Движение с постоянной скоростью

Количественное описание замедления времени может быть получено из преобразований Лоренца :

Δ t = Δ t 0 1 − v 2 / c 2 , {\displaystyle \Delta t={\frac {\Delta t_{0}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},}

где Δ t {\displaystyle \Delta t} - время, проходящее между двумя событиями движущегося объекта в неподвижной системе отсчёта, Δ t 0 {\displaystyle \Delta t_{0}} - время, проходящее между двумя событиями движущегося объекта с точки зрения наблюдателя, связанного с движущимся объектом, v {\displaystyle v} - относительная скорость движения объекта, c {\displaystyle c} - скорость света в вакууме.

Аналогичное обоснование имеет эффект лоренцева сокращения длины .

Точность формулы неоднократно проверена на элементарных частицах, атомах и даже макроскопических часах. Первый эксперимент по измерению релятивистского замедления времени был выполнен Айвсом и Стилвеллом в 1938 году (см. эксперимент Айвса - Стилвелла (англ.) русск. ) с помощью пучка молекулярных ионов водорода, движущихся со скоростью около 0,005 c . Относительная погрешность в этом опыте составляла около 1 %. Эксперименты такого типа неоднократно повторялись, и на 2017 год их относительная погрешность достигает нескольких миллиардных долей . Другой тип экспериментов по проверке релятивистского замедления времени стал возможен после открытия эффекта Мёссбауэра (резонансного поглощения гамма-квантов атомными ядрами без отдачи), позволяющего измерять с очень высокой точностью «расстройку» резонансной частоты ядерных систем. В экспериментах этого типа радионуклид (источник гамма-квантов) и резонансный поглотитель, фактически двое часов, помещаются соответственно в центре и на ободе вращающегося ротора. При неподвижном роторе резонансные частоты ядра-источника и ядра-поглотителя совпадают, гамма-кванты поглощаются. Когда ротор приводится в движение, из-за замедления времени на ободе частота линии поглощения уменьшается, и гамма-кванты перестают поглощаться. Эксперименты с мёссбауэровским ротором позволили проверить формулу релятивистского замедления времени с точностью порядка 0,001% .

Наконец, выполнялись эксперименты и с перемещением макроскопических атомных часов (см. Эксперимент Хафеле - Китинга); как правило, в этом случае одновременный вклад в наблюдаемый эффект вносят как спецрелятивистское замедление времени, так и общерелятивистское гравитационное замедление времени в гравитационном поле Земли, если траектории сравниваемых часов проходят в областях с разным гравитационным потенциалом. Как уже сказано выше, эффект релятивистского замедления времени учитывается в часах спутниковых навигационных систем (GPS -Navstar, «ГЛОНАСС », «Бэйдоу », «Галилео » и т. д.), поэтому корректная работа таких систем является его экспериментальным подтверждением. Например, для спутников GPS релятивистский уход бортовых часов от земных часов в относительных единицах складывается главным образом из замедления бортовых часов на 2,5046·10 −10 , вызванного движением спутника относительно поверхности Земли (спецрелятивистский эффект, рассматривающийся в данной статье), и их ускорения на 6,9693·10 −10 , вызванного более высоким положением спутника в гравитационной потенциальной яме (общерелятивистский эффект); в целом эти два эффекта вызывают ускорение часов спутника GPS по отношению к земным часам на 4,4647·10 −10 . Поэтому бортовой синтезатор частоты спутников GPS изначально настроен на релятивистски смещённую частоту

f′ = (1 − 4,4647·10 −10) · f = 10 229 999,99543 Гц ,

чтобы для земного наблюдателя она была равна f = 10 230 000,00000 Гц .

Замедление времени и инвариантность скорости света

Наиболее наглядно эффект замедления времени проявляется на примере световых часов, в которых импульс света периодически отражается от двух зеркал, расстояние между которыми равно L {\displaystyle \textstyle L} . Время движения импульса от зеркала к зеркалу в системе отсчёта, связанной с часами, равно Δ t 0 = L / c {\displaystyle \textstyle \Delta t_{0}=L/c} . Пусть относительно неподвижного наблюдателя часы двигаются со скоростью v {\displaystyle \textstyle v} в направлении, перпендикулярном траектории светового импульса. Для этого наблюдателя время движения импульса от зеркала к зеркалу будет уже больше.

Световой импульс проходит в неподвижной системе отсчёта вдоль гипотенузы треугольника с катетами L = c Δ t 0 {\displaystyle \textstyle L=c\,\Delta t_{0}} и v Δ t {\displaystyle \textstyle v\,\Delta t} . Импульс распространяется с той же скоростью , что и в системе, связанной с часами. Поэтому по теореме Пифагора :

(c Δ t) 2 = (c Δ t 0) 2 + (v Δ t) 2 . {\displaystyle (c\,\Delta t)^{2}=(c\,\Delta t_{0})^{2}+(v\,\Delta t)^{2}.}

Выражая Δ t {\displaystyle \textstyle \Delta t} через , получаем формулу замедления времени.

Движение с переменной скоростью

Если тело двигается с переменной скоростью v (t) {\displaystyle \textstyle \mathbf {v} (t)} , то в каждый момент времени с ним можно связать локально инерциальную систему отсчёта. Для бесконечно малых интервалов d t {\displaystyle \textstyle dt} и d t 0 {\displaystyle \textstyle dt_{0}} можно использовать формулу замедления времени, полученную из преобразований Лоренца . При вычислении конечного интервала времени Δ t 0 {\displaystyle \textstyle \Delta t_{0}} , прошедшего по часам, связанным с телом, необходимо проинтегрировать вдоль его траектории движения:

Δ t 0 = ∫ t 1 t 2 1 − v 2 (τ) / c 2 d τ . {\displaystyle \Delta t_{0}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}(\tau)/c^{2}}}\,d\tau .}

Время Δ t 0 {\displaystyle \textstyle \Delta t_{0}} , измеренное по часам, связанным с движущимся объектом, часто называют собственным временем тела . Оно совпадает с интервалом, проинтегрированным по мировой линии объекта (фактически с длиной мировой линии) в четырёхмерном пространстве-времени Минковского .

При этом замедление времени определяется только скоростью объекта, но не его ускорением. Это утверждение имеет достаточно надёжные экспериментальные подтверждения. Например, в циклическом ускорителе время жизни мюонов увеличивается в соответствии с релятивистской формулой. В эксперименте на ЦЕРНовском накопительном кольце (CERN Storage-Ring experiment) скорость мюонов составляла v = 0,999 4 c {\displaystyle \textstyle v=0{,}9994\,c} , и их время жизни увеличивалось в 1 / 1 − (v / c) 2 ≈ 29 , 33 {\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}\approx 29,33} раз, что в пределах относительной погрешности 2·10 −3 совпадает с предсказанием специальной теории относительности. При 7-метровом радиусе кольца ускорителя центростремительное ускорение мюонов достигало значений a ∼ 10 18 g {\displaystyle \textstyle a\sim 10^{18}g} (где g = 9 , 8 {\displaystyle \textstyle g=9{,}8} м/c² - стандартное ускорение свободного падения), но это не влияло на скорость распада мюонов.

Замедление времени при космическом полёте

Эффект замедления времени проявляется при космических полётах с релятивистскими скоростями. Такой полёт в одну сторону может состоять из трёх этапов: набор скорости (разгон), равномерное движение и торможение. Пусть по часам неподвижной системы отсчёта длительности разгона и торможения одинаковы и равны τ 1 {\displaystyle \textstyle \tau _{1}} , а этап равномерного движения длится время τ 2 {\displaystyle \textstyle \tau _{2}} . Если разгон и торможение проходят релятивистски равноускоренно (с параметром собственного ускорения a {\displaystyle \textstyle a} ), то по часам корабля пройдёт время :

τ 0 = 2 c a ln ⁡ [ a τ 1 c + 1 + (a τ 1 c) 2 ] + τ 2 1 + (a τ 1 / c) 2 . {\displaystyle \tau _{0}={\frac {2c}{a}}\,\ln \left[{\frac {a\tau _{1}}{c}}+{\sqrt {1+\left({\frac {a\tau _{1}}{c}}\right)^{2}}}\right]+{\frac {\tau _{2}}{\sqrt {1+(a\tau _{1}/c)^{2}}}}.}

За время разгона корабль достигнет скорости:

v = a τ 1 1 + (a τ 1 / c) 2 , {\displaystyle v={\frac {a\tau _{1}}{\sqrt {1+(a\tau _{1}/c)^{2}}}},}

пройдя расстояние

x = c 2 a [ 1 + (a τ 1 / c) 2 − 1 ] . {\displaystyle x={\frac {c^{2}}{a}}\left[{\sqrt {1+(a\tau _{1}/c)^{2}}}-1\right].}

Рассмотрим гипотетический полёт к звёздной системе Альфа Центавра , удалённой от Земли на расстояние в 4,3 световых года . Если время измеряется в годах, а расстояния - в световых годах, то скорость света c {\displaystyle \textstyle c} равна единице, а единичное ускорение a = 1 св. год/год² = 9,5 м/c² близко к стандартному ускорению свободного падения .

Пусть половину пути космический корабль двигается с единичным ускорением, а вторую половину - с таким же ускорением тормозит ( τ 2 = 0 {\displaystyle \textstyle \tau _{2}=0} ). Затем корабль разворачивается и повторяет этапы разгона и торможения. В этой ситуации время полёта в земной системе отсчёта составит примерно 12 лет, тогда как по часам на корабле пройдёт 7,3 года. Максимальная скорость корабля достигнет 0,95 от скорости света.

Особенности метода измерения релятивистского замедления времени

Метод измерения релятивистского замедления времени имеет свою особенность. Она заключается в том, что показания двух движущихся друг относительно друга часов (и длительности жизни двух движущихся друг относительно друга мюонов) непосредственно сравнивать невозможно. Можно говорить, что единичные часы идут всегда замедленно по отношению к множеству синхронно идущих часов, если единичные часы движутся относительно этого множества. Показания же множества часов пролетающих мимо единичных часов, напротив, всегда меняются ускоренно по отношению к часам единичным. В этой связи термин «замедление времени» является бессмысленным без указания того, к чему это замедление относится - к единичным часам или к множеству синхронизированных и покоящихся друг относительно друга часов .

Это можно продемонстрировать с помощью опыта, схема которого изображена на рис. 1. Движущиеся со скоростью v {\displaystyle v} часы, измеряющие время t ′ {\displaystyle t"} , проходят последовательно мимо точки в момент t 1 {\displaystyle t_{1}} и мимо точки в момент t 2 {\displaystyle t_{2}} .

В эти моменты производится сравнение положений стрелок движущихся часов и соответствующих неподвижных часов, находящихся рядом с ними.

Пусть за время движения от точки x 1 {\displaystyle x_{1}} до точки x 2 {\displaystyle x_{2}} стрелки движущихся часов отмерят промежуток времени τ 0 {\displaystyle \tau _{0}} , а стрелки часов 1 и 2, предварительно синхронизированных в неподвижной системе ∑ {\displaystyle \sum } , отмерят промежуток времени τ {\displaystyle \tau } . Таким образом,

(1)

Но согласно обратным преобразованиям Лоренца имеем

t 2 − t 1 = (t 1 ′ − t 2 ′) + v c 2 (x 2 ′ − x 1 ′) 1 − v 2 / c 2 {\displaystyle t_{2}-t_{1}={(t"_{1}-t"_{2})+{v \over c^{2}}(x"_{2}-x"_{1}) \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}} (2)

Подставляя (1) в (2) и замечая, что движущиеся часы все время находятся в одной и той же точке движущейся системы отсчёта ∑ ′ {\displaystyle \sum "} , то есть что

x 1 ′ = x 2 ′ {\displaystyle x"_{1}=x"_{2}} (3)

получаем

τ = τ 0 1 − v 2 / c 2 , (t 0 = τ ′) . {\displaystyle \tau ={\tau _{0} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},\qquad (t_{0}=\tau ").} (4)

Эта формула означает, что промежуток времени, отмеренный неподвижными часами, оказывается большим, чем промежуток времени, отмеренный движущимися часами. Но это и означает, что движущиеся часы отстают от неподвижных, то есть их ход замедляется.

Формула (4) так же обратима, как и соответствующая формула для длин линеек

l = l 0 1 − v 2 / c 2 . {\displaystyle l=l_{0}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}

Однако, написав формулу в виде

τ 0 = τ 1 − v 2 / c 2 , {\displaystyle \tau _{0}={\tau \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},} (5)

мы должны иметь в виду, что τ ′ = τ 0 = t 2 ′ − t 1 ′ , {\displaystyle \tau "=\tau _{0}=t"_{2}-t"_{1},} и τ = t 2 − t 1 {\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}} измеряются уже не в опыте, изображённом на рис. 1, а в опыте, изображённом на рис. 2. В этом случае, согласно преобразованиям Лоренца

явления, наблюдаемые при скоростях тел (частиц), сравнимых со скоростью света. К ним относятся: Лоренца - Фицджеральда сокращение, релятивистское замедление времени, увеличение массы тела с ростом его энергии и т. п., рассматриваемые в частной (специальной) относительности теории (См. Относительности теория). Релятивистскими называются также эффекты общей теории относительности (релятивистской теории тяготения), например эффект замедления течения времени в сильном поле тяготения (см. Тяготение).

"Релятивистские эффекты" в книгах

Эффекты при видеосъемках

Из книги Свет и освещение автора Килпатрик Дэвид

Эффекты при видеосъемках Видеоизображения в отличие от изображений в обычной фотографии можно подвергнуть всякого рода искажениям и оптическим трюкам, не прибегая к помощи оптики или специальных пленок. Поэтому лишь очень немногие операторы видеосъемок пользуются

Наркотики и их эффекты

автора Петров Василий Иванович

Наркотики и их эффекты Можно сказать, что использование веществ, обладающих психоактивными свойствами, является обширным явлением, встречающимся в любую эпоху и в любом обществе.Некоторые авторы утверждают, что употребление наркотиков является одной из главных черт,

Эффекты ЛСД

Из книги Наркотики и яды [Психоделики и токсические вещества, ядовитые животные и растения] автора Петров Василий Иванович

Эффекты ЛСД Эффекты ЛСД вообще можно разделить на:а) кратковременное изменение состояния психики;б) длительные эффекты.Кратковременное измененное состояние психики проявляется вскоре после приема наркотика и на международном жаргоне наркоманов оно называется «trip» –

Эффекты и аффекты

Из книги Кто брал Рейхстаг. Герои по умолчанию... автора Ямской Николай Петрович

Эффекты и аффекты Да и то верно! Что генералу обобщение опыта, солдату – три строчки в похоронке.Впрочем, и комкор С. Переверткин, докладывая на конференции осенью 1946 г. о действиях своего соединения, не мог обойтись без траурной ноты: «С 22 апреля по 1 мая… корпус вел

Случайные эффекты

Из книги Путь Черепах. Из дилетантов в легендарные трейдеры автора Куртис Фейс

Случайные эффекты Большинство трейдеров не осознают степени, в которой результаты их работы могут зависеть от совершенно случайных факторов. А типичный инвестор осведомлен о ней еще меньше, чем типичный трейдер. Даже весьма опытные инвесторы, например управляющие и

Эффекты работы

Из книги Освобождение от неприятных мыслей и эмоций автора Ингерман Сандра

Эффекты работы Существуют два основных эффекта, которые вы можете ощутить, если всерьез возьметесь за работу по преобразованию энергии, проецируемой во внешний мир. Как я уже говорила, вы станете более чувствительны к окружающим энергиям. А также вы перестанете

в) эффекты сновидений:

Из книги Мастер сновидений. Словарь-сонник. автора

в) эффекты сновидений: Активации эффектАктивной фантазииАктивность-пассивностьАмплификацияАлогичностьАмнезии эффектАнимизма эффектБаланс фаз снаБилокация«Близко-далеко» эффектБолезни, отражаемые сномБольшие сновиденияБыстрый сонВещие сныВнутреннего ребёнка

Температурные эффекты

Из книги Ужас. Иллюстрированное повествование о нечистой силе автора Винокуров Игорь Владимирович

Температурные эффекты Обычно относительно легко переносятся эффекты понижения температуры - в виде возникновения в помещении холодных зон или пятен. Иногда присутствующие ощущают как бы холодный сквознячок, который, пройдя мимо них, может, например, раскачать люстру и

ЭФФЕКТЫ СНОВИДЕНИЙ

Из книги Психология сновидений (Осознанные сновидения) автора Смирнов Терентий Леонидович

ЭФФЕКТЫ СНОВИДЕНИЙ То, что в определённой степени присуще сновидениям, но не относится к их функциям и свойствам; то, что периодически и не часто случается; то, что воспринимается или кажется, получило название - «эффекты сновидений». К эффектам также относятся те особые

Эффекты СТО

автора

Эффекты СТО Названия созвездий вы можете и забыть, но людей, которые не преклоняются перед чудесами природы, я считаю недостойными уважения. Сэмуэль Майкельсон (отец Альберта Майкельсона) Теперь обсудим наиболее важные и интересные эффекты специальной теории

Черные дыры и релятивистские звезды во Вселенной

Из книги Гравитация [От хрустальных сфер до кротовых нор] автора Петров Александр Николаевич

Черные дыры и релятивистские звезды во Вселенной Думаю, что для создания шмеля требуется больше мудрости, чем для создания черной дыры. Юстейн Горде «Апельсиновая девушка» Теперь мы много знаем о черных дырах, но все выводы сделаны на основании теоретических положений.

Релятивистские эффекты

Из книги Большая Советская Энциклопедия (РЕ) автора БСЭ

9.3. Веб-эффекты

Из книги Рекламный текст. Методика составления и оформления автора Бердышев Сергей Николаевич

9.3. Веб-эффекты Перечислим текстовые спецэффекты, которыми желательно открывать какой-либо тематический раздел на сайте:а) бегущая строка – хорошо открывает и закрывает текст, удобно вписывается между двумя самостоятельными блоками на одной страничке;б) «болтающийся»

21. Эффекты

Из книги Мнемотехника [Запоминание на основе визуального мышления] автора Зиганов Марат Александрович

21. Эффекты В эффектах отражаются закономерности работы памяти, которые становятся очевидными при запоминании с применением мнемотехники. Знание этих закономерностей позволяет избегать ошибок при запоминании и делает процесс запоминания более качественным.Эффект

5.4. Эффекты

Из книги Самоучитель Adobe Premiere 6.5 автора Кирьянова Елена

5.4. Эффекты В Adobe Premiere эффектами называются самые разнообразные спецэффекты, которые делают что-то с изображением видеоклипа или звуком аудио-клипа. В прошлых версиях Premiere эффекты назывались фильтрами, чем подчеркивалось их назначение – изменение изображения или звука в

Рассмотрим теперь ряд других эффектов, связанных с движением источника. Пусть источник представляет собой покоящийся атом, колеблющийся со своей обычной частотой ω 0 . Частота наблюдаемого света тогда будет равна ω 0 . Но возьмем другой пример: пусть такой же атом колеблется с частотой ω 1 и в то же время весь атом, весь осциллятор как целое движется со скоростью ν по направлению к наблюдателю. Тогда истинное движение в пространстве будет таким, как изображено на фиг. 34.10,а. Используем наш обычный прием и добавим сτ, т. е. сместим всю кривую назад и получим колебания, представленные на фиг. 34.10,6. За промежуток времени τ осциллятор проходит расстояние ντ, а на графике с осями х′ и у′ соответствующее расстояние равно (с—ν)τ. Таким образом, число колебаний с частотой ω 1 которое укладывалось в интервал Δτ, на новом чертеже укладывается теперь уже в интервал Δτ = (1—ν/с) Δτ; осцилляции сжимаются, и, когда новая кривая будет двигаться мимо нас со скоростью с , мы увидим свет более высокой частоты, увеличенной за счет фактора сокращения (1—ν/c). Итак, наблюдаемая частота равна

Можно, конечно, объяснить этот эффект и другими способами. Пусть, например, тот же атом испускает не синусоидальную волну, а короткие импульсы (пип, пип, пип, пип) с некоторой частотой ω 1 . С какой частотой мы будем их воспринимать? Первый импульс к нам придет спустя определенное время, а второй импульс придет уже через более короткое время, потому что атом за это время успел к нам приблизиться. Следовательно, промежуток времени между сигналами «пип» сократился за счет движения атома. Анализируя эту картину с геометрической точки зрения, мы придем к выводу, что частота импульсов увеличивается в 1/(1—ν/c) раз.

Будет ли наблюдаться частота ω = ω 0 /(1 — ν/c), если атом с собственной частотой ω 0 движется со скоростью ν к наблюдателю? Нет. Нам хорошо известно, что собственная частота движущегося атома ω 1 и частота покоящегося атома ω 0 — не одно и то же из-за релятивистского замедления хода времени. Так что если ω 0 — собственная частота покоящегося атома, то частота движущегося атома будет равна

Поэтому наблюдаемая частота ω окончательно равна

Изменение частоты, возникающее в таком случае, называется эффектом Допплера: если излучающий объект движется на нас, излучаемый им свет кажется более синим, а если он движется от нас, свет становится более красным.

Приведем еще два других вывода этого интересного и важного результата. Пусть теперь покоящийся источник излучает с частотой ω 0 , а наблюдатель движется со скоростью ν к источнику. За время t наблюдатель сдвинется на новое расстояние νt от того места, где он был при t = 0. Сколько радиан фазы пройдет перед наблюдателем? Прежде всего, как и мимо любой фиксированной точки, пройдет ω 0 t, а также некоторая добавка за счет движения источника, а именно νtk 0 (это есть число радиан на метр, умноженное на расстояние).

Отсюда число радиан за единицу времени, или наблюдаемая частота, равно ω 1 = ω 0 +k 0 ν. Весь этот вывод был произведен с точки зрения покоящегося наблюдателя; посмотрим, что увидит движущийся наблюдатель. Здесь мы снова должны учесть разницу в течении времени для наблюдателя в покое и движении, а это значит, что мы должны разделить результат на √1-ν 2 /c 2 . Итак, пусть k 0 есть волновое число (количество радиан на метр в направлении движения), а ω 0 — частота; тогда частота, регистрируемая движущимся наблюдателем, равна

Для света мы знаем, что k 0 = ω 0 /с. Следовательно, в рассматриваемом примере искомое соотношение имеет вид

и, казалось бы, не похоже на (34.12)!

Отличается ли частота, наблюдаемая при нашем движении к источнику, от частоты, наблюдаемой при движении источника к нам? Конечно, нет! Теория относительности утверждает, что обе частоты должны быть в точности равны. Если бы мы были достаточно математически подготовлены, то могли бы убедиться, что оба математических выражения в точности равны! В действительности требование равенства обоих выражений часто используется для вывода релятивистского замедления времени, потому что без квадратных корней равенство сразу нарушается.

Раз уж мы начали говорить о теории относительности, приведем еще и третий способ доказательства, который покажется, пожалуй, более общим. (Суть дела остается прежней, ибо не играет роли, каким способом получен результат!) В теории относительности имеется связь между положением в пространстве и временем, определяемым одним наблюдателем, и положением и временем, определяемым другим наблюдателем, движущимся относительно первого. Мы уже выписывали эти соотношения (гл. 16). Они представляют собой преобразования Лоренца, прямые и обратные:

Для неподвижного наблюдателя волна имеет вид cos(ωt—kx); все гребни, впадины и нули описываются этой формой. А как будет выглядеть та же самая физическая волна для движущегося наблюдателя? Там, где поле равно нулю, любой наблюдатель при измерении получит нуль; это есть релятивистский инвариант. Следовательно, форма волны не меняется, нужно только написать ее в системе отсчета движущегося наблюдателя:

Произведя перегруппировку членов, получим

Мы снова получим волну в виде косинуса с частотой ω′ в качестве коэффициента при t′ и некоторой другой константой k′ — коэффициентом при х′. Назовем k′ (или число колебаний на 1 м) волновым числом для второго наблюдателя. Таким образом, движущийся наблюдатель отметит другую частоту и другое волновое число, определяемые формулами

Легко видеть, что (34.17) совпадает с формулой (34.13), полученной нами на основании чисто физических рассуждений.

I.7.4 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЭФФЕКТЫ

К наиболее распространённым релятивистским эффектам относятся: сокращение длины и замедление времени. Это одно из важнейших следствий, которое вытекает из лоренцева преобразования.

А. Сокращение длины

Линейные размеры тел в движущейся системе отсчёта сокращаются. При этом сокращаются продольные размеры тела (измеряемые вдоль направления движения). Поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Такое сокращение размеров называют лоренцевым сокращением .

Пусть стержень движется вместе с системой отсчёта относительно системы так, как показано на рисунке 44. Длина стержня измеренная в системе равна .

Длина тела в системе отсчёта, где оно покоится (), называется собственной длиной . Для определения длины () движущегося стержня в системе необходимо найти координаты и точек и конца и начала стержня в один и тот же момент времени по часам в системе : .

Из преобразований Лоренца следует, что

, или

. (I.163)

Длина тела зависит от скорости его движения. Собственная длина тела является его наибольшей длиной. Линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчёта, уменьшается в направлении движения в раз (лоренцево сокращение длины ).

Лоренцево сокращение длины является кинематическим эффектом специальной теории относительности и не связано с действием каких-либо сил, «сдавливающих» стержень вдоль его длины.

В полном соответствии с принципом относительности эффект сокращения длины стержня является взаимным: если такой же стержень покоится в системе отсчёта , то его длина в этой системе отсчёта равна , а в системе длина будет меньше в соответствии с приведённой формулой.

Как видно из формулы (I.163), эффект сокращения длины зависит от относительной скорости систем отсчёта и становится особенно заметным для скоростей, сравнимых со скоростью света. При , . Зависимость лоренцева сокращения от скорости показана на рисунке 45.

Из лоренцева сокращения следует, что никакое тело не может двигаться в пространстве со скоростью . Иначе это означало бы, что длина тела является мнимой величиной или обращается в нуль.

В. Замедление времени

Теперь перейдём ко второму основному измерению – измерению хода часов.

Если два события в системе происходят в одной и той же точке не одновременно, а разделены интервалом времени (этот промежуток времени называют собственным временем ), то интервал в системе тех же событий в системе в соответствии с (I.161) будет определяться формулой

(I.164)

Соответственно для получаем

(I.165)

Если одна система отсчёта движется относительно другой, то временной интервал между двумя событиями в «движущейся» системе отсчёта оказывается больше, чем в «неподвижной» системе (парадокс часов).

Временной интервал между двумя событиями зависит от системы отсчёта, т.е. является относительной.

Так как при любой скорости отличной от нуля , то собственное время меньше, чем промежуток времени между этими же событиями, измеренный в любой другой системе отсчёта. Этот эффект называют релятивистским замедлением или «растяжением» времени. Замедление времени является следствием инвариантности скорости света.

С эффектом замедления времени связан так называемый парадокс близнецов . Парадокс близнецов – мысленный эксперимент с двумя близнецами, движущимися относительно друг друга. Согласно эффекту релятивистского замедления времени каждый из близнецов считает (и это подтверждается его наблюдениями), что часы другого близнеца идут медленнее, чем его часы. Если один из близнецов улетит, а потом вернётся, то кто из них окажется младше?

Согласно специальной теории относительности младше окажется улетевший и вернувшийся. Возникает парадокс: «Почему, если каждый видел, что время замедляется у другого, младше становится именно улетавший?»

Попробуем дать простейшее объяснение данному парадоксу.

Близнец, который вернулся, неизбежно должен был изменить свою скорость. Поэтому его система отсчёта не является инерциальной (он должен двигаться с ускорением). А согласно СТО равноправны только инерциальные системы. Следовательно, нет ничего удивительного, что системы оказываются несимметричными.

Хотя такая ситуация и необычна, в ней нет внутреннего противоречия, а многочисленные эксперименты по релятивистскому замедлению времени подтверждают теорию относительности и дают основание утверждать, что так и будет на самом деле.

Вследствие замедления времени и сокращения длины скорость в инерциальной системе, движущейся относительно данной системы, также изменяется по величине и направлению.

С. Релятивистский закон сложения скоростей

Ещё одним важным следствием из преобразований Лоренца является изменение теоремы сложения скоростей по сравнению с классической механикой

Существует два способа сложения скоростей в зависимости от того, в какой системе отсчёта определены эти скорости.

I способ . Правило параллелограмма.

Пусть тело за время смещается из точки в точку на вектор (по определению средней скорости тела). Затем, за тоже время, тело из точки смещается в точку на вектор . Согласно правилу параллелограмма для смещений , где (рис.46). Заменим , и их значениями, тогда можно будет записать следующее выражение . Отсюда получаем параллелограмм скоростей

, (I.166)

который никак не связан с принципом относительности, так как все рассуждения проводились в одной и той же системе отсчёта, где измерены и . Уравнение (I.166) представляет собой разложение вектора на составляющие.

II способ . Правило Эйнштейна.

Совсем другая ситуация возникает, когда необходимо сделать пересчёт скоростей из одной системы отсчёта в другую.

Закон сложения скоростей в механике Ньютона противоречит постулатам СТО и заменяется в СТО новым, релятивистским законом сложения скоростей. Релятивистским называется закон сложения скоростей , вытекающий из преобразований Лоренца. Этот закон удовлетворяет постулатам СТО и предельному характеру скорости света в вакууме.

Если материальная точка или тело движется вдоль осей и в инерциальных системах и и имеет в этих системах скорости, равные соответственно и , то