Равномерное прямолинейное движение – это частный случай неравномерного движения.
Неравномерное движение – это движение, при котором тело (материальная точка) за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения. Например, городской автобус движется неравномерно, так как его движение состоит в основном из разгонов и торможений.
Равнопеременное движение – это движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково.
Ускорение тела при равнопеременном движении остаётся постоянным по модулю и по направлению (a = const).
Равнопеременное движение может быть равноускоренным или равнозамедленным.
Равноускоренное движение – это движение тела (материальной точки) с положительным ускорением, то есть при таком движении тело разгоняется с неизменным ускорением. В случае равноускоренного движения модуль скорости тела с течением времени возрастает, направление ускорения совпадает с направлением скорости движения.
Равнозамедленное движение – это движение тела (материальной точки) с отрицательным ускорением, то есть при таком движении тело равномерно замедляется. При равнозамедленном движении векторы скорости и ускорения противоположны, а модуль скорости с течением времени уменьшается.
В механике любое прямолинейное движение является ускоренным, поэтому замедленное движение отличается от ускоренного лишь знаком проекции вектора ускорения на выбранную ось системы координат.
Средняя скорость переменного движения определяется путём деления перемещения тела на время, в течение которого это перемещение было совершено. Единица измерения средней скорости – м/с.
V cp = s / t
– это скорость тела (материальной точки) в данный момент времени или в данной точке траектории, то есть предел, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:
Вектор мгновенной скорости равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора перемещения по времени:
Проекция вектора скорости на ось ОХ:
V x = x’
это производная от координаты по времени (аналогично получают проекции вектора скорости на другие координатные оси).
– это величина, которая определяет быстроту изменения скорости тела, то есть предел, к которому стремится изменение скорости при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:
Вектор ускорения равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора скорости по времени или как вторую производную от вектора перемещения по времени:
Если тело движется прямолинейно вдоль оси ОХ прямолинейной декартовой системы координат, совпадающей по направлению с траекторией тела, то проекция вектора скорости на эту ось определяется формулой:
V x = v 0x ± a x t
Знак «-» (минус) перед проекцией вектора ускорения относится к равнозамедленному движению. Аналогично записываются уравнения проекций вектора скорости на другие оси координат.
Так как при равнопеременном движении ускорение является постоянным (a = const), то график ускорения – это прямая, параллельная оси 0t (оси времени, рис. 1.15).
Рис. 1.15. Зависимость ускорения тела от времени.
Зависимость скорости от времени – это линейная функция, графиком которой является прямая линия (рис. 1.16).
Рис. 1.16. Зависимость скорости тела от времени.
График зависимости скорости от времени (рис. 1.16) показывает, что
При этом перемещение численно равно площади фигуры 0abc (рис. 1.16).
Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин её оснований на высоту. Основания трапеции 0abc численно равны:
0a = v 0 bc = v
Высота трапеции равна t. Таким образом, площадь трапеции, а значит, и проекция перемещения на ось ОХ равна:
В случае равнозамедленного движения проекция ускорения отрицательна и в формуле для проекции перемещения перед ускорением ставится знак «–» (минус).
График зависимости скорости тела от времени при различных ускорениях показан на рис. 1.17. График зависимости перемещения от времени при v0 = 0 показан на рис. 1.18.
Рис. 1.17. Зависимость скорости тела от времени для различных значений ускорения.
Рис. 1.18. Зависимость перемещения тела от времени.
Скорость тела в данный момент времени t 1 равна тангенсу угла наклона между касательной к графику и осью времени v = tg α, а перемещение определяют по формуле:
Если время движения тела неизвестно, можно использовать другую формулу перемещения, решая систему из двух уравнений:
Поможет нам вывести формулу для проекции перемещения:
Так как координата тела в любой момент времени определяется суммой начальной координаты и проекции перемещения, то будет выглядеть следующим образом:
Графиком координаты x(t) также является парабола (как и график перемещения), но вершина параболы в общем случае не совпадает с началом координат. При а x < 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).
Инструкция
Рассмотрим функцию f(x) = |x|. Для начала этой без знака модуля, то есть график функции g(x) = x. Этот график является прямой, проходящей через начало координат и угол между этой прямой и положительным направлением оси абсцисс составляет 45 градусов.
Так как модуль величина неотрицательная, то ту часть , которая находится ниже оси абсцисс необходимо зеркально отобразить относительно нее. Для функции g(x) = x получим, что график после такого отображения станет похож на V. Этот новый график и будет являться графической интерпретацией функции f(x) = |x|.
Видео по теме
Обратите внимание
График модуля функции никогда не будет находится в 3 и 4 четверти, так как модуль не может принимать отрицательных значений.
Если в функции присутствуют несколько модулей, то их нужно раскрывать последовательно, а затем накладывать друг на друга. Результат и будет искомым графиком.
Источники:
- как построить график функции с модулями
Задачи на кинематику, в которых необходимо вычислить скорость , время или путь равномерно и прямолинейно движущихся тел, встречаются в школьном курсе алгебры и физики. Для их решения найдите в условии величины, которые можно между собой уравнять. Если в условии требуется определить время при известной скорости, воспользуйтесь следующей инструкцией.
Вам понадобится
- - ручка;
- - бумага для записей.
Инструкция
Самый простой случай – движение одного тела с заданной равномерной скорость ю. Известно расстояние, которое тело прошло. Найдите в пути: t = S/v, час, где S – расстояние, v – средняя скорость тела.
Второй - на встречное движение тел. Из пункта А в пункт В движется автомобиль со скорость ю 50 км/ч. Навстречу ему из пункта B одновременно выехал мопед со скорость ю 30 км/час. Расстояние между пунктами А и В 100 км. Требуется найти время , через которое они встретятся.
Обозначьте точку встречи К. Пусть расстояние АК, которое автомобиль, будет х км. Тогда путь мотоциклиста составит 100-х км. Из условия задачи следует, что время в пути у автомобиля и мопеда одинаково. Составьте уравнение: х/v = (S-x)/v’, где v, v’ – и мопеда. Подставив данные, решите уравнение: x = 62,5 км. Теперь время : t = 62,5/50 = 1,25 часа или 1 час 15 минут.
Составьте уравнение, аналогично предыдущему. Но в этом случае время мопеда в пути будет на 20 минут , чем у автомобиля. Для уравнивания частей, вычтите одну треть часа из правой части выражения: х/v = (S-x)/v’-1/3. Найдите х – 56,25. Вычислите время : t = 56,25/50 = 1,125 часа или 1 час 7 минут 30секунд.
Четвертый пример – задача на движение тел в одном направлении. Автомобиль и мопед с теми же скоростями двигаются из точки А. Известно, что автомобиль выехал на полчаса позже. Через какое время он догонит мопед?
В этом случае одинаковым будет расстояние, которое проехали транспортные средства. Пусть время в пути автомобиля будет x часов, тогда время в пути мопеда будет x+0,5 часов. У вас получилось уравнение: vx = v’(x+0,5). Решите уравнение, подставив значение , и найдите x – 0,75 часа или 45 минут.
Пятый пример – автомобиль и мопед с теми же скоростями двигаются в одном направлении, но мопед выехал из точки В, находящейся на расстоянии 10 км от точки А, на полчаса раньше. Вычислить, через какое время после старта автомобиль догонит мопед.
Расстояние, которое проехал автомобиль, на 10 км больше. Прибавьте эту разницу к пути мотоциклиста и уравняйте части выражения: vx = v’(x+0,5)-10. Подставив значения скорости и решив его, вы получите : t = 1,25 часа или 1 час 15 минут.
Источники:
- какая скорость машины времени
Инструкция
Рассчитайте среднюю тела, движущегося равномерно на протяжении участка пути. Такая скорость вычисляется проще всего, поскольку она не изменяется на всем отрезке движения и равняется средней . Можно это в виде : Vрд = Vср, где Vрд – скорость равномерного движения , а Vср – средняя скорость .
Вычислите среднюю скорость равнозамедленного (равноускоренного) движения на данном участке, для чего необходимо сложить начальную и конечную скорость . Разделите на два полученный результат, который и являться средней скорость ю. Можно записать это более наглядно в качестве формулы: Vср = (Vн + Vк)/2, где Vн представляет
Покажем, как можно найти пройденный телом путь с помощью графика зависимости скорости от времени.
Начнем с самого простого случая – равномерного движения. На рисунке 6.1 изображен график зависимости v(t) – скорости от времени. Он представляет собой отрезок прямой, параллельной осн времени, так как при равномерном движении скорость постоянна.
Фигура, заключенная под этим графиком, – прямоугольник (он закрашен на рисунке). Его площадь численно равна произведению скорости v на время движения t. С другой стороны, произведение vt равно пути l, пройденному телом. Итак, при равномерном движении
путь численно равен площади фигуры, заключенной под графиком зависимости скорости от времени.
Покажем теперь, что этим замечательным свойством обладает и неравномерное движение.
Пусть, например, график зависимости скорости от времени имеет вид кривой, изображенной на рисунке 6.2.
Разобьем мысленно все время движения на столь малые промежутки, чтобы в течение каждого из них движение тела можно было считать практически равномерным (это разбиение показано штриховыми линиями на рисунке 6.2).
Тогда путь, пройденный за каждый такой промежуток, численно равен площади фигуры под соответствующим ком графика. Поэтому и весь путь равен площади фигур заключенной под всем графиком. (Использованный нами прием лежит в основе интегрального исчисления, основы которого вы будете изучать в курсе «Начала математического анализа».)
2. Путь и перемещение при прямолинейном равноускоренном движении
Применим теперь описанный выше способ нахождения пути к прямолинейному равноускоренному движению.
Начальная скорость тела равна нулю
Направим ось x в сторону ускорения тела. Тогда a x = a, v x = v. Следовательно,
На рисунке 6.3 изображен график зависимости v(t).
1. Используя рисунок 6.3, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости путь l выражается через модуль ускорения a и время движения t формулой
l = at 2 /2. (2)
Главный вывод:
при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости пройденный телом путь пропорционален квадрату времени движения.
Этим равноускоренное движение существенно отличается от равномерного.
На рисунке 6.4 приведены графики зависимости пути от времени для двух тел, одно из которых движется равномерно, а другое – равноускоренно без начальной скорости.
2. Рассмотрите рисунок 6.4 и ответьте на вопросы.
а) Каким цветом изображен график для тела, движущегося равноускоренно?
б) Чему равно ускорение этого тела?
в) Чему равны скорости тел в тот момент, когда они прошли одинаковый путь?
г) В какой момент времени скорости тел равны?
3. Тронувшись с места, автомобиль за первые 4 с проехал расстояние 20 м. Движение автомобиля считайте прямолинейным равноускоренным. Не вычисляя ускорения автомобиля, определите, какое расстояние проедет автомобиль:
а) за 8 с? б) за 16 с? в) за 2 с?
Найдем теперь зависимость проекции перемещения s x от времени. В данном случае проекция ускорения на ось x положительна, поэтому s x = l, a x = a. Таким образом, из формулы (2) следует:
s x = a x t 2 /2. (3)
Формулы (2) и (3) очень похожи, что приводит порой к ошибкам при решении простых задач. Дело в том, что значение проекции перемещения может быть отрицательным. Так будет, если ось x направлена противоположно перемещению: тогда s x < 0. А путь отрицательным быть не может!
4. На рисунке 6.5 изображены графики зависимости от времени пути и проекции перемещения для некоторого тела. Какой цвет у графика проекции перемещения?
Начальная скорость тела не равна нулю
Напомним, что в таком случае зависимость проекции скорости от времени выражается формулой
v x = v 0x + a x t, (4)
где v 0x – проекция начальной скорости на ось x.
Мы рассмотрим далее случай, когда v 0x > 0, a x > 0. В этом случае снова можно воспользоваться тем, что путь численно равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени. (Другие комбинации знаков проекции начальной скорости и ускорения рассмотрите самостоятельно: в результате получится та же общая формула (5).
На рисунке 6.6 изображен график зависимости v x (t) при v 0x > 0, a x > 0.
5. Используя рисунок 6.6, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении с начальной скоростью проекция перемещения
s x = v 0x + a x t 2 /2. (5)
Эта формула позволяет найти зависимость координаты x тела от времени. Напомним (см. формулу (6), § 2), что координата x тела связана с проекцией его перемещения s x соотношением
s x = x – x 0 ,
где x 0 - начальная координата тела. Следовательно,
x = x 0 + s x , (6)
Из формул (5), (6) получаем:
x = x 0 + v 0x t + a x t 2 /2. (7)
6. Зависимость координаты от времени для некоторого тела, движущегося вдоль оси x, выражается в единицах СИ формулой x = 6 – 5t + t 2 .
а) Чему равна начальная координата тела?
б) Чему равна проекция начальной скорости на ось x?
в) Чему равна проекция ускорения на ось x?
г) Начертите график зависимости координаты x от времени.
д) Начертите график зависимости проекции скорости от времени.
е) В какой момент скорость тела равна нулю?
ж) Вернется ли тело в начальную точку? Если да, то в какой момент (моменты) времени?
з) Пройдет ли тело через начало координат? Если да, то в какой момент (моменты) времени?
и) Начертите график зависимости проекции перемещения от времени.
к) Начертите график зависимости пути от времени.
3. Соотношение между путем и скоростью
При решении задач часто используют соотношения между путем, ускорением и скоростью (начальной v 0 , конечной v или ими обеими). Выведем эти соотношения. Начнем с движения без начальной скорости. Из формулы (1) получаем для времени движения:
Подставим это выражение в формулу (2) для пути:
l = at 2 /2 = a/2(v/a) 2 = v 2 /2a. (9)
Главный вывод:
при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости пройденный телом путь пропорционален квадрату конечной скорости.
7. Тронувшись с места, автомобиль набрал скорость 10 м/с на пути 40 м. Движение автомобиля считайте прямолинейным равноускоренным. Не вычисляя ускорения автомобиля, определите, какой путь от начала движения проехал автомобиль, когда его скорость была равна: а) 20 м/с? б) 40 м/с? в) 5 м/с?
Соотношение (9) можно получить также, вспомнив, что путь численно равен площади фигуры, заключенной под графиком зависимости скорости от времени (рис. 6.7).
Это соображение поможет вам легко справиться со следующим заданием.
8. Используя рисунок 6.8, докажите, что при торможении с постоянным ускорением тело проходит до полной остановки путь l т = v 0 2 /2a, где v 0 – начальная скорость тела, a – модуль ускорения.
В случае торможения транспортного средства (автомобиль, поезд) путь, пройденный до полной остановки, называют тормозным путём. Обратите внимание: тормозной путь при начальной скорости v 0 и путь, пройденный при разгоне с места до скорости v 0 с тем же по модулю ускорением a, одинаковы.
9. При экстренном торможении на сухом асфальте ускорение автомобиля равно по модулю 5 м/с 2 . Чему равен тормозной путь автомобиля при начальной скорости: а) 60 км/ч (максимальная разрешенная скорость в городе); б) 120 км/ч? Найдите тормозной путь при указанных скоростях во время гололеда, когда модуль ускорения равен 2 м/с 2 . Сравните найденные вами значения тормозного пути с длиной классной комнаты.
10. Используя рисунок 6.9 и формулу, выражающую площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении:
а) l = (v 2 – v 0 2)/2a, если скорость тела увеличивается;
б) l = (v 0 2 – v 2)/2a, если скорость тела уменьшается.
11. Докажите, что проекции перемещения, начальной и конечной скорости, а также ускорения связаны соотношением
s x = (v x 2 – v 0x 2)/2ax (10)
12. Автомобиль на пути 200 м разогнался от скорости 10 м/с до 30 м/с.
а) С каким ускорением двигался автомобиль?
б) За какое время автомобиль проехал указанный путь?
в) Чему равна средняя скорость автомобиля?
Дополнительные вопросы и задания
13. От движущегося поезда отцепляют последний вагон, после чего поезд движется равномерно, а вагон – с постоянным ускорением до полной остановки.
а) Изобразите на одном чертеже графики зависимости скорости от времени для поезда и вагона.
б) Во сколько раз путь, пройденный вагоном до остановки, меньше пути, пройденного поездом за то же время?
14. Отойдя от станции, электричка какое-то время ехала равноускоренно, затем в течение 1 мин – равномерно со скоростью 60 км/ч, после чего снова равноускоренно до остановки на следующей станции. Модули ускорений при разгоне и торможении были различны. Расстояние между станциями электричка прошла за 2 мин.
а) Начертите схематически график зависимости проекции скорости электрички от времени.
б) Используя этот график, найдите расстояние между станциями.
в) Какое расстояние проехала бы электричка, если бы на первом участке пути она разгонялась, а на втором – тормозила? Какова была бы при этом ее максимальная скорость?
15. Тело движется равноускоренно вдоль оси x. В начальный момент оно находилось в начале координат, а проекция его скорости была равна 8 м/с. Через 2 с координата тела стала равной 12 м.
а) Чему равна проекция ускорения тела?
б) Постройте график зависимости v x (t).
в) Напишите формулу, выражающую в единицах СИ зависимость x(t).
г) Будет ли скорость тела равна нулю? Если да, то в какой момент времени?
д) Побывает ли тело второй раз в точке с координатой 12 м? Если да, то в какой момент времени?
е) Вернется ли тело в начальную точку? Если да, то в какой момент времени, и чему будет равен пройденный при этом путь?
16. После толчка шарик вкатывается вверх по наклонной плоскости, после чего возвращается в начальную точку. На расстоянии b от начальной точки шарик побывал дважды через промежутки времени t 1 и t 2 после толчка. Вверх и вниз вдоль наклонной плоскости шарик двигался с одинаковым по модулю ускорением.
а) Направьте ось x вверх вдоль наклонной плоскости, выберите начало координат в точке начального положения шарика и напишите формулу, выражающую зависимость x(t), в которую входят модуль начальной скорости шарика v0 и модуль ускорения шарика a.
б) Используя эту формулу и тот факт, что на расстоянии b от начальной точки шарик побывал в моменты времени t 1 и t 2 составьте систему двух уравнений с двумя неизвестными v 0 и a.
в) Решив эту систему уравнений, выразите v 0 и a через b, t 1 и t 2 .
г) Выразите весь пройденный шариком путь l через b, t 1 и t 2 .
д) Найдите числовые значения v 0 , a и l при b = 30 см, t 1 = 1с, t 2 = 2 с.
е) Постройте графики зависимости v x (t), s x (t), l(t).
ж) С помощью графика зависимости sx(t) определите момент, когда модуль перемещения шарика был максимальным.
Урок на тему : «Скорость прямолинейного равноускоренного
движения. Графики скорости».
Обучающая цель : ввести формулу для определения мгновенной скорости тела в любой момент времени, продолжить формирование умения строить графики зависимости проекции скорости от времени,рассчитывать мгновенную скорость тела в любой момент времени, совершенствовать умения учащихся решать задачи аналитическим и графическим способами.
Развивающая цель : развитие у школьников теоретического, творческого мышления, формирование операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений
Мотивационная цель : пробуждение интереса к изучению физики и информатики
Ход урока.
1.Организационный момент .
Учитель:- Здравствуйте,ребята.Сегодня на уроке мы изучим тему «Скорость»,повторим тему «Ускорение», на уроке мы с вами выучим формулу для определения мгновенной скорости тела в любой момент времени, продолжим формирование умения строить графики зависимости проекции скорости от времени,рассчитывать мгновенную скорость тела в любой момент времени, будем совершенствовать умения решать задачи аналитическим и графическим способами.Я рада видеть Вас на уроке здоровыми. Не удивляйтесь,что я с этого начала наш урок: здоровье каждого из вас -самое главное для меня и других учителей. Как вы думаете,что общего может быть между нашим здоровьем и темой «Скорость»?(слайд)
Учащиеся высказывают мнение по данному вопросу.
Учитель:- Знание по данной теме может помочь предугадывать возникновение ситуаций, опасных для жизни человека, например, возникающих при дорожном движении и др.
2.Актуализация знаний.
Повторение темы «Ускорение» проводится в виде ответов обучающихся на такие вопросы:
1.что такое ускорение (слайд);
2.формула и единицы измерения ускорения(слайд);
3.равнопеременное движение(слайд);
4.графики ускорения (слайд);
5. составьте задачу с использованием изученного материала.
6.Законы или определения, приведенные ниже,имеют ряд неточностей.Дайте правильные формулировки.
Перемещением тела называют отрезок ,соединяющий начальное и конечное положение тела.
Скорость равномерного прямолинейного движения- это путь , пройденный телом за единицу времени.
Механическим движением тела называется изменение его положения в пространстве.
Прямолинейным равномерным движением называют движение, при котором тело за равные промежутки времени проходит одинаковые пути.
Ускорение- это величина, численно равная отношению скорости ко времени.
Тело,у которого малые размеры,называется материальной точкой.
Основная задача механики состоит в том, чтобы знать положение тела
Кратковременная самостоятельная работа по карточкам-7 минут.
Красная карточка-оценка «5»;синяя карточка- оценка «4»;зеленая карточка- оценка «3»
.К 1
1.какое движение называется равноускоренным?
2.Запишите формулу для определения проекции вектора ускорения.
3. Ускорение тела равно 5 м\с 2 , что это означает?
4. Скорость спуска парашютиста после раскрытия парашюта уменьшилась от 60 м\с до 5 м\с за 1,1 с. Найдите ускорение парашютиста.
1.Что называется ускорением?
3. Ускорение тела равно 3 м\с 2 . Что это означает?
4. С каким ускорением движется автомобиль, если за 10с его скорость увеличилась от 5 м\с до 10 м\с
1.Что называется ускорением?
2. Назовите единицы измерения ускорения?
3.Запишите формулу для определения проекции вектора ускорения.
4. 3. Ускорение тела равно 2 м\с 2 , что это означает?
3.Изучение нового материала .
1.Вывод формулы скорости из формулы ускорения. У доски под руководством учителя ученик пишет вывод формулы
2.Графическое представление движения.
На слайде презентации рассматривают графики скорости
.
4.Решение задач на данную тему по материалам ГИ А
Слайды презентации.
1. Используя график зависимости скорости движения тела от времени, определите скорость тела в конце 5-ой секунды, считая, что характер движения тела не изменяется.
9 м/ с
10 м/ с
12 м/ с
14 м/ с
2.По графику зависимости скорости движения тела от времени. Найдите скорость тела в момент времени t = 4 с.
3.На рисунке изображен график зависимости скорости движения материальной точки от времени. Определите скорость тела в момент времени t = 12 с , считая, что характер движения тела не изменяется.
4.На рисунке приведен график скорости некоторого тела. Определите скорость тела в момент времени t = 2 с.
5.На рисунке представлен график зависимости проекции скорости грузовика на ось х от вре ме ни. Проекция ускорения грузовика на эту ось в момент t =3 с равна
6.Тело начинает прямолинейное движение из состояния покоя, и его ускорение меняется со временем так, как показано на графике. Через 6 с после начала движения модуль скорости тела будет равен
7.Мотоциклист и велосипедист одновременно начинают равноускоренное движение. Ускорение мотоциклиста в 3 раза больше, чем у велосипедиста. В один и тот же момент времени скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста
1) в 1,5 раза
2) в √3 раза
3) в 3 раза
5.Итоги урока.(Рефлексия по данной теме.)
Что особенно запомнилось и поразило из учебного материала.
6.Домашнее задание .
7. Оценки за урок.
