Движения сохраняют расстояния и потому сохраняют все геометрические свойства фигур, поскольку они определяются расстояниями. В этом пункте мы получим наиболее общие свойства движений, приводя доказательства в тех случаях, когда они не очевидны.

Свойство 1. Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, а три точки, не лежащие на одной прямой, - в три точки, не лежащие на одной прямой.

Пусть движение переводит соответственно точки в точки Тогда выполняются равенства

Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то одна из них, например, точка В лежит между двумя другими. В этом случае и из равенств (1) следует, что . А это равенство означает, что точка В лежит между точками А и С. Первое утверждение доказано. Второе вытекает из первого и обратимости движения (способом от противного).

Свойство 2. Отрезок движением переводится в отрезок.

Пусть концам отрезка АВ движение f сопоставляет точки А и В. Возьмем любую точку X отрезка АВ. Тогда, как и в доказательстве свойства 1, можно установить, что ее образ - точка лежит на отрезке АВ между точками А и В. Далее, каждая точка

Y отрезка А В является образом некоторой точки Y отрезка АВ. А именно, той точки Y, которая удалена от точки А на расстояние A Y. Следовательно, отрезок АВ движением переводится в отрезок АВ.

Свойство 3. При движении луч переходит в луч, прямая - в прямую.

Эти утверждения докажите самостоятельно. Свойство 4. Треугольник движением переводится в треугольник, полуплоскость - в полуплоскость, плоскость - в плоскость, параллельные плоскости - в параллельные плоскости.

Треугольник ABC заполняется отрезками, соединяющими вершину А с точками X противоположной стороны ВС (рис. 26.1). Движение сопоставит отрезку ВС некоторый отрезок В С и точке А - точку А, не лежащую на прямой ВС. Каждому отрезку АХ это движение сопоставит отрезок АХ, где точка X лежит на ВС. Все эти отрезки АХ заполнят треугольник АВС.

В него и переходит треугольник

Полуплоскость можно представить как объединение неограниченно расширяющихся треугольников, у которых одна сторона лежит на границе полуплоскости

(рис. 26.2). Поэтому полуплоскость перейдет при движении в полуплоскость.

Аналогично, плоскость можно представить как объединение неограниченно расширяющихся треугольников (рис. 26.3). Поэтому при движении плоскость отображается на плоскость.

Поскольку движение сохраняет расстояния, то при движении расстояния между фигурами не изменяются. Отсюда следует, в частности, что при движениях параллельные плоскости перейдут в параллельные.

Свойство 5. При движении образом тетраэдра является тетраэдр, образом полупространства - полупространство, образом пространства - все пространство.

Тетраэдр ABCD представляет собой объединение отрезков, соединяющих точку D со всевозможными точками X треугольника ABC (рис. 26.4). При движении отрезки отображаются на отрезки, а потому тетраэдр перейдет в тетраэдр.

Полупространство можно представить как объединение расширяющихся тетраэдров, у которых основания лежат в граничной плоскости полупространства. Поэтому при движении образом полупространства будет полупространство.

Пространство можно представить как объединение неограниченно расширяющихся тетраэдров. Поэтому при движении пространство отображается на все пространство.

Свойство 6. При движении углы сохраняются, т. е. всякий угол отображается на угол того же вида и той же величины. Аналогичное верно и для двугранных углов.

При движении полуплоскость отображается на полуплоскость. Так как выпуклый угол есть пересечение двух полуплоскостей, а невыпуклый угол и двугранный угол есть объединение полуплоскостей, то при движении выпуклый угол переходит в выпуклый угол, а невыпуклый

угол и двугранный угол соответственно - в невыпуклый и двугранный угол.

Пусть лучи а и b, исходящие из точки О, отобразились на лучи а и b, исходящие из точки О. Возьмем треугольник ОАВ с вершинами А на луче а и В на луче b (рис. 26.5). Он отобразится на равный треугольник ОАВ с вершинами А на луче а и В на луче b. Значит, углы между лучами а, b и а, b равны. Поэтому при движении величины углов сохраняются.

Следовательно, сохраняется перпендикулярность прямых, а значит - прямой и плоскости. Вспомнив определения угла между прямой и плоскостью и величины двугранного угла, получим, что величины этих углов сохраняются.

Свойство 7. Движения сохраняют площади поверхностей и объемы тел.

Действительно, поскольку движение сохраняет перпендикулярность, то движение высоты (треугольников, тетраэдров, призм и т. п.) переводит в высоты (образы этих треугольников, тетраэдров, призм и т. п.). При этом длины этих высот будут сохраняться. Поэтому площади треугольников и объемы тетраэдров при движениях сохраняются. А значит, сохранятся и площади многоугольников, и объемы многогранников. Площади же криволинейных поверхностей и объемы тел, ограниченных такими поверхностями, получаются предельными переходами от площадей многогранных поверхностей и объемов многогранных тел. Поэтому и они при движениях сохраняются.

Темой этого видеоурока будут свойства движения, а также параллельный перенос. В начале занятия мы еще раз повторим понятие движения, его основные виды - осевую и центральную симметрию. После этого рассмотрим все свойства движения. Разберем понятие «параллельный перенос», для чего он используется, назовем его свойства.

Тема: Движение

Урок: Движение. Свойства движения

Докажем теорему: при движении отрезок переходит в отрезок .

Расшифруем формулировку теоремы с помощью Рис. 1. Если концы некоторого отрезка MN при движении отобразились в некоторые точки M 1 и N 1 соответственно, то любая точка Р отрезка MN обязательно перейдет в некоторую точку Р 1 отрезка M 1 N 1 , и наоборот, в каждую точку Q 1 отрезка M 1 N 1 обязательно отобразится некоторая точка Qотрезка MN.

Доказательство.

Как видно из рисунка, MN = MР + РN.

Пусть точка Р переходит в некоторую точку Р 1 " плоскости. Из определения движения следует равенство длин отрезков MN = M 1 N 1 , MР = M 1 Р 1 ", РN = Р 1 "N 1 . Из этих равенств следует, что M 1 Р 1 ", M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 = MР + РN = MN = M 1 N 1 , то есть, точка Р 1 " принадлежит отрезку M 1 N 1 и совпадает с точкой P 1 , в противном случае вместо приведенного равенства было бы справедливо неравенство треугольника M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 > M 1 N 1 . То есть мы доказали, что при движении любая точка любая точка Р отрезка MN обязательно перейдет в некоторую точку Р 1 отрезка M 1 N 1 . Вторая часть теоремы (касательно точки Q 1) доказывается абсолютно аналогично.

Доказанная теорема справедлива для любых движений!

Теорема: при движении угол переходит в равный ему угол.

Пусть дан ÐАОВ (Рис. 2). И пусть задано некоторое движение, при котором вершина ÐО переходит в точку О 1 , а точки А и В - соответственно в точки А 1 и В 1 .

Рассмотрим треугольники АОВ и А 1 О 1 В 1 . По условию теоремы, точки А, О и В переходят при движении в точки А 1 , О 1 и В 1 соответственно. Следовательно, имеет место равенство длин АО = А 1 О 1 , ОВ = О 1 В 1 и АВ = А 1 В 1 . Таким образом, АОВ = А 1 О 1 В 1 по трем сторонам. Из равенства треугольников вытекает равенство соответствующих углов О и О 1 .

Итак, любое движение сохраняет углы.

Из основных свойств движения вытекает масса следствий, в частности то, что любая фигура при движении отображается на равную ей фигуру

Рассмотрим еще один вид движения - параллельный перенос.

Параллельным переносом на некоторый заданный вектор называется такое отображение плоскости на саму себя, при котором каждая точка М плоскости переходит в такую точку М 1 той же плоскости, чтобы (Рис. 3).

Докажем, что параллельный перенос является движением .

Доказательство.

Рассмотрим произвольный отрезок MN (Рис. 4). Пусть при параллельном переносе точка М перешла в точку М 1 , а точка N - в точку N 1 . При этом выполнены условия параллельного переноса: и . Рассмотрим четырехугольник

ММ 1 N 1 N. У него две противоположные стороны (MM 1 и NN 1) равны и параллельны, как это продиктовано условиями параллельного переноса. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом согласно одному из признаков последнего. Отсюда вытекает, что и другие две стороны (MN и M 1 N 1) параллелограмма имеют равные длины, что и требовалось доказать.

Таким образом, параллельный перенос, действительно, является движением.

Подведем итоги. Мы знакомы уже с тремя видами движений: осевой симметрией, центральной симметрией и параллельным переносом. Мы доказали, что при движении отрезок переходит в отрезок, а угол - в равный ему угол. Кроме того, можно показать, что прямая при движении переходит в прямую и окружность переходит в окружность того же радиуса.

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. - М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7-11 кл. общеобр. учрежд. - М.: Просвещение, 1995.

1. Российский общеобразовательный портал ().

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» ().

1. Атанасян (см. список литературы), стр. 293, § 1, пункт 114.

Движения плоскости и их свойства. Примеры движений. Классификация движений. Группа движений. Применение движений к решению задач

Движение – это преобразования фигур, при котором сохраняются расстояния между точками. Если две фигуры точно совместить друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны.

Движение – это биективное преобразование φ плоскости π, при котором для любых различных точек X, Y є π выполнено соотношение XY  φ(X)φ(Y).

Свойства движений:

1.Композиция φ ◦ ψ двух движений ψ , φ является движением.

Док-во: Пусть фигура F переводится движением ψ в фигуру F ’, а фигура F ’ переводится движением φ в фигуру F ’’. Пусть при первом движении точка X фигуры F переходит в точку X ’ фигуры F ’ , а при втором движении точка X ’ фигуры F ’ переходит в точку X ’’ фигуры F ’’. Тогда преобразование фигуры F в фигуру F ’’, при котором произвольная точка X фигуры F переходит в точку X ’’ фигуры F ’’, сохраняет расстояние между точками, а значит, также является движением.

Запись композиции всегда начинается с последнего движения, т.к. результатом композиции является конечный образ – он и ставится в соответствие исходному: X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

2. Если φ – движение, то преобразование φ -1 также является движением.

Док-во: Пусть преобразование фигуры F в фигуру F ’ переводит различные точки фигуры F в различные точки фигуры F ’. Пусть произвольная точка X фигуры F при этом преобразовании переходит в точку X ’ фигуры F ’.

Преобразование фигуры F ’ в фигуру F , при котором точка X ’ переходит в точку X , называется преобразованием, обратным данному. Для каждого движения φ можно определить обратное ему движение, которое обозначается φ -1 .

Т.о., преобразование, обратное движению, также является движением.

Очевидно, что преобразование φ -1 удовлетворяет равенствам: f ◦ f -1 = f -1 ◦ f = ε , где ε – тождественное отображение.

3. Ассоциативность композиций: Пусть φ 1 , φ 2 , φ 3 – произвольные движения. Тогда φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3) = (φ 1 ◦φ 2)◦φ 3 .

Тот факт, что композиция движений обладает свойством ассоциативности, позволяет определить степень φ с натуральным показателем n .

Положим φ 1 = φ и φ n +1 = φ n ◦ φ , если n ≥ 1 . Таким образом, движение φ n получается путём n -кратного последовательного применения движения φ .

4. Сохранение прямолинейности: Точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в точки, лежащие на одной прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

Это значит, что если точки A , B , C , лежащие на одной прямой (такие точки называют коллинеарными), переходят в точки A 1 , B 1 , C 1 , то эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A и C , то точка B 1 лежит между точками A 1 и C 1 .

Док-во. Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C . Докажем, что точки A 1 , B 1 , C 1 лежат на одной прямой.

Если точки A 1 , B 1 , C 1 не лежат на одной прямой, то они являются вершинами некоторого треугольника A 1 B 1 C 1 . Поэтому A 1 C 1 < A 1 B 1 + B 1 C 1 .

По определению движения следует, что AC < AB + BC .

Однако по свойству измерения отрезков AC = AB + BC .

Мы пришли к противоречию. Значит, точка B 1 лежит между точками A 1 и C 1 .

Допустим, что точка A 1 лежит между точками B 1 , и C 1 . Тогда A 1 B 1 + A 1 C 1 = B 1 C 1 , и, следовательно, AB + AC = BC . Но это противоречит равенству AB + BC = AC .

Т.о., точка A 1 нележит между точками B 1 , и C 1 .

Аналогично доказывается, что точка C 1 не можетлежать между точками A 1 и B 1 . Т.к. из трёх точек A 1 , B 1 , C 1 одна лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только B 1 . Теорема доказана полностью.

Следствие . При движении прямая отображается на прямую, луч – на луч, отрезок – на отрезок, а треугольник – на равный ему треугольник.

Если через Х обозначить множество точек плоскости, а через φ(Х) - образ множества Х при движении φ, т.е. множество всех точек вида φ(х), где х є Х, то можно дать более корректную формулировку данного свойства:

Пусть φ – движение, А, В, С – три различные коллинеарные точки.

Тогда точки φ(А), φ(В), φ(С) также коллинеарны.

Если l – прямая, то φ(l) также прямая.

Если множество Х является лучом (отрезком, полуплоскостью), то множество φ(Х) также является лучом (отрезком, полуплоскостью).

5. При движении сохраняются углы между лучами.

Док-во. Пусть AB и AC – два луча, исходящие, из точки A , не лежащие на одной прямой. При движении эти лучи переходят в некоторые полупрямые (лучи) A 1 B 1 и A 1 C 1 . Т.к. движение сохраняет расстояния, то треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по третьему признаку равенства треугольников (если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны).Из равенства треугольников следует равенство углов BAC и B 1 A 1 C 1 , что и требовалось доказать.

6. Всякое движение сохраняет сонаправленность лучей и одинаковую ориентированность флагов.

Лучи l А и l В называются сонаправленными (одинаково ориентированными, обозначение: l А l В ), если один из них содержится в другом, или если они совмещаются параллельным переносом. Флаг F = (π l , l o) – это объединение полуплоскости π l и луча l o .

Точка О – начало флага, луч l o с началом в точке О – древко флага, π l – полуплоскость с границей l .

Док-во. Пусть φ – произвольное движение, l А l В –сонаправленные лучи с началами в точках А и В соответственно. Введём обозначения: l А1 = φ (l А ), А 1 = φ (А ), l В1 = φ (l В ), В 1 = φ (А ).Если лучи l А и l В лежат на одной прямой, то в силу сонаправленности один из них содержится в другом. Считая, что l А  l В , получаем φ (l А )  φ (l В ), т.е. l А1 l В1 (символом  обозначается включение или равенство подмножества элементов множеству элементов).Если же l А, l В лежат на разных прямых, то пусть n = (AB ).Тогда существует такая полуплоскость π n , что l А, l В  π n . Отсюда φ (l А ),φ (l В ) φ (π n ). Поскольку φ (π n ) – полуплоскость, причем ее граница содержит точки А 1 и В 1 , мы опять получаем, что l А, l В сонаправлены.

Применим теперь движение φ к одинаково ориентированным флагам F = (π l ,l А ), G = (π m ,m B ).Рассмотрим случай, когда точки A и B совпадают. Если прямые l и m различны, то одинаковая ориентированность флагов означает, что либо (1) l А  π m , m А  π’ l , либо (2) l А  π’ m , m А  π l . Без ограничения общности можно считать, что выполняется условие (1). Тогда φ (l А )  φ (π m ), φ (m А )  φ (π’ l ). Отсюда вытекает одинаковая ориентированность флагов φ (F ) и φ (G ).Если же прямые l , m совпадают, то либо F = G, либо F = G’. Отсюда следует, что флаги φ (F ) и φ (G ) одинаково ориентированные.

Пусть теперь точки A и B различны. Обозначим через n прямую (AB ). Понятно, что найдутся сонаправленные лучи n A и n B и полуплоскость π n такие, что флаг F 1 = (π n, n A ) сонаправлен с F , а флаг G 1 = (π n , n B , ) сонаправлен с G. Значит φ (F ) и φ (G ) одинаково ориентированные.Теорема доказана.

Примеры движений:

1)параллельный перенос - такое преобразование фигуры, при котором все точки фигуры перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

2)симметрия относительно прямой (осевая или зеркальная симметрия). Преобразование σ фигуры F в фигуру F’ ,при котором каждая её точка X переходит в точку X’ , симметричную относительно данной прямой l , называется преобразованием симметрии относительно прямой l. При этом фигуры F и F’ называются симметричными относительно прямой l .

3)поворот вокруг точки. Поворотом плоскости ρ вокруг данной точки O называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол α в одном и том же направлении

Теорема о движении центра масс.

В ряде случаев для определения характера движения системы (особенно твердого тела), достаточно знать закон движения ее центра масс. Например, если бросить камень в цель, совсем не нужно знать как он будет кувыркаться во время полета, важно установить попадет он в цель или нет. Для этого достаточно рассмотреть движение какой-нибудь точки этого тела.

Чтобы найти этот закон, обратимся к уравнениям движения системы и сложим по­членно их левые и правые части. Тогда получим:

Преобразуем левую часть равенства. Из формулы для радиус-вектора центра масс имеем:

Беря от обеих частей этого равенства вторую производную по времени и замечая, что производная от суммы равна сумме произ­водных, найдем:

где - ускорение центра масс системы. Так как по свойству вну­тренних сил системы, то, подставляя все найденные значения, получим окончательно:

Уравнение и выражает теорему о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. Сравнивая с уравнением дви­жения материальной точки, получаем другое вы­ражение теоремы: центр масс системы движется как мате­риальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Проектируя обе части равенства на координатные оси, получим:

Эти уравнения представляют собою дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат.

Значение доказанной теоремы состоит в следующем.

1) Теорема дает обоснование методам динамики точки. Из урав­нений видно, что решения, которые мы получаем, рассмат­ривая данное тело как материальную точку, определяют закон движения центра масс этого тела, т.е. имеют вполне конкрет­ный смысл.

В частности, если тело движется поступательно, то его движе­ние полностью определяется движением центра масс. Таким образом, поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела. В остальных слу­чаях тело можно рассматривать как материальную точку лишь тогда, когда практически для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс.

2) Теорема позволяет при определении закона движения центра масс любой системы исключать из рассмотрения все наперед неиз­вестные внутренние силы. В этом состоит ее практическая ценность.

Так движение автомобиля по горизонтальной плоскости может происходить только под действием внешних сил, сил трения, действующих на колеса со стороны дороги. И торможение автомобиля тоже возможно только этими силами, а не трением между тормозными колодками и тормозным барабаном. Если дорога гладкая, то как бы не затормаживали колеса, они будут скользить и не остановят автомобиль.

Или после взрыва летящего снаряда (под действием внутренних сил) части, осколки его, разлетятся так, что центр масс их будет двигаться по прежней траектории.

Теоремой о движении центра масс механической системы следует пользоваться для решения задач механики, в которых требуется:

По силам, приложенным к механической системе (чаще всего к твердому телу), определить закон движения центра масс;

По заданному закону движения тел, входящих в механическую систему, найти реакции внешних связей;

По заданному взаимному движению тел, входящих в механическую систему, определить закон движения этих тел относительно некоторой неподвижной системы отсчета.

С помощью этой теоремы можно составить одно из уравнений движения механической системы с несколькими степенями свободы.

При решении задач часто используются следствия из теоремы о движении центра масс механической системы.

Следствие 1. Если главный вектор внешних сил, приложенных к механической системе, равен нулю, то центр масс системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно. Так как ускорение центра масс равно нулю, .

Следствие 2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то центр масс системы или не изменяет своего положения относительно данной оси, или движется относительно нее равномерно.

Например, если на тело начнут действовать две силы, образующие пару сил (рис.38), то центр масс С его будет двигаться по прежней траектории. А само тело будет вращаться вокруг центра масс. И неважно, где приложена пара сил.

Кстати, в статике мы доказывали, что действие пары на тело не зависит от того, где она приложена. Здесь мы показали, что вращение тела будет вокруг центральной оси С .

Рис.38

Теорема об изменении кинетического момента.

Кинетический момент механической системы относительно неподвижного центраO является мерой движения системы вокруг этого центра. При решении задач обычно применятся не сам вектор , а его проекции на оси неподвижной системы координат, которые называются кинетическими моментами относительно оси. Например,- кинетический момент системы относительно неподвижной осиOz .

Кинетический момент механической системы складывается из кинетических моментов точек и тел, входящих в эту систему. Рассмотрим способы определения кинетического момента материальной точки и твердого тела при различных случаях их движения.

Для материальной точки с массой , имеющей скорость, кинетический момент относительно некоторой осиOz определяется как момент вектора количества движения этой точки относительно выбранной оси:

Кинетический момент точки считается положительным, если со стороны положительного направления оси движение точки происходит против часовой стрелки.

Если точка совершает сложное движение, для определения ее кинетического момента следует вектор количества движения рассматривать как сумму количеств относительного и переносного движений (рис.41)

Но , где- расстояние от точки до оси вращения, и

Рис. 41

Вторую составляющую вектора кинетического момента можно определить так же, как и момент силы относительно оси. Как и для момента силы, величинаравна нулю, если вектор относительной скорости лежит в одной плоскости с осью переносного вращения.

Кинетический момент твердого тела относительно неподвижного центра можно определить как сумму двух составляющих: первая из них характеризует поступательную часть движения тела вместе с его центром масс, вторая - движение системы вокруг центра масс:

Если тело совершает поступательное движение, то вторая составляющая равна нулю

Наиболее просто вычисляется кинетической момент твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси

где - момент инерции тела относительно оси вращения.

Теорема об изменении кинетического момента механической системы при ее движении вокруг неподвижного центра формулируется следующим образом: полная производная по времени от вектора кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра O по величине и направлению равна главному моменту внешних сил, приложенных к механической системе, определенному относительно того же центра

где - главный момент всех внешних сил относительно центраО .

При решении задач, в которых рассматриваются тела, вращающиеся вокруг неподвижной оси, используют теорему об изменении кинетического момента относительно неподвижной оси

Как и для теоремы о движении центра масс, теорема об изменении кинетического момента имеет следствия.

Следствие 1. Если главный момент всех внешних сил относительно некоторого неподвижного центра равен нулю, то кинетический момент механической системы относительно этого центра остается неизменным.

Следствие 2. Если главный момент всех внешних сил относительно некоторой неподвижной оси равен нулю, то кинетический момент механической системы относительно этой оси остается неизменным.

Теорема об изменении кинетического момента применяется для решения задач, в которых рассматривается движение механической системы, состоящей из центрального тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, и одного или нескольких тел, движение которых связано с центральным.. Связь может осуществляться при помощи нитей, тела могут перемещаться по поверхности центрального тела или в его каналах за счет внутренних сил. С помощью данной теоремы можно определить зависимость закона вращения центрального тела от положения или движения остальных тел.

Лекция 10 . Свойства движения общего вида. Основная теорема движений. Равенство геометрических фигур.

Литература. § 41.

Теорема 1. Движения плоскости образуют группу преобразований.

Доказательство. Нам достаточно проверить, что произведение любых двух движений является движением, и обратное преобразование к движению также представляет собой движение плоскости. Рассмотрим два произвольных движения g и h . Тогда для любых двух точек A и B плоскости справедливы соотношения: и. Так как и, то произведение сохраняет расстояние между точками, т.е. является движением.

Пусть f - произвольное движение плоскости. Рассмотрим две точки A и B и обозначим через A" и B" их образы при обратном преобразовании: Тогда. Так как f движение плоскости, то: . Поэтому. Преобразование обратное к движению также является движением. Теорема доказана.

Параллельный перенос и вращение являются частными видами движений. Можно доказать, что множества всех параллельных переносов, а также множество всех вращений с фиксированным центром, образуют подгруппы в группе движений плоскости . Не трудно показать, что множество всех движений, переводящих фигуру F в себя, образует подгруппу в группе движений. Если такое движение отлично от тождественного, то оно называется симметрией фигуры F , а указанная подгруппа - группой её симметрий . Доказательство этих утверждений проведите самостоятельно.

Выясним, какие множества служат образами прямых, отрезков, лучей, углов и окружностей при движении.

Свойство 1. Пусть f - движение плоскости, A", B" и C"- образы точек А,В и С при движении f. Тогда точки A", B" и C" лежат на одной прямой в том и только в том случае, когда точки А,В и С коллинеарны.

Доказательство. Как известно из школьного курса геометрии, три точки А, В и С лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда для одной из них, например B , выполнено условие: . В этом случае точка В лежит между A и С (рис. 130, а). Предположим, что, A, B и С - коллинеарны и В лежит между A и C . Так как при движении сохраняются расстояния между точками, то:

". Поэтому точки A ", B " и C " коллинеарные.

Пусть точки A, В и С не лежат на одной прямой. Тогда они расположены в вершинах треугольника (рис. 130, б). Поэтому расстояния между ними удовлетворяют неравенствам: . В силу того, что f сохраняет расстояния между точками, то: . Поэтому точки А", B" и C" также лежат в вершинах треугольника. Таким образом, если точки А", B" и C" коллинеарны, то их прообразы не могут лежать в вершинах треугольника. Свойство доказано.

При движении коллинеарные точки преобразуются в коллинеарные, а точки, не лежащие на одной прямой, в точки, не лежащие на одной прямой.

Свойство 2. При движении образом прямой является прямая линия.

Доказательство . Пусть l - прямая линия, A и B две её произвольные точки, некоторое движение, . Обозначим через l" прямую А"В" . В соответствии со свойством 1, точки, принадлежащие прямой АВ , преобразуются в точки, которые лежат на прямой А"В" . Поэтому. Покажем, что прообраз любой точки C" прямой l" лежит на прямой l . Тем самым будет доказано, что. Пусть. При доказательстве теоремы 1 мы проверили, что преобразование также является движением. Так как, a точки А", В" и C" - коллинеарные, то A, В и С также лежат на одной прямой. Свойство доказано.

Для того, чтобы найти образы отрезков, лучей и углов при движении, нам следует воспользоваться свойствами простого отношения точек прямой. Напомним это понятие. Пусть А, В и С различные точки, принадлежащие одной прямой. Число  называется их простым отношением ( = (AB,C)), если. При этом, точки A и В называются базисными, a точка С делящей. Точка С в том и только в том случае лежит на отрезке АВ , когда. Точка С в том и только в том случае лежит на луче прямой AB с началом в точке B , не содержащем A , когда. И, наконец, точка С лежит на луче прямой AB с началом в точке A , не содержащем точку В , тогда и только тогда, когда (рис. 131).

Свойство 3. При движении сохраняется простое отношение точек.

Доказательство. Пусть точка С принадлежит отрезку АВ . Тогда. Так как в силу своего определения простое отношение задается отношением векторов и, то в данном случае оно равно отношению длин отрезков: . Рассмотрим произвольное движение f , обозначим через A", B" и C " образы точек A , В и С при этом движении. Точка С принадлежит отрезку АВ , поэтому лежит между этими точками, следовательно. Так как движение сохраняет расстояния между точками, то. Отсюда вытекает, что точка С  лежит между A  и В  , и

Предположим теперь, что точка В лежит между A и С (см. рис 131). Тогда, и, как следует из определения простого отношения, . В силу того, что f - движение, . Поэтому точка B" лежит между A" и C" и Для рассматриваемого случая свойство доказано. Аналогично проводится доказательство для точек А , В и C , при условии, что точка A лежит между С и B . Доказательство проведите самостоятельно.

Свойство 4. При движении отрезок преобразуется в равный ему отрезок .

Доказательство. Рассмотрим произвольный отрезок. Пусть f некоторое движение, . Точка С в том и только в том случае принадлежит отрезку, когда эти точки коллинеарные и. Обозначим через C" образ точки С при движении f . Из свойств 1 и 3 следует, что точки и коллинеарные и. Поэтому точка С" принадлежит отрезку. Таким образом, . Легко видеть, что прообраз любой точки C" отрезка также принадлежит. Действительно, обратное преобразование также является движением, отсюда следует, что лежит на отрезке. Поэтому. Так как при движении сохраняются расстояния между точками, то отрезки и равны друг другу. Свойство доказано.

Свойство 5. При движении луч преобразуется в луч.

Доказательство. Доказательство этого свойства аналогично предыдущему. Рассмотрим луч l с началом в точке A . Обозначим через В точку луча l , отличную от A . Пусть f - произвольное движение, . Пусть луч с началом в точке, проходящий через. Если С некоторая точка луча l , то она либо лежит на отрезке, либо на его продолжении. Если, то в соответствии со свойством 4, её образ лежит на отрезке. Пусть С принадлежит продолжению отрезка. Тогда. Так как при движении сохраняется простое отношение точек, то. Отсюда следует, что точка C" принадлежит продолжению отрезка луча. Таким образом, . Для доказательства утверждения осталось проверить, что прообраз любой точки C" луча l" принадлежит лучу l . Рассуждения проведите самостоятельно, воспользуйтесь при этом, что обратное преобразование также является движением.

Как известно из школьного курса геометрии, под углом понимаются два луча, имеющие общее начало.

Свойство 6. При движении угол преобразуется в равный ему угол.

Доказательство. Рассмотрим лучи m и n , имеющие общее начало в точке A . При движении f они преобразуются в лучи m" и n" с началом в точке. Поэтому угол преобразуется в угол. Выберем на лучах m и n точки В и C : . Обозначим через B" и C" их образы при движении f . Тогда (рис. 131). Так как то треугольник АВС равен треугольнику А"В"С" . Поэтому  ABC =  A"B"C" . Свойство доказано.

Выясним, что представляет собой при движении образ окружности.

Свойство 7 . Пусть дана окружность радиуса r с центром в точке O. Тогда при движении она преобразуется в окружность того же радиуса, с центром в точке, совпадающей с образом центра O.

Доказательство. Пусть f произвольное движение, образ центра О при этом движении окружности  , радиус которой равен. Обозначим через  " окружность с центром в точке O" радиуса r . Возьмем точку C , принадлежащую  . Пусть. Так как, то точка C" принадлежит окружности  ". Обратно, пусть C" - произвольная точка окружности  ", ее прообраз при движении. Так как обратное преобразование является движением, то, т.е. точка С принадлежит окружности  . Таким образом, ". Свойство доказано.

Ведем необходимое нам понятие репера.

Определение 2 . Под аффинным репером плоскости будем понимать упорядоченную тройку неколлинеарных точек.

В дальнейшем аффинный репер R будем обозначать следующим образом, где и - соответственно его первая, вторая и третья точки. Часто слово "аффинный" будем опускать, понимая под репером аффинный репер. Если точки репера удовлетворяют условию: , а угол - прямой, то репер будем называть ортонормированным.

Свяжем с каждым репером аффинную систему координат. Если нам дан репер, то поставим ему в соответствие систему: , где (рис. 133, a). И наоборот, каждой аффинной системе координат поставим соответствие репер, удовлетворяющий указанным условиям. Очевидно, что ортонормированному реперу соответствует прямоугольная декартовая система координат (рис. 133, б), а прямоугольной декартовой системе координат соответствует ортонормированный репер. В дальнейшем под координатами точки относительно репера будем понимать её координаты в соответствующей системе координат.

Легко видеть, что справедливо еще одно свойство движения.

Свойство 7 . При движении репер преобразуется в репер, а ортонормированный репер в ортонормированный репер.

Утверждение непосредственно следует из свойств 4 и 6 движения.

Справедливо следующее основное свойство, из которого следует, что любое движение полностью определяется с помощью двух ортонормированных реперов.

Теорема 2 (основное свойство движений). Пусть на плоскости даны ортонормированные реперы и. Тогда существует единственное движение g, переводящее репер R в R": .

Доказательство. Покажем, что такое движение существует. Рассмотрим две прямоугольные декартовые системы координат, соответствующие данным ортонормированным реперам. Первая система образована точкой и векторами: и вторая. Как было принято в первой части курса геометрии, координаты точек в этих системах будем снабжать индексами 1 и 2: . Поставим в соответствие каждой точке M плоскости с координатами x и y относительно первой системы точку M" с теми же координатами x и y относительно второй системы координат. Ясно, что такое соответствие g является взаимно однозначным отображением плоскости на себя. Покажем, что g - движение точек плоскости. Рассмотрим произвольные точки M и N , координаты которых в первой системе равны: , .Так как система координат прямоугольная декартовая, то расстояние между данными точками вычисляется по формуле: Если M " и N" образы M и N при преобразовании g , то эти точки имеют те же координаты относительно второй системы: , . Вторая система координат также прямоугольная декартовая. Поэтому: Таким образом, g движение точек плоскости. Так как при этом преобразовании сохраняются координаты точек, то ( i =1,2,3). Существование движения, переводящего репер R в R" доказано.

Докажем его единственность. Предположим, что существуют два движения f и g , переводящие репер R в R ": , такие, что для некоторой точки M плоскости. Так как f движение плоскости, то. С другой стороны, g также движение, поэтому: . Следовательно, точка равноудалена от точек и, т.е. принадлежит серединному перпендикуляру от

резка (рис. 134). Аналогично показывается, что и также лежат на этом перпендикуляре. Мы пришли к противоречию, так как из определения 2 следует, что точки и репера R" не могут принадлежать одной прямой. Предположение о существовании двух различных движений, переводящих репер R в R" , - ложно. Теорема доказана.

Следствие. Если f движение плоскости: переводящее ортонормированный репер R в ортонормированный репер R", то каждой точке M плоскости с координатами x и у относительно репера R соответствует точка M"= f(M) с теми же координатами x и у относительно репера R".

Действительно, при доказательстве теоремы 1 мы построили движении g, удовлетворяющее указанному свойству. Так как существует единственное движение, переводящее репер R в R", то движения f и g совпадают. Введём следующее определение.

Определение 3. Под флагом плоскости будем понимать точку, луч с началом в этой точке и полуплоскость, граница которой содержит этот луч.

Обозначать флаг будем следующим образом: , где М точка, l луч, a полуплоскость флага. Каждому флагу однозначно соответствует ортонормированный репер, где М - точка флага, лежит на его луче, a принадлежит полуплоскости флага (рис 135). Ясно, что каждому флагу соответствует ортонормированный репер и наоборот, каждому такому реперу по указанному правилу однозначно соответствует флаг.

Теорема 3 . Пусть даны два флага и. Тогда существует единственное движение g, переводящее флаг F во флаг F": , .

Доказательство. Рассмотрим ортонормированные реперы R и R" , соответствующие флагам F и F" . Координаты x и у точки M , точек луча l и полуплоскости флага F в репере R соответственно удовлетворяют условиям: , и. Таким же условиям подчиняются координаты точки M ", точек луча l" и полуплоскости " флага F" в репере R" . Из теоремы 2 и её следствия вытекает, что существует единственное движение g , переводящее R в R ", при котором сохраняются координаты точек относительно этих реперов. Отсюда следует, что существует единственное движение, переводящее флаг F во флаг F" . Теорема доказана.

Ведем следующее определение.

Определение 4. Две фигуры плоскости назовем геометрически равными (или просто равными) если существует движение плоскости, переводящее первую фигуру во вторую.

Ясно, что равные фигуры обладают такими свойствами, которые не меняются (инвариантны) при преобразованиях из группы движений. Введенное определение полностью согласуется с понятием равенства геометрических фигур, изложенным в большинстве школьных курсов геометрии.

Замечание. Зачастую геометрически равные фигуры называются конгруэнтными

В элементарной геометрии основополагающее значение имеет понятие равенства треугольников, признаки которого используются при доказательстве большого числа планиметрических и стереометрических теорем. Применяя основное свойство движений, покажем, что два треугольника равны в том и только в том случае, когда выполнен первый признак равенства треугольников.

Теорема 4. Два треугольника равны между собой в том и только в том случае, когда равны их соответственные стороны и углы между ними.

Доказательство. Из определения равенства геометрических фигур непосредственно следует, что два равных треугольника переводятся друг в друга некоторым движением точек плоскости. Это же движение переводит друг в друга все соответствующие элементы треугольников. Поэтому соответственные стороны и углы равных треугольников равны между собой.

Обратно. Пусть даны два треугольника АВС и А"B"C" , стороны и углы которых удовлетворяют условию: , . Докажем, что существует такое движение g плоскости, при котором: . Присоединим к треугольнику АВС флаг, таким образом, чтобы точка флага совпадала с вершиной A , луч l содержал вершину B , a вершина С принадлежала полуплоскости. Аналогичным образом присоединим флаг к треугольнику A"B"C" (рис. 136). Пусть R и R" - ортонормированные реперы, соответствующие флагам F и F" . Тогда координаты вершин первого треугольника относительно репера R имеют вид: , где, - ориентированный угол BAC треугольника АВС . Так как по условию, и, то в репере R  вершины А", В" и C" второго треугольника имеют те же координаты. Из теоремы 3 и вытекает, что существует движение g , переводящее репер R в R" , при котором, при котором, как следует из следствия к теореме 2, сохраняются координаты точек. Поэтому. Теорема доказана.

Можно также показать, что для любых двух равных многоугольников справедливо утверждение: два многоугольника равны в том и только в том случае, когда равны их соответствующие стороны и углы .