Что такое периметр? Вычисляем площадь квадрата: по стороне, диагонале, периметру.

Периметр - один из математических, а точнее - геометрических терминов, применяется в основном для вычисления сторон фигуры.

Из нашей статьи вы узнаете, что такое периметр и как он измеряется на примере основных геометрических фигур.

Определение периметра

Периметром называют общую длину всех сторон или окружности той или иной фигуры. Обозначается периметр большой буквой «Р», а измерять его можно в различных единицах длины, таких как миллиметры (мм), сантиметры (см), метры (м) и т. д. Для различных фигур существуют различные формулы для нахождения периметра. Ниже мы приведем несколько примеров, как узнать периметр у прямоугольника и некоторых других фигур.

Измеряем периметр

Если вам необходимо узнать периметр у сложной фигуры (к таким фигурам можно отнести фигуры с неровными линиями), то для этого вам понадобится веревка или нитка. При помощи этих вещей необходимо описать точный контур фигуры, а чтобы не запутаться, вы можете на веревке сделать отметки карандашом. Или же можно просто ее обрезать, а после приложить все части к линейке. Таким образом, вы узнаете, чему равен периметр практически у любой сложной фигуры.

Существует еще одно приспособление для вычисления периметра у сложных фигур: его называют курвиметр (роликовый дальномер). С его помощью вам нужно установить ролик в любую точку фигуры и описать роликом контур фигуры. Полученное число и будет равно периметру. О нахождении периметра у других геометрических фигур вы сможете узнать из нашей статьи . Ну а мы расскажем ещё о нескольких способах изменения периметра для разных фигур.

Круг, квадрат, равносторонний треугольник

Давайте также рассмотрим, как узнать периметр круга. Это довольно-таки просто: достаточно лишь определить длину окружности, а сделать это можно, умножив радиус «r» на число π≈3,14 и затем на 2 (P=L=2∙π∙r).

Часто на просторах интернета можно найти насмешки по поводу того, как знания по математике - интегралы, дифференциалы, тригонометрические функции и прочие разделы предмета - не помогают облегчить жизнь человека. Такие шутки напрасны, ведь как выручает умение правильно рассчитывать периметр квадрата, прямоугольника и других геометрических фигур в строительных работах. Расход материала: плитки, обоев, напольного покрытия - не определить без понимания элементарных математических формул и геометрических фигур.

Свойства квадрата

Любые вычисления в математике базируются на свойствах объекта. Чтобы ответить на вопрос: «Чему равен периметр квадрата?» - рекомендуется вспомнить отличительные характеристики этой фигуры.

1. Равенство всех сторон.
2. Наличие четырех углов величиной 90 градусов.
3. Параллельность сторон.
4. Поворотная симметрия. При вращении фигуры ее вид остается неизменным.
5. Возможность описать и вписать окружность.
6. Диагонали при пересечении делят друг друга пополам.
7. Площадь фигуры характеризует заполненное квадратом место в двухмерном пространстве.
8. Периметр фигуры не что иное, как сумма длин его сторон.
9. Из предыдущего свойства вытекает, что единицами измерения величины периметра будут единицы длины: м, см, дм и другие.

Для подсчета плинтусов для завершения ремонта в квадратном помещении, необходимо знать длину комнаты. Для этого необходимо посчитать ее периметр.

Периметр

В переводе с греческого языка слово означает «измерять вокруг». Термин применим ко всем замкнутым фигурам: квадрату, окружности, прямоугольнику, треугольнику, трапеции и прочим. Знания по определению периметра элементарных фигур необходимы для решения сложных геометрических задач с объектами неправильной формы. Например, для расчета плинтусов в комнату планировкой типа «Г», или как еще называют, «сапожком», потребуется определить периметр квадрата и прямоугольника. Ведь форма помещения состоит из этих элементарных фигур.

Общепринятое обозначение такой величины - буква Р. Каждой фигуре с учетом ее свойств присуща своя формула для определения периметра.

Свойства прямоугольника

1. Равенство противоположных сторон.
2. Равенство диагоналей.
3. Возможность описать окружность.
4. Высоты прямоугольника равны его сторонам.
5. Сумма углов равна 360 градусов, и все углы прямые.
6. Параллельность противоположных сторон.
7. Перпендикулярность прилегающих сторон.
8. Сумма квадратов диагоналей прямоугольника равна сумме квадратов его сторон.
9. Пересекаясь, диагонали делят друг друга пополам.
10. Невозможность вписать в фигуру окружность.

Периметр квадрата

В зависимости от установленных (известных) параметров квадрата, существуют разные формулы для определения его периметра. Простой задачей является расчет периметра при установленной длине его стороны (с). В этом случае Р=с+с+с+с или 4*с. Например, длина стороны квадрата 7 см, тогда периметр фигуры буде 28 см (4*7).

В первом случае все понятно, но как найти периметр квадрата, зная его площадь? И тут все предельно ясно. Поскольку площадь фигуры определяется умножением одной стороны на другую, а у квадрата все стороны равны, необходимо извлечь корень из известной величины. Пример: есть квадрат с площадью 25 дм 2 . Корень из 25 равен 5 - эта величина характеризует длину стороны квадрата. Теперь, подставляя найденную величину - 5 дм 2 - в первоначальную формулу периметра, можно решить задачу. Ответом будет значение в 20 дм. То есть 4 умножили на 5, получили искомую величину.

Квадрат и окружность

Из свойств рассматриваемой фигуры выплывает, что в квадрат можно вписать окружность и также ее описать вокруг фигуры.

Первый вариант - нахождение периметра по радиусу описанной окружности. Вписанным считается квадрат, вершины которого находятся на окружности. Радиус окружности равен 1/2 длине диагонали. Выходит, что диаметр равен диагонали. Теперь необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник, который получился в результате деления диагональю квадрата. Решение задачи сводится к нахождению сторон этого треугольника. ВС - это известная величина, диаметр описанной окружности. Допустим, он равен 3 см. Теорема Пифагора в случае с равными сторонами треугольника, будет выглядеть так: 2с 2 =3 2 . В формуле обозначение с - это длина стороны треугольника и квадрата; 3 - известная величина гипотенузы. Отсюда, с=√9/2. Зная сторону квадрата, его периметр посчитать не проблема.

Особенностью вписанной окружности является деление сторон квадрата пополам. Поэтому радиус равняется половине длины стороны квадрата. Тогда сторона с=2*радиус. Периметр квадрата в этом случае равен 4*2*радиус или 8 радиусам окружности.

Периметр прямоугольника

Самая элементарная формула определения периметра прямоугольника через известные величины его сторон выглядит так: Р=2(а+b), где а и b - длины сторон фигуры.

Диагональ прямоугольника аналогично квадрату делит фигуру пополам, образуя прямоугольный треугольник. Однако задача усложняется тем, что стороны этого треугольника неравные. В случае с известной величиной одной из сторон и диагонали, вторую можно найти, следуя теореме Пифагора: д 2 =а 2 +в 2 , где а и в - стороны фигуры, а д - диагональ.

Если неизвестна ни одна из сторон, тогда в дело вступают знания тригонометрии: синусы, косинусы и другие функции.

Нахождение периметра по описанной окружности и известному диаметру сводится к тому, что диаметр равен длине диагонали фигуры. Дальше решение задачи определяется по наличию известных величин. Если даны углы, тогда через тригонометрические функции. Если дана сторона, ответ будет найден через теорему Пифагора.

Прямоугольник и тригонометрические функции

Для наглядности приведен пример решения задачи. Дано: прямоугольник АВСД; длина диагонали (d ) 20 см; угол ф - 30°. Найти периметр фигуры.

Из тригонометрии необходимо вспомнить следующее: синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе. Синус 30° (существуют таблицы, по которым можно определить значения тригонометрических функций для правильных углов) равен 1/2. Получается 1/2 = отношению в к d . Неизвестная величина в будет равна d /2=20/2=10 см.

Для расчета периметра следует найти вторую сторону фигуры. Можно через теорему Пифагора, так как известны длины гипотенузы и одного из катетов или опять через отношение сторон для косинуса угла.

Косинус угла ф выражается как отношение прилежащего катета к гипотенузе и равен √3/2.

√3/2=n/d , n=(d *√3)/2 или 10*√3. После извлечения корня из 3, получаем длину стороны треугольника: 10*1,73=17,3 см.

Периметр равен 2(17,3+10)=2*27,3=54,6 см.

Периметр и отношение сторон

В школьной программе встречаются задачи по геометрии, когда длины сторон прямоугольника выражены их отношением друг к другу. Рассмотрение решения подобной задачи представлено ниже.

Известно, что сумма длин всех сторон прямоугольника, то есть его периметр, равен 84 см. Отношение длины (д) к ширине (ш) - 3:2. Найти стороны фигуры.

Решение: пусть длина будет 3х, а ширина 2х, согласно соотношению из условия задачи. Формула периметра прямоугольника с полученными данными длин сторон будет следующей: 3х+3х+2х+2х = 84. Далее, 10х = 84, х=8,4 см. Подставив х в выражение длины и ширины прямоугольника, можно найти искомые величины. Длина будет: 3*8,4 = 25,2 см; ширина: 2*8,4 = 16,8 см.

Статья посвящена решению наиболее часто встречаемых задач в школьной программе. И это далеко не все способы нахождения периметра квадрата и прямоугольника.

Площадь квадрата – базовое понятие, благодаря которому можно без проблем рассчитать расход материалов для ремонта, высчитать верные габариты мебели при замерах помещения, понять, сколько нужно удобрения и семян для высадки важных культур на огромном поле.

Приведенными формулами площади квадрата пользуются и строители, и мебельные производители, и представители сельского хозяйства.

Что такое квадрат?

Квадрат – правильный прямоугольник с равными сторонами. Каждый угол фигуры равен 90⁰. Квадрат относится к простым геометрическим фигурам, расположенным на плоскости. Найти площадь квадрата можно несколькими способами вычислений: по диагонали, по стороне, по периметру.

Формулы площади, примеры расчетов

Площадь простой фигуры – положительная величина, обладающая перечисленными ниже свойствами:

• Равные геометрические фигуры обладают равными площадями.
• В случае, если простая фигура разделена на несколько частей, ее общая площадь будет всегда равна сумме площадей всех элементов.
• Площадь квадрата всегда равна единице, если его сторона соответствует единице измерения.

По стороне

В геометрии площадь всегда обозначается как S, а маленькие латинские буквы (например, а и b) – это стороны простой фигуры.

В основе вычисления площади любого прямоугольника по стороне лежит простая формула: S = ab , но в случае с квадратом формулу преобразовывают в S = а² , так как две стороны одинаковы по длине.

Отсюда следует утверждение, что площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Пример 1: Дан квадрат, сторона которого равна 5 см. Чему равна площадь?
Решение: S = 5² = 25 см

Пример 2: Сторона фигуры 3 см. Найдите площадь.
Решение: S = 3² = 9 см

По диагонали

Еще один вариант найти площадь – это произвести вычисления относительно диагонали фигуры (d). Правда, для этого нужно сперва найти длину самой диагонали. Известно, что диагональ делит квадрат на два равнобедренных треугольника. А значит, вычисления можно провести по известной теореме Пифагора, где катетами будут выступать стороны квадрата, а гипотенузой – собственно диагональ.

Расчет площади по диагонали производится по принципу: площадь квадрата равна квадрату длины диагонали (вычисленной по теореме Пифагора) и поделенному на два.

Пример: Дан квадрат, диагональ которого составляет 10 см. Как вычислить площадь?
Решение: Согласно формуле, приведенной выше, вычисления производятся так: S = 10²/2 = 100/2 = 50 cм²

По периметру

Периметр – сумма всех длин сторон квадрата. Обозначается периметр латинской буквой Р. Беря во внимание определение квадрата, получаем универсальную формулу расчета периметра для равностороннего четырехугольника: Р = 4а . То есть, периметр квадрата равен длине стороны, помноженной на четыре.

Вычисления площади квадрата относительно суммы всех сторон необходимо в том случае, если в задаче задано только значение периметра. Зная формулу вычисления периметра, очень легко найти площадь.

Если Р = 4а , то а = Р/4 . Далее уже нужно использовать формулу расчета площади по стороне.

Пример: Пусть будет дан квадрат с периметром 100 мм. Какова площадь?
Решение: Сторона квадрата будет равна 100/4 = 25 мм. Ну, а площадь квадрата дальше вычисляется по формуле, где площадь квадрата равна квадрату сторон. То есть, S = 25² = 625 мм²

Площадь квадрата вписанного в окружность

Этот вариант используется как следствие формулы, полученной ранее (расчет по диагонали). Согласно математическим данным, диаметр круга как раз и будет равен диагонали квадрата. Поэтому, чтобы оперативно рассчитать площадь равностороннего четырехугольника, достаточно будет знать диаметр круга. А далее используется уже известная формула: S = d²/2

Типовая задача: например, дана окружность с диагональю 8 см и в нее вписан квадрат. Какая площадь четырехугольника?
Правильное решение: S = 8²/2 = 64/2 = 32 cм²

Видео урок

Квадрат (от лат. quadratus - четырёхугольный) - верный четырёхугольник у которого все стороны и углы равны меж собой. Может быть определён как прямоугольник, у которого две смежные стороны равны меж собой, либо как ромб, у которого все углы прямые.

Симметрия. Квадрат обладает большей симметрией посреди всех четырёхугольников. Он имеет:

В том случае обозначить сторону квадрата a , то длина диагонали d рассчитывается по аксиоме Пифагора:

d = √(a2 +a2) = √(2a2) = √2·a.

Вписанная и описанная окружности. Вписанная в квадрат окружность касается середины всех сторон квадрата и имеет радиус r , равный половине стороны квадрата a. Описанная вокруг квадрата окружность проходит через все его вершины и имеет радиус R , равный половине длины диагонали квадрата d:

r = a/2,

R = d/2 = (√2/2)·a.

Периметр и площадь. Периметр P квадрата складывается из длин 4 его сторон. Площадь S квадрата равна квадрату длины его стороны:

P = 4a = 8r = 2√2·R,

S = a2 = 4r2 = 2R2.

Источники:

Источник материала Интернет-сайт

Пример: Дан квадрат с площадь ю 49 см². Требуется найти его периметр .
Решение:
Сначала необходимо извлечь корень площади квадрата : √49 = 7 см
Затем, вычислив длину стороны квадрата , можно вычислить и периметр : 7+7+7+7 = 28 см
Ответ: периметр квадрата площадь ю 49 см² составляет 28 см

Обратите внимание

Для квадрата справедливы следующие определения:
Квадрат - это прямоугольник, который обладает равными между собой сторонами.
Квадрат - это особая разновидность ромба, у которого каждый из углов равен 90 градусам.
Являясь правильным четырехугольником, вокруг квадрата можно описать или вписать окружность. Радиус вписанной в квадрат окружность можно найти по формуле:
R = t/2, где t - сторона квадрата.
Если же окружность описана вокруг него, то ее радиус находится так:
R = (√2*t)/2
Исходя из данных формул, можно вывести новые для нахождения периметра квадрата:
P = 8*R, где R - радиус вписанной окружности;
P = 4*√2*R, где R - радиус описанной окружности.
Квадрат является уникальной геометрической фигурой, поскольку он абсолютно симметричен, независимо от того, как и где провести ось симметрии.

Часто в геометрических задачах требуется найти длину стороны квадрата, если известны другие его параметры - такие, как площадь, диагональ или периметр.

Вам понадобится

• Калькулятор

Инструкция

Найти длину стороны квадрата.
Решение:
a=√9=3
Ответ:
Сторона квадрата равняется 3 метрам.

В том случае, когда известен периметр квадрата, для определения длины стороны нужно числовое периметра разделить на (так как квадрат имеет четыре стороны одинаковой длины):
a=P/4, где:
a - длина стороны квадрата;

P - периметр квадрата.
Единицей измерения стороны квадрата будет являться та же самая линейная единица измерения длины как и у периметра. Например, если периметр квадрата задан в сантиметрах, то длина его стороны также получится в сантиметрах.
Пример:
Периметр квадрата составляет 20 метров.

Найти длину стороны квадрата.
Решение:
a=20/4=5
Ответ:
Длина стороны квадрата равняется 5 метрам.

Если известна длина диагонали квадрата, до длина его стороны будет равняться длине его диагонали, разделенной на корень квадратный из 2 (по теореме Пифагора, так как смежные стороны квадрата и диагональ составляют равнобедренный треугольник):
a=d/√2

(т.к. a^2+a^2=d^2), где:
a - длина стороны квадрата;

d - длина диагонали квадрата.
Единицей измерения стороны квадрата будет являться единица измерения длины та же самая, что и у диагонали. Например, если диагональ квадрата измерена в сантиметрах, то и длина его стороны получится в сантиметрах.
Пример:
Диагональ квадрата равняется 10 метров.

Найти длину стороны квадрата.
Решение:
a=10/√2, или приблизительно: 7,071
Ответ:
Длина стороны квадрата равняется 10/√2, или примерно 1,071 метра.

Источники:

• стороны квадрата

Квадрат – красивая и простая плоская геометрическая фигура. Это прямоугольник с равными сторонами. Как же найти периметр квадрата , если известна длина его стороны?

Инструкция

Прежде всего, вспомнить, что периметр есть ни что иное как сумма геометрической фигуры. Рассматриваемый нами четыре стороны. Более того, по , все эти стороны равны между .
Из этих предпосылок простая для нахождения периметр а квадрата – периметр квадрата длине стороны квадрата , умноженной на четыре:
Р = 4а, где а – длина стороны квадрата .

Видео по теме

Периметром называют общую длину границы фигуры чаще всего на плоскости. Квадрат - правильный четырехугольник или ромб, у которого все углы прямые, или параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.

Видео по теме

Обратите внимание

Периметр квадрата величина всегда положительная, как и любая другая длина.

Полезный совет

Аналогичным образом можно найти и периметр ромба, так как квадрат является частным случаем ромба с прямыми углами.

Инструкция

Зная периметр фигуры, можно найти другую ее сторону, а также площадь. Сам же периметр, в свою очередь, может быть найден по нескольким заданным сторонам либо по углу , в зависимости от условий задачи. Также в ряде случаев его выражают через площадь. Наиболее просто находится . Начертите прямоугольник с одной из сторон, равной а, и диагональю, равной d. Зная эти две величины, найдите по теореме Пифагора другую его сторону, которая является шириной прямоугольника. Найдя ширину прямоугольника, вычислите его периметр следующим образом: p=2(a+b). Эта справедлива для всех прямоугольников, поскольку у любого из них четыре стороны.

Обратите внимание на тот факт, что периметр треугольника в большинстве задач находят при наличии информации хотя бы об одном его угле. Однако, имеются и задачи, в которых все стороны треугольник известны, и тогда периметр может быть вычислен простым суммированием, без использования тригонометрических вычислений: p=a+b+c, где a, b и c - стороны. Но такие задачи встречаются в учебниках редко, поскольку способ их решения очевиден. Более задачи по нахождению периметра треугольника решайте . Например, начертите , у которого известны основание и угол при нем. Для того чтобы найти его периметр, вначале найдите стороны a и b следующим образом: b=c/2cosα. Поскольку a=b (), сделайте следующий вывод: a=b=c/2cosα.

Периметр многоугольника вычисляйте аналогичным образом, складывая длины всех его сторон: p=a+b+c+d+e+f и так далее. Если многоугольник правильный и вписан в окружность или описан около нее, вычислите длину одной из его сторон, а затем умножьте на их количество. Например, чтобы найти стороны , вписанного в окружность, действуйте следующим образом: a=R, где a - сторона шестиугольника, равная радиусу описанной окружности. Соответственно, если правильный, то его периметр равен: p=6a=6R. Если окружность вписана в шестиугольник, то сторона последнего равна: a=2r√3/3. Соответственно, периметр такой фигуры найдите следующим образом: p=12r√3/3.

Хоть слово «периметр» и произошло от греческого обозначения окружности, им принято называть суммарную длину границ любой плоской геометрической фигуры, включая квадрат. Вычисление этого параметра, как правило, сложности не представляет и может быть осуществлено несколькими способами, в зависимости от известных исходных данных.

Инструкция

Если известна длина стороны квадрата (t), то для нахождения его периметра (p) просто увеличьте эту величину в четыре раза: p=4*t.

Если длина стороны неизвестна, но в условиях задачи дана длина (c), то этого достаточно для вычисления длины сторон, а следовательно и периметра (p) . Используйте теорему Пифагора, которая утверждает, что квадрат длины стороны прямоугольного треугольника (гипотенузы) равен сумме квадратов длин коротких сторон (катетов). В , составленном из двух смежных сторон квадрата и соединяющего их крайние точки отрезка, гипотенуза совпадает с диагональю четырехугольника. Из этого вытекает, что длина стороны квадрата равна отношению длины диагонали к квадратному корню из двойки. Используйте это выражение в для вычисления периметра из предыдущего шага: p=4*c/√2.

Если дана лишь площадь (S) ограниченного периметром квадрата участка плоскости, то и этого будет достаточно, чтобы определить длину одной стороны. Так как площадь любого прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон, то для (p) извлеките квадратный корень из площади, а результат увеличьте в четыре раза: p=4*√S.

Если известен радиус описанной возле квадрата окружности (R), то для нахождения периметра многоугольника (p) умножьте его на восемь и разделите полученный результат на квадратный корень из двойки: p=8*R/√2.

Если окружность, радиус которой известен, вписана в квадрат, то вычисляйте его периметр (p) простым умножением радиуса (r) на восьмерку: P=8*r.

Если рассматриваемый квадрат в условиях задачи описан координатами своих вершин, то для вычисления периметра вам понадобятся данные лишь о двух вершинах, принадлежащих к одной из сторон фигуры. Определите длину этой стороны, исходя из все той-же теоремы Пифагора для треугольника, составленного из нее и ее проекций на оси координат, а полученный результат увеличьте в четыре раза. Так как длины проекций на координатные оси соответствующих координат двух точек (X₁;Y₁ и X₂;Y₂), то формулу можно записать так: p=4*√((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²).

Ом в общем случае называют длину линии, которая ограничивает замкнутую фигуру. Для многоугольников периметром является сумма всех длин сторон. Эту величину можно измерить, а для многих фигур и просто рассчитать, если известны длины соответствующих элементов.

Вам понадобится

• - линейка или рулетка;
• - прочная нить;
• - роликовый дальномер.

Инструкция

Чтобы измерить произвольного многоугольника, измерьте при линейки или другим измерительным прибором все его стороны, а затем найдите их сумму. Если дан четырехугольник со сторонами 5, 3, 7 и 4 см, которые измерены линейкой, найдите периметр, сложив их вместе Р=5+3+7+4=19 см.

Если же фигура произвольная и включает в себя не только прямые линии, то измерьте ее периметр обычной веревкой или ниткой. Для этого расположите ее так, она точно повторяла все линии, ограничивающие фигуру, и сделайте на ней отметку, если можно, просто обрежьте ее чтобы избежать путаницы. Затем при помощи рулетки или линейки, измерьте длину нитки, она и будет равна периметру данной фигуры. Обязательно следите за тем, чтобы нить максимально точно повторяла линию для большей точности результата.

Периметр сложной геометрической фигуры измеряйте роликовым дальномером (курвиметром). Для этого не линии намечается точка, в которую устанавливается ролик дальномера и прокатывается по ней, до возвращения в исходную точку. Дистанция, измеренная роликовым дальномером, и будет равна периметру фигуры.

Периметр некоторых геометрических фигур вычисляйте. Например, чтобы найти периметр любого правильного многоугольника (выпуклого многоугольника, стороны которого ), длину стороны умножьте на количество углов или сторон (они равны). Чтобы найти периметр правильного треугольника со стороной 4 см умножьте это на 3 (Р=4∙3=12 см).

Чтобы найти периметр , сложите длины всех его сторон. Если не даны все стороны, а есть углы ними, найдите их по теореме синуса или косинуса. Если известны две стороны прямоугольного треугольника, третью найдите по теореме Пифагора и найдите их сумму. Например, если известно, что катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4 см, то гипотенуза будет равна √(3²+4²)=5 см. Тогда периметр Р=3+4+5=12 см.

Источники:

• периметру

Периметром многоугольника называют замкнутую ломаную линию, составленную из всех его сторон. Нахождение длины этого параметра сводится к суммированию длин сторон. Если все отрезки, образующие периметр такой двухмерной геометрической фигуры, имеют одинаковые размеры, многоугольник называется правильным. В этом случае вычисление периметра значительно упрощается.