Чем занимается на математике 3 класс? Деление с остатком, примеры и задачи - вот что изучается на уроках. О делении с остатком и алгоритме таких вычислений пойдет речь в статье.
Особенности
Рассмотрим темы, включенные в программу, которую изучает 3 класс. Деление с остатком выделено в специальный раздел математики. О чем идет речь? Если делимое не делится на делитель нацело, то остается остаток. Например, делим 21 на 6. Получается 3, но в остатке остается 3.
В случаях, когда во время деления натуральных чисел остаток равен нулю, говорят о том, что произведено деление нацело. Например, если 25 нужно поделить на 5, получается число 5. Остаток равен нулю.
Решение примеров
Для того чтобы произвести деление с остатком, используется определенная запись.
Приведем примеры по математике (3 класс). Деление с остатком в столбик можно не записывать. Достаточно записи в строчку: 13:4=3 (остаток 1) или 17:5=3 (остаток 2).
Разберем все подробнее. Например, при делении 17 на три получается целое число пять, кроме того, получается остаток два. Каков порядок решения такого примера на деление с остатком? Сначала необходимо отыскать максимальное число до 17, разделить которое можно без остатка на три. Самым большим будет 15.
Далее проводится деление 15 на число три, результатом действия будет цифра пять. Теперь вычитаем из делимого число, найденное нами, то есть из 17 отнимаем 15, получаем два. Обязательным действием является сверка делителя и остатка. После проверки обязательно записывается ответ совершенного действия. 17:3=15 (остаток 2).
Если остаток будет больше делителя, действие выполнено неправильно. Именно по такому алгоритму выполняет 3 класс деление с остатком. Примеры сначала разбирает учитель на доске, затем ребятам предлагается проверка знаний путем проведения самостоятельной работы.
Пример с умножением
Одна из самых трудных тем, с которой сталкивается 3 класс, - деление с остатком. Примеры могут быть сложными, особенно когда требуются дополнительные расчеты, записываемые в столбик.
Допустим, необходимо разделить число 190 на 27 с получением минимального остатка. Попробуем решить задачу, пользуясь умножением.
Подберем число, которое при умножении будет давать цифру, максимально приближенную к числу 190. Если умножить 27 на 6, получим цифру 162. Вычтем из 190 число 162, остаток будет 28. Он получился больше, чем исходный делитель. Следовательно, число шесть не подходит для нашего примера в качестве множителя. Продолжим решение примера, взяв для умножения число 7.
Умножая 27 на 7, мы получим произведение 189. Далее проведем проверку правильности решения, для этого вычтем из 190 полученный результат, то есть отнимем число 189. Остатком будет 1, что явно меньше 27. Именно так решаются сложные выражения в школе (3 класс, деление с остатком). Примеры всегда предусматривают запись ответа. Все математическое выражение можно оформить так: 190:27=7 (остаток 1). Подобные вычисления можно производить и в столбик.
Именно так осуществляет 3 класс деление с остатком. Примеры, приведенные выше, помогут разобраться в алгоритме решения подобных задач.
Заключение
Для того чтобы у учеников начальных классов были сформированы правильные вычислительные навыки, педагог во время проведения занятий по математике обязан уделять внимание пояснению алгоритма действий ребенка при решении заданий на деление с остатком.
По новым федеральным государственным образовательным стандартам особое внимание уделяется индивидуальному подходу к обучению. Учитель должен подбирать задания для каждого ребенка с учетом его индивидуальных способностей. На каждой ступени обучения правилам деления с остатком педагог должен осуществлять промежуточный контроль. Он позволяет ему выявлять основные проблемы, возникающие с усвоением материала у каждого ученика, своевременно проводить коррекцию знаний и навыков, устранять появляющиеся проблемы, получать желаемый результат.
Рассмотрим простой пример:
15:5=3
В этом примере натуральное число 15 мы поделили нацело
на 3, без остатка.
Иногда натуральное число полностью поделить нельзя нацело. Например, рассмотрим задачу:
В шкафу лежало 16 игрушек. В группе было пятеро детей. Каждый ребенок взял одинаковое количество игрушек. Сколько игрушек у каждого ребенка?
Решение:
Поделим число 16 на 5 столбиком получим:
Мы знаем, что 16 на 5 не делиться. Ближайшее меньшее число, которое делиться на 5 это 15 и 1 в остатке. Число 15 мы можем расписать как 5⋅3. В итоге (16 – делимое, 5 – делитель, 3 – неполное частное, 1 — остаток). Получили формулу деления с остатком, по которой можно сделать проверку решения .
a
=
b
⋅
c
+
d
a
– делимое,
b
– делитель,
c
– неполное частное,
d
– остаток.
Ответ: каждый ребенок возьмет по 3 игрушки и одна игрушка останется.
Остаток от деления
Остаток всегда должен быть меньше делителя.
Если при делении остаток равен нулю, то это значит, что делимое делиться нацело или без остатка на делитель.
Если при делении остаток больше делителя, это значит, что найденное число не самое большое. Существует число большее, которое поделит делимое и остаток будет меньше делителя.
Вопросы по теме “Деление с остатком”:
Остаток может быть больше делителя?
Ответ: нет.
Остаток может быть равен делителю?
Ответ: нет.
Как найти делимое по неполному частному, делителю и остатку?
Ответ: значения неполного частного, делителя и остатка подставляем в формулу и находим делимое. Формула:
a=b⋅c+d
Пример №1:
Выполните деление с остатком и сделайте проверку: а) 258:7 б) 1873:8
Решение:
а) Делим столбиком:
258 – делимое,
7 – делитель,
36 – неполное частное,
6 – остаток. Остаток меньше делителя 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
б) Делим столбиком:
1873 – делимое,
8 – делитель,
234 – неполное частное,
1 – остаток. Остаток меньше делителя 1<8.
Подставим в формулу и проверим правильно ли мы решили пример:
8⋅234+1=1872+1=1873
Пример №2:
Какие остатки получаются при делении натуральных чисел: а) 3 б)8?
Ответ:
а) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 3. В нашем случае остаток может быть равен 0, 1 или 2.
б) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 8. В нашем случае остаток может быть равен 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7.
Пример №3:
Какой наибольший остаток может получиться при делении натуральных чисел: а) 9 б) 15?
Ответ:
а) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 9. Но нам надо указать наибольший остаток. То есть ближайшее число к делителю. Это число 8.
б) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 15. Но нам надо указать наибольший остаток. То есть ближайшее число к делителю. Это число 14.
Пример №4:
Найдите делимое: а) а:6=3(ост.4) б) с:24=4(ост.11)
Решение:
а) Решим с помощью формулы:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
а:6=3(ост.4)
(a – делимое, 6 – делитель, 3 – неполное частное, 4 – остаток.) Подставим цифры в формулу:
а=6⋅3+4=22
Ответ: а=22
б) Решим с помощью формулы:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
с:24=4(ост.11)
(с – делимое, 24 – делитель, 4 – неполное частное, 11 – остаток.) Подставим цифры в формулу:
с=24⋅4+11=107
Ответ: с=107
Задача:
Проволоку 4м. нужно разрезать на куски по 13см. Сколько таких кусков получится?
Решение:
Сначала надо метры перевести в сантиметры.
4м.=400см.
Можно поделить столбиком или в уме получим:
400:13=30(ост.10)
Проверим:
13⋅30+10=390+10=400
Ответ: 30 кусков получиться и 10 см. проволоки останется.
От общего представления о делении натуральных чисел с остатком будем двигаться дальше, и в этой статье мы разберемся с принципами, по которым проводится это действие. Вообще деление с остатком имеет много общего с делением натуральных чисел без остатка , так что мы будем часто ссылаться на материал указанной статьи.
Сначала разберемся с делением натуральных чисел с остатком в столбик. Дальше мы покажем, как можно отыскать результат деления натуральных чисел с остатком, проводя последовательное вычитание. После этого перейдем к методу подбора неполного частного, не забывая при этом приводить примеры с подробным описанием решения. Далее запишем алгоритм, позволяющий проводить деление натуральных чисел с остатком в общем случае. В конце статьи мы покажем, как выполняется проверка результата деления натуральных чисел с остатком.
Навигация по странице.
Деление натуральных чисел в столбик с остатком
Одним из самых удобных способов деления натуральных чисел с остатком является деление столбиком. В статье деление натуральных чисел столбиком мы очень подробно разобрали этот метод деления. Здесь не будем повторяться, а просто приведем решение одного примера.
Пример.
Выполните деление с остатком натурального числа 273 844 на натуральное число 97 .
Решение.
Проведем деление столбиком:
Таким образом, неполное частное от деления 273 844 на 97 равно 2 823 , а остаток равен 13 .
Ответ:
273 844:97=2 823 (ост. 13) .
Деление натуральных чисел с остатком через последовательное вычитание
Найти неполное частное и остаток от деления натуральных чисел можно, выполняя последовательное вычитание делителя.
Суть этого подхода проста: из элементов имеющегося множества последовательно формируются множества с требуемым количеством элементов до того момента, пока это возможно, количество полученных множеств дает неполное частное, а количество оставшихся элементов в исходном множестве – остаток от деления.
Приведем пример.
Пример.
Допустим, нам нужно разделить 7 на 3 .
Решение.
Представим, что нам нужно разложить 7 яблок в пакеты по 3 яблока. Из исходного количества яблок мы берем 3 штуки и кладем их в первый пакет. При этом в силу смысла вычитания натуральных чисел у нас остается 7−3=4 яблока. Из них мы опять берем 3 штуки, и кладем их во второй пакет. После этого у нас остается 4−3=1 яблоко. Понятно, что на этом процесс заканчивается (мы не можем сформировать еще один пакет с требуемым количеством яблок, так как оставшееся количество яблок 1 меньше нужного нам количества 3 ). В итоге мы имеем два пакета с требуемым количеством яблок и одно яблоко в остатке.
Тогда в силу смысла деления натуральных чисел с остатком можно утверждать, что мы получили следующий результат 7:3=2 (ост. 1) .
Ответ:
7:3=2 (ост. 1) .
Рассмотрим решение еще одного примера, при этом приведем лишь математические выкладки.
Пример.
Разделите натуральное число 145 на 46 , выполняя последовательное вычитание.
Решение.
145−46=99 (при необходимости обращайтесь к статье вычитание натуральных чисел). Так как 99 больше, чем 46 , то проводим вычитание делителя второй раз: 99−46=53 . Так как 53>46 , то вычитаем делитель третий раз: 53−46=7 . Так как 7 меньше, чем 46 , то еще раз провести вычитание мы не сможем, то есть, на этом заканчиваем процесс последовательного вычитания.
В итоге нам потребовалось из делимого 145 последовательно вычесть 3 раза делитель 46 , после чего получился остаток 7 . Таким образом, 145:46=3 (ост. 7) .
Ответ:
145:46=3 (ост. 7) .
Следует заметить, что если делимое меньше делителя, то мы не сможем проводить последовательное вычитание. Да это и не нужно, так как в этом случае мы можем сразу написать ответ. В этом случае неполное частное равно нулю, а остаток равен делимому. То есть, если a
Еще нужно сказать, что выполнять деление натуральных чисел с остатком рассмотренным способом хорошо лишь тогда, когда для получения результата требуется провести небольшое количество последовательных вычитаний.
Подбор неполного частного
При делении данных натуральных чисел a и b с остатком неполное частное c можно подобрать. Сейчас мы покажем, на чем основан процесс подбора и как он должен проходить.
Сначала определимся, среди каких чисел искать неполное частное. Когда мы говорили о смысле деления натуральных чисел с остатком, то выяснили, что неполное частное может быть либо нулем, либо натуральным числом, то есть, одним из чисел 0 , 1 , 2 , 3 , ... Таким образом, искомое неполное частное является одним из записанных чисел, и нам остается перебрать их, чтобы определить, каким именно числом является неполное частное.
Дальше нам потребуется уравнение вида d=a−b·c , задающее , а также тот факт, что остаток всегда меньше делителя (это мы также упоминали, когда говорили о смысле деления натуральных чисел с остатком).
Теперь можно переходить непосредственно к описанию процесса подбора неполного частного. Делимое a и делитель b нам известны изначально, в качестве неполного частного c мы последовательно принимаем числа 0 , 1 , 2 , 3 , …, каждый раз вычисляя значение d=a−b·c и сравнивая его с делителем. Этот процесс завершается, как только полученное значение будет меньше, чем делитель. При этом число c на этом шаге является искомым неполным частным, а значение d=a−b·c является остатком от деления.
Осталось разобрать процесс подбора неполного частного на примере.
Пример.
Выполните деление с остатком натурального числа 267 на 21 .
Решение.
Подберем неполное частное. В нашем примере a=267 , b=21 . Будем последовательно придавать c значения 0 , 1 , 2 , 3 , …, вычисляя на каждом шаге значение d=a−b·c и сравнивая его с делителем 21 .
При c=0 имеем d=a−b·c=267−21·0=267−0=267 (сначала выполняется умножение натуральных чисел , а затем – вычитание, об этом написано в статье ). Полученное число больше, чем 21 (при необходимости изучите материал статьи сравнение натуральных чисел). Поэтому продолжаем процесс подбора.
При c=1 имеем d=a−b·c=267−21·1=267−21=246 . Так как 246>21 , то продолжаем процесс.
При c=2 получаем d=a−b·c=267−21·2=267−42=225 . Так как 225>21 , то двигаемся дальше.
При c=3 имеем d=a−b·c=267−21·3=267−63=204 . Так как 204>21 , то продолжаем подбор.
При c=12 получаем d=a−b·c=267−21·12=267−252=15 . Получили число 15 , которое меньше, чем 21 , поэтому процесс можно считать завершенным. Мы подобрали неполное частное c=12 , при этом остаток d получился равным 15 .
Ответ:
267:21=12 (ост. 15) .
Алгоритм деления натуральных чисел с остатком, примеры, решения
В этом пункте мы рассмотрим алгоритм, позволяющий проводить деление с остатком натурального числа a на натуральное число b в тех случаях, когда метод последовательного вычитания (и метод подбора неполного частного) требует слишком большого количества вычислительных операций.
Сразу отметим, что если делимое a меньше, чем делитель b , то мы знаем и неполное частное и остаток: при ab .
Прежде чем мы подробно опишем все шаги алгоритма деления натуральных чисел с остатком, ответим на три вопроса: что нам изначально известно, что нам нужно найти и исходя из каких соображений мы это будем делать? Изначально нам известно делимое a и делитель b . Нам нужно найти неполное частное c и остаток d . Равенство a=b·c+d задает связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком . Из записанного равенства следует, что если мы представим делимое a в виде суммы b·c+d , в которой d меньше, чем b (так как остаток всегда меньше делителя), то мы увидим и неполное частное c и остаток d .
Осталось лишь разобраться, как делимое a представить в виде суммы b·c+d . Алгоритм, позволяющий это сделать, очень схож с алгоритмом деления натуральных чисел без остатка . Опишем все шаги, и одновременно будем вести решение примера для большей ясности. Разделим 899 на 47 .
Первые пять пунктов алгоритма позволят представить делимое в виде суммы нескольких слагаемых. Нужно отметить, что действия из этих пунктов циклически повторяются снова и снова, пока не будут найдены все слагаемые, дающие в сумме делимое. В заключительном шестом пункте полученная сумма преобразуется к виду b·c+d (если полученная сумма уже не будет иметь такой вид), откуда становятся видны искомое неполное частное и остаток.
Итак, приступаем к представлению делимого 899 в виде суммы нескольких слагаемых.
Сначала вычисляем, насколько количество знаков в записи делимого больше, чем количество знаков в записи делителя, и запоминаем это число.
В нашем примере в записи делимого 3 знака (899 – трехзначное число), а в записи делителя – два знака (47 – двузначное число), следовательно, в записи делимого на один знак больше, и мы запоминаем число 1 .
Теперь в записи делителя справа дописываем цифры 0 в количестве, определяемым числом, полученным в предыдущем пункте. При этом если записанное число будет больше делимого, то из запомненного в предыдущем пункте числа нужно вычесть 1 .
Возвращаемся к нашему примеру. В записи делителя 47 дописываем справа одну цифру 0 , и получаем число 470 . Так как 470<899 , то запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1 . Таким образом, у нас в памяти остается число 1 .
После этого к цифре 1 справа приписываем цифры 0 в количестве, определяемом числом, запомненном в предыдущем пункте. При этом получаем единицу разряда, с которым мы будем работать дальше.
В нашем примере к цифре 1 приписываем 1 цифру 0 , при этом получаем число 10 , то есть, мы будем работать с разрядом десятков.
Теперь последовательно умножаем делитель на 1 , 2 , 3 , … единицы рабочего разряда до того момента, пока не получим число, большее или равное делимому.
Мы выяснили, что в нашем примере рабочим разрядом является разряд десятков. Поэтому мы сначала умножаем делитель на одну единицу разряда десятков, то есть, умножаем 47 на 10 , получаем 47·10=470 . Полученное число 470 меньше делимого 899 , поэтому переходим к умножению делителя на две единицы разряда десятков, то есть 47 умножаем на 20 . Имеем 47·20=940 . Мы получили число, которое больше, чем 899 .
Число, полученное на предпоследнем шаге при последовательном умножении, является первым из искомых слагаемых.
В разбираемом примере искомым слагаемым является число 470 (это число равно произведению 47·100 , это равенство мы используем позже).
После этого находим разность между делимым и первым найденным слагаемым. Если полученное число больше делителя, то приступаем к нахождению второго слагаемого. Для этого повторяем все описанные шаги алгоритма, но уже в качестве делимого принимаем полученное здесь число. Если в этом пункте опять получается число, большее делителя, то приступаем к нахождению третьего слагаемого, еще раз повторяя шаги алгоритма, приняв полученное число в качестве делимого. И так действуем дальше, находя четвертое, пятое и последующие слагаемые, пока полученное в этом пункте число не будет меньше делителя. Как только это произошло, то полученное здесь число принимаем в качестве последнего искомого слагаемого (забегая вперед, скажем, что оно равно остатку), и переходим к завершающему этапу.
Возвращаемся к нашему примеру. На этом шаге имеем 899−470=429 . Так как 429>47 , то принимаем это число в качестве делимого и повторяем с ним все этапы алгоритма.
В записи числа 429 на один знак больше, чем в записи числа 47 , поэтому, запоминаем число 1 .
Теперь в записи делимого справа дописываем одну цифру 0 , получаем число 470 , которое больше числа 429 . Поэтому, из запомненного в предыдущем пункте числа 1 вычитаем 1 , получаем число 0 , которое и запоминаем.
Так как в предыдущем пункте мы запомнили число 0 , то к цифре 1 не нужно справа приписывать ни одной цифры 0 . При этом имеем число 1 , то есть, рабочим разрядом является разряд единиц.
Теперь последовательно умножаем делитель 47 на 1 , 2 , 3 , … Не будем останавливаться на этом подробно. Скажем лишь, что 47·9=423<429 , а 47·10=470>429 . Вторым искомым слагаемым является число 423 (которое равно 47·9 , что мы используем дальше).
Разность между 429 и 423 равна 6 . Это число меньше, чем делитель 47 , поэтому оно является третьим (и последним) искомым слагаемым. Теперь мы можем переходить к завершающему этапу.
Ну вот мы и подошли к заключительному этапу. Все предыдущие действия были направлены на то, чтобы представить делимое в виде суммы нескольких слагаемых. Теперь полученную сумму осталось преобразовать к виду b·c+d . С этой задачей нам поможет справиться распределительное свойство умножения относительно сложения . После этого станут видны искомое неполное частное и остаток.
В нашем примере делимое 899 равно сумме трех слагаемых 470 , 423 и 6 . Сумму 470+423+6 можно переписать в виде 47·10+47·9+6 (помните, мы обращали внимание на равенства 470=47·10 и 423=47·9 ). Теперь применяем свойство умножения натурального числа на сумму, при этом получаем 47·10+47·9+6= 47·(10+9)+6= 47·19+6 . Таким образом, делимое преобразовано к нужному нам виду 899=47·19+6 , откуда легко находится неполное частное 19 и остаток 6 .
Итак, 899:47=19 (ост. 6) .
Конечно же, при решении примеров Вы не будете настолько подробно описывать процесс деления с остатком.
Деление с остатком проходят в третьем классе начальной школы. Тема довольно сложная для понимания ребенком и требует от него практически идеального знания таблицы умножения. Но все математические знания улучшаются с практикой, и поэтому, решая задания, ребенок с каждым примером будет выполнять его все быстрее и с меньшим количеством ошибок. Наш тренажер предполагает отработку навыка быстрого деления с остатком.
Как делить с остатком
1. Определяем, что деление с остатком (не делится нацело).
34:6 не решается без остатка
2. Подбираем ближайшее меньшее число к первому (делимому), которое делится на второе (делитель).
Ближайшее к 34 меньшее число, которое делится на 6 - это 30
3. Выполняем деление этого числа на делитель.
4. Пишем ответ (частное).
5. Чтобы найти остаток, от первого числа (делимого) вычитаем то число, которое подобрали. Записываем остаток. При делении с остатком остаток всегда должен получиться меньше делителя.
34-30=4 (ост. 4) 4<6 Ответ: 34:6=5 (ост.4)
Проверяем деление так:
Умножаем ответ на делитель (второе число) и прибавляем к ответу остаток. Если получается делимое (первое число), то деление выполнил верно.
5*6+4=34 Деление выполнено верно.
Большие числа легко и просто делятся столбиком. При этом в уголке под делителем у нас запишется целое число, а в самом низу останется остаток, который меньше делителя.
Если при делении с остатком делимое меньше делителя, то их неполное частное равно нулю, а остаток равен делимому.
Например:
6: 10 = 0 (ост. 6)
14: 112 = 0 (ост. 14)
В следующем видео рассказывается, как делить с остатком большие числа столбиком:
Скачать карточки-тренажеры на деление с остатком
Сохраните лист-карточку себе на компьютер и распечатайте на А4. Одного листа хватит на 5 дней отработки деления с остатком. В нем 5 столбиков с примерами. Вы можете даже разрезать лист на 5 частей. Над каждым столбиком - тучка, смайлик и солнышко, пусть ребенок оценит свою работу, когда закончит столбик.
В этой статье мы внимательно рассмотрим деление с остатком . Начнем с общего представления об этом действии, далее выясним смысл деления натуральных чисел с остатком , и введем необходимые термины. Потом очертим круг задач, решаемых с помощью деления натуральных чисел с остатком. В заключении остановимся на всевозможных связях между делимым, делителем, неполным частным и остатком от деления.
Навигация по странице.
Ответ:
Делимое равно 79 .
Следует также отметить, что проверка результата деления натуральных чисел с остатком осуществляется проверкой справедливости полученного равенства a=b·c+d .
Нахождение остатка, если известно делимое, делитель и неполное частное
По своему смыслу остаток d – это то количество элементов, которое остается в исходном множестве после исключения из его a элементов b раз по c элементов. Следовательно, в силу смысла умножения натуральных чисел и смысла вычитания натуральных чисел справедливо равенство d=a−b·c . Таким образом, остаток d от деления натурального числа a на натуральное число b равен разности делимого a и произведения делителя b на неполное частное c .
Полученная связь d=a−b·c позволяет находить остаток, когда известно делимое, делитель и неполное частное. Рассмотрим решение примера.
