Школьникам, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике, обязательно стоит научиться решать задачи на нахождение площади прямой и правильной призмы. Многолетняя практика подтверждает тот факт, что подобные задания по геометрии многие учащиеся считают достаточно сложными.
При этом уметь находить площадь и объем правильной и прямой призмы должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.
Основные моменты, которые стоит запомнить
- Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, она называется прямой. Все боковые грани этой фигуры являются прямоугольниками. Высота прямой призмы совпадает с ее ребром.
- Правильной является призма, боковые ребра которой перпендикулярны основанию, в котором находится правильный многоугольник. Боковые грани этой фигуры - равные прямоугольники. Правильная призма всегда является прямой.
Подготовка к единому госэкзамену вместе со «Школково» - залог вашего успеха!
Чтобы занятия проходили легко и максимально эффективно, выбирайте наш математический портал. Здесь представлен весь необходимый материал, который поможет подготовиться к прохождению аттестационного испытания.
Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию, основные формулы, теоремы и элементарные задачи с решением, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня.
Базовая информация систематизирована и понятно изложена в разделе «Теоретическая справка». Если вы уже успели повторить необходимый материал, рекомендуем вам попрактиковаться в решении задач на нахождение площади и объема прямой призмы. В разделе «Каталог» представлена большая подборка упражнений различной степени сложности.
Попробуйте рассчитать площадь прямой и правильной призмы или прямо сейчас. Разберите любое задание. Если оно не вызвало сложностей, можете смело переходить к упражнениям экспертного уровня. А если определенные трудности все же возникли, рекомендуем вам регулярно готовиться к ЕГЭ в онлайн-режиме вместе с математическим порталом «Школково», и задачи по теме «Прямая и правильная призма» будут даваться вам легко.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Инструкция
Если в условиях задачи приведен объем (V) пространства, ограниченного гранями призмы , и площадь ее основания (s), для вычисления высоты (H) используйте формулу, общую для с основанием любой геометрической формы. Разделите объем на площадь основания: H=V/s. Например, при в 1200 см³ основания, равной 150 см², высота призмы должна быть равна 1200/150=8 см.
Если четырехугольник, лежащий в основании призмы , имеет форму какой-либо правильной фигуры, вместо площади в вычислениях можно использовать длины ребер призмы . Например, при квадратном основании площадь в формуле предыдущего шага замените второй степенью длины его ребра (a):H=V/a². А в случае в ту же формулу подставьте произведение длин двух смежных ребер основания (a и b):H=V/(a*b).
Для вычисления высоты (H) призмы может оказаться достаточным знания полной площади поверхности (S) и длины одного ребра основания (a). Так как общая площадь складывается из площадей двух оснований и четырех боковых граней, а в таком многограннике основанием , площадь одной боковой поверхности должна быть равна (S-a²)/4. Эта грань имеет два общих ребра с квадратными известного размера, значит, для вычисления длины другого ребра разделите полученную площадь на сторону квадрата: (S-a²)/(4*a). Так как рассматриваемая призма является прямоугольной, то ребро вычисленной вами длины примыкает к основаниям под углом 90°, т.е. совпадает с высотой многогранника: H=(S-a²)/(4*a).
В правильной для вычисления высоты (H) достаточно знания длины диагонали (L) и одного ребра основания (a). Рассмотрите треугольник, образуемый этой диагональю, диагональю квадратного основания и одним из боковых ребер. Ребро здесь - неизвестная величина, совпадающая с искомой высотой, а диагональ квадрата, основываясь на теореме Пифагора, равна произведению длины стороны на корень из двойки. В соответствии с той же теоремой выразите искомую величину (катет) через длины диагонали призмы (гипотенузы) основания (второй катет): H=√(L²-(a*V2)²)=√(L²-2*a²).
Источники:
- четырехугольная призма
Призма – это прибор, который разделяет нормальный свет на отдельные цвета: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый. Это светопроницаемый объект, с плоской поверхностью, которая преломляет световые волны в зависимости от их длин и благодаря этому позволяет увидеть свет в разных цветах. Сделать призму самостоятельно довольно легко.
Вам понадобится
- Два листа бумаги
- Фольга
- Стакан
- Компакт Диск
- Кофейный столик
- Фонарик
- Булавка
Инструкция
Регулируйте положение фонарика и бумаги до тех пор пока не увидите на листах радугу – так ваш луч света раскладывается на спектры.
Видео по теме
Четырехугольная пирамида - это пятигранник с четырехугольным основанием и боковой поверхностью из четырех треугольных граней. Боковые ребра многогранника пересекаются в одной точке - вершине пирамиды.
Инструкция
Четырехугольная пирамида может быть правильной, прямоугольной или произвольной. Правильная пирамида имеет в основании правильный четырехугольник, а ее вершина проецируется в центр основания. Расстояние от вершины пирамиды до ее основания называется высотой пирамиды. Боковые грани являются равнобедренными треугольниками, а все ребра равны.
В основании правильной может лежать квадрат или прямоугольник. Высота H такой пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей основания. В квадрате и прямоугольнике диагонали d одинаковы. Все боковые ребра L пирамиды с квадратным или прямоугольным основанием равны между собой.
Для нахождения ребра пирамиды рассмотрите прямоугольный треугольник со сторонами: гипотенуза - искомое ребро L, катеты - высота пирамиды H и половина диагонали основания d. Вычислите ребро по теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: L²=H²+(d/2)². В пирамиде с ромбом или параллелограммом в основании противоположные ребра попарно равны и определяются по формулам: L₁²=H²+(d₁/2)² и L₂²=H²+(d₂/2)², где d₁ и d₂ - диагонали основания.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
В школьной программе по курсу стереометрии изучение объёмных фигур обычно начинается с простого геометрического тела - многогранника призмы. Роль её оснований выполняют 2 равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях. Частным случаем является правильная четырёхугольная призма. Её основами являются 2 одинаковых правильных четырёхугольника, к которым перпендикулярны боковые стороны, имеющие форму параллелограммов (или прямоугольников, если призма не наклонная).
Как выглядит призма
Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры - прямой параллелепипед.
Рисунок, на котором изображена четырёхугольная призма, показан ниже.
На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело . К ним принято относить:
Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение - это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить - 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.
Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.
Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).
Площадь поверхности и объём
Чтобы определить объём призмы по формуле, необходимо знать площадь её основания и высоту:
V = Sосн·h
Так как основанием правильной четырёхгранной призмы является квадрат со стороной a, можно записать формулу в более подробном виде:
V = a²·h
Если речь идёт о кубе - правильной призме с равной длиной, шириной и высотой, объём вычисляется так:
Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности призмы, необходимо представить себе её развёртку.
Из чертежа видно, что боковая поверхность составлена из 4 равных прямоугольников. Её площадь вычисляется как произведение периметра основания на высоту фигуры:
Sбок = Pосн·h
С учётом того, что периметр квадрата равен P = 4a, формула принимает вид:
Sбок = 4a·h
Для куба:
Sбок = 4a²
Для вычисления площади полной поверхности призмы нужно к боковой площади прибавить 2 площади оснований:
Sполн = Sбок + 2Sосн
Применительно к четырёхугольной правильной призме формула имеет вид:
Sполн = 4a·h + 2a²
Для площади поверхности куба:
Sполн = 6a²
Зная объём или площадь поверхности, можно вычислить отдельные элементы геометрического тела.
Нахождение элементов призмы
Часто встречаются задачи, в которых дан объём или известна величина боковой площади поверхности, где необходимо определить длину стороны основания или высоту. В таких случаях формулы можно вывести:
- длина стороны основания: a = Sбок / 4h = √(V / h);
- длина высоты или бокового ребра: h = Sбок / 4a = V / a²;
- площадь основания: Sосн = V / h;
- площадь боковой грани: Sбок. гр = Sбок / 4.
Чтобы определить, какую площадь имеет диагональное сечение, необходимо знать длину диагонали и высоту фигуры. Для квадрата d = a√2.
Из этого следует:
Sдиаг = ah√2
Для вычисления диагонали призмы используется формула:
dприз = √(2a² + h²)
Чтобы понять, как применять приведённые соотношения, можно попрактиковаться и решить несколько несложных заданий.
Примеры задач с решениями
Вот несколько заданий, встречающихся в государственных итоговых экзаменах по математике.
Задание 1.
В коробку, имеющую форму правильной четырёхугольной призмы, насыпан песок. Высота его уровня составляет 10 см. Каким станет уровень песка, если переместить его в ёмкость такой же формы, но с длиной основания в 2 раза больше?
Следует рассуждать следующим образом. Количество песка в первой и второй ёмкости не изменялось, т. е. его объём в них совпадает. Можно обозначить длину основания за a . В таком случае для первой коробки объём вещества составит:
V₁ = ha² = 10a²
Для второй коробки длина основания составляет 2a , но неизвестна высота уровня песка:
V₂ = h (2a)² = 4ha²
Поскольку V₁ = V₂ , можно приравнять выражения:
10a² = 4ha²
После сокращения обеих частей уравнения на a² получается:
В результате новый уровень песка составит h = 10 / 4 = 2,5 см.
Задание 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильная призма. Известно, что BD = AB₁ = 6√2. Найти площадь полной поверхности тела.
Чтобы было проще понять, какие именно элементы известны, можно изобразить фигуру.
Поскольку речь идёт о правильной призме, можно сделать вывод, что в основании находится квадрат с диагональю 6√2. Диагональ боковой грани имеет такую же величину, следовательно, боковая грань тоже имеет форму квадрата, равного основанию. Получается, что все три измерения - длина, ширина и высота - равны. Можно сделать вывод, что ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом.
Длина любого ребра определяется через известную диагональ:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Площадь полной поверхности находится по формуле для куба:
Sполн = 6a² = 6·6² = 216
Задание 3.
В комнате производится ремонт. Известно, что её пол имеет форму квадрата с площадью 9 м². Высота помещения составляет 2,5 м. Какова наименьшая стоимость оклейки комнаты обоями, если 1 м² стоит 50 рублей?
Поскольку пол и потолок являются квадратами, т. е. правильными четырёхугольниками, и стены её перпендикулярны горизонтальным поверхностям, можно сделать вывод, что она является правильной призмой. Необходимо определить площадь её боковой поверхности.
Длина комнаты составляет a = √9 = 3 м.
Обоями будет оклеена площадь Sбок = 4·3·2,5 = 30 м² .
Наименьшая стоимость обоев для этой комнаты составит 50·30 = 1500 рублей.
Таким образом, для решения задач на прямоугольную призму достаточно уметь вычислять площадь и периметр квадрата и прямоугольника, а также владеть формулами для нахождения объёма и площади поверхности.
Как найти площадь куба
