Док-во: Т.е. ранг матрицы сохраняется при выполнении следующих операций:
1. Изменение очерёдности строк.
2. Умножение матрицы на число, отличное от нуля.
3. Транспонирование.
4. Исключение строки из нулей.
5. Прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число.
Первое преобразование оставит неизменными некоторые миноры, а у некоторых изменит знак на противоположный. Второе преобразование также оставит неизменными некоторые миноры, а некоторые умножатся на число, отличное от нуля. Третье преобразование сохранит все миноры. Потому при применении этих преобразований сохранится и ранг матрицы (второе определение). Исключение нулевой строки не может изменить ранга матрицы, ибо такая строка не может войти в ненулевой минор. Рассмотрим пятое преобразование.
Будем считать, что базисный минор Δp располагается в первых p строках. Пусть к строке а, входящей в число этих строк, прибавлена произвольная строка b, умноженная на некоторое число λ. Т.е. к строке а прибавлена линейная комбинация строк, содержащих базисный минор. При этом базисный минор Δp останется неизменным (и отличным от 0). Прочие миноры, размещённые в первых p строках, также остаются неизменными, то же самое справедливо для всех остальных миноров. Т.о. в данном случае ранг (по второму определению) сохранится. Теперь рассмотрим минор Ms, у которого не все строки из числа первых p строк (а возможно, таких в нем и нет).
Прибавив к строке ai произвольную строку b, умноженную на число λ, получим новый минор Ms‘, причём Ms‘=Ms+λ Ms, где
Если s>p, то Ms=Ms=0, т.к. все миноры порядка большего, чем p, исходной матрицы равны 0. Но тогда и Ms‘=0, и ранг преобразований матрицы не увеличился. Но и уменьшиться он не мог, так как базисный минор не подвергался никаким изменениям. Итак, ранг матрицы остаётся неизменным.
Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:
Нашей ближайшей целью является доказательство того, что любая матрица с помощью элементарных преобразований может быть приведена к некоторым стандартным видам. На этом пути полезным является язык эквивалентных матриц.
Пусть. Будем говорить, что матрица л_эквивалентна (п_эквивалентна или эквивалентна) матрице и обозначать (или), если матрица может быть получена из матрицы с помощью конечного числа строчных (соответственно столбцовых или строчных и столбцовых) элементарных преобразований. Ясно, что л_эквивалентные и п_эквивалентные матрицы являются эквивалентными.
Вначале мы покажем, что любая матрица только лишь строчными преобразованиями может быть приведена к специальному виду, называемому приведённым.
Пусть. Говорят, что ненулевая строка этой матрицы имеет приведённый вид, если в ней найдется такой равный 1 элемент, что все элементы столбца, отличные от, равны нулю, . Отмеченный единичный элемент строки будем называть ведущим элементом этой строки и заключать его в кружок. Иными словами, строка матрицы имеет приведенный вид, если в этой матрице найдется столбец вида
Например, в следующей матрице
строка имеет приведенный вид, так как. Обратим внимание на то, что в этом примере на роль ведущего элемента строки претендует также элемент. В дальнейшем, если в строке приведённого вида есть несколько элементов, обладающих свойствами ведущего, будем выделять лишь один из них произвольным образом.
Говорят, что матрица имеет приведённый вид, если каждая её ненулевая строка имеет приведённый вид. Например, матрица
имеет приведённый вид.
Предложение 1.3 Для любой матрицы существует л_эквивалентная ей матрица приведённого вида.
Действительно, если матрица имеет вид (1.1) и, то после проведения в ней элементарных преобразований
получаем матрицу
у которой строка имеет приведённый вид.
Во-вторых, если строка, в матрице была приведённой, то после проведения элементарных преобразований (1.20) строка матрицы будет приведённой. Действительно, так как, приведённая, найдётся такой столбец, что
но тогда и, следовательно, после проведения преобразований (1.20) столбец не меняется, т.е. . Поэтому строка, имеет приведённый вид.
Теперь ясно, что поочерёдно преобразуя указанным выше способом каждую ненулевую строку матрицы, после конечного числа шагов мы получим матрицу приведённого вида. Так как для получения матрицы использовались только строчные элементарные преобразования, то она л_эквивалентна матрице. >
Пример 7. Построить матрицу приведённого вида, л_эквивалентную матрице
Первые три параграфа настоящей главы посвящены учению об эквивалентности многочленных матриц. На основе этого в последующих трех параграфах строится аналитическая теория элементарных делителей, т. е. теория приведения постоянной (немногочленнов) квадратной матрицы к нормальной форме . В последних двух параграфах главы даны два метода построения преобразующей матрицы .
§ 1. Элементарные преобразования многочленной матрицы
Определение 1. Многочленной матрицей или -матрицей называется прямоугольная матрица , элементы которой суть многочлены от :
здесь – наибольшая из степеней многочленов .
мы можем представить многочленную матрицу в виде матричного многочлена относительно , т. е. в виде многочлена с матричными коэффициентами:
Введем в рассмотрение следующие элементарные операции над многочленной матрицей :
1. Умножение какой-либо, например -й, строки на число .
2. Прибавление к какой-либо, например -й, строке другой, например -й, строки, предварительно умноженной на произвольный многочлен .
3. Перестановка местами любых двух строк, например -й и -й строк.
Предлагаем читателю проверить, что операции 1, 2, 3 равносильны умножению многочленной матрицы слева соответственно на следующие квадратные матрицы порядка :
(1)
т. е. в результате применения операций 1, 2, 3 матрица преобразуется соответственно в матрицы , , . Поэтому операции типа 1, 2, 3 называются левыми элементарными операциями.
Совершенно аналогично определяются правые элементарные операции над многочленной матрицей (эти операции производятся не над строками, а над столбцами многочленной матрицы) и соответствующие им матрицы (порядка ):
В результате применения правой элементарной операции матрица умножается справа на соответствующую матрицу .
Матрицы типа (или, что то же, типа ) мы будем называть элементарными матрицами.
Определитель любой элементарной матрицы не зависит от и отличен от нуля. Поэтому для каждой левой (правой) элементарной операции существует обратная операция, которая также является левой (соответственно правой) элементарной операцией.
Определение 2. Две многочленные матрицы и называются 1) левоэквивалентными, 2) правоэквивалентными, 3) эквивалентными, если одна из них получается из другой путем применения соответственно 1) левых элементарных операций, 2) правых элементарных операций, 3) левых и правых элементарных операций.
Пусть матрица получается из при помощи левых элементарных операций, соответствующих матрицам . Тогда
. (2).
Обозначая через произведение , мы равенство (2) запишем в виде
, (3)
где , как и каждая из матриц , имеет отличный от нуля постоянный определитель.
В следующем параграфе будет доказано, что каждая квадратная -матрица с постоянным отличным от нуля определителем может быть представлена в виде произведения элементарных матриц. Поэтому равенство (3) эквивалентно равенству (2) и потому означает левую эквивалентность матриц и .
В случае правой эквивалентности многочленных матриц и вместо равенства (3) будем иметь равенство
, (3")
а в случае (двусторонней) эквивалентности – равенство
Здесь опять и – матрицы с отличными от нуля и не зависящими от определителями.
Таким образом, определение 2 можно заменить равносильным определением.
Определение 2". Две прямоугольные -матрицы и называются 1) левоэквивалентными, 2) правоэквивалентными, 3) эквивалентными, если соответственно
1)
, 2) , 3) ,
где и – многочленные квадратные матрицы с постоянными и отличными от нуля определителями.
Все введенные выше понятия проиллюстрируем на следующем важном примере.
Рассмотрим систему линейных однородных дифференциальных уравнений -го порядка с неизвестными функциями аргумента с постоянными коэффициентами:
(4)
Му уравнению новой неизвестной
функции ;
вторая элементарная операция означает введение новой неизвестной функции 
(вместо ); третья операция
означает перемену местами в уравнениях членов, содержащих и (т. е. 
).
1. Пусть даны два векторных пространства и , соответственно и измерений над числовым полем , и линейный оператор , отображающий в . В настоящем параграфе мы выясним, как меняется матрица , соответствующая данному линейному оператору , при изменении базисов в и .
Выберем в и произвольные базисы и . В этих базисах оператору будет соответствовать матрица . Векторному равенству
соответствует матричное равенство
где и - координатные столбцы для векторов и в базисах и .
Выберем теперь в и другие базисы и . В новых базисах вместо , , будем иметь: , , . При этом
Обозначим через и неособенные квадратные матрицы соответственно порядков и , осуществляющие преобразование координат в пространствах и при переходе от старых базисов к новым (см. § 4):
Тогда из (27) и (29) получаем:
Полагая , мы из (28) и (30) находим:
Определение 8. Две прямоугольные матрицы и одинаковых размеров называются эквивалентными, если существуют две неособенные квадратные матрицы и такие, что
Из (31) следует, что две матрицы, соответствующие одному и тому же линейному оператору при различном выборе базисов в и , всегда эквивалентны между собой. Нетрудно видеть, что и обратно, если матрица отвечает оператору при некоторых базисах в и , матрица эквивалентна матрице , то она отвечает тому же линейному оператору при некоторых других базисах в и .
Таким образом, каждому линейному оператору, отображающему и , соответствует класс эквивалентных между собой матриц с элементами из поля .
2. Следующая теорема устанавливает критерий эквивалентности двух матриц:
Теорема 2. Для того чтобы две прямоугольные матрицы одинаковых размеров были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы эти матрицы имели один и тот же ранг.
Доказательство. Условие необходимо. При умножении прямоугольной матрицы на какую-либо неособенную квадратную матрицу (слева или справа) ранг исходной прямоугольной матрицы не может измениться (см. гл. I, стр. 27). Поэтому из (32) следует
Условие
достаточно. Пусть - прямоугольная матрица размера . Она определяет
линейный оператор , отображающий пространство с базисом в пространство с базисом . Обозначим через число линейно
независимых векторов среди векторов 
. Не нарушая общности, можем считать,
что линейно независимыми являются векторы 
, а остальные , выражаются линейно через
них:
. (33)
Определим новый базис следующим образом:
(34)
Тогда в силу (33)
. (35)
Векторы линейно независимы. Дополним их некоторыми векторами до базиса в .
Тогда матрица отвечающая тому же оператору в новых базисах ; , согласно (35) и (36) будет иметь вид
. (37)
В матрице вдоль главной диагонали сверху вниз идут единиц; все остальные элементы матрицы равны нулю. Так как матрицы и соответствуют одному и тому же оператору , то они эквивалентны между собой. По доказанному эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг. Поэтому ранг исходной матрицы равен .
Мы показали, что произвольная прямоугольная матрица ранга эквивалентна «канонической» матрице . Но матрица полностью определяется заданием размеров и числа . Поэтому все прямоугольные матрицы данных размеров и данного ранга эквивалентны одной и той же матрице и, следовательно, эквивалентны между собой. Теорема доказана.
3. Пусть дан линейный оператор , отображающий -мерное пространство в -мерное . Совокупность векторов вида , где , образует векторное пространство. Это пространство мы будем обозначать через ; оно составляет часть пространства или, как говорят, является подпространством в пространстве .
Наряду с подпространством в рассмотрим совокупность всех векторов , удовлетворяющих уравнению
Эти векторы так же образуют подпространство в ; это подпространство мы обозначим через .
Определение 9. Если линейный оператор отображает в , то число измерений пространства называется рангом оператора , а число измерений пространства , состоящего из всех векторов , удовлетворяющих условию (38), - дефектом оператора .
Среди всех эквивалентных прямоугольных матриц, задающих данный оператор в различных базисах, имеется каноническая матрица [ см. (37)]. Обозначим через и соответствующие ей базисы в и . Тогда
, 
.
Из определения и следует, что векторы образуют базис в , а векторы сопоставляют базис в . Отсюда вытекает, что - ранг оператора и
Если - произвольная матрица, соответствующая оператору , то она эквивалентна и, следовательно, имеет тот же ранг . Таким образом, ранг оператора совпадает с рангом прямоугольной матрицы
,
определяющий
оператор в
некоторых базисах 
и 
.
В столбцах
матрицы стоят
координаты векторов . Так как из следует , то ранг оператора , т. е. число
измерений ,
равняется максимальному числу линейно независимых векторов среди . Таким образом, ранг
матрицы совпадает с числом линейно независимых столбцов матрицы. Поскольку
при транспонировании строки матрицы делаются столбцами, а ранг не меняется, то
число линейно независимых строк матрицы так же равно рангу матрицы.
4. Пусть даны два линейных оператора , и их произведение .
Пусть оператор отображает в , а оператор отображает в . Тогда оператор отображает в :
Введем матрицы , , , соответствующие операторам , , при некотором выборе базисов , и . Тогда операторному равенству будет соответствовать матричное равенство ., т. е. в, .
