).
Рис. 1.16 :
Работа при перемещении единичного заряда из точки 1 в точку 2 равна E x d x . Та же работа равна ϕ 1 − ϕ 2 = − d ϕ . Приравнивая оба выражения, получим d ϕ = − e x d x . Аналогичное рассуждение применимо для осей Y и Z . В результате находим все три компоненты вектора E → :

Можно дать инвариантное определение градиента, которое будет верно в произвольной криволинейной системе координат. Градиент функции ϕ (r →) есть вектор, направленный в сторону максимального возрастания функции, а его длина равна производной функции в том же направлении. Чтобы пояснить смысл такого определения, проведем из произвольной точки r → в каком-либо направлении единичный вектор s → . Проекция вектора A → ≡ grad ϕ на это направление есть A s = s → ⋅ A → = s → ⋅ grad ϕ . Но та же величина равна производной A s = ∂ ϕ ∕ ∂ s функции ϕ по направлению s → . В этом легко убедиться, проведя координатную ось в направлении вектора s → и повторив рассуждения начала параграфа. Таким образом,

∂ ϕ ∂ s = s → ⋅ grad ϕ .

Производная функции в каком-либо направлении равна проекции градиента этой функции на то же направление. Ясно, что эта производная максимальна, когда это направление совпадает с направлением градиента.

▸ Задача 8.1

Вычислить ковариантные и контравариантные компоненты толя точечного заряда в произвольной криволинейной системе координат. Выразить физические компоненты толя точечного заряда в произвольной ортогональной системе координат через коэффициенты Ламэ.

Решение: Пусть x j — контравариантные координаты. Ковариантые компоненты E j = − ∂ ϕ ∕ ∂ x j вектора E → в этой системе координат находим по формуле

E j = − ∂ ∂ x j q r = q r 2 ∂ r ∂ x j .

Контравариантные компоненты E j находим по формуле

E j = g j k E k ,

гдепо паре повторяющихся индексов подразумевается суммирование. Напомним, что

G j k = ∂ r → ∂ x j ⋅ ∂ r → ∂ x k

есть метрический тензор, через который выражается элемент длины:

(d r →) 2 = g j k d x j d x k .

Тензор g j k является обратным к нему:

G j k g k l = δ l j .

В ортогональной системе координат элемент длины выражается через коэффициенты Ламэ:

(d r →) 2 = (h 1 d x 1) 2 + (h 2 d x 2) 2 + (h 3 d x 3) 2 ,

а метрический тензор диагонален:

G j k = h 1 2 0 0 0 h 2 2 0 0 0 h 3 2 .

Обратный ему тензор также диагонален:

G j k = (g j k) − 1 = 1 ∕ h 1 2 0 0 0 1 ∕ h 2 2 0 0 0 1 ∕ h 3 2 .

Физические компоненты векторов определены в ортогональной системе координат, как среднее геометрическое произведения ковариантных и контравариантных компонент:

E h 1 = E 1 E 1 = E 1 ∕ h 1 , E h 2 = E 2 E 2 = E 2 ∕ h 2 , E h 3 = E 3 E 3 = E 3 ∕ h 3 . ▸ Задача 8.2

Записать толе точечного заряда в сферической и цилиндрической системах координат.

Решение: В сферической системе координат (r , θ , α) с центром в месте нахождения заряда отлична от нуля только первая ковариантная компонента вектора поля: E 1 = q ∕ r 2 , так как ϕ = q ∕ r не зависит от θ и α . Из всех коэффициентов Ламэ ( h 1 = 1 , h 2 = r , h 3 = r sin θ ) именно h 1 равен 1, поэтому ковариантная, контравариантная и физическая компоненты все равны друг другу: E 1 = E 1 = E r = q ∕ r 2 .

В цилиндрической системе координат (ρ , α , z) также с центром в месте нахождения заряда имеем: h 1 = 1 , h 2 = ρ , h 3 = 1 , r = ρ 2 + z 2 . Дифференцируя ϕ = q ∕ r , вычисляем ковариантные компоненты поля, и затем вновь приходим к выводу, что соответствующие ковариантная, контравариантная и физическая компоненты все равны: E ρ = (q ∕ r 2) (ρ ∕ r) , E α = 0 , E z = (q ∕ r 2) (z ∕ r) .

Понятие градиента потенциала позволяет рассчитать составляющие E x , E y , E z вектора электрического поля в каждой точке пространства по значениям поля потенциала.

Как функция координат потенциал U(x,y,z) является полем скалярной величины U . В этом поле имеются поверхности, на которых значения потенциала U не меняются, т.е. являются постоянными величинами. Такие поверхности называют эквипотенциальными. Так как между отдельными точками эквипотенциальной поверхности нет разности потенциалов, то очевидно работа сил поля при перемещении зарядов вдоль такой поверхности будет равна нулю. Это означает, что проекции сил поля на эту поверхность будут равны нулю. Следовательно, в каждой точке эквипотенциальной поверхности силовые линии электростатического поля расположены по отношению к ней перпендикулярно, рис. 3.3.

а) б)

Рис. 3.3. Эквипотенциальные поверхности (a), к определению градиента и
производной по направлению (б)

Градиентом потенциала в точке А(x,y,z) назовем производную функции U по линии, направленной в точке А вдоль вектора нормали :

Градиент потенциала – это вектор, направленный в каждой точке перпендикулярно эквипотенциальной поверхности, т.е. в направлении вектора напряженности поля .

По абсолютной величине градиент потенциала равен скорости изменения потенциала в направлении . Из рис. 3.3 видно, что

.

. (3.9)

Функцию называют производной по направлению.

Из этого выражения видно, что производная по любому направлению, отличному от направления нормали, меньше по абсолютному значению производной по направлению нормали. Таким образом, градиент – это векторная величина, которая соответствует направлению наиболее быстрого изменению потенциала. Производная в направлении нормали имеет наибольшее значение. Это хорошо видно на рис. 3.3 б, где показана бесконечно малая окрестность точки А. В этой окрестности эквипотенциальные поверхности и практически параллельны и изменения потенциала на интервалах и одинаковы. Следовательно,

Найдем теперь производные потенциала в точке А по направлению каждой из координатных осей x, y и z :

, ,

.

Видно, что эти производные являются проекциями градиента (как векторной величины) по оси x, y, z , т.е.

, , .

По абсолютной величине

. (3.11)

На основании формул (3.2 -3.4)

. (3.12)

Таким образом, установлен очень важный факт, заключающийся в том, что напряженность электрического поля равна градиенту потенциала с обратным знаком. Расписывая это выражение по координатам, находим, что

. (3.14)

На основании (3.2), учитывая, что , получим:

С учетом (3.12) также получим:

, (3.16)

. (3.17)

Последнее уравнение называют уравнением Пуассона. В развернутом виде

. (3.18)

Если в исследуемом объеме отсутствуют заряды, то

, (3.19)

. (3.20)

Это уравнение называют уравнением Лапласа.

Полученные уравнения позволяют решить следующую очень важную задачу. Как, зная распределение зарядов в некоторой области определить напряженности полей E x , E y , E z в каждой точке пространства с координатами x, y, z . Из анализа выражения (3.15) следует, что решить непосредственно уравнение

относительно трех неизвестных E x , E y , E z нельзя.

Однако можно решить дифференциальные уравнения в частных производных Пуассона относительно одной неизвестной – потенциала U , а затем найти составляющие поля из уравнения (3.12). Что касается уравнения Лапласа, то, казалось бы, что при отсутствии зарядов его нет смысла рассматривать. Однако его решения очень важны тогда, когда можно задать граничные условия. В этом случае оно дает единственное решение для свободного пространства, если заданы значения полей на некоторой границе.

7. Градиент электрического потенциала и вектор е. Силовые линии поля. Эквипотенциальные поверхности.

Градиент (потенциала) – вектор, показывающий направление наибольшего роста скалярной функции :

, (9)

где , – координатные орты.

Величина этого вектора равна изменению потенциала при перемещении на единицу длины в направлении быстрейшего изменения.

Длина градиента (потенциала) равна

. (10)

Из механики известно, что консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии частицы, взятому с обратным знаком, т.е.

, (11)

где
– символический вектор, называемый оператором Гамильтона или оператором набла .

Для электростатического поля имеем:

Тогда соотношение (11) принимает вид

,

или

, (12)

т.е. напряженность электрического поля равна градиенту потенциала с обратным знаком.

Знак минус в (12) показывает, что вектор направлен противоположно вектору градиента потенциала , и силовые линии электрического поля являются линиями, вдоль которых потенциал изменяется наиболее быстро.

Очевидно, что проекция вектора на произвольное направление l равна со знаком минус частной производной потенциала по данному направлению:

. (13)

В случае однородного электрического поля (поля плоского конденсатора), в любой точке которого вектор напряженности постоянен как по величине, так и по направлению, имеем простое соотношение:

, (14)

где
– разность потенциалов или напряжение между пластинами конденсатора (или между двумя эквипотенциальными поверхностями);

– расстояние между пластинами конденсатора (или между двумя эквипотенциальными поверхностями).

Поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется поверхностью равного потенциала или эквипотенциальной поверхностью , для которой

. (15)

Перенос заряда вдоль эквипотенциальной поверхности не требует работы (разность потенциалов двух любых точек этой поверхности равна нулю). Это означает, что сила, действующая на переносимый заряд, перпендикулярна к перемещению.

Следовательно, вектор всегда направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности, т.е. линии напряженности в каждой точке ортогональны к эквипотенциальной поверхности.

Итак, можно сделать важный вывод о том, что электрическое поле полностью можно описать векторной величиной – напряженностью . Но во многих случаях оказывается, что для вычисления напряженности электрического поля удобнее сначала определить потенциал φ и затем по формуле

вычислить напряженность
.

Силовые линии - направленные линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности электрического поля. Отсюда следует, что напряженность равна разности потенциалов U на единицу длины силовой линии .

Именно вдоль силовой линии происходит максимальное изменение потенциала. Поэтому всегда можно определитьмежду двумя точками, измеряя U между ними, причем тем точнее, чем ближе точки. В однородном электрическом поле силовые линии – прямые. Поэтому здесь определить наиболее просто:

Графическое изображение силовых линий и эквипотенциальных поверхностей показано на рисунке 3.4.

При перемещении по этой поверхности на dl потенциал не изменится:

Отсюда следует, что проекция вектора на dl равнанулю, то есть Следовательно, в каждой точке направлена по нормали к эквипотенциальной поверхности.

Эквипотенциальных поверхностей можно провести сколько угодно много. По густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине , это будет при условии, что разность потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями равна постоянной величине

Электрическое поле характеризуется тем, что работа перемещения заряда в поле не зависит от пути перехода из начального положения и является функцией только начального и конечного положений. Работа перемещения заряда по замкнутому контуру в электростатическом поле равна нулю. Из этих фактов следует, что электростатическое поле носит потенциальный характер и характеризуется особой величиной –
потенциалом . Величина

Где W р – потенциальная энергия заряда q , называется потенциалом поля в данной точке и используется наряду с напряженностью поля для описания электрических полей.

Как следует из приведенной формулы, потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.

В то время, как напряженности поля складываются при наложении полей векторно, потенциалы складываются алгебраически. По этой причине вычисление потенциалов проще, чем вычисление напряженностей поля.

Из (12) вытекает, что заряд q , находящийся в точке поля с потенциалом , обладает потенциальной энергией

Следовательно, работа сил над зарядом q может быть выражено через разность потенциалов

Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках .

Если заряд q из точки с потенциалом удаляется на бес­конечность, где по условию потенциал равен нулю, то работа сил поля равна

Отсюда следует, что потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при уда­лении его из денной точки на бесконечность.

Последнее соотношение модно использовать для установления еди­ниц измерения потенциала. За единицу потенциала следует принять потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из беско­нечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу, равную единице. Так, за СИ - единицу потенциала, называе­мую вольтом (В), принимается потенциал в такой точке, для переме­щения в которую из бесконечности заряда, равного 1 кулону, нужно совершить работу в 1Дж: 1Дж= 1Кл*1В.

Отсюда 1В =1Дж/1Кл.

Эквипотенциальные поверхности .

Для наглядного изображения поля можно вместо линий напряженнос­тей воспользоваться поверхностями равного потенциала или эквипо­тенциальными поверхностями.

Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью.

Если потенциал задан как функция X, Y, Z , то уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:

(x,y,z) = const.

Эти поверхности проводятся в пространстве таким образом, чтобы численное значение потенциала на двух соседних поверхностях от­личалось повсюду на одинаковую величину ∆ (например на I В).

В качестве примера рассмотрим эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда . Отсюда следует, что при r = const т.е. поверхности равного потенциала будут концентрическими сферами, описанными вокруг источника поля на возрастающих расстояниях друг от друга, как это показано на рис.4.

Проведем на рис.4 линии напряженности поля. Эти линии выходят из точечного заряда и направ­лены вдоль радиусов, т.е. перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям.

Эта взаимная перпендикулярность линий поля и эквипотенциальных поверхностей остается справедливой и для сколь угодно сложных электро­статических полей.

Градиент потенциала. Связь между напряжен­ностью и потенциалом.

Электрическое поле можно описать либо с помощью векторной величины , либо с помощью скалярной величины . Очевидно, что между этими величинами должна существовать определенная связь. Если учесть, что пропорционально силе, действующей на заряд, а - потенциальной энергии заряда, легко сообра­зить, что эта связь должна быть аналогична связи между потенци­альной энергией и силой. .

Работа сил поля над зарядом q на отрезке пути dl мо­жет быть представлена с одной стороны, как

где - проекция вектора напряженности на направление элемен­тарного перемещения с другой стороны, как убыль потенциальной энергии заряда, т.е. - . Приравнивая эти выражения, получим: , откуда находим, что , где через l обозначено произвольно выбранное направление в пространстве.

1. Из формул (8.1)

следует, что

где означает производную по направлению вектора ds (см. приложение, § 2). По определению понятия градиента эта пространственная производная скаляра совпадает со слагающей его градиента по направлению уравнение (4]:

Таким образом,

Так как это равенство проекций векторов должно иметь место при любом выборе направления то и векторы эти должны быть равны друг другу:

Таким образом, напряженность электростатического поля равна градиенту электростатического потенциала взятому с обратным знаком.

Так как градиент потенциала направлен в сторону его возрастания и является мерой быстроты этого возрастания, то можно сказать, что напряженность электрического поля есть мера быстроты спадания потенциала, или, просто, что она равна спаду потенциала. Направление напряженности поля совпадает с направлением ортогональных траекторий эквипотенциальных поверхностей (см. приложение, § 2). Поэтому эти ортогональные траектории (линии градиента) совпадают с линиями электрических сил, или силовыми линиями.

2. Электрической силовой линией называется линия, касательные к которой в каждой ее точке совпадают по направлению с вектором напряженности электрического поля в той же точке (т. е. с направлением электрической силы, действующей на единичный положительный заряд). Очевидно, что через каждую точку поля, в которой можно провести одну и только одну силовую линию. В каждой такой точке вектор имеет вполне определенное направление. Отложив из произвольно малый отрезок в направлении мы придем в точку в которой вектор может иметь иное направление, чем в Отложив из произвольно малый отрезок в соответствующем направлении, мы придем в новую точку в которой можем опять повторить ту же операцию, и т. д. Полученная таким образом ломаная линия в пределе, при беспредельном уменьшении составляющих ее отрезков, совпадает с искомой силовой линией.

Чтобы получить аналитическое уравнение силовых линий, достаточно учесть, что элемент длины силовой линии параллелен напряженности поля т. е. что слагающие его по осям координат пропорциональны слагающим вектора Е:

Уравнения (10.3) эквивалентны системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений, например интегралы которых имеют вид: где постоянные интегрирования. Совокупность этих последних уравнений и представляет собою уравнение силовой линии. Произвол в выборе постоянных соответствует возможности произвольно выбрать координаты той точки поля, через которую мы желаем провести данную силовую линию.

Физики XIX в. долгое время стремились объяснить электромагнитные явления деформациями и вихревыми движениями особой всепроникающей гипотетической среды - эфира; они полагали, что силовые линии совпадают с осями деформации (или осями кручения), испытываемой эфиром в электрическом поле. Однако к началу XX в. выяснилась полная несостоятельность механистической теории эфира, и в настоящее время, пользуясь понятием «силовых линий», нужно помнить, что понятие это имеет условно-вспомогательное значение и что силовые линии служат лишь для графического изображения направления электрического вектора.

3. Впрочем, подобно тому как при надлежащем способе черчения эквипотенциальных поверхностей густота их расположения может служить мерой градиента потенциала, т. е. мерой напряженности поля, подобно этому и силовыми линиями можно воспользоваться для той же цели.

Нанести на чертеж все силовые линии, проходящие через каждую точку поля и заполняющие собой все занимаемое полем пространство, конечно, невозможно. Обыкновенно силовые линии чертятся с таким расчетом, чтобы в любом участке поля число линий, пересекающих перпендикулярную к ним площадку единичной поверхности, было по возможности пропорционально

напряженности поля на этой площадке. В таком случае густота расположения силовых линий может служить мерой напряженности поля. При этом число линий, пересекающих произвольный элемент поверхности будет, очевидно, пропорционально произведению напряженности и проекции элемента на плоскость, перпендикулярную к Это произведение равно потоку вектора через элемент Поэтому вместо термина «поток вектора через данную поверхность» употребляют иногда выражение «число силовых линий, пересекающих данную поверхность». Это число линий считается положительным или отрицательным в зависимости от того, пересекают ли силовые линии данную поверхность в направлении положительной (внешней) или отрицательной (внутренней) нормали к ней.

Отметим, что при указанном способе черчения силовых линий общее число этих линий, пересекающих любую замкнутую поверхность должно быть пропорциональным алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри ибо, согласно теореме Гаусса (3.6), сумма этих зарядов пропорциональна потоку вектора через При этом, конечно, определяя число линий, пересекающих мы каждую из них должны брать с надлежащим знаком или

В частности, число силовых линий, пересекающих любую, не содержащую зарядов, замкнутую поверхность, равно нулю. Иными словами, число (положительное) линий, выходящих из ограниченного поверхностью объема, равно (отрицательному) числу линий, входящих в него. Отсюда следует, что в свободных от зарядов участках поля силовые линии не могут ни начинаться, ни оканчиваться. С другой стороны, линии эти не могут

также быть замкнутыми. В противном случае, линейный интеграл по каждой из замкнутых линий сил был бы отличен от нуля (ибо элементы линий сил параллельны стало быть, подынтегральное выражение существенно положительно), что противоречит уравнению (7.3). Стало быть, в электростатическом поле линии сил либо начинаются и оканчиваются на электрических зарядах, либо одним своим концом уходят в бесконечность.

Таким образом, для получения правильной картины поля достаточно, очевидно, от каждого элемента заряда провести число линий, пропорциональное величине этого заряда.

Для незамкнутых линий, впрочем, существует, помимо перечисленных, еще третья возможность: они могут при безграничном продолжении, не пересекаясь и не замыкаясь, всюду плотно заполнять некоторый ограниченный участок пространства. С такого рода магнитными силовыми линиями мы познакомимся в гл. IV. Однако для силовых линий электростатического поля эта возможность исключена, ибо линия, заполняющая некоторый участок пространства, должна при достаточном продолжении как угодно близко подходить к ранее пройденным ею точкам. Если суть две такие бесконечно близкие точки на подобной силовой линии то интеграл по этой линии будет существенно положителен и будет обладать конечной величиной. Вместе с тем, если только вектор конечен, этот интеграл должен отличаться лишь на бесконечно малую величину от интеграла по замкнутому контуру, образованному отрезком силовой линии и бесконечно малым отрезком прямой, соединяющей Но последний интеграл, согласно (7.3), равен нулю, т. е. отличается на конечную величину от Этим противоречием и доказывается невозможность существования силовых линий указанного типа.