Что является многоугольниками. Многоугольники и их свойства

Словарь медицинских терминов

Толковый словарь русского языка. Д.Н. Ушаков

многоугольник

многоугольника, м. (мат.). Плоская фигура, ограниченная тремя, четырьмя и т. д. прямыми линиями.

Толковый словарь русского языка. С.И.Ожегов, Н.Ю.Шведова.

многоугольник

А, м. В математике: геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией.

Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова.

многоугольник

м. Геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой образуют более четырех углов.

Энциклопедический словарь, 1998 г.

многоугольник

МНОГОУГОЛЬНИК (на плоскости) геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой называются сторонами многоугольника, а их концы - вершинами многоугольника. По числу вершин различают треугольники, четырехугольники и т.д. Многоугольник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от прямой, несущей любую из его сторон, и невыпуклым - в противном случае. Многоугольник называется правильным, если все его стороны и углы равны.

Многоугольник

замкнутая ломаная линия. Подробнее, М. ≈ линия, которая получается, если взять n любых точек A1, A2, ..., An и соединить прямолинейным отрезком каждую из них с последующей, а последнюю ≈ с первой (см. рис. 1 , а). Точки A1, A2, ..., An называются вершинами М., а отрезки A1A2, А2А3, ..., An-1An, AnA1 ≈ его сторонами. Далее рассматриваются только плоские М. (т. е. предполагается, что М. лежит в одной плоскости). М. может сам себя пересекать (см. рис. 1 , б), причём точки самопересечения могут не быть его вершинами.

Существуют и другие точки зрения на то, что считать М. Многоугольником можно называть связную часть плоскости, вся граница которой состоит из конечного числа прямолинейных отрезков, называемых сторонами многоугольника. М. в этом смысле может быть и многосвязной частью плоскости (см. рис. 1 , г), т. е. такой М. может иметь «многоугольные дыры». Рассматриваются также бесконечные М. ≈ части плоскости, ограниченные конечным числом прямолинейных отрезков и конечным числом полупрямых.

Дальнейшее изложение опирается на данное выше первое определение М. Если М. не пересекает сам себя (см., например, рис. 1 , а и б), то он разделяет совокупность всех точек плоскости, на нем не лежащих, на две части ≈ конечную (внутреннюю) и бесконечную (внешнюю) в том смысле, что если две точки принадлежат одной из этих частей, то их можно соединить друг с другом ломаной, не пересекающей М., а если разным частям, то нельзя. Несмотря на совершенную очевидность этого обстоятельства, строгий его вывод из аксиом геометрии довольно труден (т. н. теорема Жордана для М.). Внутренняя по отношению к М. часть плоскости имеет определённую площадь. Если М. ≈ самопересекающийся, то он разрезает плоскость на определённое число кусков, из которых один бесконечный (называемый внешним по отношению к М.), а остальные конечные односвязные (называются внутренними), причём граница каждого из них есть некоторый самонепересекающийся М., стороны которого есть целые стороны или части сторон, а вершины ≈ вершины или точки самопересечения данного М. Если каждой стороне М. приписать направление, т. е. указать, какую из двух определяющих её вершин мы будем считать её началом, а какую ≈ концом, и притом так, чтобы начало каждой стороны было концом предыдущей, то получится замкнутый многоугольный путь, или ориентированный М. Площадь области, ограниченной самопересекающимся ориентированным М., считается положительной, если контур М. обходит эту область против часовой стрелки, т. е. внутренность М. остаётся слева от идущего по этому пути, и отрицательной ≈ в противоположном случае. Пусть М. ≈ самопересекающийся и ориентированный; если из точки, лежащей во внешней по отношению к нему части плоскости, провести прямолинейный отрезок к точке, лежащей внутри одного из внутренних его кусков, и М. пересекает этот отрезок р раз слева направо и q раз справа налево, то число р ≈ q (целое положительное, отрицательное или нуль) не зависит от выбора внешней точки и называется коэффициентом этого куска. Сумма обычных площадей этих кусков, помноженных на их коэффициенты, считается «площадью» рассматриваемого замкнутого пути (ориентированного М.). Так определяемая «площадь замкнутого пути» играет большую роль в теории математических приборов (планиметр и др.); она получается там обычно в виде интеграла ═(в полярных координатах r, w) или ═(в декартовых координатах х, у), где конец радиус-вектора r или ординаты y один раз обегает этот путь.

Сумма внутренних углов любого самонепересекающегося М. с n сторонами равна (n ≈ 2)180╟. М. называется выпуклым (см. рис. 1 , а), если никакая сторона М., будучи неограниченно продолженной, не разрезает М. на две части. Выпуклый М. можно охарактеризовать также следующим свойством: прямолинейный отрезок, соединяющий любые две точки плоскости, лежащие внутри М., не пересекает М. Всякий выпуклый М. ≈ самонепересекающийся, но не наоборот. Например, на рис. 1 , б изображен самонепересекающийся М., который не является выпуклым, т. к. отрезок PQ, соединяющий некоторые его внутренние точки, пересекает М.

Важнейшие М.: треугольники, в частности прямоугольные, равнобедренные, равносторонние (правильные); четырёхугольники, в частности трапеции, параллелограммы, ромбы, прямоугольники, квадраты. Выпуклый М. называется правильным, если все его стороны равны и все внутренние углы равны. В древности умели по стороне или радиусу описанного круга строить при помощи циркуля и линейки правильные М. только в том случае, если число сторон М. равно m = 3 ╥ 2n, 4 ╥ 2n,5 ╥ 2n, 3 ╥ 5 ╥ 2n, где n ≈ любое положительное число или нуль. Немецкий математик К. Гаусс в 1801 показал, что можно построить при помощи циркуля и линейки правильный М., когда число его сторон имеет вид: m = 2n ╥ p1 ╥ p2 ╥ ... ╥ pk, где p1, p2, ... pk ≈ различные простые числа вида ═(s ≈ целое положительное число). До сих пор известны только пять таких р: 3, 5, 17, 257, 65537. Из теории Галуа (см. Галуа теория) следует, что никаких других правильных М., кроме указанных Гауссом, построить при помощи циркуля и линейки нельзя. Т. о., построение возможно при m = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 16, 17, 20, 24, 32, 34, ... и невозможно при m = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, ...

В приведённой ниже таблице указаны радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности и площадь правильного n-yгольника (для n = 3, 4, 5, 6, 8, 10), сторона которого равна k.

Радиус описанной окружности

Радиус вписанной окружности

Начиная с пятиугольника существуют также невыпуклые (самопересекающиеся, или звездчатые) правильные М., т. е. такие, у которых все стороны равны и каждая следующая из сторон повёрнута в одном и том же направлении и на один и тот же угол по отношению к предыдущей. Все вершины такого М. также лежат на одной окружности. Такова, например, пятиконечная звезда. На рис. 2 даны все правильные (как выпуклые, так и невыпуклые) М. от треугольника до семиугольника.

Лит. см. при ст. Многогранник.

Википедия

Многоугольник

Многоуго́льник - это геометрическая фигура, обычно определяемая как замкнутая ломаная .

Существуют три различных варианта определения многоугольника:

• Плоская замкнутая ломаная - наиболее общий случай;
• Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
• Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений - плоский многоугольник

В любом случае вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а её отрезки - сторонами многоугольника.

Многоугольник (значения)

• Многоугольник в геометрии
• Каменный многоугольник в мерзлотоведении

Примеры употребления слова многоугольник в литературе.

Джилмен был даже рад погрузиться в сумрачную бездну с ее привычным приглушенным ревом, хотя и там настойчивое преследование двух существ, похожих на скопление переливающихся пузырей и маленький многоугольник со сторонами, меняющимися словно в калейдоскопе, вызывало особенно острое ощущение угрозы и необычайно раздражало.

Сумрачные ревущие пропасти -- зеленый каменистый склон холма -- блистающая всеми цветами радуги терраса -- притяжение неизвестных планет -- черная спираль эфира -- черный человек -- грязный переулок и скрипучая лестница -- старая колдунья и маленькая косматая тварь с длинными клыками -- скопление пузырей и маленький многоугольник -- странный загар -- ранки на руке -- что-то маленькое и бесформенное в руках у старухи -- покрытые грязью ноги -- сказки и страхи суеверных иностранцев -- что все это, наконец, означало?

Могу ли я из прямоугольной текстовой рамки сделать многоугольник в форме звезды?

Многогранник, основание к-рого представляет собой многоугольник , а остальные грани - треугольники с общей вершиной.

Нужно было, следовательно, наметить, где и как конкретно расположить резервы на Западном направлении, причем особенно беспокойным местом оставался как раз неправильный по форме многоугольник Калининского фронта.

Перед вами - неправильный, вдавшийся резко на север многоугольник , именовавшийся Маньчжурией.

Если графическая рамка имеет форму овала или многоугольника

Если текстовая рамка имеет форму овала или многоугольника , то эта опция становится недоступной.

Берутся три или больше предмета с одинаковой массой, помещаются в вершинах равностороннего многоугольника и разгоняются до одинаковой угловой скорости относительно центра их общей массы.

Почти вопреки своей воле он парил по сумеречной пропасти вслед за скоплением переливающихся пузырей и маленьким многоугольником , когда заметил, что края находившихся в стороне от него гигантских призм образуют на удивление правильные повторяющиеся углы.

Ровные, девственные, белые, кое-где искореженные подвижками, похожие на бесчисленные многоугольники , окантованные черными полосками открытой воды.

Эх, видеть бы аргусовым оком многоугольники коралла и волоконцы, вплетенные в грани, и внутренность волокон.

Это отполированные ветрами глинистые такыры, растрескавшиеся на бесчисленное множество многоугольников , гладкие, словно каток, твердые, как бетон.

Вот фонтан фаллической формы, который виднелся то ли из-под арки, то ли из-под портика, с Нептуном, стоящим верхом на дельфине, ворота с колоннами, напоминавшими ассирийские, и опять арка неопределенной формы, что-то вроде нагромождения треугольников и многоугольников , причем верхушку каждого из них венчала фигурка животного - лося, обезьяны, льва.

Картинки могут располагаться не только в прямоугольных графических рамках, но и в видоизменяемых многоугольниках и овалах.

В курсе гео-мет-рии мы изу-ча-ем свой-ства гео-мет-ри-че-ских фигур и уже рас-смот-ре-ли про-стей-шие из них: тре-уголь-ни-ки и окруж-но-сти. При этом мы об-суж-да-ли и кон-крет-ные част-ные слу-чаи этих фигур, такие как пря-мо-уголь-ные, рав-но-бед-рен-ные и пра-виль-ные тре-уголь-ни-ки. Те-перь при-шло время по-го-во-рить о более общих и слож-ных фи-гу-рах - мно-го-уголь-ни-ках .

С част-ным слу-ча-ем мно-го-уголь-ни-ков мы уже зна-ко-мы - это тре-уголь-ник (см. Рис. 1).

Рис. 1. Тре-уголь-ник

В самом на-зва-нии уже под-чер-ки-ва-ет-ся, что это фи-гу-ра, у ко-то-рой три угла. Сле-до-ва-тель-но, в мно-го-уголь-ни-ке их может быть много, т.е. боль-ше, чем три. На-при-мер, изоб-ра-зим пя-ти-уголь-ник (см. Рис. 2), т.е. фи-гу-ру с пятью уг-ла-ми.

Рис. 2. Пя-ти-уголь-ник. Вы-пук-лый мно-го-уголь-ник

Опре-де-ле-ние. Мно-го-уголь-ник - фи-гу-ра, со-сто-я-щая из несколь-ких точек (боль-ше двух) и со-от-вет-ству-ю-ще-го ко-ли-че-ства от-рез-ков, ко-то-рые их по-сле-до-ва-тель-но со-еди-ня-ют. Эти точки на-зы-ва-ют-ся вер-ши-на-ми мно-го-уголь-ни-ка, а от-рез-ки - сто-ро-на-ми . При этом ни-ка-кие две смеж-ные сто-ро-ны не лежат на одной пря-мой и ни-ка-кие две несмеж-ные сто-ро-ны не пе-ре-се-ка-ют-ся.

Опре-де-ле-ние. Пра-виль-ный мно-го-уголь-ник - это вы-пук-лый мно-го-уголь-ник, у ко-то-ро-го все сто-ро-ны и углы равны.

Любой мно-го-уголь-ник раз-де-ля-ет плос-кость на две об-ла-сти: внут-рен-нюю и внеш-нюю. Внут-рен-нюю об-ласть также от-но-сят кмно-го-уголь-ни-ку .

Иными сло-ва-ми, на-при-мер, когда го-во-рят о пя-ти-уголь-ни-ке , имеют в виду и всю его внут-рен-нюю об-ласть, и гра-ни-цу. А ко внут-рен-ней об-ла-сти от-но-сят-ся и все точки, ко-то-рые лежат внут-ри мно-го-уголь-ни-ка, т.е. точка тоже от-но-сит-ся к пя-ти-уголь-ни-ку (см. Рис. 2).

Мно-го-уголь-ни-ки еще ино-гда на-зы-ва-ют n-уголь-ни-ка-ми, чтобы под-черк-нуть, что рас-смат-ри-ва-ет-ся общий слу-чай на-ли-чия ка-ко-го-то неиз-вест-но-го ко-ли-че-ства углов (n штук).

Опре-де-ле-ние. Пе-ри-метр мно-го-уголь-ни-ка - сумма длин сто-рон мно-го-уголь-ни-ка.

Те-перь надо по-зна-ко-мить-ся с ви-да-ми мно-го-уголь-ни-ков. Они де-лят-ся на вы-пук-лые и невы-пук-лые . На-при-мер, мно-го-уголь-ник, изоб-ра-жен-ный на Рис. 2, яв-ля-ет-ся вы-пук-лым, а на Рис. 3 невы-пук-лым.

Рис. 3. Невы-пук-лый мно-го-уголь-ник

2. Выпуклые и невыпуклые многоугольники

Опре-де-ле-ние 1. Мно-го-уголь-ник на-зы-ва-ет-ся вы-пук-лым , если при про-ве-де-нии пря-мой через любую из его сто-рон весь мно-го-уголь-ник лежит толь-ко по одну сто-ро-ну от этой пря-мой. Невы-пук-лы-ми яв-ля-ют-ся все осталь-ные мно-го-уголь-ни-ки .

Легко пред-ста-вить, что при про-дле-нии любой сто-ро-ны пя-ти-уголь-ни-ка на Рис. 2 он весь ока-жет-ся по одну сто-ро-ну от этой пря-мой, т.е. он вы-пук-лый. А вот при про-ве-де-нии пря-мой через в че-ты-рех-уголь-ни-ке на Рис. 3 мы уже видим, что она раз-де-ля-ет его на две части, т.е. он невы-пук-лый.

Но су-ще-ству-ет и дру-гое опре-де-ле-ние вы-пук-ло-сти мно-го-уголь-ни-ка.

Опре-де-ле-ние 2. Мно-го-уголь-ник на-зы-ва-ет-ся вы-пук-лым , если при вы-бо-ре любых двух его внут-рен-них точек и при со-еди-не-нии их от-рез-ком все точки от-рез-ка яв-ля-ют-ся также внут-рен-ни-ми точ-ка-ми мно-го-уголь-ни-ка.

Де-мон-стра-цию ис-поль-зо-ва-ния этого опре-де-ле-ния можно уви-деть на при-ме-ре по-стро-е-ния от-рез-ков на Рис. 2 и 3.

Опре-де-ле-ние. Диа-го-на-лью мно-го-уголь-ни-ка на-зы-ва-ет-ся любой от-ре-зок, со-еди-ня-ю-щий две не со-сед-ние его вер-ши-ны.

3. Теорема о сумме внутренних углов выпуклого n-угольника

Для опи-са-ния свойств мно-го-уголь-ни-ков су-ще-ству-ют две важ-ней-шие тео-ре-мы об их углах: тео-ре-ма о сумме внут-рен-них углов вы-пук-ло-го мно-го-уголь-ни-ка и тео-ре-ма о сумме внеш-них углов вы-пук-ло-го мно-го-уголь-ни-ка . Рас-смот-рим их.

Тео-ре-ма. О сумме внут-рен-них углов вы-пук-ло-го мно-го-уголь-ни-ка (n -уголь-ни-ка).

Где - ко-ли-че-ство его углов (сто-рон).

До-ка-за-тель-ство 1. Изоб-ра-зим на Рис. 4 вы-пук-лый n-уголь-ник.

Рис. 4. Вы-пук-лый n-уголь-ник

Из вер-ши-ны про-ве-дем все воз-мож-ные диа-го-на-ли. Они делят n-уголь-ник на тре-уголь-ни-ка, т.к. каж-дая из сто-рон мно-го-уголь-ни-ка об-ра-зу-ет тре-уголь-ник, кроме сто-рон, при-ле-жа-щих к вер-шине . Легко ви-деть по ри-сун-ку, что сумма углов всех этих тре-уголь-ни-ков как раз будет равна сумме внут-рен-них углов n-уголь-ни-ка. По-сколь-ку сумма углов лю-бо-го тре-уголь-ни-ка - , то сумма внут-рен-них углов n-уголь-ни-ка:

До-ка-за-тель-ство 2. Воз-мож-но и дру-гое до-ка-за-тель-ство этой тео-ре-мы. Изоб-ра-зим ана-ло-гич-ный n-уголь-ник на Рис. 5 и со-еди-ним любую его внут-рен-нюю точку со всеми вер-ши-на-ми.

Мы по-лу-чи-ли раз-би-е-ние n-уголь-ни-ка на n тре-уголь-ни-ков (сколь-ко сто-рон, столь-ко и тре-уголь-ни-ков). Сумма всех их углов равна сумме внут-рен-них углов мно-го-уголь-ни-ка и сумме углов при внут-рен-ней точке, а это угол . Имеем:

Что и тре-бо-ва-лось до-ка-зать.

До-ка-за-но.

По до-ка-зан-ной тео-ре-ме видно, что сумма углов n-уголь-ни-ка за-ви-сит от ко-ли-че-ства его сто-рон (от n). На-при-мер, в тре-уголь-ни-ке , а сумма углов . В че-ты-рех-уголь-ни-ке , а сумма углов - и т.д.

4. Теорема о сумме внешних углов выпуклого n-угольника

Тео-ре-ма. О сумме внеш-них углов вы-пук-ло-го мно-го-уголь-ни-ка (n -уголь-ни-ка).

Где - ко-ли-че-ство его углов (сто-рон), а , …, - внеш-ние углы.

До-ка-за-тель-ство. Изоб-ра-зим вы-пук-лый n-уголь-ник на Рис. 6 и обо-зна-чим его внут-рен-ние и внеш-ние углы.

Рис. 6. Вы-пук-лый n-уголь-ник с обо-зна-чен-ны-ми внеш-ни-ми уг-ла-ми

Т.к. внеш-ний угол свя-зан со внут-рен-ним как смеж-ные, то и ана-ло-гич-но для осталь-ных внеш-них углов. Тогда:

В ходе пре-об-ра-зо-ва-ний мы вос-поль-зо-ва-лись уже до-ка-зан-ной тео-ре-мой о сумме внут-рен-них углов n-уголь-ни-ка .

До-ка-за-но.

Из до-ка-зан-ной тео-ре-мы сле-ду-ет ин-те-рес-ный факт, что сумма внеш-них углов вы-пук-ло-го n-уголь-ни-ка равна от ко-ли-че-ства его углов (сто-рон). Кста-ти, в от-ли-чие от суммы внут-рен-них углов.

Далее мы более по-дроб-но будем ра-бо-тать с част-ным слу-ча-ем мно-го-уголь-ни-ков - че-ты-рех-уголь-ни-ка-ми. На сле-ду-ю-щем уроке мы по-зна-ко-мим-ся с такой фи-гу-рой, как па-рал-ле-ло-грамм, и об-су-дим его свой-ства.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-klasse

https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144

Тема многоугольники - 8-й класс:

Линия из смежных отрезков, не лежащих на одной прямой, называется ломаной линией .

Концы отрезков является вершинами .

Каждый отрезок - звеном .

А все суммы длин отрезков составляют общую длину ломаной. Например, AM + ME + EK + KO = длина ломаной

Если отрезки замкнутые, то это многоугольник (см. выше).

Звенья в многоугольнике называются сторонами .

Суммы длин сторон - периметр многоугольника.

Вершины, лежащие у одной стороны, являются соседними .

Отрезок, соединяющий не соседние вершины, называется диагональю .

Многоугольники называют по количеству сторон : пятиугольник, шестиугольник и т.д.

Все что внутри многоугольника - это внутренняя часть плоскости , а все что снаружи - внешняя часть плоскости .

Обратите внимание! На рисунке ниже - это НЕ многоугольник, так как там есть дополнительные общие точки на одной прямой у несмежных отрезков.

Выпуклый многоугольник лежит по одну сторону от каждой прямой. Для его определения мысленно (или чертежом) продолжаем каждую сторону.

В многоугольнике углов столько же, сколько и сторон .

В выпуклом многоугольнике сумма всех внутренних углов равна (n-2)*180° . n - это количество углов.

Многоугольник называется правильным , если все его стороны и углы равны. Так что вычисление его внутренних углов проводится по формуле (где n - кол-во углов): 180° * (n-2) / n

Ниже указаны многоугольники, сумма их углов и чему равен один угол.

Внешние углы выпуклых многоугольников вычисляются так:

​​​​​​​

Предмет, возраст учащихся: геометрия, 9 класс

Цель урока: исследование видов многоугольников.

Обучающая задача:актуализировать, расширить и обобщить знания учащихся о многоугольниках; сформировать представление о “составных частях” многоугольника; провести исследование количества составных элементов правильных многоугольников (от треугольника до n – угольника);

Развивающая задача: развивать умения анализировать, сравнивать, делать выводы, развивать вычислительные навыки, устную и письменную математическую речь, память, а также самостоятельность в мышлении и учебной деятельности, умение работать в парах и группах; развивать исследовательскую и познавательную деятельность;

Воспитательная задача: воспитывать самостоятельность, активность, ответственность за порученное дело, упорство в достижении поставленной цели.

Ход урока: на доске написана цитата

“Природа говорит языком математики, буквы этого языка … математические фигуры”. Г.Галлилей

В начале урока класс делится на рабочие группы (в нашем случае деление на группы по 4 человека в каждой – количество участников группы равно количеству групп вопросов).

1.Стадия вызова-

Цели:

а) актуализация знаний учащихся по теме;

б) пробуждение интереса к изучаемой теме, мотивация каждого ученика к учебной деятельности.

Прием: Игра “Верите ли вы в то, что…”, организация работы с текстом.

Формы работы: фронтальная, групповая.

“Верите ли вы в то, что ….”

1. … слово “многоугольник” указывает на то, что у всех фигур этого семейства “много углов”?

2. … треугольник относится к большому семейству многоугольников, выделяемых среди множества различных геометрических фигур на плоскости?

3. … квадрат – это правильный восьмиугольник (четыре стороны + четыре угла)?

Сегодня на уроке речь пойдет о многоугольниках. Мы узнаем, что эта фигура ограничена замкнутой ломаной, которая в свою очередь бывает простой, замкнутой. Поговорим о том, что многоугольники бывают плоскими, правильными, выпуклыми. Один из плоских многоугольников – треугольник, с которым вы давно и хорошо знакомы (можно продемонстрировать учащимся плакаты с изображением многоугольников, ломаной, показать их различные виды, также можно воспользоваться и ТСО).

2. Стадия осмысления

Цель: получение новой информации, ее осмысление, отбор.

Прием: зигзаг.

Формы работы: индивидуальная->парная->групповая.

Каждому из группы выдается текст по теме урока, причем текст составлен таким образом, что он включает в себя как информацию уже известную учащимся, так и информацию абсолютно новую. Вместе с текстом учащиеся получают вопросы, ответы на которые необходимо в этом тексте найти.

Многоугольники. Виды многоугольников.

Кто не слышал о загадочном Бермудском треугольнике, в котором бесследно исчезают корабли и самолеты? А ведь знакомый нам с детства треугольник таит в себе немало интересного и загадочного.

Помимо уже известных нам видов треугольников, разделяемых по сторонам (разносторонний, равнобедренный, равносторонний) и углам (остроугольный, тупоугольный, прямоугольный) треугольник относится к большому семейству многоугольников, выделяемых среди множества различных геометрических фигур на плоскости.

Слово “многоугольник” указывает на то, что у всех фигур этого семейства “много углов”. Но для характеристики фигуры этого не достаточно.

Ломаной А 1 А 2 …А n называется фигура, которая состоит из точек А 1, А 2, …А n и соединяющих их отрезков А 1 А 2 , А 2 А 3 ,…. Точки называются вершинами ломаной, а отрезки звеньями ломаной. (рис.1)

Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений (рис.2,3).

Ломаная называется замкнутой, если у нее концы совпадают. Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев (рис.4).

Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой (рис.5).

Подставьте в слове “многоугольник” вместо части “много” конкретное число, например 3. Вы получите треугольник. Или 5. Тогда - пятиугольник. Заметим, что, сколько углов, столько и сторон, поэтому эти фигуры вполне можно было бы назвать и многосторонниками.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной – сторонами многоугольника.

Многоугольник разбивает плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю (рис.6).

Плоским многоугольником или многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником.

Две вершины многоугольника являющиеся концами одной стороны называются соседними. Вершины, не являющиеся концами одной стороны – несоседние.

Многоугольник с n вершинами, а значит, и с n сторонами называется n-угольником.

Хотя наименьшее число сторон многоугольника – 3. Но треугольники, соединяясь, друг с другом, могут образовывать другие фигуры, которые в свою очередь также являются многоугольниками.

Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости.

Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.

Докажем теорему (о сумме углов выпуклого n – угольника): Сумма углов выпуклого n – угольника равна 180 0 *(n - 2).

Доказательство. В случае n=3 теорема справедлива. Пусть А 1 А 2 …А n – данный выпуклый многоугольник и n>3. Проведем в нем (из одной вершины) диагонали. Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на n – 2 треугольника. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна 180 0 , а число этих треугольников n – 2. Поэтому сумма углов выпуклого n – угольника А 1 А 2 …А n равна 180 0 * (n - 2). Теорема доказана.

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Так что квадрат можно назвать по-другому – правильным четырехугольником. Равносторонние треугольники также являются правильными. Такие фигуры давно интересовали мастеров, украшавших здания. Из них получались красивые узоры, например на паркете. Но не из всех правильных многоугольников можно было сложить паркет. Из правильных восьмиугольников паркет сложить нельзя. Дело в том, что у них каждый угол равен 135 0 .И если какая – нибудь точка является вершиной двух таких восьмиугольников, то на их долю придется 270 0 , и третьему восьмиугольнику там поместиться негде: 360 0 - 270 0 =90 0 .Но для квадрата этого достаточно. Поэтому можно сложить паркет из правильных восьмиугольников и квадратов.

Правильными бывают и звезды. Наша пятиконечная звезда – правильная пятиугольная звезда. А если повернуть квадрат вокруг центра на 45 0 , то получится правильная восьмиугольная звезда.

1 группа

Что называется ломаной? Объясните, что такое вершины и звенья ломаной.

Какая ломаная называется простой?

Какая ломаная называется замкнутой?

Что называется многоугольником? Что называется вершинами многоугольника? Что называется сторонами многоугольника?

2 группа

Какой многоугольник называется плоским? Приведите примеры многоугольников.

Что такое n – угольник?

Объясните, какие вершины многоугольника – соседние, а какие нет.

Что такое диагональ многоугольника?

3 группа

Какой многоугольник называется выпуклым?

Объясните, какие углы многоугольника внешние, а какие внутренние?

Какой многоугольник называется правильным? Приведите примеры правильных многоугольников.

4 группа

Чему равна сумма углов выпуклого n-угольника? Докажите.

Учащиеся работают с текстом, ищут ответы на поставленные вопросы, после чего формируются экспертные группы, работа в которых идет по одним и тем же вопросам: учащиеся выделяют главное, составляют опорный конспект, представляют информацию одной из графических форм. По окончании работы учащиеся возвращаются в свои рабочие группы.

3.Стадия рефлексии-

а) оценка своих знаний, вызов к следующему шагу познания;

б) осмысление и присвоение полученной информации.

Прием: исследовательская работа.

Формы работы: индивидуальная->парная->групповая.

В рабочих группах оказываются специалисты по ответам на каждый из разделов предложенных вопросов.

Вернувшись в рабочую группу, эксперт знакомит других членов группы с ответами на свои вопросы. В группе происходит обмен информацией всех участников рабочей группы. Таким образом, в каждой рабочей группе, благодаря работе экспертов, складывается общее представление по изучаемой теме.

Исследовательская работа учащихся – заполнение таблицы.

Решение интересных задач по теме урока.

• В четырехугольнике, проведите прямую так, чтобы она разделила его на три треугольника.
• Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен 135 0 ?
• В некотором многоугольнике все внутренние углы равны между собой. Может ли сумма внутренних углов этого многоугольника равняться: 360 0 , 380 0 ?

Подведение итогов урока. Запись домашнего задания.

Что называется многоугольником? Виды многоугольников. МНОГОУГОЛЬНИК, плоская геометрическая фигура с тремя или более сторонами, пересекающимися в трех или более точках (вершинах). Определение. Многоугольник - это геометрическая фигура, ограниченная со всех сторон замкнутой ломаной линией, состоящая из трех и более отрезков (звеньев). Треугольник безусловно является многоугольником. А многоугольник — это фигура, у которой от пяти углов и больше.

Определение. Четырехугольник - это плоская геометрическая фигура, состоящая из четырех точек (вершин четырехугольника) и четырех последовательно соединяющих их отрезков (сторон четырехугольника).

Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые. Они называются в соответствии с числом сторон или вершин: ТРЕУГОЛЬНИК (трехсторонний); ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК (четырехсторонний); ПЯТИУГОЛЬНИК (пятисторонний) и т.д. В элементарной геометрии М. называется фигура,ограниченная прямыми линиями, называемыми сторонами. Точки, в которыхстороны пересекаются, называются вершинами. У многоугольника углов больше, чем три. Так принято или условлено.

Треугольник — он и есть треугольник. И четырехугольник тоже не многоугольник, да и четырехугольником не зовется — это либо квадрат, либо ромб, либо трапеция. Тот факт многоугольник с тремя сторонами и тремя углами имеет собственное название «треугольник» не лишает его статуса многоугольника.

Смотреть что такое «МНОГОУГОЛЬНИК» в других словарях:

Мы узнаем, что эта фигура ограничена замкнутой ломаной, которая в свою очередь бывает простой, замкнутой. Поговорим о том, что многоугольники бывают плоскими, правильными, выпуклыми. Кто не слышал о загадочном Бермудском треугольнике, в котором бесследно исчезают корабли и самолеты? А ведь знакомый нам с детства треугольник таит в себе немало интересного и загадочного.

Хотя конечно фигура, состоящая из трёх углов тоже может считаться многоугольником

Но для характеристики фигуры этого не достаточно. Ломаной А1А2…Аn называется фигура, которая состоит из точек А1,А2,…Аn и соединяющих их отрезков А1А2, А2А3,…. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой (рис.5). Подставьте в слове “многоугольник” вместо части “много” конкретное число, например 3. Вы получите треугольник. Заметим, что, сколько углов, столько и сторон, поэтому эти фигуры вполне можно было бы назвать и многосторонниками.

Пусть А1А2…А n – данный выпуклый многоугольник и n>3. Проведем в нем (из одной вершины) диагонали

Сумма углов каждого треугольника равна 1800, а число этих треугольников n – 2. Поэтому сумма углов выпуклого n – угольника А1А2…А n равна 1800* (n — 2). Теорема доказана. Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине.

В четырехугольнике, проведите прямую так, чтобы она разделила его на три треугольника

У четырехугольника никогда на одной прямой не лежат три вершины. Слово “многоугольник” указывает на то, что у всех фигур этого семейства “много углов”. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений (рис.2,3).

Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев (рис.4). В случае n=3 теорема справедлива. Так что квадрат можно назвать по-другому – правильным четырехугольником. Такие фигуры давно интересовали мастеров, украшавших здания.

Число вершин равняется числусторон. Ломаная называется замкнутой, если у нее концы совпадают. Из них получались красивые узоры, например на паркете. Наша пятиконечная звезда – правильная пятиугольная звезда.

Но не из всех правильных многоугольников можно было сложить паркет. Рассмотрим подробнее два вида многоугольников: треугольник и четырехугольник. Многоугольник у которого все внутренние углы равны называется правильным. Многоугольники называются в соответствии с числом его сторон или вершин.