Виды высказываний
Логические высказывания принято подразделять на два вида: элементарные логические высказывания и составные логические высказывания.
Составное логическое высказывание - это высказывание, образованное из других высказываний с помощью логических связок.
Логическая связка - это любая логическая операция над высказыванием. Например, употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если… , то», «тогда и только тогда» являются логическими связками.
Элементарные логические высказывания - это высказывания не относящиеся к составным.
Примеры: «Петров - врач», «Петров - шахматист» - элементарные логические высказывания. «Петров - врач и шахматист» - составное логическое высказывание, состоящие из двух элементарных высказываний, связанных между собой при помощи связки «и».
Связь с математической логикой
Обычная логика двухзначна, то есть приписывает высказываниям только два возможных значения: истинно оно или ложно .
Пусть - высказывание. Если оно истинно, то пишут , если ложно, то .
Основные операции над логическими высказываниями
Отрицание логического высказывания - логическое высказывание, принимающее значение «истинно», если исходное высказывание ложно, и наоборот.
Конъюнкция двух логических высказываний - логическое высказывание, истинное только тогда, когда они одновременно истинны.
Дизъюнкция двух логических высказываний - логическое высказывание, истинное только тогда, когда хотя бы одно из них истинно.
Импликация двух логических высказываний A и B - логическое высказывание, ложное только тогда, когда B ложно, а A истинно.
Равносильность (эквивалентность) двух логических высказываний - логическое высказывание, истинное только тогда, когда они одновременно истинны или ложны.
Кванторное всеобщности () - логическое высказывание, истинное только тогда, когда для каждого объекта x из заданной совокупности высказывание A(x) истинно.
Кванторное логическое высказывание с квантором существования () - логическое высказывание, истинное только тогда, когда в заданной совокупности существует объект x, такой, что высказывание A(x) истинно.
См. также
- Утверждение
Примечания
Литература
- Карпенко, А. С. Современные исследования в философской логике // Логические исследования. Вып. 10. - М.: Наука, 2003. ISBN 5-02-006257-X - С. 61-93.
- Крипке, С. А. Витгенштейн о правилах и индивидуальном языке / Пер. В. А. Ладова, В. А. Суровцева. Под общ. ред. В. А. Суровцева. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. - 152 с. - (Библиотека аналитической философии). ISBN 5-7511-1906-1
- Курбатов, В. И. Логика. Систематический курс. - Ростов н/Д: Феникс, 2001. - 512 c. ISBN 5-222-01850-4
- Шуман, А. Н. Современная логика: теория и практика. - Минск: Экономпресс, 2004. - 416 с. ISBN 985-6479-35-5
- Макарова, Н. В. Информатика и ИКТ. - Санкт-Петербург: Питер Пресс, 2007 ISBN 978-5-91180-198-4 - С. 343-345.
- Кондаков Н. И. Логический словарь / Горский Д. П.. - М .: Наука, 1971. - 656 с.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Высказывание (логика)" в других словарях:
Высказывание: Высказывание (логика) предложение, которое может быть истинно или ложно. Высказывание (лингвистика) предложение в конкретной речевой ситуации. См. также Суждение … Википедия
- (от греч. logos слово, понятие, рассуждение, разум), или Формальная логика, наука о законах и операциях правильного мышления. Согласно основному принципу Л., правильность рассуждения (вывода) определяется только его логической формой, или… … Философская энциклопедия
Раздел логики, в котором изучаются истинностные взаимосвязи между высказываниями. В рамках данного раздела высказывания (пропозиции, предложения) рассматриваются только с т.зр. их истинности или ложности, безотносительно к их внутренней субъектно … Философская энциклопедия
логика высказываний - ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, пропозициональная логика раздел символической логики, изучающий сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения. В отличие от логики предикатов, простые высказывания при этом выступают как… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки
Грамматически правильное повествовательное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом. В логике употребляется несколько понятий В., существенно различающихся между собой. Прежде всего это понятие дескриптивного, или о п и с а тельного,… … Философская энциклопедия
Логика Бэрроуза Абади Нидхэма (англ. Burrows Abadi Needham logic) или BAN логика (англ. BAN logic) это формальная логическая модель для анализа знания и доверия, широко используемая при анализе протоколов… … Википедия
Центральный раздел логики, в котором изучается субъектно предикатная структура высказывании и истинностные взаимосвязи между ними. Л.п. представляет собой содержательное расширение логики высказываний. В рамках данного раздела любое высказывание… … Философская энциклопедия
Или Логика науки, применение идей, методов и аппарата логики в анализе научного познания. Развитие логики всегда было тесно связано с практикой теоретического мышления и прежде всего с развитием науки. Конкретные рассуждения дают логике материал … Философская энциклопедия
Основным (неопределяемым) понятием математической логики является понятие «простого высказывания».
Под высказыванием обычно понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».
Приведем примеры высказываний:
1) Новгород стоит на Волхове.
2) Париж – столица Англии.
3) Карась не рыба.
4) Число 6 делится на 2 и на 3.
5) Если юноша окончил среднюю школу, то он получает аттестат зрелости.
Высказывания 1), 4), 5) истинны, а 2) и 3) – ложны.
Очевидно, предложение «Да здравствуют наши спортсмены!» не является высказыванием.
Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным. Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1) и 2).
Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если …, то …», «тогда и только тогда», принято называть сложными или составными. Так, высказывание 3) получается из простого высказывания «Карась – рыба» с помощью отрицания «не», высказывание 4) образовано из элементарных высказываний «Число 6 делится на 2», «Число 6 делится на 3», соединенных союзом «и». Высказывание 5) получается из простых высказываний «Юноша окончил среднюю школу», «Юноша получает аттестат зрелости» с помощью грамматической связки «если …,
то …». Аналогично сложные высказывания могут быть получены из простых высказываний с помощью грамматических связок «или», «тогда и только тогда».
В алгебре логики все высказывания рассматриваются только с точки зрения их логического значения, а от их житейского содержания отвлекаются. Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.
В дальнейшем будем элементарные высказывания обозначать буквами латинского алфавита: a,b,c,…,x,y,z,…; истинное значение – буквой И или цифрой 1, а ложное значение – буквой Л или цифрой 0.
Если высказывание а истинно, то будем писать а=1 , если же ложно, то а=0 .
Логические высказывания принято подразделять на два вида: элементарные логические высказывания исоставные логические высказывания.
Составное логическое высказывание - это высказывание, образованное из других высказываний с помощью логических связок.
Логическая связка - это любая логическая операция над высказыванием. Например, употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если… , то», «тогда и только тогда» являются логическими связками.
Элементарные логические высказывания - это высказывания не относящиеся к составным.
Примеры: «Иванов - футболист» - элементарные логические высказывания. «Иванов - футболист и шахматист» - составное логическое высказывание, состоящие из двух элементарных высказываний, связанных между собой при помощи связки «и».
46. Элементы алгебры логики
Алгебра логики – это раздел математической логики, значения всех элементов (функций и аргументов) которой определены в двухэлементном множестве: 0 и 1. Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями.
Высказывание – это любое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждение о его истинности или ложности. При этом считается, что высказывание удовлетворяет закону исключенного третьего, то есть каждое высказывание или истинно, или ложно и не может быть одновременно и истинным и ложным.
Высказывания:
– “Сейчас идет снег” – это утверждение может быть истинным или ложным;
– “Вашингтон – столица США” – истинное утверждение;
– “Частное от деления 10 на 2 равно 3” – ложное утверждение.
В алгебре логики все высказывания обозначают буквами а, b, с ит. д. Содержание высказываний учитывается только при введении их буквенных обозначений, и в дальнейшем над ними можно производить любые действия, предусмотренные данной алгеброй. Причем если над исходными элементами алгебры выполнены некоторые разрешенные в алгебре логики операции, то результаты операций также будут элементами этой алгебры.
Простейшими операциями в алгебре логики являются операции логического сложения (иначе: операция ИЛИ (OR),операция дизъюнкции) и логического умножения (иначе: операция И (AND), операция конъюнкции). Для обозначения операции логического сложения используют символы + или V, а логического умножения – символы или Правила выполнения операций в алгебре логики определяются рядом аксиом, теорем и следствий. В частности, для алгебры логики применимы законы:
1. Сочетательный:
47. (a + b) + с = а + (b + с ),
48. (а b) с = а (b с ).
2. Переместительный:
49. (а + b) = (b + a),
50. (а b) = (b а).
3. Распределительный:
51. а (b + с) = а b + (a с),
52. (а + b) с = а с + b с.
Справедливы соотношения, в частности:
53. а + а = аа + b = b, если а ≤ b,
54. а а = аа b = а , если a ≤ b,
a + a b = aa b = b, если а ≥ b ,
а + b = а, если а ≥ b.
Наименьшим элементом алгебры логики является 0, наибольшим элементом – 1. В алгебре логики также вводится еще одна операция – отрицания (операция НЕ (NOT) , инверсия), обозначаемая чертой над элементом.
По определению
Функция в алгебре логики – выражение, содержащее элементы алгебры логики а, b, с и др., связанные операциями, определенными в этой алгебре. Примеры логических функций:
и т. д. Эти соотношения используются для синтеза логических функций и вычислительных схем.
Источник усталости — не в теле, а в уме. Ты можешь гораздо больше, чем думаешь.
Надеяться только на себя - отличный способ перестать разочаровываться в людях и жить с отличным настроением.
Жизнь дарит нам море шансов, но, чаще всего, нам просто лень плавать.
Все люди двуличны. Первая личность добрая, искренняя, отзывчивая. Вторая появляется, когда злоупотребляют первой.
Ад? К сожалению, его не существует. Есть только Рай и… Земля.
Самое важное в общении - услышать то, что не было сказано. Питер Друкер
Что ложью началось, то ложью и должно было кончиться; это закон природы. Фёдор Достоевский
Слова, как ключи. Правильно подобрав, можно открыть любую душу и закрыть любой рот.
Уважать или не уважать человека - ваш выбор. Относиться уважительно - ваше воспитание.
Правило воздушного шара: выбрасывать все лишнее, чтобы набрать высоту.
Мы не ошибаемся в людях, мы просто спешим видеть их такими, какими хочется нам, чтобы они были.
Нельзя потерять то, чего нет. Нельзя разрушить то, что не построено. Можно лишь развеять иллюзию того, что кажется реальным.
Для достижения полной гармонии в жизни нужно поменять местами всего две вещи: в 7 утра должно хотеться есть, а в час ночи — спать.
Музыка – это жизнь. Пока она звучит, ничто не умирает навсегда. Музыкант, исполняя музыку, живет воспоминаниями так, словно это реальные события.
Я никогда не обману того, кто мне искренне доверяет. Но и не буду доказывать правду тому, кто мне не верит.
Если вы не делаете ошибок, значит, вы решаете слишком простые задачи. И это большая ошибка.
В жизни нет ничего случайного, а все, что происходит с нами, происходит в нужное время и в правильном месте.
Если я буду совершать именно те поступки, которых ждут от меня люди, я попаду к ним в рабство.
Время - удивительное явление. Его так мало, когда опаздываешь и так много, когда ждешь.
О чем вы думаете - то и чувствуете. Что чувствуете - то и излучаете. Что излучаете - то и получаете.
Нет лучшего способа отомстить, чем стереть из памяти. Януш Леон Вишневский
Относись ко всем с добром и уважением, даже к тем, кто с тобой груб. Не потому, что они достойные люди, а потому, что ты - достойный человек. (Конфуций)
Семья — это и есть то, ради чего стоит просыпаться каждый день, дышать каждую секунду, и молить Бога каждое мгновенье, чтоб он их оберегал и защищал.
Всегда найдутся люди, которые причинят тебе боль. Нужно продолжать верить людям, просто быть чуть осторожнее.
Умирает любовь от усталости, а хоронит её забвение.
Иначе расставленные слова обретают другой смысл, иначе расставленные мысли производят другое впечатление.
Ведущий войну с другими не заключил мира с самим собой.
Доверяя безоговорочно человеку, ты в итоге получаешь одно из двух: или человека на всю жизнь, или урок на всю жизнь.
Не подходите к человеку ближе, чем он позволяет, и не подпускайте человека ближе, чем он этого заслуживает.
Чтобы открыть новые части света, нужно иметь смелость потерять из виду старые берега.
Не ждите чуда, чудите сами. И бегите, бегите от пессимистов, скептиков, нытиков, отодвигайте их. Они рушат ожидание и веру в чудеса жизни.
В жизни нужно стремиться обгонять не других, а самого себя.
В характере человека есть три золотых качества: терпение, чувство меры и умение молчать. Иногда в жизни они помогают больше, чем ум, талант и красота.
Научитесь никому, ничего не рассказывать. Вот тогда все будет хорошо.
Бриллиант упавший в грязь, всё равно остаётся бриллиантом, а пыль поднявшаяся до небес, так и остаётся пылью.
Сохраняйте душевный свет. Вопреки всему, не смотря ни на что. Это свет, по которому вас найдут такие же светлые души.
Людям не всегда нужны советы. Иногда им нужна рука, которая поддержит. Ухо, которое выслушает и сердце, которое поймет.
Выживает не самый сильный и не самый умный, а тот, кто лучше всех приспосабливается к изменениям.
Если о тебе идут слухи, Ты — личность. Запомни: никогда не обсуждают и не завидуют плохому. Завидуют лучшим, обсуждают лучших.
Дайте человеку цель, ради которой стоит жить, и он сможет выжить в любой ситуации.
Никогда не критикуй поступки другого человека если не знаешь, почему он их совершил. Возможно, при тех же обстоятельствах ты поступил бы так же.
Совесть мучает обычно тех, кто не виноват. Эрих Мария Ремарк
Умейте говорить «спасибо» тому, что осталось за спиной. Оно непременно научило нас чему-то важному.
Молчишь, а тебя уже не правильно поняли.
Общество часто прощает преступника. Но не мечтателя. Оскар Уайльд
В нашем ненадёжном мире нет ничего более трудно достижимого и хрупкого, чем доверие.
Прошлое всегда с нами, оно ждет, чтобы перевернуть настоящее.
Конец лжи ещё не означает начала правды. Фредерик Бегбедер
Обижаться и негодовать, это все равно, что выпить яд в надежде, что он убьет твоих врагов.
Самое страшное – это не «снова не получается». Самое страшное – это «я больше не хочу пробовать».
Свою жизнь надо устраивать до тех пор, пока жизнь не начнёт устраивать тебя.
Никто в мире не пойдет тебе навстречу. Если тебе что-то нужно — бери сам, всегда делай только то, что решил.
Ты поешь песню не для того, чтобы добраться до последней ноты. Радость доставляет само пение. То же самое касается жизни. Радость в том — чтобы жить.
Величайший изъян жизни - вечная её незавершённость из-за нашей привычки откладывать со дня на день. Кто каждый вечер заканчивает дело своей жизни, тому время не нужно.
Кто в верности не клялся никогда, тот никогда её и не нарушит. Август фон Платен
Тому, кто способен укротить свое сердце, покорится весь мир. Пауло Коэльо
Сделайте вашу работу наполненной жизнью, а не жизнь наполненной работой.
Наши поступки могут вознести нас до небес и швырнуть в глубочайшую пропасть. Мы - дети наших деяний. Виктор Гюго.
Если ты хочешь добиться цели, нужно каждый день хотя бы немножко к ней продвинуться.
Когда видишь орла, видишь образец Совершенства – так почаще же смотри в небо.
Хотеть перемен - это первый шаг. Но второй - это добиваться их!
Между хорошим обедом и жизнью только та разница, что сладкое подают в конце.
Иногда человек, которого ты не замечаешь, становится тем, кто нужен тебе больше всего.
Прошлое уже не исправить, но ты можешь напрячься и изменить будущее.
Сильный человек - это не тот, у кого все хорошо, а тот, у кого все хорошо, НЕСМОТРЯ НИ НА ЧТО!
Запомни правило. Относись к женщине как к человеку. Затем как к принцессе. Затем как к греческой богине, а затем снова как к человеку.
Когда терять нечего, можно рискнуть всем…
Я слышу и забываю. Я вижу и запоминаю. Я делаю и понимаю. Конфуций
Можно и подождать, если есть чего ждать.
Не надо думать, какой жизнь была или будет. Нет никакого прошлого, и будущего не будет. Всё происходит здесь и сейчас.
Речь идет не о том, чтобы предвидеть будущее, а о том, чтобы творить его.
Будь с теми, кто делает тебя счастливым.
Нужно делать невозможное. Нужно тяжело работать. И если у тебя получается, ты позитивен, у тебя появляется лучик надежды.
Любовь живёт только тогда, когда есть уважение друг к другу и свобода. Желание обладать другим как вещью-абсурд.
Посмотри, о чем ты думаешь сейчас, это и станет твоим будущим. Думай о хорошем, о любви, успехе, удаче, изобилии и радости. И насладись этим в будущем.
Единственный способ выжить - постоянно ставить перед собой новые задачи.
Чем меньше в голове ожиданий, тем больше в жизни сюрпризов.
Кто не понял своего прошлого, вынужден пережить его снова.
В каждом человеке - солнце. Только дайте ему светить. Сократ
Я все равно ни о чем не жалею — хотя бы потому, что это бессмысленно.
Я не люблю одиночество. Просто не завожу лишних знакомств, чтобы в людях лишний раз не разочаровываться.
Не обещай, если не уверен, что выполнишь обещанное, ведь боль, которую ты причинишь другому, рано или поздно к тебе воротится.
Те, кто преуспел в этом мире, приходят и находят такие обстоятельства, которые им нужны. Если же они не могут их найти, тогда они создают их сами.
Никогда не поздно поставить новую цель или обрести новую мечту.
Не всегда прощения просит тот, кто виноват. Чаще всего это делает тот, кто дорожит отношениями…
Цените тех, которые умеют видеть в Вас три вещи печаль, скрывающуюся за улыбкой, любовь, скрывающуюся за гневом, и причину Вашего молчания.
Любая проблема перестает быть проблемой при правильном отношении.
Никто ничего не может сказать про вас. Что бы люди ни говорили, они говорят про самих себя.
Всегда выбирайте самый трудный путь — на нём Вы не встретите конкурентов.
Это неважно, что медленно ты идешь… главное - не останавливайся.
Если вы решили действовать — закройте двери для сомнений. Фридрих Ницше
Люди чаще всего употребляют слово «ничего» для того, чтобы скрыть за ним очень важное «нечто».
Меланхоликом становишься, когда размышляешь о жизни, а циником - когда видишь, что делает из нее большинство людей. Ремарк
Не стоит забывать, что должность — от слова «долг», работа — от слова «раб», а увольнение — от слова «воля».
Я друзей не выбираю.Это занятие нудное и бесполезное. Мне гораздо интереснее выбирать овощи на рынке. Друзья- это подарки судьбы.
Выражение той или иной мысли, идеи происходит путем формирования предложений. Их ядром и является мысль, которую необходимо выразить. Одновременно с этим, в русском языке существует понятие «высказывания». Оно схоже с предложением, но и имеет несколько иной смысл.
Что такое высказывание
Высказывание представляет собой сформулированную мысль. При этом такая мысль исходит от конкретного человека. То есть, высказывание является повторением прямой речи или непосредственно прямой речью.
Следовательно, высказывание может быть словами конкретного человека, которые он произносит в текущий момент или только что произнес. Кроме того, высказывание может быть словами человека, которые произнесены давно и стали общеизвестными.
К примеру, это могут быть цитаты из фильмов, «крылатые выражения» известных людей. Подобные высказывания употребляются для обозначения той или иной ситуации. При этом они весьма доходчиво объясняют суть ситуации или характеризуют отношение к ней человека.
Многие высказывания стали афоризмами. Как правило, они очень точно и емко выражают какую-то мысль. Поэтому, высказывание, это всегда мысль и это всегда отдельное предложение.
Вполне возможен и юмористический оттенок. Ведь высказывание, это слова, которые когда-то были произнесены человеком относительно той или иной ситуации или события.
В чем отличие высказывания от предложения
Каждое высказывание является предложением, но не каждое предложение является высказыванием. Справедливость данного утверждения можно обосновать следующим образом:
- Предложение может включать только одно слово. Такое слово применяется в общем контексте и подчеркивает единую мысль, которую автор выражает в тексте. Между тем, высказывание, это несколько связанных единой мыслью слов. Высказываний из одного слова, не существует;
- Предложение может быть вводным. Само по себе оно не выражает отдельной мысли. А вот высказывание обязательно выражает идею или мысль;
- Предложение может состоять только из чьего-либо высказывания. Это достаточно для выражения сути текста.
), которое выражает некоторый смысл и является либо истинным , либо ложным , но не тем и другим сразу. Как правило, высказывания носят дескриптивный, или описательный характер, и их основной задачей является описание определённой действительности. Тем самым высказывание оказывается либо истинным либо ложным; иногда допускается, что оно способно принимать некоторые «неопределённые» значения истинности, промежуточные между полной истиной и полной ложью. Понимаемое таким образом высказывание противопоставляется обычно повелительным, вопросительным, бессмысленным и вообще любым другим предложениям (например, оценки, нормы, временные утверждения, меняющие своё значение истинности с течением времени), оценка истинности или ложности которых невозможна. Наряду с оценкой истинности, высказывание также рассматривается в связи с теми или иными модальностями («вероятно», «возможно», «невозможно», «необходимо» и другими). В современной логике высказывания формализуются и применяются, главным образом, при применении логических исчислений в какой-либо конкретной области объектов.
По определению, любое высказывание имеет грамматические и логические аспекты. Грамматический аспект высказывания выражается повествовательным предложением (простым или сложным), а логический - его смыслом и истинностным значением. Высказывание, включающее в себя другие высказывания, называется сложным (составным); не включающее в себя таковых - простым (неделимым). Всякое высказывание выражает некоторую мысль , являющуюся его содержанием и называемой смыслом высказывания . Та или иная истинностная оценка высказывания называется его истинностным значением . Объект, к которому относится высказывание, называется предметом высказывания .
В связи с языковой практикой выделяют способы употребления высказываний. Подразумевается, что высказывание употребляется утвердительно, если целью его употребления является выражение истинной мысли. Утвердительное употребление высказывания - это их наиболее частое употребление, так как выражая свои мысли, люди обычно претендуют на их истинность. Но высказывание может употребляться просто как синтаксическое выражение. В том случае, когда истинность содержания высказывания однозначно не утверждается, подразумевается неутвердительное употребление высказывания. Одним из способов неутвердительного употребления высказываний является их косвенное употребление. Оно имеет целью не утверждение истинности мысли, а лишь передачу её содержания. От различных видов употребления высказываний следует отличать их цитирование, которое имеет целью сообщить точный текст высказывания (и только через посредство этого сообщения выразить содержащуюся в нём мысль). Поэтому цитируемые высказывания (которые обычно входят в состав других высказываний) выделяются с помощью тех или иных знаковых средств (например с помощью кавычек). Косвенное употребление высказываний практически не встречается в наиболее употребительных логических исчислениях, так как его допущение приводит к значительным трудностям в формализации.
В естественных языках оценка высказываний с точки зрения истинности часто зависит от того, кто, когда и в каком контексте применил то или иное высказывание. Выражением этой зависимости являются включаемые в высказывания слова-индикаторы: «я», «ты», «теперь», «там» и так далее; значение этих слов бывает различным в зависимости от ситуации. При построении искусственных языков - интерпретированных исчислений математической логики или языков-посредников при переводе с одного естественного языка на другой (см. ) - отвлекаются от зависимости оценки высказывания от указанных обстоятельств, то есть исключают из рассмотрения прагматику языка (см. ), что позволяет сделать понятие «высказывание» более точным.
При построении наиболее элементарного логического исчисления - двузначного исчисления высказываний - исходят только из расчленения высказываний на составляющие высказывания. Те высказывания, которые не подвергаются дальнейшему членению на составляющие, называются элементарными. Из них с помощью логических союзов (обычно для этого выбирается пять общеизвестных грамматических связок: «не», «и», «или», «если…, то» и «если…, и только если») составляются сложные высказывания. При построении исчисления предикатов исходят из более глубокого расчленения высказываний на отдельные термины (и другие языковые образования). В основе анализа высказываний (в том числе элементарных) математической логики находится понятие предиката, или логической функции, то есть функции, которая каждому предмету рассматриваемой области предметов относит либо истину, либо ложь. Логические функции - это то, что в логическом исчислении обычно соответствует понятиям содержательного человеческого мышления. Например, логическая функция, которая каждому из чисел 1 и 2 относит истину, а каждому из чисел 3, 4, 5, … и так далее - ложь, соответствует понятию «быть меньше 3» (область предметов - целые положительные числа).
Выражения, представляющие в языке логические функции, сами по себе не истинны и не ложны, то есть не являются высказываниями. Такие выражения содержат переменные и превращаются в высказывания при подстановке вместо них имён предметов из данной области (см. ). Таково, например, выражение «x x верно, что x x, которое меньше 3», первое из них ложно, а второе истинно.
В логических исчислениях с высказываниями имеют дело главным образом при применении исчислений к конкретным областям науки. В формулах же самих исчислений фигурируют в основном так называемые переменные высказывания. Переменное высказывание не есть высказывание в подлинном смысле, так как вопрос об его истинности или ложности не имеет смысла; это - переменная для высказывания, то есть символ, на место которого можно подставлять конкретные высказывания (или их имена). Чтобы подчеркнуть отличие переменных высказываний от настоящих высказываний, последние часто называют постоянными высказываниями. Применение переменных высказываний служит для выражения всеобщности: оно позволяет формулировать законы исчисления для любых высказываний данного вида. В некоторых исчислениях вводятся также постоянные высказывания. При аксиоматическом построении логических исчислений (см. ) до тех пор, пока не дана интерпретация исчисления, понятия постоянного и переменного высказывания не имеют того содержания, которое указано выше, а рассматриваются просто как символы, вводимые специальными определениями. Однако эти определения подбираются так, чтобы при интерпретации исчисления формально определённые понятия совпали с содержательными понятиями о постоянном и переменном высказывании.
Ни одно исчисление не в состоянии отобразить все логические свойства разнообразных видов выражений, применяемых в естественных языках. Всякое логическое исчисление исходит из некоторых идеализированных представлений о формализуемом содержании. От высказывания, например, требуется, чтобы оно было либо истинным, либо ложным и притом обязательно одно из двух. Но существуют предложения, не удовлетворяющие непосредственно этому требованию. Они нуждаются в уточнении. Это прежде всего относится к выражениям, по форме являющимся грамматически правильными предложениями, но не имеющим смысла. Обычно в таких случаях бывает возможно так уточнить смысл терминов, чтобы рассматриваемое выражение стало истинным или ложным. В логических исчислениях и дедуктивных теориях понятие осмысленного выражения определяется обычно независимо от понятия истинного (или ложного) выражения, и истинностные значения, истина и ложь, относятся лишь к осмысленным выражениям, которые в таких случаях и называют высказываниями.
Следует отметить, что наряду с термином «высказывание» иногда употребляют также термины «предложение» и «суждение» - или как синонимы или за ними закрепляются различающие их значения. Различение указанных понятий относится к логической семантике (см. ), при этом в логической и философской литературе с ним связан ряд дискуссий. В целом, данные различения сводятся к следующему. Предложение как синтаксическое образование, рассматриваемое только по форме, независимо от смысла и оценок истинности или модальности, называют грамматическим предложением. Высказывание, принадлежащие различным языкам и даже одному и тому же языку, могут выражать одну и ту же мысль. Если предложения, имеющие одинаковый смысл, но различающиеся как синтаксические образования, рассматриваются как одно и то же высказывание, то их называют суждениями. Следует, однако, иметь в виду, что в современной логике (см. ) обычно пользуются термином «высказывание», тогда как термин «суждение» (см. ) использовался в традиционной логике (см. ). В целом, перечень разных видов высказываний, изучаемых логикой, показывает, что область понятия высказывания является гетерогенной и не имеет чётких границ.
