Формула вычисления массовой доли вещества в растворе. Решение задач с использованием понятия "Массовая доля растворенного вещества"

Тема урока: Функция y=aи её свойства.

Тип урока : Изучение нового материала.

Цели урока :

Задачи урока:

Формировать:

умение применять свойства квадратичной функции;

умение строить графики функции;

умения сформулировать свойства квадратичной функции;

умения высказывать свое мнение, делать выводы;

Развивать: мышление, память, умение осуществлять самостоятельную деятельность на уроке.

Методы обучения

по источнику знаний: беседа, упражнения;

по характеру познавательной деятельности: поисковый, объяснительно-иллюстративный, репродуктивный.

Формы обучения : фронтальная.

Этапы урока :

Организационный момент (1 мин).

Актуализация опорных знаний и способов действий (5 мин).

Изучение нового материала (15 мин).

Первичное применение нового материала (20 мин).

Постановка домашнего задания (1 мин).

Подведение итогов урока (3 мин).

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Организационный момент

Здравствуйте ребята, присаживайтесь.

Учащиеся рассаживаются, слушают учителя.

Актуализация опорных знаний и способов действий

Итак, начнем. Откройте тетради, запишите число, классная работа.

Сегодня на уроке мы будем изучать новый материал. Перед тем, как перейти к новой теме, ответьте на несколько вопросов.

Учитель задаёт ученикам вопросы

- Что такое функция?

Что называют графиком функции?

С какими видами функции вы знакомы?

Что называется линейной функцией?

Что называется квадратичной функцией?

С каким видом квадратичной функции вы уже работали?

Как это функция получилась и как она называется?

Сегодня вы познакомитесь с новым видом квадратичной функции. Поэтому записываем новую тему: «Функция и её свойства».

Записывают в тетради число, классная работа.

Отвечают на вопросы учителя

- Функция – зависимость одной переменной величины от другой.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям независимой переменной, а ординаты – соответствующим значениям функции.

С линейной и квадратичной.

Линейной функцией называется функция вида .

- Квадратичная функция – это функция , где – заданные действительные числа, – действительная переменная.

Это функция называется параболой. Так как квадратичная функция имеет вид , то парабола получилась при коэффициентах

Записывают новую тему в тетрадь

Изучение нового материала

При а=1 формула принимает вид . Мы уже сказали, что графиком этой функции является парабола. Поэтому построим график функции .

Записываем задача №1:

Построить график функции .

Давайте вызовем кого - нибудь к доске.

Как для любой другой функции, мы составляем таблицу значений.

Какой график у нас получился?

, то мы заметим, что при одном и том же х значение функции в 2 раза больше значения функции . Это значит, что каждую точку графика можно получить из точки графика с той же абсциссой увеличением ее ординаты в 2 раза. Следовательно, график функции получается растяжением графика функции от оси Ох вдоль оси Оу в 2 раза.

Следующая задача:

Построить график функции

К доске пойдёт ….

Учитель вызывает к доске ученика

Решаем также по аналогии с предыдущим примером.

Теперь по данным точкам построим график.

Соединим точки плавной кривой.

Если мы сравним графики функций , то мы заметим, что каждую точку графика можно получить из точки графика функции с той же абсциссой уменьшением ее ординаты в 2 раза. Следовательно, график функции получается сжатием графика функции к оси Ох вдоль оси Оу в 2 раза.

Как вы считаете, какими будут графики ?

Куда тогда будут направлены ветви параболы графика ?

После всех решенных примеров, какой вывод мы можем сделать по функции ?

Теперь поговорим о свойствах функции .

На доске записаны графики функции, по ним учитель рассказывает свойства

1)Если a0, то функция принимает положительные значения при ; если a принимает отрицательные значения при ; значение функции равно 0 только при х=0.

2)Парабола симметрична относительно оси координат.

3) Если a0, то функции возрастает при и убывает при если a убывает при и возрастает при .

Слушают учителя

Задача №1: Построить график функции .

Решают вместе с учителем.

У нас получилась парабола.

Записывают первое задание в тетрадь

Задача №2: Построить график функции

Решают вместе с учителем.

Один из учеников выходит к доске

Они будут симметричными, так как график будет иметь противоположные значения графика .

Ветви параболы будут направлены вниз.

График функции также является параболой. При a0 ветви направлены вверх, при a

Слушают учителя

Первичное применение нового материала

А теперь попробуем на практике применить полученные знания. Открываем учебники на стр. 161 и записываем в тетради номера.

Учитель вызывает учеников к доске для решения заданий

Разберем устно №596. Определить направление ветвей параболы:

Записываем в тетрадь №597 (1,3): На одной координатной плоскости построить графики функций

Учитель вызывает ученика к доске

Открывают учебники и записывают номер в тетрадь

Ученики у доски решают задания

Устно проговаривают решение задачи

1) - вверх, т. к. a0

2) - вверх, т. к. a0

3) - вниз, т. к. a

4) -вниз, т. к. a

Один из учеников выходит к доске

Постановка домашнего задания

Учитель сообщает домашнее задание.

Наш урок подошел к концу. Запишите домашнее задание.

Учитель записывает домашнее задание на доске.

П 37 стр. 157. Выучить свойства.

№595(2): На миллиметровой бумаге построить график функции . По графику приближенно найти значения х, если у=9; 6; 2; 8; 1,3.

№597 (2,4): На одной координатной плоскости построить графики функций

Используя графики, выяснить, какие из этих функций возрастают на промежутке .

Записывают домашнее задание.

Подведение итогов урока

Что мы изучили на уроке?

Все ли вам было понятно?

На этом наш урок закончен. Ученики, которые выходили к доске, подойдите ко мне с дневниками. До свидания!

Учащиеся отвечают на вопросы:

Мы изучили новый вид квадратичной функции и её свойства.

Прощаются с учителем. Подходят с дневниками.

ЗНАКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Решение.

График функции - парабола. Ветви этой параболы направлены вверх, если и вниз, если Значение определяет ординату вершины параболы. Если то вершина параболы находится над осью абсцисс, а если меньше нуля, то ниже. Таким образом, получаем, ответ: A - 4, Б - 1, В - 2, Г - 3.

Ответ: 4123.

Ответ: 4123

y = ax 2 + bx + c a и c .

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

Ответ: 431

На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c . Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c .

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

Ответ: 143

На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c a и c .

Графики

Коэффициенты

Решение.

c x c Таким образом, графикам соответствуют следующие коэффициенты: А - 1, Б - 3, В - 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

Ответ: 321

На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c . Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c .

Графики

Коэффициенты

Решение.

Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c соответствует значению функции в точке x = 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 4, Б - 2, В - 3.

Ответ: 423.

Ответ: 423

На рисунках изображены графики функций вида y=ax +bx+c . Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

КОЭФФИЦИЕНТЫ

Решение.

График функции - парабола. Ветви этой параболы направлены вверх, если и вниз, если . Значение определяет ординату вершины параболы. Если , то вершина параболы находится над осью абсцисс, а если , то ниже. Таким образом, получаем ответ: A - 3, Б - 2, В - 1.

Ответ: 321

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Ответ: 321.

Ответ: 321

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Ответ: 231.

Ответ: 231

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

А	Б	В

Решение.

Ответ: 123.

Ответ: 123

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Ответ: 312.

Ответ: 312

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Ответ: 132.

Ответ: 132

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 3, В - 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 2, Б - 1, В - 3.

Ответ: 213.

Ответ: 213

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

A	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 2, Б - 3, В - 1.

Ответ: 231.

Ответ: 231

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2.

Ответ: 312.

Ответ: 312

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 2, В - 3.

Ответ: 123.

Ответ: 123

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

A	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 2, В - 1.

Ответ: 321

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2.

Ответ: 312.

Ответ: 312

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2.

Ответ: 312.

Ответ: 312

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 3, В - 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2.

Ответ: 312.

Ответ: 312

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 2, В - 1.

Ответ: 321.

Ответ: 321

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 3, В - 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 3, В - 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2.

Ответ: 312.

Ответ: 312

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 2, В - 3.

Ответ: 123.

Ответ: 123

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 2, В - 3.

Презентация и урок на тему:
"График функции $y=ax^2+bx+c$. Свойства"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Пособие к учебнику Дорофеева Г.В. Пособие к учебнику Никольского С.М.

Ребята, на последних уроках мы строили большое количество графиков, в том числе много парабол. Сегодня мы обобщим полученные знания и научимся строить графики этой функции в самом общем виде.
Давайте рассмотрим квадратный трехчлен $a*x^2+b*x+c$. $а, b, c$ называются коэффициентами. Они могут быть любыми числами, но $а≠0$. $a*x^2$ называется старшим членом, $а$ – старшим коэффициентом. Стоит заметить, что коэффициенты $b$ и $c$ могут быть равными нулю, то есть трехчлен будет состоять из двух членов, а третий равен нулю.

Давайте рассмотрим функцию $y=a*x^2+b*x+c$. Это функция называется "квадратичной", потому что старшая степень вторая, то есть квадрат. Коэффициенты такие же, как определено выше.

На прошлом уроке в последнем примере, мы разобрали построение графика схожей функции.
Давайте докажем, что любую такую квадратичную функцию можно свести к виду: $y=a(x+l)^2+m$.

График такой функции строится с использованием дополнительной системы координат. В большой математике, числа встречаются довольно редко. Практически любую задачу требуется доказать в самом общем случае. Сегодня мы разберем одно из таких доказательств. Ребята, вы сможете, увидеть всю силу математического аппарата, но так же и его сложность.

Выделим полный квадрат из квадратного трехчлена:
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac{b}{a}*x)+c=$ $=a(x^2+2\frac{b}{2a}*x+\frac{b^2}{4a})-\frac{b^2}{4a}+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$.
Мы получили, то что хотели.
Любую квадратичную функцию можно представить в виде:
$y=a(x+l)^2+m$, где $l=\frac{b}{2a}$, $m=\frac{4ac-b^2}{4a}$.

Для построения графика $y=a(x+l)^2+m$ нужно построить график функции $y=ax^2$. Причем вершина параболы будет находиться в точке с координатами $(-l;m)$.
Итак, наша функция $y=a*x^2+b*x+c$ - парабола.
Осью параболы будет являться прямая $x=-\frac{b}{2a}$, причем координаты вершины параболы по оси абсцисс, как мы можем заметить, вычисляется формулой: $x_{в}=-\frac{b}{2a}$.
Для вычисления координаты вершины параболы по оси ординат, вы можете:

воспользоваться формулой: $y_{в}=\frac{4ac-b^2}{4a}$,
напрямую подставить в исходную функцию координату вершины по $х$: $y_{в}=ax_{в}^2+b*x_{в}+c$.

Как вычислять ординату вершины? Опять же выбор за вами, но обычно вторым способом посчитать будет проще.
Если требуется описать какие-то свойства или ответить на какие-то определенные вопросы, не всегда нужно строить график функции. Основные вопросы, на которые можно ответить без построения, рассмотрим в следующем примере.

Пример 1.
Без построения графика функции $y=4x^2-6x-3$ ответьте на следующие вопросы:

Решение.
а) Осью параболы служит прямая $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2*4}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.
б) Абсциссу вершины мы нашли выше $x_{в}=\frac{3}{4}$.
Ординату вершины найдем непосредственной подстановкой в исходную функцию:
$y_{в}=4*(\frac{3}{4})^2-6*\frac{3}{4}-3=\frac{9}{4}-\frac{18}{4}-\frac{12}{4}=-\frac{21}{4}$.
в) График, требуемой функции, получится параллельным переносом графика $y=4x^2$. Его ветви смотрят вверх, а значит и ветви параболы исходной функции также будет смотреть вверх.
Вообще, если коэффициент $а>0$, то ветви смотрят вверх, если коэффициент $a
Пример 2.
Построить график функции: $y=2x^2+4x-6$.

Решение.
Найдем координаты вершины параболы:
$x_{в}=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{4}=-1$.
$y_{в}=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Отметим координату вершины на оси координат. В этой точке, как будто в новой системе координат построим параболу $y=2x^2$.

Существует множество способов, упрощающих построение графиков параболы.

Мы можем найти две симметричные точки, вычислить значение функции в этих точках, отметить их на координатной плоскости и соединить их с вершиной кривой, описывающей параболу.
Мы можем построить ветвь параболы правее или левее вершины и потом ее отразить.
Мы можем строить по точкам.

Пример 3.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции: $y=-x^2+6x+4$ на отрезке $[-1;6]$.

Решение.
Построим график данной функции, выделим требуемый промежуток и найдем самую нижнюю и самую высокую точки нашего графика.
Найдем координаты вершины параболы:
$x_{в}=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{-2}=3$.
$y_{в}=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
В точке с координатами $(3;13)$ построим параболу $y=-x^2$. Выделим требуемый промежуток. Самая нижняя точка имеет координату -3, самая высокая точка - координату 13.
$y_{наим}=-3$; $y_{наиб}=13$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Без построения графика функции $y=-3x^2+12x-4$ ответьте на следующие вопросы:
а) Укажите прямую, служащую осью параболы.
б) Найдите координаты вершины.
в) Куда смотрит парабола (вверх или вниз)?
2. Построить график функции: $y=2x^2-6x+2$.
3. Построить график функции: $y=-x^2+8x-4$.
4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: $y=x^2+4x-3$ на отрезке $[-5;2]$.

Формула вычисления массовой доли вещества в растворе. Решение задач с использованием понятия "Массовая доля растворенного вещества"

Презентация и урок на тему: "График функции $y=ax^2+bx+c$. Свойства"

Задачи для самостоятельного решения

Презентация и урок на тему:
"График функции $y=ax^2+bx+c$. Свойства"