Что называется моментом силы формула. Использование момента инерции и углового ускорения

Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью

Момент относительно оси положителен, если сила стремится вращать плоскость перпендикулярную оси против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси.

Момент силы относительно оси равен 0 в двух случаях:

Если сила параллельна оси

Если сила пересекает ось

Если линия действия и ось лежат в одной плоскости, то момент силы относительно оси равен 0.

27. Связь между моментом силы относительно оси и векторным моментом силы относительно точки.

Mz(F)=Mo(F)*cosαМомент силы, относительно оси равен прекции вектора момента сил, относительно точки оси на эту ось.

28. Основная теорема статики о приведении системы сил к заданному центру (теорема Пуансо). Главный вектор и главный момент системы сил.

Всякую пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, прило­женной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной глав­ному вектору данной системы сил, и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения.

Главным вектором системы сил называется вектор R , равный векторной сумме этих сил:

R = F 1 + F 2 + ... + F n = F i .

Для плоской системы сил ее главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.

Главным моментом системы сил относительно центра O называется вектор L O , равный сумме векторных моментов этих сил относительно точки О:

L O = M O (F 1) + M O (F 2) + ... + M O (F n) = M O (F i).

Вектор R не зависит от выбора центра О, а вектор L O при изменении положения центра О может в общем случае изменяться.

Теорема Пуансо: Произвольную пространственную систему сил можно заменить одной силой главным вектором системы сил и парой сил с главным моментом не нарушая состояния твердого тела. Главный вектор представляет собой геометрическую сумму всех сил действующих на твердое тело и расположен в плоскости действия сил. Главный вектор рассматривается через его проекции на оси координат.

Чтобы привести силы к заданному центру приложенному в некоторой точке твердого тела необходимо: 1) перенести параллельно силу самой себе к заданному центру не изменяя модуля силы; 2) в заданном центре приложить пару сил, векторный момент которой равен векторному моменту перенесенной силы относительного нового центра, эту пару называют присоединенной парой.

Зависимость главного момента от выбора центра приведения. Главный момент относительно нового центра приведения равен геометрической сумме главного момента относительно старого центра приведения и векторного произведения радиуса-вектора, соединяющего новый центр приведения со старым, на главный вектор.

29 Частные случаи приведения пространственной системы сил

30. Приведение к динаме. Динамой в механике называют такую совокупность силыи пары сил () действующих на твердое тело, у которой сила перпендикулярна плоскости действия пары сил. Используя векторный моментпары сил, можно также определить динаму как совокупность силы и пары, у которы сила параллельна векторному моменту пары сил.

Уравнение центральной винтовой оси Предположим, что в центре приведения, принятом за начало координат, получены главный вектор с проекциями на оси координат и главный момент с проекциями При приведении системы сил к центру приведения О 1 (рис. 30) получается динама с главным вектором и главным моментом , Векторы и как образующие линаму. параллельны и поэтому могут отличаться только скалярным множителем k 0. Имеем, так как .Главные моменты и , удовлетворяют соотношению

Которая равна произведению силы на ее плечо.

Момент силы вычисляют при помощи формулы:

где F - сила, l — плечо силы.

Плечо силы - это самое короткое расстояние от линии действия силы до оси вращения тела. На рисунке ниже изображено твердое тело, которое может вращаться вокруг оси. Ось вращения этого тела является перпендикулярной к плоскости рисунка и проходит через точку, которая обозначена как буква О. Пле-чом силы F t здесь оказывается расстояние l , от оси вращения до линии действия силы. Определяют его таким образом. Первым шагом проводят линию действия силы, далее из т. О, через которую проходит ось вращения тела, опускают на линию действия силы перпендикуляр. Длина этого перпендикуляра оказывается плечом данной силы.

Момент силы характеризует вращающее действие силы . Это действие зависит как от силы, так и от плеча. Чем больше плечо, тем меньшую силу необходимо приложить, чтобы получить желаемый результат, то есть один и тот же момент силы (см. рис. выше). Именно поэтому открыть дверь, толкая ее возле петель, намного сложнее, чем берясь за ручку, а гайку отвернуть намного легче длинным, чем коротким гаечным ключом.

За единицу момента силы в СИ принимается момент силы в 1 Н , плечо которой равно 1м — ньютон-метр (Н · м).

Правило моментов.

Твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, находится в равновесии, если момент силы М 1 вращающей его по часовой стрелке, равняется моменту силы М 2 , которая вращает его против часовой стрелки:

Правило моментов есть следствие одной из теорем механики , которая была сформулирована французским ученым П. Вариньоном в 1687 г.

Пара сил.

Если на тело действуют 2 равные и противоположно направленные силы, которые не лежат на одной прямой, то такое тело не находится в равновесии, так как результирующий момент этих сил относительно любой оси не равняется нулю, так как обе силы имеют моменты, направленные в одну сторону. Две такие силы, одновременно действующие на тело, называют парой сил . Если тело закреплено на оси, то под действием пары сил оно будет вращаться. Если пара сил приложена «свободному телу, то оно будет вращаться вокруг оси. проходящей через центр тяжести тела, рисунке б .

Момент пары сил одинаков относительно любой оси, перпендикулярной к плоскости пары. Суммарный момент М пары всегда равен произведению одной из сил F на расстояние l между силами, которое называется плечом пары , независимо от того, на какие отрезки l , и разделяет положение оси плечо пары:

Момент нескольких сил, равнодействующая которых равна нулю, будет одинаковым относи-тельно всех осей, параллельных друг другу, поэтому действие всех этих сил на тело можно заме нить действием одной пары сил с тем же моментом.

Момент пары сил

Моментом силы относительно какой-либо точки (центра) называется вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо, т.е. на кратчайшее расстояние от указанной точки до линии действия силы, и направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через выбранную точку и линию действия силы в ту сторону, откуда "вращение", совершаемое силой вокруг точки, представляется происходящим против хода часовой стрелки. Момент силы характеризует ее вращательное действие.

Если О – точка, относительно которой находится момент силы F , то момент силы обозначается символом М о (F) . Покажем, что если точка приложения силыF определяется радиус-вектором r , то справедливо соотношение

М о (F)=r×F . (3.6)

Согласно этому соотношению момент силы равен векторному произведению вектора r на вектор F .

В самом деле, модуль векторного произведения равен

М о (F )=rF sin=Fh , (3.7)

где h – плечо силы. Заметим также, что вектор М о (F) направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы r и F , в ту сторону, откуда кратчайший поворот вектора r к направлению вектора F представляется происходящим против хода часовой стрелки. Таким образом, формула (3.6) полностью определяет модуль и направление момента силы F .

Иногда формулу (3.7) полезно записывать в виде

М о (F )=2S , (3.8)

где S – площадь треугольника ОАВ .

Пусть x , y , z – координаты точки приложения силы, а F x , F y , F z – проекции силы на координатные оси. Тогда, если точка О находится в начале координат, момент силы выражается следующим образом:

Отсюда следует, что проекции момента силы на координатные оси определяются формулами:

M Ox (F )= yF z -zF y ,

M Oy (F )= zF x -xF z ,

M Oy (F )= xF y -yF x . (3.10)

Введем теперь понятие проекции силы на плоскость.

Пусть даны сила F и некоторая плоскость. Опустим из начала и конца вектора силы перпендикуляры на эту плоскость.

Проекцией силы на плоскость называется вектор , начало и конец которого совпадают с проекцией начала и проекцией конца силы на эту плоскость.

Если в качестве рассматриваемой плоскости принять плоскость хОу , то проекцией силы F на этуплоскость будет вектор F ху .

Момент силы F ху относительно точки О (точки пересечения оси z с плоскостью хОу ) может быть вычислен по формуле (3.9), если в ней принять z =0, F z =0. Получим

M O (F ху )=(xF y -yF x )k .

Таким образом, момент направлен вдоль оси z , а его проекция на ось z в точности совпадает с проекцией на ту же ось момента силы F относительно точки О . Другими словами,

M Oz (F )=M Oz (F ху )= xF y -yF x . (3.11)

Очевидно, тот же результат можно получить, если спроектировать силуF на любую другую плоскость, параллельную хОу . При этом точка пересечения оси z с плоскостью будет уже иной (обозначим новую точку пересечения через О 1). Однако все входящие в правую часть равенства (3.11) величины х , у , F х , F у останутся неизменными, и, следовательно, можно записать

M Oz (F )=M O 1 z (F ху ).

Другими словами, проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку, не зависит от выбора точки на оси . Поэтому в дальнейшем вместо символа M Oz (F ) будем применять символ M z (F ). Эта проекция момента называется моментом силы относительно оси z . Вычисление момента силы относительно оси часто бывает удобнее производить посредством проектирования силы F на плоскость, перпендикулярную оси, и вычисления величины M z (F ху ).

В соответствии с формулой (3.7) и учитывая знак проекции, получим:

M z (F )=M z (F ху )=± F ху ·h* . (3.12)

Здесь h* – плечо силы F ху относительно точки О . Если наблюдатель видит со стороны положительного направления оси z, что сила F ху стремится повернуть тело вокруг оси z против хода часовой стрелки, то берется знак "+", и в противном случае – знак "–".

Формула (3.12) дает возможность сформулировать следующее правило для вычисления момента силы относительно оси. Для этого нужно:

· выбрать на оси произвольную точку и построить плоскость, перпендикулярную оси;

· спроектировать на эту плоскость силу;

· определить плечо проекции силы h*.

Момент силы относительно оси равен произведению модуля проекции силы на ее плечо, взятому с соответствующим знаком (см. изложенное выше правило).

Из формулы (3.12) следует, что момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях:

· когда проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, равна нулю, т.е. когда сила и ось параллельны ;

· когда плечо проекции h* равно нулю, т.е. когдалиния действия пересекает ось .

Оба эти случая можно объединить в один: момент силы относительно оси равен нулю тогда и только тогда, когда линия действия силы и ось находятся в одной плоскости .

Задача 3.1. Вычислить относительно точки О момент силы F , приложеннойк точке А и направленной по диагонали грани куба со стороной а .

При решении подобных задач целесообразно сначала вычислить моменты силы F относительно координатных осей x , y , z . Координаты точки А приложения силы F будут

Проекции силы F на координатные оси:

Подставляя эти значения в равенства (3.10), найдем

, , .

Эти же выражения для моментов силы F относительно координатных осей можно получить, пользуясь формулой (3.12). Для этого спроектируем силу F на плоскости, перпендикулярные оси х и у . Очевидно, что . Применяя изложенное выше правило, получим, как и следовало ожидать, те же выражения:

, , .

Модуль момента определится равенством

.

Введем теперь понятие момента пары. Найдем сначала, чему равна сумма моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки. Пусть О – произвольная точка пространства, а F и F" – силы, составляющие пару.

Тогда М о (F)=ОА ×F , М о (F")=ОВ ×F" ,

М о (F)+ М о (F")= ОА ×F + ОВ ×F" ,

но так как F= -F" , то

М о (F)+ М о (F")= ОА ×F - ОВ ×F =(ОА -ОВ )× F .

Принимая во внимание равенство ОА-ОВ=ВА , окончательно находим:

М о (F)+ М о (F")= ВА ×F .

Следовательно, сумма моментов сил, составляющих пару, не зависит от положения точки, относительно которой берутся моменты .

Векторное произведение ВА ×F и называется моментом пары . Обозначается момент пары символом М(F, F") , причем

М(F, F") = ВА ×F= АВ ×F" ,

или, короче,

М = ВА ×F= АВ ×F" . (3.13)

Рассматривая правую часть этого равенства, замечаем, что момент пары представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости пары, равный по модулю произведению модуля одной сил пары на плечо пары (т.е. на кратчайшее расстояние между линиями действия сил, составляющих пару) и направленный в ту сторону, откуда "вращение" пары видно происходящим против хода часовой стрелки . Если h – плечо пары, то М(F, F") =h×F .

Из самого определения видно, что момент пары сил представляет собой свободный вектор, линия действия которого не определена (дополнительное обоснование этого замечания следует из теорем 2 и 3 этой главы).

Для того, чтобы пара сил составляла уравновешенную систему (систему сил, эквивалентную нулю), необходимо и достаточно, чтобы момент пары равнялся нулю. Действительно, если момент пары равен нулю, М =h×F , то либо F =0, т.е. нет сил, либо плечо пары h равно нулю. Но в этом случае силы пары будут действовать по одной прямой; так как они равны по модулю и направлены в противоположные стороны, то на основании аксиомы 1 они составят уравновешенную систему. Обратно, если две силы F 1 иF 2 , составляющие пару, уравновешены, то на основании той же аксиомы 1 они действуют по одной прямой. Но в этом случае плечо пары h равно нулю и, следовательно, М =h×F =0.

Теоремы о парах

Докажем три теоремы, с помощью которых становятся возможными эквивалентные преобразования пар. При всех рассмотрениях следует помнить, что они относятся к парам, действующим на какое-либо одно твердое тело.

Теорема 1. Две пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости, с моментом, равным сумме моментов данных двух пар.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим две пары (F 1 ,F" 1 ) и (F 2 ,F" 2 ) и перенесем точки приложения всех сил вдоль линий их действия в точки А и В соответственно. Складывая силы по аксиоме 3, получим

R=F 1 +F 2 и R"=F" 1 +F" 2 ,

но F 1 =-F" 1 и F 2 =-F" 2 .

Следовательно, R=- R" , т.е. силы R и R" образуют пару. Найдем момент этой пары, воспользовавшись формулой (3.13):

М=М (R , R" )=ВА× R=ВА× (F 1 +F 2 )=ВА× F 1 +ВА× F 2 . (3.14)

При переносе сил, составляющих пару, вдоль линий их действия ни плечо, ни направление вращения пар не меняются, следовательно, не меняется и момент пары. Значит,

ВА×F 1 =М (F 1 ,F" 1 )=М 1 , ВА× F 2 = М (F 2 ,F" 2 )=М 2

и формула (3.14) примет вид

М=М 1 +М 2 , (3.15)

что и доказывает справедливость сформулированной выше теоремы.

Сделаем два замечания к этой теореме.

1. Линии действия сил, составляющих пары, могут оказаться параллельными. Теорема остается справедливой и в этом случае, но для ее доказательства следует воспользоваться правилом сложения параллельных сил.

2. После сложения может получиться, что М (R , R" )=0; на основании сделанного ранее замечания из этого следует, что совокупность двух пар (F 1 ,F" 1 , F 2 ,F" 2 )=0.

Теорема 2. Две пары, имеющие геометрически равные моменты, эквивалентны.

Пусть на тело в плоскости I действует пара (F 1 ,F" 1 ) с моментом М 1 . Покажем, что эту пару можно заменить другой с парой (F 2 ,F" 2 ), расположенной в плоскости II , если только ее момент М 2 равен М 1 (согласно определению (см. 1.1) это и будет означать, что пары (F 1 ,F" 1 ) и (F 2 ,F" 2 ) эквивалентны). Прежде всего заметим, что плоскости I и II должны быть параллельны, в частности они могут совпадать. Действительно, из параллельности моментов М 1 и М 2 (в нашем случае М 1 =М 2 ) следует, что плоскости действия пар, перпендикулярные моментам, также параллельны.

Введем в рассмотрение новую пару (F 3 ,F" 3 ) и приложим ее вместе с парой (F 2 ,F" 2 ) к телу, расположив обе пары в плоскости II . Для этого, согласно аксиоме 2 нужно подобрать пару (F 3 ,F" 3 ) с моментом М 3 так, чтобы приложенная система сил (F 2 ,F" 2 , F 3 ,F" 3 ) была уравновешена. Это можно сделать, например, следующим образом: положим F 3 =-F" 1 и F" 3 = -F 1 и совместим точки приложения этих сил с проекциями А 1 и В 1 точек А и В на плоскость II . В соответствии с построением будем иметь: М 3 = -М 1 или, учитывая, что М 1 = М 2 ,

М 2 +М 3 = 0.

Принимая во внимание второе замечание к предыдущей теореме, получим (F 2 ,F" 2 , F 3 ,F" 3 )=0. Таким образом, пары (F 2 ,F" 2 ) и (F 3 ,F" 3 ) взаимно уравновешены и присоединение их к телу не нарушает его состояния (аксиома 2), так, что

(F 1 ,F" 1 )= (F 1 ,F" 1 , F 2 ,F" 2 , F 3 ,F" 3 ). (3.16)

С другой стороны, силы F 1 и F 3 , а также F" 1 и F" 3 можно сложить по правилу сложения параллельных сил, направленных в одну сторону. По модулю все эти силы равны друг другу, поэтому их равнодействующие R и R" должны быть приложены в точке пересечения диагоналей прямоугольника АВВ 1 А 1 ; кроме того, они равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Это означает, что они составляют систему, эквивалентную нулю. Итак,

(F 1 ,F" 1 , F 3 ,F" 3 )=(R , R" )=0.

Теперь мы можем записать

(F 1 ,F" 1 , F 2 ,F" 2 , F 3 ,F" 3 )=(F 3 ,F" 3 ). (3.17)

Сравнивая соотношения (3.16) и (3.17), получим (F 1 ,F" 1 )=(F 2 ,F" 2 ), что и требовалось доказать.

Из этой теоремы следует, что пару сил можно перемещать в плоскости ее действия, переносить в параллельную плоскость; наконец, в паре можно менять одновременно силы и плечо, сохраняя лишь направление вращения пары и модуль ее момента (F 1 h 1 = F 2 h 2).

В дальнейшем мы будем широко пользоваться такими эквивалентными преобразованиями пары.

Теорема 3. Две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны одной паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар.

Пусть пары (F 1 ,F" 1 ) и (F 2 ,F" 2 ) расположены в пересекающихся плоскостях I и II соответственно. Пользуясь следствием теоремы 2, приведем обе пары к плечу АВ , расположенному на линии пересечения плоскостей I и II . Обозначим трансформированные пары через (Q 1 ,Q" 1 ) и (Q 2 ,Q" 2 ). При этом должны выполняться равенства

М 1 =М (Q 1 ,Q" 1 )=М (F 1 ,F" 1 ) и М 2 =М (Q 2 ,Q" 2 )=М (F 2 ,F" 2 ).

Сложим по аксиоме 3 силы, приложенные в точках А и В соответственно. Тогда получим R=Q 1 +Q 2 и R"= Q" 1 +Q" 2 . Учитывая, что Q" 1 =-Q 1 и Q" 2 =-Q 2 , получим R=-R" . Таким образом, мы доказали, что система двух пар эквивалентна одной паре (R ,R" ).

Найдем момент М этой пары. На основании формулы (3.13) имеем

М (R ,R" )=ВА× (Q 1 +Q 2 )=ВА× Q 1 +ВА× Q 2 =

=М (Q 1 ,Q" 1 )+М (Q 2 ,Q" 2 )=М (F 1 ,F" 1 )+М (F 2 ,F" 2 )

М=М 1 +М 2 ,

т.е. теорема доказана.

Заметим, что полученный результат справедлив и для пар, лежащих в параллельных плоскостях. По теореме 2 такие пары можно привести к одной плоскости, а по теореме 1 их можно заменить одной парой, момент которой равен сумме моментов составляющих пар.

Доказанные выше теоремы о парах позволяют сделать важный вывод: момент пары является свободным вектором и полностью определяет действие пары на абсолютно твердое тело . В самом деле, мы уже доказали, что если две пары имеют одинаковые моменты (следовательно, лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях), то они друг другу эквивалентны (теорема 2). С другой стороны, две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, не могут быть эквивалентны, ибо это означало бы, что одна из них и пара, противоположная другой, эквивалентны нулю, что невозможно, так как сумма моментов таких пар отлична от нуля.

Таким образом, введенное понятие момента пары чрезвычайно полезно, так как оно полностью отражает механическое действие пары на тело. В этом смысле можно сказать, что момент исчерпывающим образом представляет действие пары на твердое тело.

Для деформируемых тел изложенная выше теория пар неприменима. Две противоположные пары, действующие, например, по торцам стержня, с точки зрения статики твердого тела эквивалентны нулю. Между тем их действие на деформируемый стержень вызывает его кручение, и тем большее, чем больше модули моментов.

Перейдем к решению первой и второй задач статики, когда на тело действуют только пары сил.

Враща́тельное движе́ние - вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Например, в системе отсчёта, связанной с Землёй, ось вращения ротора генератора на электростанции неподвижна.

Кинетические характеристики:

Вращение твердого тела, как целого характеризуется углом , измеряющегося в угловых градусах или радианах, угловой скоростью (измеряется в рад/с)и угловым ускорением(единица измерения - рад/с²).

При равномерном вращении (T оборотов в секунду):

Частота вращения - число оборотов тела в единицу времени.-

Период вращения - время одного полного оборота. Период вращения T и его частота связаны соотношением.

Линейная скорость точки, находящейся на расстоянии R от оси вращения

Угловая скорость вращения тела

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) - векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы - по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Момент силы измеряется в ньютон-метрах. 1 Н·м - момент силы, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м. Сила приложена к концу рычага и направлена перпендикулярно ему.

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение. Момент импульса замкнутой системы сохраняется

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) - один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.

16.Уравнение динамики вращательного движения. Момент инерции.

Основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки - угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции.

М = E*J или E = M/J

Сравнивая полученное выражение со вторым законом Ньютона с поступательным законом, видим, что момент инерции J является мерой инертности тела во вращательном движении. Как и масса величина аддитивная.

Момент инерции - скалярная (в общем случае - тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².Обозначение: I или J.

Различают несколько моментов инерции - в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.

Свойства момента инерции:

1.Момент инерции системы равен сумме момента инерции её частей.

2.Момент инерции тела является величиной, иманентно присущей этому телу.

Момент инерции твердого тела - это велина, характеризующая распределение массы в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении.

Формула момента инерции:

Теорема Штейнера:

Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции, сложенной с величиной m*(R*R), где R - расстояние между осями.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) - это величина

.

Моментом силы относительно произвольного центра в плоскости действия силы, называется произведение модуля силы на плечо.

Плечо - кратчайшее расстояние от центра О до линии действия силы, но не до точки приложения силы, т.к. сила-скользящий вектор.

Знак момента:

По часовой-минус, против часовой-плюс;

Момент силы можно выразить как вектор. Это перпендикуляр к плоскости по правилу Буравчика.

Если в плоскости расположены несколько сил или система сил, то алгебраическая сумма их моментов даст нам главный момент системы сил.

Рассмотрим момент силы относительно оси, вычислим момент силы относительно оси Z;

Спроецируем F на XY;

F xy =Fcosα = ab

m 0 (F xy)=m z (F), то есть m z =F xy * h = Fcosα * h

Момент силы относительно оси равен моменту ее проекции на плоскость перпендикулярную оси, взятому на пересечении осей и плоскости

Если сила параллельна оси или пересекает ее, то m z (F)=0

Выражение момента силы в виде векторного выражения

Проведем r а в точку A. Рассмотрим OA x F.

Это третий вектор m o , перпендикулярный плоскости. Модуль векторного произведения можно вычислить с помощью удвоенной площади заштрихованного треугольника.

Аналитическое выражение силы относительно координатных осей.

Предположим, что с точкой О связаны оси Y и Z, X с единичными векторами i, j, k Учитывая, что:

r x =X * Fx ; r y =Y * F y ; r z =Z * F y получим: m o (F)=x =

Раскроем определитель и получим:

m x =YF z - ZF y

m y =ZF x - XF z

m z =XF y - YF x

Эти формулы дают возможность вычислить проекцию вектор-момента на оси, а потом и сам вектор-момент.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

Если система сил имеет равнодействующую, то её момент относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов всех сил относительно этой точки

Если приложить Q= -R , то система (Q,F 1 … F n) будет равен уравновешиваться.

Сумма моментов относительно любого центра будет равен нулю.

Аналитическое условие равновесия плоской системы сил

Это плоская система сил, линии действия которых расположены в одной плоскости

Цель расчета задач данного типа - определение реакций внешних связей. Для этого используются основные уравнения в плоской системе сил.

Могут использоваться 2 или 3 уравнения моментов.

Пример

Составим уравнение суммы всех сил на ось X и Y.