Чтобы найти f. Что означает в математике запись у = f(x) — Гипермаркет знаний

Сессия приближается, и пора нам переходить от теории к практике. На выходных мы сели и подумали о том, что многим студентам было бы неплохо иметь под рукой подборку основных физических формул. Сухие формулы с объяснением: кратко, лаконично, ничего лишнего. Очень полезная штука при решении задач, знаете ли. Да и на экзамене, когда из головы может «выскочить» именно то, что накануне было жесточайше вызубрено, такая подборка сослужит отличную службу.

Больше всего задач обычно задают по трем самым популярным разделам физики. Это механика , термодинамика и молекулярная физика , электричество . Их и возьмем!

Основные формулы по физике динамика, кинематика, статика

Начнем с самого простого. Старое-доброе любимое прямолинейное и равномерное движение.

Формулы кинематики:

Конечно, не будем забывать про движение по кругу, и затем перейдем к динамике и законам Ньютона.

После динамики самое время рассмотреть условия равновесия тел и жидкостей, т.е. статику и гидростатику

Теперь приведем основные формулы по теме «Работа и энергия». Куда же нам без них!

Основные формулы молекулярной физики и термодинамики

Закончим раздел механики формулами по колебаниям и волнам и перейдем к молекулярной физике и термодинамике.

Коэффициент полезного действия, закон Гей-Люссака, уравнение Клапейрона-Менделеева - все эти милые сердцу формулы собраны ниже.

Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на .

Основные формулы по физике: электричество

Пора переходить к электричеству, хоть его и любят меньше термодинамики. Начинаем с электростатики.

И, под барабанную дробь, заканчиваем формулами для закона Ома, электромагнитной индукции и электромагнитных колебаний.

На этом все. Конечно, можно было бы привести еще целую гору формул, но это ни к чему. Когда формул становится слишком много, можно легко запутаться, а там и вовсе расплавить мозг. Надеемся, наша шпаргалка основных формул по физике поможет решать любимые задачи быстрее и эффективнее. А если хотите уточнить что-то или не нашли нужной формулы: спросите у экспертов студенческого сервиса . Наши авторы держат в голове сотни формул и щелкают задачи, как орешки. Обращайтесь, и вскоре любая задача будет вам «по зубам».

На данном примере рассмотрим, как оценивается надежность полученного уравнение регрессии. Этот же тест используется для проверки гипотезы о том, что коэффициенты регрессии одновременно равны нулю, a=0 , b=0 . Другими словами, суть расчетов - ответить на вопрос: можно ли его использовать для дальнейшего анализа и прогнозов?

Для установления сходства или различия дисперсий в двух выборках используйте данный t-критерий .

Итак, целью анализа является получение некоторой оценки, с помощью которой можно было бы утверждать, что при некотором уровне α полученное уравнение регрессии - статистически надежно. Для этого используется коэффициент детерминации R 2 .
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с k 1 =(m) и k 2 =(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H 0: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:


где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2 (или через функцию Excel FРАСПОБР(вероятность;1;n-2)).
F табл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k 1 =1 и k 2 =48, F табл = 4

Выводы : Поскольку фактическое значение F > F табл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна ) .

Дисперсионный анализ

Показатели качества уравнения регрессии

Пример . По совокупности 25 предприятий торговли изучается зависимость между признаками: X - цена на товар А, тыс. руб.; Y - прибыль торгового предприятия, млн. руб. При оценке регрессионной модели были получены следующие промежуточные результаты: ∑(y i -y x) 2 = 46000; ∑(y i -y ср) 2 = 138000. Какой показатель корреляции можно определить по этим данным? Рассчитайте величину этого показателя, на основе этого результата и с помощью F-критерия Фишера сделайте вывод о качестве модели регрессии.
Решение. По этим данным можно определить эмпирическое корреляционное отношение : , где ∑(y ср -y x) 2 = ∑(y i -y ср) 2 - ∑(y i -y x) 2 = 138000 - 46000 = 92 000.
η 2 = 92 000/138000 = 0.67, η = 0.816 (0.7 < η < 0.9 - связь между X и Y высокая).

F-критерий Фишера : n = 25, m = 1.
R 2 = 1 - 46000/138000 = 0.67, F = 0.67/(1-0.67)x(25 - 1 - 1) = 46. F табл (1; 23) = 4.27
Поскольку фактическое значение F > Fтабл, то найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна.

Вопрос: Какую статистику используют для проверки значимости модели регрессии?
Ответ: Для значимости всей модели в целом используют F-статистику (критерий Фишера).

Слово «сила» настолько всеобъемлюще, что дать ему четкое понятие - задача практически невыполнимая. Разнообразие от силы мышц до силы разума не охватывает весь спектр вложенных в него понятий. Сила, рассмотренная как физическая величина, имеет четко определенное значение и определение. Формула силы задает математическую модель: зависимость силы от основных параметров.

История исследования сил включает определение зависимости от параметров и экспериментальное доказательство зависимости.

Сила в физике

Сила - мера взаимодействия тел. Взаимное действие тел друг на друга полностью описывает процессы, связанные с изменением скорости или деформацией тел.

Как физическая величина сила имеет единицу измерения (в системе СИ - Ньютон) и прибор для ее измерения - динамометр. Принцип действия силомера основан на сравнении силы, действующей на тело, с силой упругости пружины динамометра.

За силу в 1 ньютон принята сила, под действием которой тело массой 1 кг изменяет свою скорость на 1 м за 1 секунду.

Сила как определяется:

• направлением действия;
• точкой приложения;
• модулем, абсолютной величиной.

Описывая взаимодействие, обязательно указывают эти параметры.

Виды природных взаимодействий: гравитационные, электромагнитные, сильные, слабые. Гравитационные всемирного тяготения с ее разновидностью - силой тяжести) существуют благодаря влиянию гравитационных полей, окружающих любое тело, имеющее массу. Исследование полей гравитации не закончено до сих пор. Найти источник поля пока не представляется возможным.

Больший ряд сил возникает вследствие электромагнитного взаимодействия атомов, из которых состоит вещество.

Сила давления

При взаимодействии тела с Землей оно оказывает давление на поверхность. Сила которой имеет вид: P = mg, определяется массой тела (m). Ускорение свободного падения (g) имеет различные значения на разных широтах Земли.

Сила вертикального давления равна по модулю и противоположна по направлению силе упругости, возникающей в опоре. Формула силы при этом меняется в зависимости от движения тела.

Изменение веса тела

Действие тела на опору вследствие взаимодействия с Землей чаще именуют весом тела. Интересно, что величина веса тела зависит от ускорения движения в вертикальном направлении. В том случае, когда направление ускорения противоположно ускорению свободного падения, наблюдается увеличение веса. Если ускорение тела совпадает с направлением свободного падения, то вес тела уменьшается. К примеру, находясь в поднимающемся лифте, в начале подъема человек чувствует увеличение веса некоторое время. Утверждать, что его масса меняется, не приходится. При этом разделяем понятия «вес тела» и его «масса».

Сила упругости

При изменении формы тела (его деформации) появляется сила, которая стремится вернуть телу его первоначальную форму. Этой силе дали название "сила упругости". Возникает она вследствие электрического взаимодействия частиц, из которых состоит тело.

Рассмотрим простейшую деформацию: растяжение и сжатие. Растяжение сопровождается увеличением линейных размеров тел, сжатие - их уменьшением. Величину, характеризующую эти процессы, называют удлинением тела. Обозначим ее "x". Формула силы упругости напрямую связана с удлинением. Каждое тело, подвергающееся деформации, имеет собственные геометрические и физические параметры. Зависимость упругого сопротивления деформации от свойств тела и материала, из которого оно изготовлено, определяется коэффициентом упругости, назовем его жесткостью (k).

Математическая модель упругого взаимодействия описывается законом Гука.

Сила, возникающая при деформации тела, направлена против направления смещения отдельных частей тела, прямо пропорциональна его удлинению:

• F y = -kx (в векторной записи).

Знак «-» говорит о противоположности направления деформации и силы.

В скалярной форме отрицательный знак отсутствует. Сила упругости, формула которой имеет следующий вид F y = kx, используется только при упругих деформациях.

Взаимодействие магнитного поля с током

Влияние магнитного поля на постоянный ток описывается При этом сила, с которой магнитное поле действует на проводник с током, помещенный в него, называется силой Ампера.

Взаимодействие магнитного поля с вызывает силовое проявление. Сила Ампера, формула которой имеет вид F = IBlsinα, зависит от (В), длины активной части проводника (l), (I) в проводнике и угла между направлением тока и магнитной индукцией.

Благодаря последней зависимости можно утверждать, что вектор действия магнитного поля может измениться при повороте проводника или изменении направления тока. Правило левой руки позволяет установить направление действия. Если левую руку расположить таким образом, чтобы вектор магнитной индукции входил в ладонь, четыре пальца были направлены по току в проводнике, то отогнутый на 90 ° большой палец покажет направление действия магнитного поля.

Применение этому воздействию человечеством найдено, к примеру, в электродвигателях. Вращение ротора вызывается магнитным полем, созданным мощным электромагнитом. Формула силы позволяет судить о возможности изменения мощности двигателя. С увеличением силы тока или величины поля вращательный момент возрастает, что приводит к увеличению мощности двигателя.

Траектории частиц

Взаимодействие магнитного поля с зарядом широко используется в масс-спектрографах при исследовании элементарных частиц.

Действие поля при этом вызывает появление силы, названной силой Лоренца. При попадании в магнитное поле движущейся с некоторой скоростью заряженной частицы формула которой имеет вид F = vBqsinα, вызывает движение частицы по окружности.

В этой математической модели v - модуль скорости частицы, электрический заряд которой - q, В - магнитная индукция поля, α - угол между направлениями скорости и магнитной индукции.

Частица движется по окружности (либо дуге окружности), так как сила и скорость направлены под углом 90 ° друг к другу. Изменение направления линейной скорости вызывает появление ускорения.

Правило левой руки, рассмотренное выше, имеет место и при изучении силы Лоренца: если левую руку расположить таким образом, чтобы вектор магнитной индукции входил в ладонь, четыре пальца, вытянутых в линию, были направлены по скорости положительно заряженной частицы, то отогнутый на 90 ° большой палец покажет направление действия силы.

Проблемы плазмы

Взаимодействие магнитного поля и вещества используется в циклотронах. Проблемы, связанные с лабораторным изучением плазмы, не позволяют содержать ее в замкнутых сосудах. Высоко ионизированный газ может существовать только при высоких температурах. Удержать плазму в одном месте пространства можно посредством магнитных полей, закручивая газ в виде кольца. Управляемые можно изучать, также закручивая высокотемпературную плазму в шнур при помощи магнитных полей.

Пример действия магнитного поля в естественных условиях на ионизированный газ - Полярное сияние. Это величественное зрелище наблюдается за полярным кругом на высоте 100 км над поверхностью земли. Загадочное красочное свечение газа пояснить смогли лишь в ХХ веке. Магнитное поле земли вблизи полюсов не может препятствовать проникновению солнечного ветра в атмосферу. Наиболее активное излучение, направленное вдоль линий магнитной индукции, вызывает ионизацию атмосферы.

Явления, связанные с движением заряда

Исторически сложилось так, что основной величиной, характеризующей протекание тока в проводнике, называют силу тока. Интересно, что это понятие ничего общего с силой в физике не имеет. Сила тока, формула которой включает заряд, протекающий за единицу времени через поперечное сечение проводника, имеет вид:

• I = q/t, где t - время протекания заряда q.

Фактически, сила тока - величина заряда. Единицей ее измерения является Ампер (А), в отличие от Н.

Определение работы силы

Силовое воздействие на вещество сопровождается совершением работы. Работа силы - физическая величина, численно равная произведению силы на перемещение, пройденное под ее действием, и косинус угла между направлениями силы и перемещения.

Искомая работа силы, формула которой имеет вид A = FScosα, включает величину силы.

Действие тела сопровождается изменением скорости тела или деформацией, что говорит об одновременных изменениях энергии. Работа силы напрямую зависит от величины.

>>Математика:Что означает в математике запись у = f(x)

Что означает в математике запись у = f(x)

Изучая какой-либо реальный процесс, обычно обращают внимание на две величины, участвующие в процессе (в более сложных процессах участвуют не две величины, а три, четыре и т.д., но мы пока такие процессы не рассматриваем): одна из них меняется как бы сама по себе, независимо ни от чего (такую переменную мы обозначили буквой х), а другая величина принимает значения, которые зависят от выбранных значений переменной х (такую зависимую переменную мы обозначили буквой у). Математической моделью реального процесса как раз и является запись на математическом языке зависимости у от х, т.е. связи между переменными х и у. Еще раз напомним, что к настоящему моменту мы изучили следующие математические модели: у = b, у = kx, y = kx + m, у = х 2 .

Есть ли у этих математических моделей что-либо общее? Есть! Их структура одинакова: у = f(x).

Эту запись следует понимать так: имеется выражение f(x) с переменной х, с помощью которого находятся значения переменной у.

Математики предпочитают запись у = f(x) не случайно. Пусть, например, f(x) = х 2 , т. е. речь идет о функции у = х 2 . Пусть нам надо выделить несколько значений аргумента и соответствующих значений функции. До сих пор мы писали так:

если х = 1, то у = I 2 = 1;
если х = - 3, то у = (- З) 2 = 9 и т. д.

Если же использовать обозначение f(x) = х 2 , то запись становится более экономной:

f(1) = 1 2 =1;
f(-3) = (-3) 2 = 9.

Итак, мы познакомились еще с одним фрагментом математического языка : фраза «значение функции у = х 2 в точке х = 2 равно 4» записывается короче:

«если у = f(x), где f(x) = x 2 , то f(2) = 4».

А вот образец обратного перевода:

Если у = f(x), где f(x) = x 2 , то f(- 3) = 9. По-другому - значение функции у = х 2 в точке х = - 3 равно 9.

П р и м е р 1. Дана функция у = f(x), где f(x) = х 3 . Вычислить:

а) f(1); б) f(- 4); в) f(о); г) f(2а);
д) f(а-1); е) f(3х); ж) f(-х).

Решение. Во всех случаях план действий один и тот же: нужно в выражении f(x) подставить вместо х то значение аргумента, которое указано в скобках, и выполнить соответствующие вычисления и преобразования. Имеем:

Замечание. Разумеется, вместо буквы f можно использовать любую другую букву (в основном, из латинского алфавита): g(x), h (х), s (х) и т. д.

Пример 2. Даны две функции: у = f(x), где f(x) = х 2 , и у = g (х), где g (х) = х 3 . Доказать, что:

а) f(-x) = f(x); b) g(-x)= -g(x).

Р е ш е н и е. а) Так как f(x) = х 2 , то f(- х) = (- х) 2 = х 2 . Итак, f(x) = х 2 , f(- х) = х 2 , значит, f(- x) =f (x)

б) Так как g{x) = х 3 , то g(- x) = -x 3 , т.e. g(-x) = -g(x).

Использование математической модели вида у = f(x) оказывается удобным во многих случаях, в частности, тогда, когда реальный процесс описывается различными формулами на разных промежутках изменения независимой переменной.

Опишем с помощью построенного на рисунке 68 графика некоторые свойства функции у - f(x) - такое описание свойств обычно называют чтением графика.

Чтение графика - это своеобразный переход от геометрической модели (от графической модели) к словесной модели (к описанию свойств функции). А
построение графика - это переход от аналитической модели (она представлена в условии примера 4) к геометрической модели.

Итак, приступаем к чтению графика функции у = f(x) (см. рис. 68).

1. Независимая переменная х пробегает все значения от - 4 до 4. Иными словами, для каждого значения х из отрезка [- 4, 4] можно вычислить значение функции f(x). Говорят так: [-4, 4] - область определения функции.

Почему при решении примера 4 мы сказали, что найти f(5) нельзя? Да потому, что значение х = 5 не принадлежит области определения функции.

2. y наим = -2 (этого значения функция достигает при х = -4); У нанб. = 2 (этого значения функция достигает в любой точке полуинтервала (0, 4].

3. у = 0, если 1 = -2 и если х = 0; в этих точках график функции y = f(x) пересекает ось х.

4. у > 0, если х є (-2, 0) или если x є (0, 4]; на этих промежутках график функции y = f(x) расположен выше оси х.

5. у < 0, если же [- 4, - 2); на этом промежутке график функции у = f(x) расположен ниже оси х.

6. Функция возрастает на отрезке [-4, -1], убывает на отрезке [-1, 0] и постоянна (ни возрастает, ни убывает) на полуинтервале (0,4].

По мере того как мы с вами будем изучать новые свойства функций, процесс чтения графика будет становиться более насыщенным, содержательным и интересным.

Обсудим одно из таких новых свойств. График функции, рассмотренной в примере 4, состоит из трех ветвей (из трех «кусочков»). Первая и вторая ветви (отрезок прямой у = х + 2 и часть параболы) «состыкованы» удачно: отрезок заканчивается в к точке (-1; 1), а участок параболы начинается в той же точке. А вот вторая и третья ветви менее удачно «состыкованы»: третья ветвь («кусочек» горизонтальной прямой) начинается не в точке (0; 0), а в точке (0; 4). Математики говорят так: «функция у = f(x) претерпевает разрыв при х = 0 (или в точке х = 0)». Если же функция не имеет точек разрыва, то ее называют непрерывной. Так, все функции, с которыми мы познакомились в предыдущих параграфах (у = b, y = kx, y = kx + m, y = x2) - непрерывные.

Пример 5 . Дана функция . Требуется построить и прочитать ее график.

Решение. Как видите, здесь функция задана достаточно сложным выражением. Но математика - единая и цельная наука, ее разделы тесно связаны друг с другом. Воспользуемся тем, что мы изучали в главе 5, и сократим алгебраическую дробь

справедливо лишь при ограничении Следовательно, мы можем переформулировать задачу так: вместо функции у = х 2
будем рассматривать функцию у = х 2 , где Построим на координатной плоскости хОу параболу у = х 2 .
Прямая х = 2 пересекает ее в точке (2; 4). Но по условию , значит, точку (2; 4) параболы мы должны исключить из рассмотрения, для чего на чертеже отметим эту точку светлым кружком.

Таким образом, график функции построен - это парабола у = х 2 с «выколотой» точкой (2; 4) (рис. 69).

Перейдем к описанию свойств функции у = f (x), т. е. к чтению ее графика:

1. Независимая переменная х принимает любые значения, кроме х = 2. Значит, область определения функции состоит из двух открытых лучей (- 0 о, 2) и

2. у наим = 0 (достигается при х = 0), у наиб _ не существует.

3. Функция не является непрерывной, она претерпевает разрыв при х = 2 (в точке х = 2).

4. у = 0, если х = 0.

5. у > 0, если х є (-оо, 0), если х є (0, 2) и если х є (B,+оо).
6. Функция убывает на луче (- со, 0], возрастает на полуинтервале .

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений