассмотрим ряд
Согласно
(5) все члены ряда (6) не превосходят
соответствующих членов бесконечной
геометрической прогрессии
Поскольку
,
эта прогрессия является сходящейся.
Отсюда в силу первого признака сравнения
вытекает сходимость ряда
Случай
рассмотрите самостоятельно.
Замечания :
следует,
что остаток ряда
.
Признак Даламбера удобен на практике тогда, когда общий член ряда содержит показательную функцию или факториал.
Пример
10.
Исследовать на сходимость ряд
по признаку Даламбера.
Данный ряд знакоположительный и
.
(Здесь при вычислении дважды применено правило Лопиталя).
то по признаку Даламбера данный ряд сходится.
Пример
11.
.
Данный
ряд знакоположительный и
.
Поскольку
то данный ряд сходится.
ТЕОРЕМА 6 (Признак Коши)
Если
для знакоположительного ряда
существует
конечный предел
,
то при
ряд сходится, а при
ряд расходится.
Доказательство аналогично теореме 5.
Замечания :
Пример
12.
Исследовать
на сходимость ряд
.
Данный
ряд знакоположительный, так как
для любого
.
Поскольку вычисление предела
вызывает определенные трудности, то
проверку выполнимости необходимого
признака сходимости ряда опускаем.
то по признаку Коши данный ряд расходится.
ТЕОРЕМА 7 (Интегральный признак сходимости Маклорена - Коши)
Пусть дан ряд
члены которого положительны и не возрастают:
Пусть,
далее
-
функция, которая определена для всех
вещественных
,
непрерывна, не возрастает и
Ответ : ряд расходится.
Пример №3
Найти сумму ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:
$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac{2}{3\cdot 5}+\frac{2}{5\cdot 7}+\frac{2}{7\cdot 9}+\frac{2}{9\cdot 11}+\ldots+\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}. $$
Почему я пишу именно $\frac{2}{3\cdot 5}$, а не $\frac{2}{15}$, будет ясно из дальнейшего повествования. Однако запись частичной суммы ни на йоту не приблизила нас к цели. Нам ведь нужно найти $\lim_{n\to\infty}S_n$, но если мы просто запишем:
$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3\cdot 5}+\frac{2}{5\cdot 7}+\frac{2}{7\cdot 9}+\frac{2}{9\cdot 11}+\ldots+\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}\right), $$
то эта запись, совершенно верная по форме, ничего нам не даст по сути. Чтобы найти предел, выражение частичной суммы предварительно нужно упростить.
Для этого есть стандартное преобразование, состоящее в разложении дроби $\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$, которая представляет общий член ряда, на элементарные дроби. Вопросу разложения рациональных дробей на элементарные посвящена отдельная тема (см., например, пример №3 на этой странице). Раскладывая дробь $\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$ на элементарные дроби, будем иметь:
$$ \frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{A}{2n+1}+\frac{B}{2n+3}=\frac{A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)}. $$
Приравниваем числители дробей в левой и правой частях полученного равенства:
$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$
Чтобы найти значения $A$ и $B$ есть два пути. Можно раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые, а можно просто подставить вместо $n$ некие подходящие значения. Сугубо для разнообразия в этом примере пойдём первым путём, а следующем - будем подставлять частные значения $n$. Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получим:
$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$
В левой части равенства перед $n$ стоит ноль. Если угодно, левую часть равенства для наглядности можно представить как $0\cdot n+ 2$. Так как в левой части равенства перед $n$ стоит ноль, а в правой части равества перед $n$ стоит $2A+2B$, то имеем первое уравнение: $2A+2B=0$. Сразу разделим обе части этого уравнения на 2, получив после этого $A+B=0$.
Так как в левой части равенства свободный член равен 2, а в правой части равенства свободный член равен $3A+B$, то $3A+B=2$. Итак, имеем систему:
$$ \left\{\begin{aligned} & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end{aligned}\right. $$
Доказательство будем проводить методом математической индукции. На первом шаге нужно проверить, выполнено ли доказываемое равенство $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ при $n=1$. Мы знаем, что $S_1=u_1=\frac{2}{15}$, но даст ли выражение $\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ значение $\frac{2}{15}$, если подставить в него $n=1$? Проверим:
$$ \frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2\cdot 1+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15}. $$
Итак, при $n=1$ равенство $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ выполнено. На этом первый шаг метода математической индукции закончен.
Предположим, что при $n=k$ равенство выполнено, т.е. $S_k=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}$. Докажем, что это же равенство будет выполнено при $n=k+1$. Для этого рассмотрим $S_{k+1}$:
$$ S_{k+1}=S_k+u_{k+1}. $$
Так как $u_n=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$, то $u_{k+1}=\frac{1}{2(k+1)+1}-\frac{1}{2(k+1)+3}=\frac{1}{2k+3}-\frac{1}{2(k+1)+3}$. Согласно сделанному выше предположению $S_k=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}$, поэтому формула $S_{k+1}=S_k+u_{k+1}$ примет вид:
$$ S_{k+1}=S_k+u_{k+1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{2k+3}-\frac{1}{2(k+1)+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2(k+1)+3}. $$
Вывод: формула $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ верна при $n=k+1$. Следовательно, согласно методу математической индукции, формула $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ верна при любом $n\in N$. Равенство доказано.
В стандартном курсе высшей математики обычно довольствуются "вычёркиванием" сокращающихся слагаемых, не требуя никаких доказательств. Итак, мы получили выражение для n-й частичной суммы: $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$. Найдём значение $\lim_{n\to\infty}S_n$:
Вывод: заданный ряд сходится и сумма его $S=\frac{1}{3}$.
Второй способ упрощения формулы для частичной суммы.
Честно говоря, я сам предпочитаю именно этот способ:) Давайте запишем частичную сумму в сокращённом варианте:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)}. $$
Мы получили ранее, что $u_k=\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}$, поэтому:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right). $$
Сумма $S_n$ содержит конечное количество слагаемых, поэтому мы можем переставлять их так, как нам заблагорассудится. Я хочу сначала сложить все слагаемые вида $\frac{1}{2k+1}$, а уж затем переходить к слагаемым вида $\frac{1}{2k+3}$. Это означает, что частичную сумму мы представим в таком виде:
$$ S_n =\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\ldots+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}=\\ =\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{2n+1}-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{2n+3}\right). $$
Конечно, развёрнутая запись крайне неудобна, поэтому представленное выше равенство можно оформить более компактно:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}. $$
Теперь преобразуем выражения $\frac{1}{2k+1}$ и $\frac{1}{2k+3}$ к одному виду. Я полагаю удобным приводить к виду большей дроби (хотя можно и к меньшей, это дело вкуса). Так как $\frac{1}{2k+1}>\frac{1}{2k+3}$ (чем больше знаменатель, тем меньше дробь), то будем приводить дробь $\frac{1}{2k+3}$ к виду $\frac{1}{2k+1}$.
Выражение в знаменателе дроби $\frac{1}{2k+3}$ я представлю в таком виде:
$$ \frac{1}{2k+3}=\frac{1}{2k+2+1}=\frac{1}{2(k+1)+1}. $$
И сумму $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}$ теперь можно записать так:
$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$
Если равенство $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$ не вызывает вопросов, то пойдём далее. Если же вопросы есть, то прошу развернуть примечание.
Как мы получили преобразованную сумму? показать\скрыть
У нас был ряд $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}$. Давайте вместо $k+1$ введём новую переменную, - например, $t$. Итак, $t=k+1$.
Как изменялась старая переменная $k$? А изменялась она от 1 до $n$. Давайте выясним, как же будет изменяться новая переменная $t$. Если $k=1$, то $t=1+1=2$. Если же $k=n$, то $t=n+1$. Итак, выражение $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}$ теперь стало таким: $\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}$.
$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}. $$
У нас есть сумма $\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}$. Вопрос: а не всё ли равно, какую букву использовать в этой сумме? :) Банально записывая букву $k$ вместо $t$, получим следующее:
$$ \sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$
Вот так и получается равенство $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$.
Таким образом, частичную сумму можно представить в следующем виде:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$
Заметьте, что суммы $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}$ и $\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$ отличаются лишь пределами суммирования. Сделаем эти пределы одинаковыми. "Забирая" первый элемент из суммы $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}$ будем иметь:
$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{2\cdot 1+1}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}. $$
"Забирая" последний элемент из суммы $\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$, получим:
$$\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}=\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2(n+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}.$$
Тогда выражение для частичной суммы примет вид:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}\right)=\\ =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2n+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$
Если пропустить все пояснения, то процесс нахождения сокращённой формулы для n-й частичной суммы примет такой вид:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)} =\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)=\\ =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3} =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}\right)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$
Напомню, что мы приводили дробь $\frac{1}{2k+3}$ к виду $\frac{1}{2k+1}$. Разумеется, можно поступить и наоборот, т.е. представить дробь $\frac{1}{2k+1}$ в виде $\frac{1}{2k+3}$. Конечное выражение для частичной суммы не изменится. Процесс нахождения частичной суммы в этом случае я скрою под примечание.
Как найти $S_n$, если приводить к виду иной дроби? показать\скрыть
$$ S_n =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3} =\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2k+3}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\\ =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k+3}-\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{2n+3}\right) =\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$
Итак, $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$. Находим предел $\lim_{n\to\infty}S_n$:
$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}\right)=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}. $$
Заданный ряд сходится и сумма его $S=\frac{1}{3}$.
Ответ : $S=\frac{1}{3}$.
Продолжение темы нахождения суммы ряда будет рассмотрено во второй и третьей частях.
Для того, чтобы вычислить сумму ряда , нужно просто сложить элементы ряда, заданное количество раз. Например:
В приведённом выше примере это удалось сделать очень просто, поскольку суммировать пришлось конечное число раз. Но что делать, если верхний предел суммирования бесконечность? Например, если нам нужно найти сумму вот такого ряда:
По аналогии с предыдущим примером, мы можем расписать эту сумму вот так:
Но что делать дальше?! На этом этапе необходимо ввести понятие частичной суммы ряда . Итак, частичной суммой ряда (обозначается S n ) называется сумма первых n слагаемых ряда. Т.е. в нашем случае:
Тогда сумму исходного ряда можно вычислить как предел частичной суммы:
Таким образом, для вычисления суммы ряда , необходимо каким-либо способом найти выражение для частичной суммы ряда (S n ). В нашем конкретном случае ряд представляет собой убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем 1/3. Как известно сумма первых n элементов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
здесь b 1 - первый элемент геометрической прогрессии (в нашем случае это 1) и q - это знаменатель прогрессии (в нашем случае 1/3). Следовательно частичная сумма S n для нашего ряда равна:
Тогда сумма нашего ряда (S ) согласно определению, данному выше, равна:
Рассмотренные выше примеры являются достаточно простыми. Обычно вычислить сумму ряда гораздо сложнее и наибольшая трудность заключается именно в нахождении частичной суммы ряда. Представленный ниже онлайн калькулятор, созданный на основе системы Wolfram Alpha, позволяет вычислять сумму довольно сложных рядов. Более того, если калькулятор не смог найти сумму ряда, вероятно, что данный ряд является расходящимся (в этом случае калькулятор выводит сообщение типа "sum diverges"), т.е. данный калькулятор также косвенно помогает получить представление о сходимости рядов.
Для нахождения суммы Вашего ряда, необходимо указать переменную ряда, нижний и верхний пределы суммирования, а также выражение для n -ого слагаемого ряда (т.е. собственно выражение для самого ряда).
Ряд, в математике
1. Определения.
Р. есть последовательность элементов, составленных по какому-нибудь закону. Если дан Р., то это значит, что указан закон, при помощи которого можно составить сколько угодно элементов Р. По свойству элементов различают Р. чисел, Р. функций и Р. действий. Приведем несколько примеров. 1, 2, 3, 4,..., n,... есть Р. натуральных чисел; 1, 4, 9, 16,..., п
2 ... Р. квадратов; а 0 , а 1 х, а 2 а 2 ,..., а n x n ,... Р. степенных функций или степенной Р. 1, x, x 2 /(1.2), x 3 /(1.2.3),... x n /(1.2...n),... 0, x, x 2 /2, x 3 /3, x 4 /4... (-1) n-1 x n /n.. Для того, чтобы вычислить числовое значение некоторого выражения надо выполнить Р. действий. Напр. √[(35 - 3)/2] = √ = √16 = 4. При помощи Р. действий отыскивается наибольший делитель двух данных чисел. Р. u
0 , u
1 , u
2 ,... u
n ... назыв. бесконечным,
если после всякого элемента u
k найдется элемент u
k+1 ; в противном же случае Р. назыв. конечным.
Напр. 1. 2, 3,... 9, 10 есть конечный Р., потому что не существует элементов после элемента 10. 2. Число, определяемое рядом.
Особенное значение имеют бесконечные Р. вида (1)... а
1 /10, а
2 /10 2 ,
...
а n
/10 n
,..., где а
1 , а
2 , а
3 ,
... а n
,... целые положительные числа, a
0 как угодно велико; каждое же из остальных чисел а
1 , а
2 , а
3 ,
... меньше 10. Такой ряд можно назвать числом, так как возможно сравнивать этот ряд с рациональными числами (см.), можно установить понятия о равенстве, сумме, произведении, разности и частном таких рядов. Р. (1) обозначим для краткости одною буквою а
. Говорят, что а больше
рационального числа p
/q
, если при достаточно большом n
имеет место неравенство а
0 + а
1 /10 + а
2 /10 2 +... + а
n /10 n > p
/q
Если же при всяком n
а
0 + а
1 /10 + а
2 /10 2 +... + а
n /10 n не > p
/q
но при достаточно большом n
а
0 + а
1 /10 + а
2 /10 2 +... + а
n /10 n > r
/s
где r/s
произвольно взятое число, меньшее p
/q
, то считают а равным p
/q
. На этом основании Р. 9/10, 9/10 2 , 9/10 3 ,... равен единице. Это равенство обозначают так: 0, 999... = 1. Если а
не равно 9, а все последующие числа a k
+1 , a k
+2 , a k
+3 ,... равны 9, то число а
, определяемое Р. (1), равно а
0 + а
1 /10 + а
2 /10 2 +... + (а
k + 1)/10 k . Если же не все числа а
k+1 , а
k+2 , а
k+3 ...равны 9, то а
= а
0 + а
1 /10 + а
2 /10 2 +... + а
k /10 k Может случиться, что все элементы ряда (1), начиная с а
k+1 ,
равны нулю. В таком случае согласно с высказанным определением а
а 0 + а
1 /10 + а
2 /10 2 +... + (а
k +1)/10 k Такого рода число наз. конечною десятичною дробью.
Из арифметики известно, что при обращении обыкновенной дроби в десятичную получается конечная дробь или бесконечная периодическая. Всякая периодическая десятичная дробь может быть обращена в обыкновенную дробь. Отсюда следует, что бесконечная непериодическая десятичная дробь не может равняться рациональному числу и потому представляет число особого рода, называемое иррациональным
(см.). 3. Сходимость и расходимость рядов.
Р. чисел (2)... u
0 , u
1 , u
2 ,... u n
,... наз. сходящимся,
если существует такое число а
(рациональное или иррациональное), что при возрастании n
численное значение разности а
- (u
0 + u
1 + u
2 +... u n-
1) становится и остается сколь угодно малым. Такое число a
наз. суммою
Р. В этом случае пишут (3)... а
= u
0 + u
1 + u
2 +... и это равенство наз. разложением
числа a
в бесконечный Р. Если такого числа а
не существует, то Р. (2) наз. расходящимся.
Важнейший пример сходящегося Р. представляет геометрическая прогрессия (см.). 1, q, q
2 ,..., знаменатель которой q
по численному значению меньше единицы. В этом случае имеет место разложение 1/(1 - q
) = 1 + q
+ q
2 +... Примером расходящегося Р. может служить 1/1, 1/2, 1/3,... 1 + 1/2 + 1/3 +... не имеет никакого смысла. Если же члены гармонического Р. взять попеременно со знаками + и -, то получим сходящийся Р. Выражение 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +... равно логарифму 2, взятому при основании е
(см.). Не имея возможности излагать подробно признаки сходимости, отметим только следующие теоремы. Данный Р. - сходящийся, если Р. модулей (см.) его членов сходящийся. Р. v
0 ,
-v
1 , v
2 , -v
3 ..., в котором числа v
0 , v
1 , v
2 , v
3 ... положительные, сходящийся, если при возрастании n
lim v n
= 0. Р. с положительными членами u
0 , u
1 , u
2 ,..., u n
,... сходящийся, если lim
(u n
+ 1)/u n
lim
(u n
+ 1)/u n
> 1 Если для Р. с положительными членами но, и
0 , и
1 , u
2 ,
.., и n
... отношение lim
(u n
+ 1)/u n
= 1 - r
/n + θ
( n
) /n α ,
где r
не зависят от n
, α
> 1 и θ (n
) по численному значению остается постоянно меньше некоторого положительного числа, то Р. сходящийся при r
> 1 и расходящийся при r меньше или = 1 (Tannery, "Introduction à la theorie des fonctions d"une variable", p. 84). 4. Условная и абсолютная сходимость.
Если Р. (4) v
0 , v
1 , v
2 ,... v n
,... сходящийся, но Р. модулей его членов расходящийся, то говорят, что Р. (4) условно сходящийся.
Напр. 1, -1/2, 1/3, -1/4,... Р. наз. абсолютно сходящимся,
если Р. модулей его членов сходящийся. Сумма условно-сходящегося Р. изменяется с изменением порядка его членов. Напр. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +... = log2, но 1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 +... 1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 +.... = 1/2 log 2. Сумма абсолютно-сходящегося Р. не зависит от порядка его членов. Если числа а
и b
разлагаются в абсолютно-сходящиеся Р. а
= a
0 + a
1 + a
2 +....., b
= b
0 + b
1 + b
2 +..... ., a
0 b
0 , a
0 b
1 + a
1 b
0 , a
0 b
2 + a
1 b
2 + a
2 b
0 ,... абсолютно-сходящийся и, кроме того, a
0 b
0 + (a
0 b
1 + a
1 b
0) + (a
0 b
2 + a
1 b
2 + a
2 b
0) +... = ab
. 5. Равномерная сходимость.
Предположим, что дан Р. (5)... f
0 (x
), f
1 (x
), f
2 (x
),
..., f n
(x
),
... члены которого суть функции от одной переменной x
, которая может принимать как вещественные, так и мнимые (см.) значения. Совокупность значений х,
при которых этот Р. сходящийся, образует так называемую область сходимости.
Р. 1, х,
1.2x
2 , 1.2.3x
3 ,...... ., сходящийся только при x
= 0. Р. 1, х,
(1/2 + 1.2x
2), (1/3 + 1.2.3x
3),... расходящийся при всяком х.
Р. 1, х/
1, (x
2 /1.2), (x
3 /1.2.3),... сход. при всяком значении х.
Если степенной Р. α 0 , α 1 x,
α 2 x
2 ,... сход. при каком-нибудь значении х,
не равном нулю, то этот Р. сход. и при всяком x
, модуль которого меньше некоторого числа R
. Если воспользоваться геометрическим представлением мнимых величин (см.), то можно сказать, что область сходимости этого Р. есть круг радиуса R
. Примером может служить геометрическая прогрессия 1, x
, x
2 , x
3 ,...., у которой радиус круга сходимости
равен единице. Если х
принадлежит к области сход. Р. (5), то при всяком n
, большем некоторого числа т
mod [f n
(x
) + f n+
1 (x
) + f n+
2 (x
) +...]
Вообще т
зависит от х
и от ε, но возможно, в особых случаях, что т
зависит только от ε, если значения х
принадлежат к некоторой области (S).
В таком случае Р. (5) наз. равномерно-сходящимся в области
(S
). Для примера рассмотрим Р. (6)... (1 - х
), х
(1 - х
), х
2 (1 - х
).... ограничиваясь вещественными и положительными значениями х.
Для того, чтобы имело место неравенство (7)... х n
(1 - x
) + x n+
1 (1 - x
) +... x n
надо взять n
> Log ε /Logx
След., в рассматриваемом случае т
= Log ε /Logx.
Как видим, т
зависит от х.
Как бы велико ни было m
, найдутся такие значения х
в промежутке (0, 1), что неравенство (7) не будет удовлетворено при всяком n,
большем т.
Если х
= 1, то неравенство (7) удовлетворяется при n больше или = 1 Предположим, что т
= Log ε /Log (1 - α) и n больше или = m След. Р. (6) равномерно сход. в промежутке (0, 1 - α). Если в области равномерной сходимости члены ряда f
0 (x
), f
1 (x
), f
2 (x
)... суть непрерывные функции от x
, то и сумма этого Р. - непрерывная функция (см. Разрывность). Равномерно сход. Р. можно почленно интегрировать или дифференцировать. Степенные Р. a
0 , а
1 х, а
2 х
2 ... обладают равномерною сходимостью внутри круга сходимости. 6. Разложение функций в ряды.
В дальнейшем будем предполагать, что независимая переменная вещественная. При помощи формулы Маклорена (см.) получаются следующие разложения: (эти формулы справедливы при всяком x
). Для того, чтобы при помощи формулы (9) вычислить, напр., cos 2°, надо вместо x
подставить отношение к радиусу длины дуги, содержащей 2 градуса. В форм. (11) логарифм взят при основании е
. Эта форм. неудобна для вычисления логарифмов, так как надо брать очень много членов Р. для получения даже незначительной точности. Более удобна для вычисления формула 13-я, которая выводится из формулы (11), полагая (1 + х
)/(1 - х
) = (a + z)/z в разложении функции log(1 + x
) - log(l - x
). Полагая а
= 1, z
= 1, найдем log2; " а
= 1, z
= 1, " log5; а + z
= 3 4 , а
= 80, " log3; а
+ z
= 7 4 , а
= 2400, " log7; Умножив найденные натуральные логарифмы этих чисел на М= 1/log10 = 0,43429 44819 03251 82765..., получим обыкновенные логарифмы (при основании 10) тех же чисел (см.). Форм. (12) справедлива при х
= 1, если m
> -1, и при x
= -1, если m
> 0 (Abel, "Oeuvres complètes", 1881, p. 245). При помощи непосредственного деления разлагаются в степенные Р. рациональные функции. Можно воспользоваться для этой цели и способом неопределенных коэффициентов. Полагая, напр. 1/(1 + 2t
+ 5t
3 + 3t
3) = y
0 + y
1 t
+ y
2 t
2 + y
3 t
3 +..., y
0 = 1, y
1 + 2y
0 = 0, y
2 + 2y
1 + 5y
0 = 0, y
3 + 2y
2 + 5 у
1 +
3 у
0 = 0, y
4 + 2y
3 + 5 у
2 +
3 у
1 = 0 и т. д. Р. коэффициентов y 0 , у
1 , y 2 ... обладает тем свойством, что четыре последовательных коэфф. связаны соотношением y n
+3 + 2y n
+2 + 5 у n
+1 +
3 у n
= 0. Такого рода Р. наз. возвратными.
Из написанных уравнений последовательно определяется y 0 , у
1 , y 2 ... Разложение данной функции в Р. найдется при помощи интегрального исчисления, если известно разложение в Р. производной. Таким путем получаются разложение (14)... arc
tgx
= x
- (x
3 /3) + (x
5 /5) -... (15)... arc
sin х
= x
/1 + 1/2(x 3
/3) + (1.2/2.4)(x 5
/5) +... справедливые для значений х,
удовлетворяющих условиям Р. (14) при помощи формулы Мэчена (Machin) π /4 = 4arc
tg(1/5) - arc
tg(1/239) дает возможность очень быстро вычислить π с большим числом десятичных знаков. Таким образом Шенкс (Shanks) вычислил π с 707 десятичными знаками. Разложение функций в тригонометрические Р. и разложение эллиптических функций будет изложено впоследствии. Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. - С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон
.
1890-1907
.
Смотреть что такое "Ряд, в математике" в других словарях:
РЯД, бесконечный ряд, выражение члены которого a1, a2,..., an,... числа (числовой ряд) или функции (функциональный ряд). Если сумма первых n членов ряда (частная сумма): Sn= a1+ a2+ ... + an при неограниченном возрастании n стремится к… … Энциклопедический словарь
Содержание. 1) Определение. 2) Число, определяемое рядом. 3) Сходимость и расходимость рядов. 4) Условная и абсолютная сходимость. 5) Равномерная сходимость. 6) Разложение функций в ряды. 1. Определения. Р. есть последовательность элементов,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Имеет несколько значений: Ряд совокупность однородных, похожих предметов, расположенных в одну линию. Ряд совокупность каких нибудь явлений, следующих одно за другим в определённом порядке. Ряд некоторое, немалое количество, например «ряд стран» … Википедия
Ряд, бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +... + un +... или, короче, . (1) Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 + q + q 2 +... + q… … Большая советская энциклопедия
Ряд Тейлора разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а… … Википедия
Ряд Тейлора разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды… … Википедия
Разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды Тейлора… … Википедия
Ряд Мёбиуса функциональный ряд вида Этот ряд был исследован Мёбиусом, который нашел для этого ряда формулу обращения: где функция Мёбиуса … Википедия
I м. 1. Совокупность однородных предметов, расположенных в одну линию. отт. Строй в одну линию; шеренга. 2. Линейная последовательность мест для сидения в театре, кино и т.п. отт. Лица, занимающие такие места. 3. Расположенные в одну линию ларьки … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
Книги
- Математика наблюдателей и ее приложения к квантовой механике, теории относительности и классической математике , Б. С. Хоц, Д. Б. Хоц. В этой книге представлены результаты авторов, относящиеся к Математике наблюдателей (авторское назввание Observer s Mathematics). Эта математика была впервые введена авторами, были изучены ее…
