Эйлер научные труды. Леонард эйлер интересные факты

За время существования Академии наук в России, видимо, одним из самых знаменитых ее членов был математик Леонард Эйлер (1707-1783).

Он стал первым, кто в своих работах начал возводить последовательное здание анализа бесконечно малых. Только после его исследований, изложенных в грандиозных томах его трилогии «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление», анализ стал вполне оформившейся наукой - одним из самых глубоких научных достижений человечества.

Леонард Эйлер родился в швейцарском городе Базеле 15 апреля 1707 года. Отец его, Павел Эйлер, был пастором в Рихене (близ Базеля) и имел некоторые познания в математике. Отец предназначал своего сына к духовной карьере, но сам, интересуясь математикой, преподавал ее и сыну, надеясь, что она ему впоследствии пригодится в качестве интересного и полезного занятия. По окончании домашнего обучения тринадцатилетний Леонард был отправлен отцом в Базель для слушания философии.

Среди других предметов на этом факультете изучались элементарная математика и астрономия, которые преподавал Иоганн Бернулли Вскоре Бернулли заметил талантливость юного слушателя и начал заниматься с ним отдельно.

Получив в 1723 году степень магистра, после произнесения речи на латинском языке о философии Декарта и Ньютона, Леонард, по желанию своего отца, приступил к изучению восточных языков и богословия. Но его все больше влекло к математике. Эйлер стал бывать в доме свое учителя, и между ним и сыновьями Иоганна Бернулли - Николаем
Даниилом - возникла дружба, сыгравшая очень большую роль в жизни Эйлера.

В 1725 году братья Бернулли были приглашены в члены Петербургской академии наук, недавно основанной императрицей Екатериной I. Уезжая, Бернулли обещали Леонарду известить его, если найдется и для него подходящее занятие в России. На следующий год они сообщили, что для Эйлера есть место, но, однако, в качестве физиолога при медицинском отделении академии. Узнав об этом, Леонард немедленно записался в студенты медицины Базельского университета. Прилежно и успешно изучая
науки медицинского факультета, Эйлер находит время и для математических занятий. За это время он написал напечатанную потом, в 1727 году, в Базеле диссертацию о распространении звука и исследование по вопросу размещении мачт на корабле.

В Петербурге имелись самые благоприятные условия для расцвета гения Эйлера: материальная обеспеченность, возможность заниматься любимым делом, наличие ежегодного журнала для публикации трудов. Здесь же работала самая большая тогда в мире группа специалистов в области математических наук, в которую входили Даниил Бернулли (его брат Николай скончался в 1726 году), разносторонний X. Гольдбах, с которым Эйлера связывали общие интересы к теории чисел и другим вопросам, автор работ по тригонометрии Ф.Х. Майера, астроном и географ Ж.Н. Делиль, математик и физик Г. В. Крафт и другие. С этого времени Петербургская Академия стала одним из главных центров математики в мире.

Открытия Эйлера, которые благодаря его оживленной переписке нередко становились известными задолго до издания, делают его имя все более широко известным. Улучшается его положение в Академии наук: в 1727 году он начал работу в звании адъюнкта, то есть младшего по рангу академика, а в 1731 году он стал профессором физики, т. е. действительным членом Академии. В 1733 году получил кафедру высшей математики, которую до него занимал Д. Бернулли, возвратившийся в том же году в Базель. Рост авторитета Эйлера нашел своеобразное отражение в письмах к нему его учителя Иоганна Бернулли. В 1728 году Бернулли обращается к «ученейшему и даровитейшему юному мужу Леонарду Эйлеру», в 1737 году - к «знаменитейшему и остроумнейшему математику», а в 1745 году - к «несравненному Леонарду Эйлеру - главе математиков».

В 1735 году академии потребовалось выполнить весьма сложную работу по расчету траектории кометы. По мнению академиков, на это нужно было употребить несколько месяцев труда. Эйлер взялся выполнить это в три дня и исполнил работу, но вследствие этого заболел нервною горячкою с воспалением правого глаза, которого он и лишился. Вскоре после этого, в 1736 году, появились два тома его аналитической механики. Потребность в этой книге была большая; немало было написано статей по разным вопросам механики, но хорошего трактата по механике не имелось.

В 1738 году появились две части введения в арифметику на немецком языке, в 1739 году - новая теория музыки. Затем в 1840 году Эйлер написал сочинение о приливах и отливах морей, увенчанное одной третью премии Французской академии; две других трети были присуждены Даниилу Бернулли и Маклорену за сочинения на ту же тему.

В конце 1740 года власть в России попала в руки регентши Анны Леопольдовны и ее окружения. В столице сложилась тревожная обстановка. В это время прусский король Фридрих II задумал возродить основанное еще Лейбницем Общество наук в Берлине, долгие годы почти бездействовавшее. Через своего посла в Петербурге король пригласил Эйлера в Берлин. Эйлер, считая, что «положение начало представляться довольно
неуверенным», приглашение принял.

В Берлине Эйлер поначалу собрал около себя небольшое ученое общество, а затем был приглашен в состав вновь восстановленной Королевской академии наук и назначен деканом математического отделения. В 1743 году он издал пять своих мемуаров, из них четыре по математике. Один из этих трудов замечателен в двух отношениях. В нем указывается на способ интегрирования рациональных дробей путем разложения их на
частные дроби и, кроме того, излагается обычный теперь способ интегрирования линейных обыкновенных уравнений высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Вообще большинство работ Эйлера посвящено анализу. Эйлер так упростил и дополнил целые большие отделы анализа бесконечно малых, интегрирования функций, теории рядов, дифференциальных уравнений, начатые уже до него, что они приобрели примерно ту форму, которая занимала в большой мере сохраняется и до сих пор. Эйлер, кроме того, начал целую новую главу анализа - вариационное исчисление. Это его начинание вскоре подхватил Лагранж и таким образом сложилась новая наука.

В 1744 году Эйлер напечатал в Берлине три сочинения о движении светил: первое - теория движения планет и комет, заключающая в себе изложение способа определения орбит из нескольких наблюдений; второе и третье - о движении комет.

Семьдесят пять работ Эйлер посвятил геометрии. Часть из них хотя и любопытна, но не очень важна. Некоторые же просто составили эпоху. Во-первых, Эйлера надо считать одним из зачинателей исследований по геометрии в пространстве вообще. Он первый дал связное изложение аналитической геометрии в пространстве (во «Введении в анализ») и, в частности, ввел так называемые углы Эйлера, позволяющие изучать повороты
тела вокруг точки.

В работе 1752 года «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями», Эйлер нашел соотношение между числом вершин, ребер и граней многогранника: сумма числа вершин и граней равна числу ребер плюс два. Такое соотношение предполагал еще Декарт, но Эйлер доказал его в своих мемуарах Это в некотором смысле первая в истории математики крупная теорема топологии - самой глубокой части геометрии.

Занимаясь вопросами о преломлении лучей света и написав немало мемуаров об этом предмете, Эйлер издал в 1762 году сочинение, в котором предлагается устройство сложных объективов с целью уменьшения хроматической аберрации. Английский художник Долдонд, открывший два различной преломляемости сорта стекла, следуя указаниям Эйлера, построил первые ахроматические объективы.

В 1765 году Эйлер написал сочинение, где решает дифференциальные уравнения вращения твердого тела, которые носят название Эйлеровых уравнений вращения твердого тела.

Много написал ученый сочинений об изгибе и колебании упругих стержней. Вопросы эти интересны не только в математическом, но и в практическом отношении.

Фридрих Великий давал ученому поручения чисто инженерного характера. Так, в 1749 году он поручил ему осмотреть канал Фуно между Гавелом и Одером и дать рекомендации по исправлению недостатков этого водного пути. Далее ему поручено было исправить водоснабжение в Сан-Суси.

Результатом этого стало более двадцати мемуаров по гидравлике, написанных Эйлером в разное время. Уравнения гидродинамики первого порядка с частными производными от проекций скорости, плотности к давлению называются гидродинамическими уравнениями Эйлера.

Покинув Петербург, Эйлер сохранил самую тесную связь с русской Академией наук, в том числе официальную: он был назначен почетным членом, и ему была определена крупная ежегодная пенсия, а он, со своей стороны, взял на себя обязательства в отношении дальнейшего сотрудничества. Он закупал для нашей Академии книги, физические и астрономические приборы, подбирал в других странах сотрудников, сообщая подробнейшие характеристики возможных кандидатов, редактировал математический отдел академических записок, выступал как арбитр в научных
спорах между петербургскими учеными, присылал темы для научных конкурсов, а также информацию о новых научных открытиях и т. д. В доме Эйлера в Берлине жили студенты из России: М. Софронов, С Котельников, С. Румовский, последние позднее стали академиками.

Из Берлина Эйлер, в частности, вел переписку с Ломоносовым, в творчестве которого он высоко ценил счастливое сочетание теории с экспериментом. В 1747 году он дал блестящий отзыв о присланных ему на заключение статьях Ломоносова по физике и химии, чем немало разочаровал влиятельного академического чиновника Шумахера, крайне враждебно относившегося к Ломоносову.

В переписке Эйлера с его другом академиком Петербургской академии наук Гольдбахом мы находим две знаменитые «задачи Гольдбаха»: доказать, что всякое нечетное натуральное число есть сумма трех простых чисел, а всякое четное - двух. Первое из этих утверждений было при помощи весьма замечательного метода доказано уже в наше время (1937) академиком И. М. Виноградовым, а второе не доказано до сих пор.

Эйлера тянуло назад в Россию. В 1766 году он получил через посла в Берлине, князя Долгорукова, приглашение императрицы Екатерины II вернуться в Академию наук на любых условиях. Несмотря на уговоры остаться, он принял приглашение и в июне прибыл в Петербург.

Императрица предоставила Эйлеру средства на покупку дома. Старший из его сыновей Иоганн Альбрехт стал академиком в области физики, Карл занял высокую должность в медицинском ведомстве, Христофора, родившегося в Берлине, Фридрих II долго не отпускал с военной службы, и потребовалось вмешательство Екатерины II, чтобы тот смог приехать к отцу. Христофор был назначен директором Сестрорецкого оружейного
завода.

Еще в 1738 году Эйлер ослеп на один глаз, а в 1771-м после операции почти совсем потерял зрение и мог писать только мелом на черной доске, но благодаря ученикам и помощникам. И.А Эйлеру, А И. Локселю, В.Л. Крафту, С.К. Котельникову, М.Е. Головину, а главное Н И Фуссу, прибывшему из Базеля, продолжал работать не менее интенсивно, чем раньше.

Эйлер, при своих гениальных способностях и замечательной памяти, продолжал работать, диктовать свои новые мемуары. Только с 1769 по 1783 год Эйлер продиктовал около 380 статей и сочинений, а за свою жизнь написал около 900 научных работ.

Работа 1769 года «Об ортогональных траекториях» Эйлера содержит блестящие соображения о получении с помощью функции комплексной переменной из уравнений двух взаимно ортогональных семейств кривых на поверхности (т. е. таких линий, как меридианы и параллели на сфере) бесконечного числа других взаимно ортогональных семейств. Работа эта в истории математики оказалась очень важной.

В следующей работе 1771 года «О телах, поверхность которых может быть развернута в плоскость» Эйлер доказывает знаменитую теорему о том, что любая поверхность, которую можно получить лишь изгибая плоскость, но не растягивая ее и не сжимая, если она не коническая и не цилиндрическая, представляет собой совокупность касательных к некоторой пространственной кривой.

Столь же замечательны работы Эйлера по картографическим проекциям.

Можно себе представить, каким откровением для математиков той эпохи явились хотя бы работы Эйлера о кривизне поверхностей и о развертывающихся поверхностях. Работы же, в которых Эйлер исследует отображения поверхности, сохраняющие подобие в малом (конформные отображения), основанные на теории функций комплексного переменного,
должны были казаться прямо-таки трансцендентными А работа о многогранниках начинала совсем новую часть геометрии и по своей принципиальности и глубине стояла в ряду с открытиями Евклида.

Неутомимость и настойчивость в научных исследованиях Эйлера были таковы, что в 1773 году, когда сгорел его дом и погибло почти все имущество его семейства, он и после этого несчастья продолжал диктовать свои исследования. Вскоре после пожара искусный окулист, барон Вентцель, произвел операцию снятия катаракты, но Эйлер не выдержал надлежащего времени без чтения и ослеп окончательно.

В том же 1773 году умерла жена Эйлера, с которой он прожил сорок лет. Через три года он вступил в брак с ее сестрой, Саломеей Гзелль Завидное здоровье и счастливый характер помогали Эйлеру «противостоять ударам судьбы, которые выпали на его долю. Всегда ровное настроение, мягкая и естественная бодрость, какая-то добродушная насмешливость, умение наивно и забавно рассказывать делали разговор с ним столь
же приятным, сколь и желанным...» Он мог иногда вспылить, но «был не
способен долго питать против кого-либо злобу.. » - вспоминал Н И Фусс.

Эйлера постоянно окружали многочисленные внуки, часто на руках у него сидел ребенок, а на шее лежала кошка. Он сам занимался с детьми математикой. И все это не мешало ему работать.

18 сентября 1783 года Эйлер скончался от апоплексического удара в присутствии своих помощников профессоров Крафта и Лекселя. Он был похоронен на Смоленском лютеранском кладбище Академия заказала известному скульптору Ж.Д. Рашетту, хорошо знавшему Эйлера, мраморный бюст покойного, а княгиня Дашкова подарила мраморный пьедестал.

До конца XVIII века конференц-секретарем Академии оставался И.А. Эйлер, которого сменил Н.И. Фусс, женившийся на дочери последнего, а в 1826 году - сын Фусса Павел Николаевич, так что организационной стороной жизни Академии около ста лет ведали потомки Леонарда Эйлера. Эйлеровские традиции оказали сильное влияние и на учеников
Чебышева: A.M. Ляпунова, А.Н. Коркина, Е.И. Золотарева, А.А. Маркова и других, определив основные черты петербургской математической школы.

Нет ученого, имя которого упоминалось бы в учебной математической литературе столь же часто, как имя Эйлера. Даже в средней школе логарифмы и тригонометрию изучают до сих пор в значительной степени «по Эйлеру».

Эйлер нашел доказательства всех теорем Ферма, показал неверность одной из них, а знаменитую Великую теорему Ферма доказал для «трех» и «четырех». Он также доказал, что всякое простое число вида 4п+1 всегда разлагается на сумму квадратов других двух чисел.

Эйлер начал последовательно строить элементарную теорию чисел. Начав с теории степенных вычетов, он затем занялся квадратичными вычетами. Это так называемый квадратичный закон взаимности. Эйлер также много лет занимался решением неопределенных уравнений второй степени с двумя неизвестными.

Во всех этих трех фундаментальных вопросах, которые больше двух столетий после Эйлера и составляли основной объем элементарной теории чисел, ученый ушел очень далеко, однако во всех трех его постигла неудача. Полное доказательство получили Гаусс и Лагранж.

Эйлеру принадлежит инициатива создания и второй части теории чисел - аналитической теории чисел, в которой глубочайшие тайны целых чисел, например распределение простых чисел в ряду всех натуральных чисел, получаются из рассмотрения свойств некоторых аналитических функций.

Созданная Эйлером аналитическая теория чисел продолжает развиваться и в наши дни.

В 1707 году в швейцарском городе Базель в семье священника Пауля Эйлера родился мальчик по имени Леонардо, которому было предписано стать одним из выдающихся математиков того времени. Феноменальная память, высокая трудоспособность, стремление к новым знаниям Леонардо Эйлер проявил уже в раннем возрасте. В 13 лет Леонардо Эйлер был зачислен на факультет искусство Базельского университета. Отец мечтал о карьере священника для своего любимого сына Леонардо. Однако незаурядные математические способности, которыми обладал мальчик, нельзя было зарывать в землю. Вскоре Леонардо станет учеником известного швейцарского математика Иоганна Бернулли.

Спустя некоторое время сыновья Иоганна Бернулли был приглашены в Петербург, а вместе с ними и Леонардо Эйлер. Чрезвычайно талантливый молодой ученый быстро становится широко известным. Его приглашают в Академию наук. В 1727 г. Леонардо Эйлер вступает в Академию наук в звании адъюнкта по физиологии. В 1731 году получает звание профессора физики и становится действительным членом Академии наук. А спустя два года уже возглавляет кафедру высшей математики.

Эрудиция Эйлера поражала его современников. Он был одним из самых образованных ученых: знал греческий, латинский, прекрасно владел немецким, французский, русский и другими языками. Помимо математики, физики и астрономии, имел глубокие познания в области географии, химии, ботаники, анатомии, медицины и в других отраслях науки и техники. Увлекался музыкой и литературой, знал наизусть «Энеиду» Виргилия.

Гениальный математик, выдающийся физик, инфеженер и астроном, географ и виртуозный вычислитель Леонардо Эйлер внес неоценимый вклад в становление российских научных кадоров. Составленное им «Руководство к арифметике», переведенное на русский язык оказало значительное влияние на мировую и российскую учебную литературу.

Научная деятельность Эйлера восхищала глубиной мысли, разнообразием интересов, идей и невероятной продуктивностью. Эйлер одновременно являлся членом многих европейских академии и научных школ. Грандиозная и напряженная работа Эйлера негативно сказалась на его здоровье. В 1735 году Леонардо Эйлер лишился правого глаза, а в 1766 г. потерял и второй глаз. Потеряв зрение полностью, Эйлер не прекратил своей научной деятельности, его трудоспособности могли лишь позавидовать. Часть своих трудов ослепший ученый диктовал писцу. Писцом Эйлера был мальчик-портной, которого ученый приютил и обучил грамоте.

В области математического анализа Эйлер написал множество трудов, сделал огромное количество открытий. Влияние Эйлера на развитие высшей математики было существенным. Именно Леонардо Эйлер привел тригонометрию к известному нам виду, одним из первых сформулировал понятие функции. Его имя носят множество математических понятий, среди них: диаграммы Эйлера, интегралы Эйлера, метод ломаных, окружность Эйлера, подстановки Эйлера, теорема Эйлера и многие другие.

Научное наследие Эйлера чрезвычайно велико. Он сумел добиться блестящих результатов в математическом анализе, геометрии, теории чисел, вариационном исчислении, механике и других приложениях математики. Полное собрание научных трудов Леонардо Эйлера состоит из 72 томов.

Эйлер являет собой образец научного гения, чья деятельность стала достоянием всего человечества. Школьники всего мира изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. В высшей школе студенты обучаются высшей математике согласно классическим монографиям Эйлера. Гениальный математик, Эйлер знал, что плодотворной почвой науки прежде всего является практическая деятельность.

Пожалуй, нет ни одной значимой области математики, в которой не оставил бы след один из лучших математиков XVIIIв. Леонард Эйлер.

Именно Эйлер прямо доказал расклад в ряд экспоненты и арктангенс (косвенное доказательство через обратные степенные ряды дана Ньютоном и Лейбницем между 1670 и 1680 годами). Использования им степенных рядов позволило решить в 1735 году знаменитую Базельскую проблему, (более строгое доказательство было им совершено в 1741 году):

Геометрический смысл формулы Эйлера Эйлер начал использование в аналитических доказательствах экспоненты и логарифмов. Ему удалось разложить в степенной ряд логарифмическую функцию и, посредством этого расписания, определить логарифмы для отрицательных и комплексных чисел. Он также расширил множество определения экспоненциальной функции на комплексные числа, и обнаружил связь экспоненты с тригонометрическими функциями. Формула Эйлера утверждает, что для любого действительного числа x выполняется равенство:

Частным случаем формулы Эйлера при x = ? есть тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных математических констант:

e i ? + 1 = 0,

Названной Ричардом Фейнманом "самой чудесной математической формулой".. В 1988 году читатели журнала Mathematical Intelligencer в голосовании назвали ее "красивой математической формулой всех времен".
Следствием Формулы Эйлера формула Муавра.
Кроме того, Эйлер разработал теорию специальных трансцендентных функций введя гамма-функцию и представил новые методы решения уравнения четвертой степени. Он также нашел способ вычисления интегралов с комплексными пределами, опережали развитие современного комплексного анализа, и начал вариационное исчисление, в том числе получил его известный результат, уравнения Эйлера-Лагранжа.
Эйлер также был пионером в использовании аналитических методов решения задач теории чисел. Таким образом, он объединил две разрозненные области математики и внедрил новую область исследований, аналитическую теорию чисел. Началом было созданием Эйлером теории гипергеометрических рядов, Q-Series, гиперболических тригонометрических функций и аналитическая теория обобщенных дробей. Например, он доказал бесконечность простых чисел с помощью разногласия гармонического ряда, использовал методы анализа, чтобы узнать о распределении простых чисел. Эйлеровы работы в этой области привели к появлению теоремы о распределении простых чисел.
Теория чисел
Интерес Эйлера теорией чисел можно объяснить влиянием Христиана Гольдбаха, вторая из Санкт-Петербургской Академии. Многие ранних работ Эйлера по теории чисел базировалось на работах Пьера Ферма. Эйлер разработал некоторые идеи Ферма, и опроверг некоторые из его предположений.
Эйлер связал характер распределения простых чисел с идеями по анализу. Он доказал, что сумма обратных к простым числам расходится. В этот способ он обнаружил связь между дзета-функцией Римана и простыми числами, результат известен как "тождество Эйлера в теории чисел".
Эйлер доказал тождества Ньютона, малую теорему Ферма, теорему Ферма о суммах двух квадратов, сделал значительный вклад в теорему Лагранжа о четырех квадраты. Он также изобрел функцию Эйлера? (N), равное числу положительных чисел, не превышающих натурального N и которые являются взаимно простые с N. Используя свойства этой функции, он обобщил малую теорему Ферма к тому, что сейчас называется теоремой Эйлера. Он внес значительный вклад в теорию совершенных чисел, которой математики были очарованы со времен Евклида. Эйлер также достиг прогресса в направлении теоремы о распределении простых чисел и выдвинул гипотезу квадратичной взаимности. Эти два понятия рассматриваются в качестве основных теорем теории чисел, а его идеи подготовили почву для работ Гаусса.
До 1772 года Эйлер доказал, что 2 31 – 1 = 2147483647 является числом Мерсенна. Правдоподобно, это число было наибольшим известным простым до 1867 года.
Теория графов
В 1736 году, Эйлер решил проблему, известную как Семь мостов Кенигсберга. Город Кенигсберг (сегодня Калининград) в Пруссии расположен на реке Преголя и включает два больших острова, которые были связаны друг с другом и с материком семью мостами. Проблема заключается в том, можно найти путь, который проходит каждым мостом ровно один раз и возвращается к исходной точке. Ответ отрицательный: нет цикла Эйлера. Это утверждение считается первой теоремой теории графов, в частности, в теории планарных графов.
Эйлер также доказал формулу V – E + F = 2, что связывает число вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, а следовательно, и планарных графов (для планарных графов V – E + F = 1). Левая сторона формулы, известная теперь как эйлерова характеристика графа (или иного математического объекта), связанная с понятием рода поверхности.
Изучение и обобщение этой формулы, в частности Коши и L"Huillier, были началами топологии.
Прикладная математика
Среди наибольших успехов Эйлера были аналитические решения практических задач, описание многочисленных применений чисел Бернулли, рядов Фурье, диаграмм Венна (известные также как круги Эйлера), чисел Эйлера, констант е и?, цепных дробей и интегралов.
Он соединил дифференциальное исчисление Лейбница с ньютоновской методом флюксий, и создал инструменты, которые сделали применение анализа к физическим проблемам проще. Он добился больших успехов в совершенствовании численное приближение интегралов, изобрел то, что в настоящее время известно как метод Эйлера и формула Эйлера-Маклорена. Он также способствовал использованию дифференциальных уравнений, в частности, вводя постоянную Эйлера-Маскерони:

Одним из самых необычных интересов Эйлера было применение математических идей в музыке. В 1739 году он написал Tentamen novae theoriae musicae, надеясь наконец включить музыкальную теорию к математике. Эта часть его работы, однако, не получила широкого внимания и была однажды названа "слишком математической для музыкантов и очень музыкальной для математиков".
Физика
Леонард Эйлер внес значительный вклад в развитие механики, в частности в решение задачи о вращении твердого тела. Подход Эйлера связан с понятиями Эйлеровы углов и кинематических уравнений Эйлера. В 1757 Эйлер опубликовал мемуар «Principes generaux du mouvement des fluides» (Общие принципы движения флюидов), в котором записал уравнения движения несжимаемой идеальной жидкости, получившие название уравнений Эйлера. Результатом работы над задачей о деформации бруса при погрузке стали уравнения Эйлера-Бернулли, которые впоследствии нашли применение в инженерной науке, в частности при проектировании мостов.
Эйлер работал над общими проблемами механики, развивая принцип Мопертюи. Уравнения лагранжевой механики часто называют уравнениями Эйлера-Лагранжа.
Эйлер применял разработаны математические методы для решения проблем небесной механики. Его труды в этой области получили несколько наград Парижской академии наук. Среди его достижений определения с большой точностью орбит комет и других небесных тел, объяснения природы комет, расчет параллакса Солнца. Расчеты Эйлера стали значительным вкладом в розвробку точных таблиц широт.
Важное значение для своего времени имел вклад Эйлера в оптику. Он отрицал господствующую тогда корпускулярную теорию света Ньютона. Труды Эйлера протяжении 1740-х годов помогли утвердиться волновой теории света Христиана Гюйгенса.
Астрономия
Большая часть астрономических сочинений Эйлера посвящена актуальным в то время вопросам небесной механики, а также сферической, практической и мореходной астрономии, теории приливов, теории астрономического климата, рефракции света в земной атмосфере, параллакса и аберрации, вращению Земли. В области небесной механики Эйлер внес существенный вклад в теорию возмущенного движения. Еще в 1746 он вычислил возбуждения Луны и опубликовал лунные таблицы. Одновременно с А. К. Клеро и Ж.Л.Д "Аламбером и независимо от них Эйлер разрабатывал общие теории движения Луны, в которых он исследовался с весьма высокой точностью. Первая теория, в которой применен метод разложения искомых координат в ряды по степеням малых параметров и дана частичная разработка аналитического метода вариации элементов орбиты, была опубликована в 1753. Эта теория была использована Т. И. Майером при составлении высокоточных таблиц движения Луны. Совершенная аналитическая теория, в которой дано численный развитие метода и вычислены таблицы, изложена в работе, изданной в Петербурге в 1772 на латинском языке. Ее сокращенный перевод на русский язык под названием «Новая теория движения Луны» был выполнен А. Н. Крыловым и издан в 1934. Вычислительные методы, предложенные Эйлером для получения точных эфемерид Луны и планет, в частности введенные им прямоугольные равномерно вращаются оси координат, были широко использованы впоследствии Дж.В.Гиллом. По выражению М. Ф. Субботина, они стали одним из важнейших источников дальнейшего прогресса всей небесной механики. Широкие возможности для применения этих методов возникли с появлением ЭВМ. Современная точная и полная теория движения Луны была создана в 1895-1908 Е. В. Брауном. Работы Эйлера и Гилла дали начало общей теории нелинейных колебаний, играющего большую роль в современных науке и технике.
Важное значение для астрономии имела работа Эйлера «Об улучшении объективного стекла зрительных труб» (1747), в которой он показал, что, комбинируя две линзы из стекла с различной преломляющей способностью, можно создать ахроматический объектив. Под влиянием работы Эйлера первый объектив такого рода был изготовлен английском оптиком Дж. Доллонд в 1758.

15 апреля 1707 года в семье базельского пастора Пауля Эйлера родился сын, нареченный Леонардом. С раннего детства отец готовил его к духовной карьере. По мнению Пауля, хороший священник должен был обладать четко развитой логикой, поэтому большое значение он придавал занятиям математикой. Мало того, что сам пастор любил эту точную науку, так еще он дружил со знаменитым математиком Якобом Бернулли. Когда Леонарду едва исполнилось 13 лет, младший брат Якоба, профессор университета Иоганн Бернулли заметил в мальчике неординарные математические способности и предложил по субботам приходить к нему домой, где они в легкой и непринужденной обстановке вместе с сыновьями Иоганна, Даниилом и Николаем решали сложные математические задачи.

Уже 17 лет от роду Леонард получил ученую степень магистра. Вскоре был издан первый его серьезный научный труд «Диссертация по физике о звуке», получивший весьма лестные отзывы серьезных ученых. В 1725 году молодой магистр попытался получить в Базельском университете освободившееся место профессора физики, но, даже, несмотря на протекцию Бернулли, соискателю ответили, что он слишком молод для такой почетной должности. Вообще тогда в Швейцарии с научными вакансиями было так туго, что даже дети профессора не могли найти себе достойного занятия. Зато научные кадры требовались в соседней России, где в 1724 году Петр I учредил первую в стране Академию. Первыми в Санкт-Петербург перебрались Даниил и Николай, а уже в начале 1726 года Леонарду пришла депеша, в которой говорилось, что его, по рекомендации герров Бернулли приглашают на должность адъюнкта по физиологии с окладом 200 рублей в год. Сумма эта была хоть и не особенно велика, однако она была значительно больше того, на что молодой математик мог рассчитывать на родине. Поэтому уже в апреле 1726 год, сразу по получении аванса, Эйлер покинул родную Швейцарию. Тогда он еще думал, что на время.

В столице Российской Империи молодого спеца, меньше чем за год научившегося довольно бегло говорить по-русски, тут же загрузили работой, причем, не всегда связанной с математикой. Дефицит специалистов привел к тому, что ученого то заряжали заданиями по картографии, то требовали письменных консультаций для кораблестроителей и артиллеристов, то поручали конструирование пожарных насосов, а то и вовсе вменяли в обязанность составление придворных гороскопов. Все эти задания Эйлер аккуратно исполнял, и только требования по вопросам астрологии категорически переадресовывал к придворным астрономам. Предсказания в России всегда были делом повышенной опасности и требовали особой осторожности.

В 1731 году Леонард стал академиком и получил место профессора физики с окладом вдвое против прежнего. А еще через два года он занял должность профессора чистой математички. Теперь ему причиталось 600 рублей в год. С таким доходом уже можно было подумать и о семье. В конце 1733 года 26-летний ученый женился на своей ровеснице и соотечественнице Катарине, дочери художника Георга Гзеля и прибрел небольшой дом на набережной Невы. За время совместной жизни супруга родила Леонарду 13 детей, однако выжили из них только пятеро, две дочери и три сына.

В 1735 году Эйлер самостоятельно, без всякой посторонней помощи, за три дня выполнил срочное правительственное картографическое (по другим данным - астрономическое) задание, на которое другие академики просили несколько месяцев. Однако такая интенсивность работы не могла не сказаться на здоровье ученого: из-за чрезвычайного перенапряжения Леонард Эйлер ослеп на правый глаз.

К тому времени его имя уже было широко известно в России. А написанный в 1736 году трактат «Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении» принес ученому поистине мировую славу. Именно с него теоретическая механика стала прикладной частью математики.

За проведенные в России полтора десятилетия Эйлер написал и издал более 90 крупных научных работ. Он же был основным автором академических «Записок» - центрального российского научного бюллетеня того времени. Математик выступал на научных семинарах, читал публичные лекции, выполнял самые разнообразные задания. Бывший учитель, Иоганн Бернулли, писал ему: «Я посвятил себя детству высшей математики. Ты, мой друг, продолжишь её становление в зрелости». Слава об Эйлере, как о великолепном математике выросла до такой степени, что когда в 1740 году в Берлинской Академии освободилось место директора ее математического департамента, сам прусский король Фридрих предложил ученому занять эту должность.

К тому времени в Петербургской АН началось время стагнации. После смерти императрицы Анны Иоанновны царем стал малолетний Иоанн IV. Правившая в это время империей регент Иоанна Анна Леопольдовна наукам никакого внимания не уделяла, и Академия постепенно приходила в запустение. «Предвиделось нечто опасное, — писал потом Эйлер в автобиографии. — После кончины достославной императрицы Анны при последовавшем тогда регентстве…

положение начало представляться неуверенным». Поэтому ученый воспринял приглашение Фридриха как подарок судьбы и тут же подал прошение, в котором писал: «Того ради нахожусь принужден, как ради слабого здоровья, так и других обстоятельств, искать приятнейшего климата и принять от его Королевского Величества Прусского учиненное мне призывание. Того ради прошу Императорскую Академию наук всеподданнейше меня милостиво уволить и снабдить для моего и домашних моих проезду потребным пашпортом». Но, несмотря на общее прохладное отношение к науке, государственная администрация вовсе не горела желанием вот так запросто отпускать уже признанное мировое светило. С другой стороны, и не отпустить было нельзя. Поэтому, в результате недолгих переговоров, от математика удалось получить обещание, даже проживая в Берлине всячески помогать России. Взамен ему присвоили звание почетного члена Академии с окладом 200 рублей. Наконец, 29 мая 1741 года все документы были выправлены, и уже в июне Эйлер, вместе со всем своим семейством, женой, детьми и четырьмя племянниками прибыл в Берлин.

Здесь его, как и некогда в России, также начали активно привлекать к самым различным непрофильным работам и проектам. Он занимался организацией государственных лотерей, курировал работу монетного двора, руководил прокладкой нового водопровода и организацией пенсионного обеспечения. А вот с самим королем Фридрихом у Леонарда отношения не сложились. Монарху не пришелся по вкусу хоть и добрый и умный, но совершенно не компанейский математик. Действительно, Эйлер терпеть не мог светских приемов, балов и прочих увеселительных мероприятий, мешавших научным рассуждениям. Когда жене удавалось вытащить его в театр, математик выдумывал для себя какой-нибудь сложный пример, который и решал в уме все время представления.

Слово, данное перед тем, как покинуть Россию, ученый держал строго. Он продолжал печатать свои статьи в русских журналах, редактировал труды русских ученых, закупал для Петербуржской Академии инструменты и книги. В его доме на полном пансионе жили отправленные на стажировку молодые русские ученые. Именно здесь он познакомился и подружился с перспективным студентом московских «Спасских школ» Михайлой Ломоносовым, в котором больше всего отмечал «счастливое сочетание теории с экспериментом». Когда в 1747 году президент Академии наук граф Разумовский попросил его дать отзыв о статьях молодого ученого, Эйлер оценил их очень высоко. «Все сии диссертации, - писал он в отчете, - не токмо хороши, но и весьма превосходны, ибо он (Ломоносов) пишет о материях физических и химических весьма нужных, которые по ныне не знали и истолковать не могли самые остроумные люди, что он учинил с таким успехом, что я совершенно уверен в справедливости его изъяснений. При сём случае г. Ломоносову должен отдать справедливость, что имеет превосходное дарование для изъяснения физических и химических явлений. Желать должно, чтоб и другия Академии в состоянии были произвести такия откровения, как показал г. Ломоносов». Надо сказать, что весьма заносчивый, самолюбивый и сложный в общении Михаил Васильевич также до конца дней любил своего берлинского учителя, писал ему дружеские письма и считал одним из величайших ученых мира.

Большинство введенных Эйлером почти три столетия назад терминов, понятий и приемов используются математиками и поныне. Но все это никак не влияло на холодное отношение к нему властьпредержащих царственных особ Пруссии. Когда в 1759 году умер президент Берлинской Академии наук Мопертюи, Фридрих II долго не мог найти ему замену. Французский ученый-энциклопедист и просто большая умница Жан Д`Аламбер, к которому король обратился в первую очередь, отказался от заманчивого предложения, посчитав, что в Берлине есть более достойная кандидатура на этот пост. Наконец Фридрих смирился и таки отдал Эйлеру руководство Академией. Но титул президента присвоить ему отказался категорически.

Тем временем, в России авторитет Эйлера, напротив, все более креп. Во время семилетней войны русская артиллерия случайно разрушила дом ученого в Шарлоттенбурге (пригород Берлина). Узнавший об этом фельдмаршал Салтыков тут же возместил ученому все нанесенные потери. А когда весть о неудачном артобстреле достигла императрицы Елизаветы, она распорядилась от себя лично прислать берлинскому другу еще 4000 рублей, что было огромной суммой.

В 1762 году на русский престол заступила Екатерина II, мечтавшая установить в стране «просвещенную монархию». Возвращение в страну видного математика она видела одной из важнейших своих задач. Поэтому вскоре Эйлер получил от нее весьма интересное предложение: возглавить математический класс, получив при этом звание конференц-секретаря Академии и оклад 1800 рублей в год. «А если не понравится, — говорилось в ее поручении дипломатическим представителям, — благоволит сообщить свои условия, лишь бы не медлил приездом в Петербург».

Эйлер, и правда, благоволил выдвинуть встречные условия:

Пост вице-президента Академии с окладом 3000 рублей;

- ежегодную пенсию 1000 рублей супруге в случае его смерти;

- оплачиваемые должности для троих его сыновей, в том числе пост секретаря Академии для старшего.

Такая дерзость со стороны какого-то математика возмутила представителя императорской администрации, видного российского дипломата графа Воронцова. Однако сама императрица думала по-другому. «Письмо к Вам г. Эйлера, - писала она графу, - доставило мне большое удовольствие, потому что я узнаю из него о желании его снова вступить в мою службу. Конечно, я нахожу его совершенно достойным желаемого звания вице-президента Академии наук, но для этого следует принять некоторые меры, прежде чем я установлю это звание — говорю установлю, так как доныне его не существовало. При настоящем положении дел там нет денег на жалование в 3000 рублей, но для человека с такими достоинствами, как г. Эйлер, я добавлю к академическому жалованию из государственных доходов, что вместе составит требуемые 3000 рублей… Я уверена, что моя Академия возродится из пепла от такого важного приобретения, и заранее поздравляю себя с тем, что возвратила России великого человека».

Получив заверения в том, что все его условия приняты на самом высоком уровне, Эйлер немедленно написал Фридриху заявление с просьбой об отставке. Возможно из-за нежелания отпускать видного ученого, возможно - из-за негативного к нему отношения, а скорее всего - от всего этого вместе, король не просто отказал, а именно проигнорировал обращение Эйлера, не дав на него никакого ответа. Эйлер написал еще одно прошение. С тем же результатом. Тогда математик просто демонстративно прекратил работу в Академии. Наконец, с просьбой отпустить ученого к королю Пруссии обратилась сама Екатерина. Только после такого высокого вмешательства Фридрих разрешил математику покинуть Пруссию.

В июле 1766 года ученый вместе с 17 домочадцами прибыл в Санкт-Петербург. Здесь его сразу приняла сама императрица. И не просто приняла, а пожаловала 8000 рублями на покупку дома и обстановки и даже предоставила в полное его распоряжение одного из своих лучших поваров.

Уже в России Эйлер начал работу над одним из главных своих трудов - «Универсальной арифметикой», издававшейся так же под названиями «Начала алгебры» и «Полный курс алгебры». Причем книга эта была изначально напечатана именно на русском языке, и только через два года - на официально-научном немецком. Мы вполне можем утверждать, что все последующие мировые учебники алгебры основывались именно на этом труде. Сразу за ним Эйлер выпустил еще две масштабных монографии - «Оптика» и «Интегральное исчисление». Когда же он усиленно работал над новым своим большим трудом «Новой теорией движения Луны», случилась трагедия. По Санкт-Петербургу прошел большой пожар, уничтоживший более ста домов. В эту сотню попал и дом Эйлера на Васильевском острове. К счастью, ученый успел спасти большую часть своих рукописей. То же, что спасти не удалось, он в короткий срок восстановил, надиктовав тексты по памяти.

Именно надиктовав. Ибо зрение ученого, проводившего сутки напролет за вычислениями и расчетами, находилось в самом критическом состоянии. Врачи-окулисты давно диагностировали у Эйлера быстро прогрессирующую катаракту единственного рабочего левого глаза. Поэтому большую часть своих трудов он уже давно «писал» руками шустрого мальчика-портного. Знавшая об этом императрица Екатерина специально для поправки зрения ученого выписала в 1771 году из Берлина лучшего специалиста в этой области - личного окулиста австрийского императора и английского короля барона Венцеля. Операция прошла успешно: Венцель удалил катаракту и предупредил ученого, что первые несколько месяцев ему надо беречься от яркого света и отказаться от чтения, чтобы глаз привык к новому состоянию. Но такая пытка была для ученого абсолютно нестерпимой. Уже через несколько дней он, втайне от домашних, снял повязку и с жадностью накинулся на свежие научные журналы. Результат не замедлил сказаться: вскоре ученый опять потерял зрение, теперь уже окончательно. При этом производительность его труда не только не уменьшилась, но даже выросла. Неисправимый оптимист, он иногда с долей юмора говорил, что потеря зрения пошла ему на пользу: он перестал отвлекаться на внешние красоты, не связанные с математикой.

Вскоре судьба нанесла ему еще один серьезный удар. В 1773 году умерла любимая жена Катарина, с которой он прожил в счастливом браке 40 лет. Но и эта потеря не выбила его из седла. Спустя три года он женился второй раз. На сводной сестре Катарины Саломее. Она во всем напоминала Леонарду почившую супругу и до конца жизни ученого была его верной помощницей.

В начале 1780-х годов Эйлер все чаще стал жаловаться на головные боли и общую слабость. 7 сентября 1883 года он вел послеобеденную беседу с академиком Андреем Лекселем. Оба математики и астрономы, они обсуждали недавно открытую планету Уран и ее орбиту. Внезапно Эйлер почувствовал себя плохо. Он только успел сказать: «Я умираю», после чего сразу потерял сознание. Через несколько часов его не стало. Врачи установили, что смерть произошла от кровоизлияния в мозг.

Похоронили ученого в Петербурге, на лютеранском Смоленском кладбище. На надгробном камне высекли слова: «Здесь покоятся бренные останки мудрого, справедливого, знаменитого Леонарда Эйлера».

Дети математика так и остались в России. Старший сын, тоже талантливый математик и механик Иоганн Эйлер (1734-1800), как и обещала императрица Екатерина, был секретарем Императорской академии наук Младший, Христофор (1743-1808), дослужился до генерал-лейтенанта и командовал Сестрорецким оружейным заводом. Внук, Александр Христофорович (1773-1849) стал генералом от артиллерии, героем Отечественной войны 1812 года. Еще один потомок, правда вернувшийся на родину предков, в Швецию, Ханс Карл Август Симон фон Эйлер-Хельпин (1873-1964) стал известным биохимиком, иностранным членом Академии Наук СССР, лауреатом Нобелевской премии по химии за 1929 год. Другую Нобелевскую премию, только уже в 1970 году, получил его сын, шведский биолог Ульф фон Ойлер (1905-1983).

Леонарду Эйлеру поставлено множество памятников. Его имя носят институты, улицы, научные награды. В его честь отпечатаны марки и монеты, названы астероид и кратер на Луне. Но пожалуй самый оригинальный памятник ученому можно встретить в детских тетрадках. Школьники ведь часто пытаются решить известные задачи: как шахматным конем пройтись по всем клеткам нарисованного квадрата, не проходя через одну и ту же клетку дважды, или как аналогичным образом перейти несколько рек по нескольким мостам. При этом они часто даже не догадываются, что загадал эти задачи, и не только загадал, но и нашел почти три столетия назад исчерпывающий алгоритм их решения, великий русский математик Леонард Эйлер. Которого в России звали Леонтием.

Эйлер, крупнейший математик XVIII в., родился в Швейцарии.
В 1727 г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию.
В Петербурге Эйлер попал в круг выдающихся ученых: математиков, физиков, астрономов, получил большие возможности для создания и издания своих трудов.
Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира.

Научное наследие Эйлера поражает своим объемом и разносторонностью.
В списке его трудов более 800 названий. Полное собрание сочинений ученого занимает 72 тома.
Среди его работ - первые учебники по дифференциальному и интегральному исчислению.

В теории числе Эйлер продолжил деятельность французского математика П. Ферма и доказал ряд утверждений: малую теорему Ферма, великую теорему Ферма для показателей 3 и 4. Он сформулировал проблемы, которые определили горизонты теории чисел на десятилетия.

Эйлер предложил применить в теории чисел средства математического анализа и сделал первые шаги по этому пути. Он понимал, что, двигаясь дальше, можно оценить число простых чисел, не превосходящих n, и наметил утверждение, которое затем докажут в XIX в. математики П. Л. Чебышев и Ж. Адамар.

Эйлер много работает и в области математического анализа.
Ученый впервые разработал общее учение о логарифмической функции, согласно которому все комплексные числа, кроме нуля, имеют логарифмы, причем каждому числу соответствует бесчисленное множество значений логарифма. В геометрии Эйлер положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в самостоятельную науку - топологию.

Имя Эйлера носит формула,
связывающая число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника:
В - Р + Г = 2.
Даже основные результаты научной деятельности Эйлера трудно перечислить.
Здесь и геометрия кривых и поверхностей, и первое изложение вариационного исчисления с многочисленными новыми конкретными результатами.
У него были труды по гидравлике, кораблестроению, артиллерии, геометрической оптике и даже по теории музыки.
Он впервые дает аналитическое изложение механики вместо геометрического изложения Ньютона, строит механику твердого дела, а не только материальной точки или твердой пластины.

Одно из самых замечательных достижений Эйлера связано с астрономией и небесной механикой.
Он построил точную теорию движения Луны с учетом притяжения не только Земли, но и Солнца.
Это пример решения очень трудной задачи.

Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной потерей зрения.
Но он продолжал творить так же интенсивно, как в молодые годы.
Только теперь он уже не писал сам, а диктовал ученикам, которые проводили за него наиболее громоздкие вычисления.
Для многих поколений математиков Эйлер был учителем.
По его математическим руководствам, книгам по механике и физике училось несколько поколений.
Основное содержание этих книг вошло и в современные учебники.