Пятно Араго — Пуассона (иногда просто пятно Пуассона ) — это яркое пятно, возникающее за непрозрачным телом, освещённым направленным пучком света, в его области .

Фото пятна Араго — Пуассона

Это явление стало одним из веских подтверждений света. Существование этого пятна показал теоретически в на основе предложенной теории. Получалось, что за большим круглым непрозрачным телом прямо в середине его геометрической тени должно возникать небольшое светлое пятно. Очевидную абсурдность этого результата Пуассон хотел использовать как главный аргумент против теории Френеля, однако поставил эксперимент, подтвердивший это предсказание. В итоге этот результат, ставший известным как пятно Араго — Пуассона, оказался весомым аргументом в пользу новой волновой теории. При дифракции на открытом отверстии можно наблюдать противоположный эффект - тёмное пятно .

Объяснения эффекта

Элементарное

Существование пятна Араго — Пуассона легко объяснить на основании . Предположим, что на круглый непрозрачный диск падает , параллельная оси диска. Согласно принципу Гюйгенса — Френеля, точки на краю диска можно рассматривать как источники вторичных волн, причём все они будут когерентны. Все эти волны пройдут одинаковое расстояние от края диска до любой точки на его оси. В результате они придут в эту точку в одинаковой и , создавая яркое пятнышко. Стоит отметить, что на достаточно больших расстояниях от диска наблюдать пятно становится невозможно, в силу приходящих волн.

Теория рассеяния

Существование пятна Араго — Пуассона может быть частично объяснено на основе общей теории . Полное σ tot {\displaystyle \sigma _{\text{tot}}} света на препятствии и (комплексная) f {\displaystyle f} связаны соотношением

f (n , n) = k 4 π σ tot , {\displaystyle \mathrm {f(\mathbf {n} ,\mathbf {n})} ={\frac {k}{4\pi }}\sigma _{\text{tot}},}

называемым . Здесь n {\displaystyle \mathbf {n} } — направление падающего пучка. Отсюда, в силу непрерывности амплитуды рассеяния как функции направления рассеяния, следует, что дифференциальное сечение рассеяния вперёд

d σ fw = | f (n , n) | 2 d o {\displaystyle d\sigma _{\text{fw}}=|f(\mathbf {n} ,\mathbf {n})|^{2}\,do}

отлично от нуля, что соответствует светлому пятну позади тела. Отметим, что это объяснение не вполне точное, так как описание света с помощью амплитуды и сечения рассеяния возможно лишь на расстоянии, большом по сравнению с размерами тела, но на таких расстояниях становится существенным учёт когерентности волн, а кроме того становится невозможным точно сопоставить размеры геометрической тени тела и соответствующего светлого пятна.

Пятно Пуассона или дифракция на непрозрачном диске

Пусть на пути плоской волны расположен непрозрачный круглый диск. Согласно представлениям геометрической оптики область на экране – это область геометрической тени. Т.к. первые m зон отсутствуют, результирующая амплитуда в точке Р равна

Е = Е m +1 – Е m + 2 + Е m + 3 – Е m + 4 + ……± Е = Е m +1 / 2,

Мы видим, что если число перекрытых диском зон не слишком велико, так что убыванием Е можно пренебречь, амплитуда колебаний в центре тени от диска, практически такая же, какая была бы в точке Р при отсутствии диска. Таким образом, независимо от числа перекрываемых диском зон, векторная амплитуда в осевой точке оказывается конечной, монотонно возрастая по мере уменьшения диаметра диска.

Проследим за изменением получающихся диаграмм при постепенном увеличении диаметра отверстия в непрозрачном экране.Каждая зона на диаграмме представляет половину окружности . При переходе к следующее зоне

поворот против часовой стрелки отражает фазовый сдвиг по сравнению с волнами, пришедшими от центра отверстия на p ,.
амплитуды убывают, получается не замкнутая фигура, а медленно скручивающаяся спираль .
Результат действия одной зоны – это вектор, соединяющий начало зоны с ее концом. Колебание, возбуждаемое несколькими соседними зонами, представится геометрической суммой таких векторов.

На рисунках показаны векторные диаграммы для случая, когда размер отверстия в непрозрачном экране постепенно пропускает

·
первую зону Френеля (вектор Е 1 ),

· вторую зону – вектор Е 2 ,

· первые две зоны Е = Е 1 + Е 2 » 0;

· первые три зоны Е = Е 1 + Е 2 + Е 3 » Е 1 . и т.д.

Цепочка по мере увеличения числа m закручивается в спираль и в результате действие всех зон Френеля (открытый волновой фронт) амплитуда поля в точке наблюдения вдвое меньше, чем при одной открытой первой зоне: амплитуда колебаний определяется длиной вектора Ео , проведенным из начала спирали в ее фокус.

Т. о., амплитуда колебаний в точке Р по мере увеличения радиуса отверстия меняется не монотонно: максимум сменяется минимумом и т.д. То же самое произойдет, если приближать точку наблюдения, т.е уменьшать расстояние b (рис.). Причем амплитуда (интенсивность) света максимальна в точке наблюдения на расстоянии, при котором отверстие совпадает с первой зоной Френеля.

3.1.4. ЗОННЫЕ ПЛАСТИНКИ. ИЗМЕНЕНИЕ ФАЗОВЫХ СООТНОШЕНИЙ МЕЖДУ ВТОРИЧНЫМИ ВОЛНАМИ. Из теории дифракции Френеля вытекает возможность управления формой волнового фронта и распределением интенсивности посредством изменения фазовых соотношений между вторичными волнами. Две соседние зоны действуют как источники света, колеблющиеся в противофазе - посылаемые ими световые волны в значительной степени гасят друг друга за счет деструктивной интерференции. Все четные зоны Френеля дают вклад в результирующее поле одного знака. Все нечетные – противоположного знака. Если все четные (или нечетные) зоны закрыть непрозрачной маской, то, амплитуды этих зон сонаправлены и в точке Р будет наблюдаться многократное усиление света (рис. а). По закону сохранения энергии в других точках пространства интенсивность света должна уменьшиться, то есть произойдет фокусировка света в точку Р. Такая маска называется амплитудной зонной пластинкой . На спирали Френеляостаются «работающими» только полувитки, отвечающие нечетным зонам; полувитки четных зон «выбывают из игры», поскольку заполняющие их вторичные источники оказались затененными. Амплитуда результирующего колебания Е равна при этом сумме амплитуд слагаемых колебаний, а

Если вместо непрозрачной маски для четных (нечетных) зон ввести дополнительный фазовый сдвиг Dj = л , т. е. использовать свет всех зон, интенсивность света в фокусе возрастет еще в 4 раза. Искомого фазового сдвига можно добиться, например, путем размещения в отверстии стеклянной пластины с кольцевыми ступенями равной высоты h . Вносимая ступенькой разность хода составит
1. Что такое дифракция волн? Каким волновым процессам оно свойственно? 2 Как согласовать явление дифракции с прямолинейным распространением света? 1. Поясните принцип Гюйгенса-Френеля. 2. В чем состоит метод зон Френеля? 3. К чему сводится действие всей совокупности зон Френеля? 4. Какими будут освещенности в центральной точке экрана, если на отверстии укладываются одна, две, три и множество зон Френеля? 5. Будем постепенно удалять точку наблюдения от диска. Число зон Френеля, перекрываемых диском, будет постепенно уменьшаться. К чему это приводит? 6. Перечислите номера зон Френеля, которые приходят в фазе с волнами от первой зоны в области до 15 зон. 7. Имеется круглое отверстие в непрозрачной преграде, на которую падает плоская световая волна. За отверстием расположен экран. Что будет происходить с интенсивностью в центре экрана, если экран удалять от преграды? 8. Покажите с помощью векторной диаграммы, что освещенность в центре геометрической тени. 9. Волна от сферического источника S (см. рис.) интенсивнос-ти I 0 падает на непрозрачный экран А , имеющий круглое отверстие, радиуса r 0 , которое открывает первую зону Френеля (см. рис.). При этом на экране В в точке Р отношение интенсивностей I р /I 0 равно...

10.

Волна от сферического источника S интенсивности I 0 падает на непрозрачный круглый диск А , радиуса r 0 , которое закрывает 1-ю зону Френеля (см. рис.). При этом на экране В в точке Р отношение интенсивностей I p /I 0 близко к...

§2. Дифракция Фраунгофера на прямоугольной щели

Ключевые понятия :

ü параметр дифракции,

ü ближняя зона,

ü дальняя зона,

ü дифракция Фраунгофера,

ü дифракционная расходимость.

3.2.1. ПАРАМЕТР ДИФРАКЦИИ. БЛИЖНЯЯ И ДАЛЬНЯЯ ЗОНЫ ДИФРАКЦИИ. В общем случае дифракционное препятствие может иметь любую форму: отверстие, диск, щель, проволока и т. д. Для анализа характера дифракции удобно использовать число зон Френеля, которое для плоских волн равно

Тогда выделяются характерные зоны:

· Дифракция не наблюдается и выполняются законы геометрической оптики, если

В ближней зоне интенсивность света на оси пучка практически постоянна и равна интенсивности исходной световой волны. Пучок сохраняет пространственную структуру, заданную формой отверстия. В пределах отверстия помещается порядка 50зон Френеля.

Наблюдается дифракция Фраунгофера (дальняя зона), если

В дальней зоне интенсивность света на оси пучка много меньше интенсивности исходной волны и с увеличением расстояния уменьшается обратно пропорционально квадрату рассто-яния. Световой пучок расширяется. В пределах отверстия помещается только малая центральная часть первой зоны Френеля. Характер изменения интенсивности света I на оси отверстия с ростом увеличения расстояния от экрана b при неизменном радиусе отверстия приводится на рисунке. По мере удаления от экрана периферийные зоны Френеля одна за другой начнут выходить за пределы отверстия, пока, наконец, в пределах отверстия не остается одна первая зона Френеля. В этот момент интенсивность света I в точке наблюдения достигает максимума, после чего монотонно убывает с ростом расстояния b . Расстояние Zg , при котором отверстие совпадает с первой зоной Френеля, называют дифракционной длиной светового пучка. Дифракционная длина определяет границу между ближней и дальней зонами дифракции:
3.2.3. ДИФРАКЦИЯ НА ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ЩЕЛИ. Пусть плоская волна падает на прямоугольную щель шириной b . По принципу Гюйгенса пучок параллельных лучей, проходя через щель, дифрагирует под всевозможными углами в пределах от 0 до π/2.

Все лучи, падающие по нормали к плоскости щели (φ = 0), находятся в одной фазе (рис. а ), поэтому в центре экрана возникает светлое пятно. Это соответствует главному или нулевому максимуму интенсивности. Он самый яркий.

Вторичные волны за плоскостью щели можно сгруппировать в параллельные пучки, из всей совокупности которых на рис.б представ-лены два. Для лучей, идущих под углом j от крайних элементов щели, разность хода Δ д , равна:

Δ д = b sin j.

Разделим ширину щели b на зоны Френеля: плоские полоски, вытянутые вдоль щели. В разности хода Δ д уложится N зон Френеля:

N = Δ д / (l / 2) = b sin j / (l / 2) .

Если в направлении φ открыто

· четное число зон N= 2m, , то амплитуда результирующей волны E m (φ) = 0 и в этих направлениях наблюдаются минимумы интерференции:

Δ д min = b sin j = ml.

· нечетное число зон N = ( 2m + 1), то наблюдаются максимумы интерфе-ренции:

Δ д max = b sin j = (2m + 1) l /2.

причем, m = 1, 2, 3 и т. д. – порядок дифракции.

Интенсивности дифракционных максимумов по отношению к нулевому составляют следующий ряд чисел:

I 0: I 1: I 2: I 3 = 1: 0.045: 0.016: 0.008.

Как видно, основная энергия световой волны при дифракции на щели сосредоточена в пределах нулевого максимума, т.е. в пределах угла sinj = ± λ/b и интенсивность достаточно сильно (как 1/m 2) убывает с ростом порядка максимума. Точное выражение для распределения интенсивности света на экране:

I(j) = I 0 (sinA/A) 2 ,

где I 0 – интенсивность центрального максимума, параметр A = pb(sin j) /l.

3.2.4. ВЛИЯНИЕ ШИРИНЫ ЩЕЛИ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ. Запишем выражение для угловой ширины главного максимума. Она равна угловому расстоянию между двумя первыми минимумами:

∆φ =(φ + - φ -) = 2λ / b .

Как видно из формулы, если

· b ≤ λ – щель практически равномерно излучает по всем направлениям;

· b > λ – дифракции нет (широкая щель). В центре резкое изображение источника света, т. е. свет распространяется прямолинейно.

· b = λ, j = π/2 , первый минимум отодвигается в бесконечность, а центральный максимум расплывается на весь экран.

Т.о., чем уже щель, тем сильнее дифракция.

3.2.5. ВЛИЯНИЕ НЕМОНОХРОМАТИЧНОСТИ СВЕТА. Если щель освещается немонохроматичным излучением, то центральный максимум имеет радужную окраску. Остальные максимумы окрашенные в разные цвета (фиолетовым краем ближе к центру, а красным краем дальше от центра). Однако эти максимумы расплывчаты.

3.2.6. ДИФРАКЦИОННАЯ РАСХОДИМОСТЬ. Дифракциясвета на краях диафрагм, линз, оправ, отверстий приводит к размытию изображения точки, которое принципиально неустранимо. Рассмотрим два точечных источника света. За счет дифракции каждый из них дает кружок рассеяния в фокальной плоскости линзы c фокусным расстоянием F идиаметром D. Угловая ширина кружка рассеяния равна Δψ = 2λ / D , а линейная – r =F× ψ . Если угловое расстояние между двумя объектами больше угла дифракции φ, изображения разрешимы (ψ > φ), иначе (ψ < φ) изображения сливаются в один кружок. Объектив не разрешает изображения.

Глаз действует как объектив. Для диаметра зрачка 4 мм и длины волны, воспринимаемой глазом наилучшим образом λ = 0.55 мкм, угловое разрешение глаза составляет:

Ψ min = 0,55 × 10 -3 /4 » 1 × 10 -4 рад » 1 угловая минута.

1. Как меняется волновой фронт волны при дифракции? 2. Какой вид имеет картина дифракции Фраунгофера на одной щели? 3. Запишите условия максимума и минимума при дифракции на одной щели. 4. Как сказывается в случае дифракции Фраунгофера на одной щели увеличение а) ширины щели; б) длины волны? 5. Атомы имеют диаметр порядка 10 -8 см. Можно ли, используя видимый свет, визуально наблюдать атом? Объясните, почему можно или нельзя. 6. Оценить дифракционное уширении лазерного пучка с исходным диаметром 2 мм на расстоянии 200 м от лазера, если длина волны лазера 0.6 мкм. 7. Как будет выглядеть распределение интенсивности при сильном уменьшении размера щели? 8. В чем состоят преимущества использования в астрономических телескопах больших отражательных зеркал?

Теории. Получалось, что за большим круглым непрозрачным телом прямо в середине его геометрической тени должно возникать небольшое светлое пятно. Очевидную абсурдность этого результата Пуассон хотел использовать как главный аргумент против теории дифракции Френеля, однако Доминик Араго поставил эксперимент, подтвердивший это предсказание. В итоге этот результат, ставший известным как пятно Араго - Пуассона, оказался весомым аргументом в пользу новой волновой теории.

Объяснения эффекта

Элементарное

Существование пятна Араго - Пуассона легко объяснить на основании принципа Гюйгенса - Френеля . Предположим, что на круглый непрозрачный диск падает плоская волна , параллельная оси диска. Согласно принципу Гюйгенса - Френеля, точки на краю диска можно рассматривать как источники вторичных волн, причём все они будут когерентны. Все эти волны пройдут одинаковое расстояние от края диска до любой точки на его оси. В результате они придут в эту точку в одинаковой фазе и усилятся , создавая яркое пятнышко. Стоит отметить, что на достаточно больших расстояниях от диска наблюдать пятно становится невозможно, в силу пространственной декогерентности приходящих волн.

Теория рассеяния

Существование пятна Араго - Пуассона может быть частично объяснено на основе общей теории рассеяния . Полное сечение рассеяния texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sigma_{tot} света на препятствии и (комплексная) амплитуда рассеяния Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): f связаны соотношением

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{f(\bold{n},\bold{n})} = \frac{k}{4\pi} \sigma_{tot}

Отрывок, характеризующий Пятно Пуассона

– Ой, ну что-о вы, как можно!.. Я его буду очень любить, пока вы вернётесь...
Девчушка готова была просто из кожи лесть вон, только бы получить своего невероятного «чудо-дракона», а это «чудо» дулось и пыхтело, видимо стараясь изо всех сил понравиться, как будто чувствовало, что речь идёт именно о нём...
– А вы когда ещё придёте? Вы очень скоро придёте, милые девочки? – в тайне мечтая, что мы придём очень нескоро, спросила малышка.
Нас со Стеллой отделила от них мерцающая прозрачная стена...
– С чего начнём? – серьёзно спросила озабоченная не на шутку девчушка. – Такого я никогда не встречала, но я ведь здесь ещё не так давно... Теперь мы должны что-то делать, правда же?.. Мы ведь обещали!
– Ну, давай попробуем «надеть» их образы, как ты и предлагала? – долго не думая, сказала я.
Стелла что-то тихонько «поколдовала», и через секунду стала похожа на кругленькую Лию, ну а мне, естественно, досталась Мама, что меня очень рассмешило... А надевали мы на себя, как я понимала, просто энергетические образы, с помощью которых мы надеялись найти нужных нам, пропавших людей.
– Вот это есть положительная сторона использования чужих образов. А существует ещё и отрицательная – когда кто-то использует это в плохих целях, как та сущность, которая надела на себя бабушкин «ключ», чтобы могла меня бить. Это мне всё Бабушка объясняла...
Забавно было слышать, как эта малюсенькая девчушка профессорским голоском излагала такие серьёзные истины... Но она и впрямь относилась ко всему очень серьёзно, несмотря на её солнечный, счастливый характер.
– Ну что – пошли, «девочка Лия»? – уже с большим нетерпением спросила я.
Мне очень хотелось посмотреть эти, другие, «этажи» пока ещё хватало на это сил. Я уже успела заметить, какая большая разница была между этим, в котором мы находились сейчас, и «верхним», Стеллиным «этажом». Поэтому, было очень интересно побыстрее «окунуться» в очередной незнакомый мир и узнать о нём, по-возможности, как можно больше, потому что я совсем не была уверена, вернусь ли сюда когда-то ещё.
– А почему этот «этаж» намного плотнее чем предыдущий, и более заполнен сущностями? – спросила я.
– Не знаю... – пожала своими хрупкими плечиками Стелла. – Может потому, что здесь живут просто лишь хорошие люди, которые никому не делали зла, пока жили в своей последней жизни. Поэтому их здесь и больше. А наверху живут сущности, которые «особенные» и очень сильные... – тут она засмеялась. – Но я не говорю про себя, если ты это подумала! Хотя бабушка говорит, что моя сущность очень старая, больше миллиона лет... Это ужас, как много, правда? Как знать, что было миллион лет тому назад на Земле?.. – задумчиво произнесла девочка.
– А может быть ты была тогда совсем не на Земле?
– А где?!.. – ошарашено спросила Стелла.
– Ну, не знаю. Разве ты не можешь посмотреть?– удивилась я.
Мне тогда казалось, что уж с её-то способностями возможно ВСЁ!.. Но, к моему большому удивлению, Стелла отрицательно покачала головкой.
– Я ещё очень мало умею, только то, что бабушка научила. – Как бы сожалея, ответила она.
– А хочешь, я покажу тебе своих друзей? – вдруг спросила я.
И не дав ей подумать, развернула в памяти наши встречи, когда мои чудесные «звёздные друзья» приходили ко мне так часто, и когда мне казалось, что ничего более интересного уже никак не может быть...
– О-ой, это же красота кака-ая!... – с восторгом выдохнула Стелла. И вдруг, увидев те же самые странные знаки, которые они мне показывали множество раз, воскликнула: – Смотри, это ведь они учили тебя!.. О-о, как это интересно!
Я стояла в совершенно замороженном состоянии и не могла произнести ни слова... Учили???... Неужели все эти года я имела в своём же мозгу какую-то важную информацию, и вместо того, чтобы как-то её понять, я, как слепой котёнок, барахталась в своих мелких попытках и догадках, пытаясь найти в них какую-то истину?!... А это всё уже давным-давно у меня было «готовеньким»?..

Основываясь на векторной диаграмме (рис.6.4), покажем, что за круглым непрозрачным диском в центре его геометрической тени интенсивность не равна нулю. Если диск закрывает, например, 1.5 зоны Френеля, то начало вектора амплитуды результирующего колебания лежит не в точке 0, а в точке 1.5, а конец вектора в т. F . Этот вектор лишь немного меньше вектора. Т. е. интенсивность света практически такая же, как и в отсутствие диска. Можно сделать вывод, что если диск перекрывает лишь несколько зон Френеля, то интенсивность в центре геометрической тени почти такая же, как при отсутствии диска. Это светлое пятно в центре геометрической тени от преграды – диска называют пятном Пуассона.

Зонная пластинка.

Если в преграде открыть только нечетные зоны Френеля (1-ю, 3-ю,...), то векторы-амплитуды от этих зон будут сонаправлены и в сумме дадут вектор, во много раз превосходящий по модулю векторы и. Такую преграду называют зонной пластинкой. Аналогично можно изготовить зонную пластинку, где открыты только четные зоны Френеля.

Зонная пластинка, содержащая n открытых зон, создает в т.Р интенсивность приблизительно вn 2 раз большую, чем отверстие, открывающее первую зону Френеля. Усиление интенсивности света зонной пластинкой эквивалентно фокусирующему действию линзы. Расстояния от зонной пластинки до источникаP 0 и его «изображения»Р связаны таким же соотношением, как и соответствующие расстояния для линзы. Перепишем формулу (6.6) в виде

. (6.9)

Сравнивая с формулой линзы, правую часть выражения можно принять за
, гдеf – фокусное расстояние:

. (6.10)

Последнее равенство справедливо, поскольку из (6.7) следует, что
. В отличие от линзы зонная пластинка – система не таутохронная, т.е. колебания приходящие в фокус от соседних зон отличаются по фазе на 2 . Существуют и другие фокусы, в которые колебания приходят с разностью хода
,
. Однако, они более слабые по сравнению с основным.

Экспериментальная установка и методика измерений

Рис. 6.5 Вид установки.

Дифракция света изучается с помощью оптической скамьи (рис.6.5), на которой устанавливаются: источник излучения (1), линза для преобразования падающего пучка света (2), преграда (3), экран (4). В качестве источника света используется лазер, длина волны генерируемого излучения
. Лазерное излучение обладает высокой интенсивностью и степенью монохроматичности. Луч лазера имеет плоский фронт волны. Для получения сферического фронта параллельный пучок излучения преобразуется с помощью короткофокусной собирающей линзы, которая крепится на дополнительный экран с отверстием. При этом расстояние от источника до преграды определяется по формуле

, (6.11)

где – фокусное расстояние линзы (
),– расстояние между линзой и преградой.

В качестве преграды используется одна из структур дифракционного объекта МОЛ-02, который представляет собой стеклянную подложку с непрозрачным зеркальным покрытием и вырезанными на ней прозрачными структурами (зонная пластинка, диски, отверстия, одиночные и двойные штрихи, решётки).

Порядок выполнения работы

1. Собрать установку, показанную на рис. 6.5. Установить в центре расходящегося лазерного пучка зонную пластинку (центральная область МОЛ-02).

2. Передвигая экран вдоль оптической оси, зафиксировать расстояния
между экраном и зонной пластинкой, при которых в центре дифракционной картины наблюдается увеличение интенсивности (возникает яркая точка, называемая изображением точечного источника света). Расстояние соответствующее наиболее удалённой и интенсивной точке обозначить, остальные по мере убывания интенсивности и расстояния –,,(как правило, хорошо наблюдаются только два фокуса пластинки – главный и ближайший кратный). Измерения провести не менее 3 раз.