Линеаризация (моделирование) функций преобразования средства измерения
Введение
Развитие науки и техники, повышение требований к качеству продукции и эффективности производства привели к радикальному изменению требований к измерениям. Один из основных аспектов этих требований - обеспечение возможности достаточно достоверной оценки погрешности измерений. Отсутствие данных о точности измерений или недостаточно достоверные ее оценки полностью или в значительной степени обесценивают информацию о свойствах объектов и процессов, качестве продукции, об эффективности технологических процессов, о количестве сырья, продукции и т.п., получаемую в результате измерений . Некорректная оценка погрешности измерений чревата большими экономическими потерями, а иногда и техническими последствиями. Заниженная оценка погрешности измерений ведет к увеличению брака продукции, неэкономичному или неправильному учету расходования материальных ресурсов, неправильным выводам при научных исследованиях, ошибочным решениям при разработке и испытаниях образцов новой техники. Завышенная оценка погрешности измерений, следствием чего, как правило, является ошибочный вывод о необходимости применения более точных средств измерений (СИ), вызывает непроизводительные затраты на разработку, промышленный выпуск и эксплуатацию СИ. Стремление максимально приблизить оценку погрешности измерений к ее действительному значению так, чтобы она при этом оставалась в вероятностном смысле "оценкой сверху", - одна из характерных тенденций развития современной практической метрологии. Эта тенденция приобретает особенно большое практическое значение там, где требуемая точность измерений приближается к точности, которую могут обеспечивать образцовые СИ и где повышение корректности оценок точности измерений по существу является одним из резервов повышения точности измерений. Погрешность измерений обусловлена, в общем случае, рядом факторов. Она зависит от свойств применяемых СИ, способов использования СИ (методик выполнения измерений), правильности калибровки и поверки СИ, условий, в которых производятся измерения, скорости (частоты) изменения измеряемых величин, алгоритмов вычислений, погрешности, вносимой оператором . Следовательно, задача оценки погрешности измерений в современных условиях, в частности, технических измерений - сложная комплексная задача.
Уманская А.К. Линеаризация (моделирование)
функций преобразования средства измерения. -
Челябинск: ЮУрГУ, ПС; 2012.18с.4ил.,
библиогр. список - 1 наим.
На основе исходных данных произведена линеаризация (моделирование) функции преобразования средства измерения и рассчитаны погрешности.
Задачи
ЗАДАЧА 1.
Чувствительность СИ и предельную нестабильность чувствительности. Чувствительность СИ:
Предельная нестабильность чувствительности :
ЗАДАЧА 2.
Предельные относительные погрешности, приведенные к выходу и ко входу СИ
Найдем погрешность выходного сигнала.
По определению:
Найдем погрешность выходного сигнала, приведенную к выходу СИ.
По определению:
Определим значения относительной погрешности при значениях входной измеряемой величины:
ЗАДАЧА 3.
Определить абсолютную, относительную и приведенную погрешности нелинейности при аппроксимации функции преобразования СИ в виде касательной в начальной точке.
Определить наибольшую погрешность нелинейности. Уравнение касательной имеет вид:
Точка, через которую проходит касательная
Угловой коэффициент касательной:
Определим погрешности линеаризации :
Абсолютная погрешность:
Относительная погрешность:
Приведенное значение погрешности (в точке x=x н ):
График аппроксимации функции преобразования в виде касательной в начальной точке:
ЗАДАЧА 4
Определить относительную и абсолютную погрешности нелинейности при аппроксимации функции преобразования СИ в виде хорды, проходящей через начальную и конечную точки диапазона измерения. Определить наибольшую погрешность нелинейности.
Уравнение хорды имеет вид:
Точки, через которых проходит хорда:
Функция линеаризации принимает вид:
Определим погрешности линеаризации.
Абсолютная погрешность:
Относительная погрешность:
Максимальная погрешность нелинейности при x э :
Найдем погрешность:
График аппроксимации функции преобразования в виде хорды, проходящей через начальную и конечную точки нашего диапазона.
ЗАДАЧА 5.
Аппроксимировать функцию преобразования СИ на интервале: линейной функцией вида: , так, чтобы наибольшая погрешность линеаризации была минимальна: . Определить предельные относительную и приведенную погрешности линеаризации. функция аппроксимации.
Абсолютная погрешность линеаризации.
средство измерения погрешность нелинейность
Запишем условие оптимизации системы:
погрешность в конце диапазона измерения:
погрешность в экстремальной точке:
Расскроем модули и запишем уравнение:
Определим погрешность в
ЗАДАЧА 6.
Аппроксимировать функцию преобразования СИ на интервале: линейной функцией вида: , так, чтобы наибольшая погрешность линеаризации была минимальна: .
Определить предельные относительную и приведенную погрешности линеаризации.
функция аппроксимации.
Абсолютная погрешность линеаризации.
Погрешность принимает наименьшее значение в точке, в которой:
Условие оптимизации системы:
Составим систему:
Из решения системы получим:
Функция аппроксимации имеет вид:
Определим погрешности.
Предельная приведенная погрешность линеаризации равна:
График аппроксимации функции преобразования линейной функцией вида с минимальной наибольшей погрешностью.
Заключение
Построив линейные модели функций преобразования средств измерения разными способами, мы убедились, что способ моделирования функции преобразования линейной функцией вида: , так, чтобы наибольшая погрешность линеаризации была минимальна, самый эффективный, т.к. в нем была наименьшая погрешность и постоянная чувствительность.
Библиографический список
1. Аксенова, Е.Н. Элементарные способы оценки погрешностей результатов прямых и косвенных измерений / учебное пособие для вузов. - М.: Изд-во Логос; Университетская книга, 2007.
Обычно автоматические системы описывают нелинейными дифференциальными уравнениями. Но во многих случаях можно их линеаризовать, т. е. заменить исходные нелинейные уравнения линейными, приближенно описывающими процессы в системе. Процесс преобразования нелинейных уравнении в линейные называют линеаризацией.
В атоматических системах должен поддерживаться некоторый заданный режим. При этом режиме входные и выходные величины звеньев системы изменяются по определенному закону. В частности, в системах стабилизации они принимают определенные постоянные значения. Но из-за различных возмущающих факторов фактический режим отличается от требуемого (заданного), поэтому текущие значения входных и выходных величин не равны значениям, соответствующим заданному режиму. В нормально функционирующей автоматической системе фактический режим немного отличается от требуемого режима и отклонения входных и выходных величин входящих в нее звеньев от требуемых значений малы. Это позволяет произвести линеаризацию, разлагая нелинейные функции, входящие в уравнения, в ряд Тейлора. Линеаризацию можно производить по звеньям.
Пример 2.1. Проиллюстрируем изложенное на примере звена, описываемого уравнением (2.1). Пусть заданному режиму соответствуют
Обозначим отклонения реальных значений и, и у от требуемых через . Тогда и Подставим эти выражения в (2.1) и, рассматривая как функцию от независимых переменных , разложим ее в ряд Тейлора в точке (2.3) и отбросим малые члены более высокого порядка, чем отклонения. Тогда (2.1) примет вид
Здесь звездочка сверху обозначает, что соответствующие функции и производные вычисляются при значениях аргумента, определяемых соотношениями (2.3). Когда в системе устанавливается заданный режим, уравнение (2.1) принимает вид . Вычтя это уравнение из (2.4), получим искомое уравнение звена в отклонениях:
Если время t явно не входит в исходное уравнение (2.1) и, кроме того, заданный режим является статическим - величины не зависят от времени, то коэффициенты линеаризованного уравнения (2.5) являются постоянными.
Звенья и системы, которые описываются линейными уравнениями, называют соответственно линейными звеньями и линейными системами.
Уравнение (2.5) было получено при следующих предположениях: 1) отклонения выходной и входной величин достаточно малы; 2) функция обладает непрерывными частными производными по всем своим аргументам в окрестности точек, соответствующих заданному режиму. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то линеаризацию производить нельзя. По поводу первого условия необходимо отметить следующее: нельзя раз и навсегда установить, какие отклонения считать малыми. Это зависит от вида нелинейности.
Часто нелинейную зависимость между отдельными переменными, входящими в уравнение звена, задают в виде кривой. В этих случаях линеаризацию можно произвести графически.
Геометрически линеаризация нелинейной зависимости между двумя переменными (рис. 2.2) означает замену исходной кривой А В отрезком ее касательной в точке О, соответствующей заданному режиму, и параллельный перенос начала координат в эту точку.
В зависимости от того, входит или нет время явно в уравнение, системы разделяют на стационарные и нестационарные.
Автоматические системы управления (звенья) называют стационарными если они при постоянных внешних воздействиях описываются уравнениями, не зависящими явно от времени. Это означает, что свойства системы со временем не изменяются. В противном случае система называется нестационарной. Для линейных систем можно дать также следующее определение: стационарными линейными системами (звеньями) называют системы (звенья), которые описываются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами; нестационарными линейными системами (звеньями) или системами с переменными параметрами - системы (звейья), которые описываются линейными уравнениями с переменными коэффициентами.
chx=(e x +e - x)/2
shx=(e x -e -x)/2
chx 2 +shx 2 =ch2x
c
thx=chx/shx
Лекция №12
Тема: «Линеаризация»
Геометрический смысл дифференциала функции и уравнение касательной.
уравнение прямой: Y=kx+b
y 0 =f(x 0)=kx 0 +b
k-угловой коэффициент прямой
k=tg=f’(x 0)
Y=f(x 0)+f(x 0)-f’(x 0)x 0
Y=f(x)+f’(x 0)(x-x 0)
∆f(x 0)=f’(x 0)∆x+(∆x)∆x при ∆х0 в некоторой
O(x 0) f(x 0)=f’(x 0)+f’(x 0)∆x+(∆x)∆x при ∆х0
Y 1 =f(x 0)+f’(x 0)(x-x 0) a =f’(x 0)+f’(x 0)∆x
df(x 0)=f’(x 0)∆x
Геометрический смысл дифференциала :
df(x 0) – это приращение ординаты при движение по касательной проведённой к графику функции в точки (х 0 ;f(x 0).
Замечание : Часто говорят о касательной проведённой в точке х 0 .
Линеаризация функции.
Определение : Замена функции в окрестности данной точки линейной функции называется линеаризацией функции, точнее в О(х 0) заменяется отрезком касательной в точке х 0 .
(
*)f(x)-Y=(∆x)∆x-o(∆x)
Если в равенстве (*) отбросить правую часть, то мы
получим приближённое равенство:
f(x)f(x 0)+f’(x 0)(x-x 0), xx 0
Y=f(x 0)+f’(x 0)(x-x 0) – уравнение касательной в точке х 0
Формула получена из определения дифференциала в точке х 0 функции
f(x)=f(x 0)+f(x 0)∆x+o∆x при ∆х0 – называется критерием дифференциальности функции в точке х 0 .
Приближенные вычисления и оценка погрешности вычисления.
Можно приближенно вычислять значение функции в точках близких к заданной точки.
Проведём линеаризацию выбранного корня.
f’(x) х=8 =(3 x)’ x =8 =1/3x -2/3 x =8 =1/12
3 x2+1/12(x-8), x8
3 x2+0,001/12
Y кас =2+1/12(x-8)
3 x=2+1/12(x-8)+o(x-8) при х8
Погрешности вычисления.
f(x)-f(x 0)=df(x 0)+o(x-x 0) при хх 0
∆f(x 0)df(x 0), xx 0
∆ 1 =∆f(x 0)df(x 0)
f(x)=10 x в точке х 0 =4, если ∆х=0,001 х=40,001
10 4 ∆=10 4 23
f’(x)=10 x ln10; f’(4)=10 4 ln10=23000; ln102,2
∆230000,001=23
Изучение поведения функции при помощи первой производной.
Слева от М 0 tg >0; Справа от М 0 tg <0
tg f’(x)>0 слева от М 0
tg f’(x)<0 справа от М 0
Теорема : Пусть y=f(x) дифференцируема x(a,b) и f’(x)>0 (f’(x)<0), тогда f(x) возрастает (убывает) на (а,b)
A (| x1 | x2) b
x 1 ,x 2 (a,b)
x 1 Надо
доказать: f(x 1) Применим
теорему Лангранджа на отрезке
(х 1 ,x 2) Т еорема. f(x 2)-f(x 1)=f’(c)(x 2 -x 1)
где c(x 1 ,x 2) f(x 2)-f(x 1)>0
f(x 2)>f(x 1) Можно
указать О(х 1)
в которой все значения функции f(x) f(x)>f(x 1)
b и О 2 (х 1).
Значенгие функции в точке М 1 ,
М 3 и
М 5 – max;
M 2
и М 4
– min – такие
точки назавыются точкками
экстремума
или точками локального
max и min. Определение
:
(точки экстремума) Пусть
функия f(x)
определена в некоторой О(х 0)
и f(x)>f(x 0)
в О(х 0)
или f(x) Замечание:
f(x)f(x 1)
в О 1 (х 1) f(x)f(x 2)
в О 2 (х 2) говорят,
что точки х 1
и х 2
точки
не строгого локального экстремума. Теорема
:
(Ферма) (о необходимости условия экстремума
дифференцируемой функции) Пусть
y=f(x)
дифференцируема в точки х 0
и точка х 0
– точка экстремума, тогда f(x 0)=0 Доказательсто
:
Заметим, что х 0
точка экстремума, то в её окрестности
f(x)
– f(x 0)
сохраняет знак. Запишем условие
∆f(x 0)=f(x)-f(x 0)(x-x 0)+o(x-x 0) f(x)-f(x 0)=(x-x 0)
то при х – достаточно близких к х 0
знак выражения стоящего в квадратных
скобках совпадает со знаком f’(x 0)0
(x-x 0)
– меняет знак при переходе черех точку
х 0
f’(x 0)=0 Лекция
№13 Ведущая:
Голубева Зоя Николаевна Тема:
«Экстремумы» Замечание:
Обратное
утверждение неверно. Из-за того, что
произведение в данной точки равно нулю,
не следует, что это экстремум. xO - (1)f(x)<0 xO + (1)f(x)<0 x=1 – не
точка экстремума. Теорема
(Ролля): Пусть функция
y=f(x)
непрерывна на отрезке
и дифференцируема на (a,b).
Кроме того на концах интервала она
принемает равные значения f(a)=f(b),
тогда
с(a,b):
f(c)=0 Доказательство:
Така как функция непрерывна на отрезке
,
то по второй теореме Вейштрасса есть
наибольшее и наименьшее значение (m,M),
если m=M,
то f(x)const
(x)
(const)’=0. Пусть m Замечание:
условие дифференцируемсти
нельзя отбросить. непрерывна на отрезке
Геометрический
смысл
. f’(x)=0,
то касательная
оси х. Теорема не утверждает, что это
единственная точка. Теорема
Лангранджа
: Пусть функция y=f(x)
непрерывна на отрезке
и дифференцируема на отрезке (а,b),
тос(a,b):
f(b)-f(a)=f(c)(b-a) Доказательство
: F(x)=f(x)+xгде- пока
неизвестное число. F(x)
– непрерывна на отрезке
как сумма непрерывной функции f(x)
– дифференцируема на отрезке
как сумма дифференцируемой функции. Выберем число ,
так чтобы на отрезке F(x) принимало
равное значение. F(a)=F(b)
f(a)-f(b)=(a-b)
=/ F(x)
– удовлетворяет условию теоремы Роллера
на отрезке c(a,b):F’(c)=0,
то естьF’(x)=f’(x)+ 0=f’(c)+
f’(c)=-=/ То есть на кривой
которая наклонена к оси х под таким же
углом как и секущая /=tg=f(x)
c(a,b) Замечание:
Часто точку с можно
представить в нужном виде: с=х 0 +∆х 0<(c-x 0)/(x-x 0)=<1 c-x 0 =(x-x 0) c=x 0 +(x-x 0) 1 f(x)-f(x 0)=f’(x 0 +∆x)(x-x 0) ∆f(x 0)=f’(x 0 +∆x)∆x Теорема
:
(о необходимых и
достаточных условиях экстремума по
первой производной) Пусть y=f(x)
непрерывна на отрезке
и дифференцируема в О(х 0).
Еслиf’(x)
меняет знак при переходе через точку
х 0 , то точка х 0 – точка
экстремума. Если меняет знак: с + на – то это точка
максимума с – на + то это точка
минимума Доказательство
:х 1 О - (х 0)
на ;c 1 (x 1 ,x 0)f(x 0)-f(x 1)=f’(c 1)(x 0 -x 1)f(x 0)>f(x 1)x 1 O - (x 0) х 2 О + (х 0)
на ;c 2 (x 0 ,x 2)f(x 2)-f(x 0)=f’(c 2)(x 2 -x 0)f(x 2) f(x 0)>f(x)xO(x 0)точка
х точка максимума. Если в точке х 0 существует производная то она обязательно
равна 0 в силе теоремы Ферма. Но могут
быть точки в которыхf(x)
существует, аf’(x)
не существует. Принцип решения
подобных задач:
Условие: найти наибольшее
и наименьшее значение функции не отрезке
. Ход решения: Находим точки в
которых производная либо равна 0 либо
не существует f’(x)=0
илиf’(x) x 1 ,x n Вычисляем знак
функции на концах отрезка и в этих
точках f(a),f(b),f(x 1)….f(x n) Выбираем наибольшее
и наименьшее mf(x) Определение
:
точки в которых функция определена,
а производная либо равняется нулю, либо
не существует называют критическими
точками. где – отбрасываемый член второго порядка малости.
Пример №1
.
Таблицa - Значения целевой функции для некоторых итераций: Для того, чтобы оценить неизвестные параметры β 0 , … , β n
нелинейной регрессионной модели, необходимо привести ее к линейному виду. Суть линеаризации
нелинейных по независимым переменным регрессионных моделей заключается в замене нелинейных факторных переменных на линейные. В общем случае полиномиальной регрессии процесс замены нелинейных переменных функции п-го
порядка выглядит следующим образом: x = с 1 , ; х 2 = c 2 ; x З = с 3 ; ... ; x п = c п.
Тогда уравнение множественной нелинейной регрессии можно записать в виде линейного множественного регрессионного уравнения y i = β 0 + β 1 x i + β 2 x 2 i + … +β n x n i + ε i =>
=> y i = β 0 + β 1 c 1i + β 2 c 2i + … +β n c ni + ε i
Гиперболическую функцию также можно привести к линейному виду с помощью замены нелинейной факторной переменной на линейную. Пусть 1/х
= с. Тогда исходное уравнение гиперболической функции можно записать в преобразованном виде: y i = β 0 + β 1 / x i + ε i => y i = β 0 + β 1 с i + ε i
Таким образом, и полиномиальную функцию любой степени, и гиперболоид можно свести к модели линейной регрессии, что позволяет применять к преобразованной модели традиционные методы нахождения неизвестных параметров уравнения регрессии (например, классический МНК) и стандартные методы проверки различных гипотез. Ко второму классу
нелинейных моделей относятся регрессионные модели, в которых результативная переменная y i
нелинейно связана с параметрами уравнения β 0 ,…, β n
. К такому типу регрессионных моделей относятся: 1) степенная функция
y i = β 0 · x i β 1 · ε i
2) показательная функция
y i = β 0 · β 1 x i · ε i
3) логарифмическая парабола
y i = β 0 · β 1 x i · β 2 x i · ε i 2
4) экспоненциальная функция
y i = e β 0 + β 1 x i · ε i
5) обратная функция
и другие.
Нелинейные по параметрам регрессионные модели в свою очередь делятся на модели подлежащие линеаризации (внутренне линейные функции) и неподлежащие линеаризации (внутренне нелинейные функции)
. Примером моделей, которые можно свести к линейной форме, является показательная функция вида y i = β 0 · β 1 x i · ε i
, где случайная ошибка ε i
мультипликативно связана с факторным признаком x i . Д
анная модель нелинейна по параметру β 1
. Для ее линеаризации вначале осуществим процесс логарифмирования: ln y i = ln β 0 + x i ·ln β 1 + ln ε i
Затем воспользуемся методом замен. Пусть ln y i
= Y i
; ln β 0
= А; ln β 1
=В; ln ε i
=Е i .
Тогда преобразованная показательная функция имеет следующий вид: Y i
= А
+ В x i
+ Е i .
Следовательно, показательная функция y i = β 0 · β 1 x i · ε i
является внутренне линейной, и оценки ее параметров могут быть найдены с помощью традиционного метода наименьших квадратов. Если же взять показательную функцию, включающую случайную ошибку ε i
аддитивно, т.е. y i = β 0 · β 1 x i + ε i
, то данную модель уже невозможно привести к линейному виду с помощью логарифмирования. Она является внутренне нелинейной. Пусть задана степенная функция вида y i = β 0 · x i β 1 · ε i
. Прологарифмируем обе части уравнения: ln y i = ln β 0 + β 1 ·ln x i + ln ε i
Теперь воспользуемся методом замен: ln y i
= Y i
; ln β 0
= А; ln x i
=X i ; ln ε i
= Е i .
Экстремумы функции.
Все рассматриваемые ниже методы основываются на разложении нелинейной функции общего вида f(x) в ряд Тейлора до членов первого порядка в окрестности некоторой точки x 0:
Таким образом, функция f(x) аппроксимируется в точке x 0 линейной функцией:
,
где x 0 – точка линеаризации.
Замечание
. Линеаризацию следует использовать с большой осторожностью, поскольку иногда она дает весьма грубое приближение.
Общая задача нелинейного программирования
Рассмотрим общую задачу нелинейного программирования:
Пусть x t – некоторая заданная оценка решения. Использование непосредственной линеаризации приводит к следующей задаче:
Эта задача представляет собой ЗЛП. Решая ее, находим новое приближение x t +1 , которое может и не принадлежать допустимой области решений S.
Если , то оптимальное значение линеаризованной целевой функции, удовлетворяющее неравенству:
может не быть точной оценкой истинного значения оптимума.
Для сходимости к экстремуму достаточно, чтобы для последовательности точек { x t }, полученных в результате решения последовательности подзадач ЛП, выполнялось следующее условие:
значение целевой функции и невязки по ограничениям в точке x t +1 должно быть меньше их значений в точке x t .
Построим допустимую область S (см. рис.).
Допустимая область S состоит из точек кривой h(x)=0, лежащей между точкой (2;0), определяемой ограничением x 2 ≥0, и точкой (1;1), определяемой ограничением g(x) ≥0.
В результате линеаризации задачи в точке x 0 =(2;1) получаем следующую ЗЛП:
Здесь представляет собой отрезок прямой , ограниченный точками (2.5; 0.25) и (11/9; 8/9). Линии уровня линеаризованной целевой функции представляют собой прямые с наклоном -2, тогда как линии уровня исходной целевой функции – окружности с центром в точке (0;0). Ясно, что решением линеаризованной задачи является точка x 1 =(11/9; 8/9). В этой точке имеем:
так что ограничение–равенство нарушается. Произведя новую линеаризацию в точке x 1 , получаем новую задачу:
Новое решение лежит на пересечении прямых и и имеет координаты x 2 =(1.0187; 0.9965). Ограничение– равенство () все еще нарушается, но уже в меньшей степени. Если произвести еще две итерации, то получим очень хорошее приближение к решению x * =(1;1), f(x *)=2Итерация
f
g
h
0
5
3
–1
1
2,284
0,605
–0,0123
3
2,00015
3,44×10 -4
–1,18×10 -5
Оптимум
2
0
0
Из таблицы видно, что значения f,g и h монотонно улучшаются. Однако такая монотонность характерна для задач, функции которых являются "умеренно" нелинейными. В случае функций с ярко выраженной нелинейностью монотонность улучшения нарушается и алгоритм перестает сходиться.
Существует три способа усовершенствования методов непосредственной линеаризации:
1. Использование линейного приближения для отыскания направления спуска.
2. Глобальная аппроксимация нелинейной функции задачи при помощи кусочно–линейчатой функции.
3. Применение последовательных линеаризаций на каждой итерации для уточнения допустимой области S.
Линеаризация