На практике часто исследователю приходится иметь дело с неизвестными величинами, связанными между собой некоторыми заранее определенными зависимостями, которые могут быть выражены любыми формулами. Если при этом выполняется ряд условий:
- коэффициенты в формулах постоянные,
- неизвестные входят в формулы только в первой степени,
- отсутствуют произведения между самими неизвестными,
то тогда такие зависимости называют линейными.
Пример . В лаборатории 10 образцов имеют общий вес 280 г. Найти средний вес одного образца, если тара весит 15 г.
Решение . Для ответа на вопрос воспользуемся простым уравнением:
обозначив за x средний вес одного образца. Решением составленного уравнения будет 26,5 г.
Пример . В лаборатории 10 образцов, поступивших от 1 отдела, и 10 образцов, поступивших от 2-го отдела, имеют общий вес 280 г, а 5 образцов из первого набора и 2 образца из второго набора имеют общий вес 128 г. Найти средний вес образцов в каждом наборе.
Решение . Для ответа на вопрос составим два уравнения, обозначив за x - средний вес образца породы 1, а за y - средний вес образца породы 2,
10x+10y=280; 5x+2y=128,
решая которые совместно, получаем x=24 г; y=4 г .
В обоих рассмотренных примерах мы имели дело с линейными зависимостями: в первом случае – с линейным уравнением , а во втором – с линейной системой уравнений .
Заменим коэффициенты буквами и получим линейную систему уравнений:
Определение 1 . Матрицей будем называть любую прямоугольную таблицу, составленную из чисел a ij
Определение 2 . Элементы a ij из которых составлена матрица, называют элементами данной матрицы
Определение 3 . Определителем второго порядка или детерминантом , соответствующим матрице (1.2) назовем число D такое, что
(1.3) |
Определитель обозначается буквами D или и записывается
Следует обратить внимание, что хотя определитель есть число, по определению 3, но до тех пор пока не найдено его значение в виде единственного числа ( по формуле 1.2 или еще каким-либо допустимым способом), он записывается в виде таблицы. Тогда можно сказать, например, о перестановке строк или столбцов в этой таблице. В таком случае следует говорить " определитель , соответствующий матрице". Но на практике обычно вторая часть этой фразы для простоты опускается и тогда остается только одно слово – определитель . Для того, чтобы различить что имеется в виду – сам определитель в виде таблицы или его найденное значение , во втором случае используют слово детерминант. Поэтому, если говорят, например, "количество строк в определителе…", то имеют в виду определитель , соответствующий матрице, но еще не вычисленный до единственного числа. А, если говорят детерминант, то имеют в виду, что данный определитель представлен единственным числом, вычисленным либо по формуле, либо еще каким-нибудь допустимым способом.
Пример . Дана система уравнений
Составить матрицу системы и вычислить определитель .
Решение . Из коэффициентов системы составим матрицу: и соответствующий ей детерминант
Выполним вычисления по формуле (2), получим
Определение 4 . Количество строк (или столбцов) в определителе называется порядком определителя
В примере был вычислен определитель второго порядка.
Определители обладают следующими свойствами.
Свойство 1 . Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот.
Покажем это. Пусть дан определитель второго порядка
Заменим строки столбцами и снова вычислим получившийся определитель
Сравнивая D с D * можно убедиться, что D = D * .
Определение 5 . Операция замены строк столбцами (или наоборот) в определителе называется транспонированием.
Свойство 2 . При перестановке двух строк или столбцов определитель меняет свой знак.
Поверку этого свойства проведем на примере, как и для свойства 1. Пусть дан определитель
Поменяем в нем местами столбцы и вычислим получившийся определитель .
Сравнивая результаты, убеждаемся, что определитель , действительно, поменял свой знак. Поменяем теперь местами строки и вновь убедимся в справедливости данного свойства.
Определение 6 . Определителем третьего порядка, соответствующим матрице системы (1.4), назовем число D , равное
Для того, чтобы вычислить определитель третьего порядка применяют две вычислительные схемы, позволяющие вычислять определители третьего порядка без особых хлопот. Эти схемы известны как " правило треугольника " (или "правило звездочки") и " правило Саррюса ".
По правилу треугольника сначала перемножаются и складываются элементы, соединенными на схеме линиями
т.е. получаем сумму произведений: a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32 .
Обратите внимание, что перемножаются элементы, соединенные одной линией, прямой или ломанной, а потом полученные произведения складываются.
Затем перемножаются и складываются элементы, соединенные на схеме
т.е. получаем другую сумму произведений a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32 . И, наконец, чтобы вычислить определитель , из первой суммы вычитают вторую. Тогда окончательно получаем формулу вычисления определителя третьего порядка:
D=(a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32)-(a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32).
По правилу Саррюса к определителю справа дописывают два первых столбца, а затем считают сумму произведений элементов определителя в одном направлении и из нее вычитают сумму произведений элементов в другом направлении (см. схему):
Можно убедиться, что результат будет таким же, что и при вычислении определителя по правилу треугольника.
Пример . Вычислить определитель
Решение . Вычислим определитель по правилу звездочки
И по правилу Саррюса
Т.е. получаем одинаковый результат для обеих вычислительных схем, как и ожидалось.
Заметим, что все свойства, сформулированные для определителей второго порядка, справедливы для определителей третьего порядка, в чем можно убедиться самостоятельно. На основании этих свойств сформулируем общие свойства для определителей любого порядка.
Лекция 2. определители
Определители второго порядка
Определители третьего порядка
Алгебраические дополнения и миноры
Разложение определителя по строке или столбцу
Свойства определителей
Обратная матрица
Свойства обратной матрицы
1. Определители второго порядка
Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы .
Определитель – это число, которое считается по определенным правилам. Порядок определителя – это порядок квадратной матрицы. Если для задания матриц использовались круглые скобки, то в теории определителей используют прямые скобки.
Каждой квадратной матрице поставим в соответствие некоторое число, которое будем называть определителем матрицы, и укажем правило его вычисления. Обозначения:
.
Пример
1.
.
2. Определители третьего порядка
В каждом произведении нет чисел из одного столбца или одной строки.
Приведем схему для запоминания порядка получения слагаемых в определителе.
Произведение чисел на одной диагонали берется со знаком «+» (это главная диагональ матрицы), а на другой – с противоположным знаком.
Пример 2 .
3. Алгебраические дополнения и миноры
Для вычисления определителей порядка больше третьего применяют другие способы вычисления.
Пример
3.
Минор
определителя
есть.
.
Полезно
запомнить, что
и
.
Пример 4. В примере 3алгебраическое дополнение
4. Разложение определителя по строке или столбцу
Вычисление
определителя
-го
порядка можно свести к вычислению
определителей порядка
,
используя следующие формулы.
Это число равно сумме произведений элементов любой -й строки на их алгебраические дополнения .
Пример
5
. Вычислить
определитель третьего порядка
разложением по первой строке.
Решение
Это число равно сумме произведений элементов любого -го столбца на их алгебраические дополнения.
Независимо от способа разложения всегда получается один и тот же ответ.
5. Свойства определителей
1.
При
транспонировании квадратной матрицы
ее определитель не меняется:
.
Вывод. Свойства определителей, сформулированных для строк, справедливы и для столбцов.
2.
При
перестановке двух строк
(столбцов) определитель меняет знак на
противоположный. Например,
.
3. Определитель равен нулю , если:
а)
он имеет нулевую строку (столбец)
;
б)
он имеет пропорциональные (одинаковые)
строки (столбец)
.
4.
Общий
множитель в строке (столбце)
можно выносить за знак определителя.
Например,
.
5. Определитель не изменяется , если к элементам какой-либо строки прибавить (вычесть) соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число.
Например,
.
6. Если в определителе каждый элемент строки есть сумма двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей:
.
7. Определитель произведения двух квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц:
.
8. Определитель квадратной матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
.
6. Обратная матрица
Вместо операции деления матриц вводится понятие обратной матрицы.
Обозначается
обратная матрица
,
то
есть
.
Очевидна
аналогия с числами: для числа 2 число ½
есть обратное, так как
.
Именно поэтому матрица, обратная к А,
обозначается
.
Теорема
«Необходимое и достаточное условие
существования обратной матрицы».
Для
того чтобы квадратная матрица
имела обратную матрицу
,
необходимо и достаточно, чтобы определитель
матрицыбыл не равен нулю.
Правило
нахождения обратной матрицы
0) Смотрим, является ли матрица квадратной. Если нет, то обратной матрицы не существует; если квадратная, то переходим к пункту 1.
1)
Вычисляем определитель матрицы
:
если он не равен нулю, то обратная матрица
существует:
;
если
равен нулю, то обратной матрицы нет.
2) Для каждого элемента матрицы вычисляем его алгебраическое дополнение.
3)
Составляем матрицу из алгебраических
дополнений, которая затем транспонируем:
.
4)
Каждый элемент матрицы
делим на определитель:
Получаем матрицу, обратную данной.
7. Нахождение обратной матрицы для матриц второго порядка
Пример
6.
Дана матрица
.
Найти обратную матрицу.
Решение .
Проверка.
Убедимся, что найдена действительно
обратная матрица. Найдем произведение
матриц
и
.
8. Свойства обратной матрицы
1.
,
где А и В – невырожденные квадратные матрицы одинакового порядка.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольные вопросы
Что называется определителем второго порядка?
Как вычислить определитель третьего порядка?
Как вычислить определитель 3 порядка по правилу треугольников?
Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя? Приведите примеры для определителей 2 и 3 порядков.
Напишите разложения определителя третьего порядка по элементам произвольной строки и произвольного столбца.
Чтобы найти определитель матрицы нужно воспользоваться формулами, которые действительны для определителей 2 и 3 порядка.
Формула
Пусть задана матрица второго порядка $ A = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{pmatrix} $. Тогда её определитель вычисляется по формуле:
$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}\cdot a_{22} - a_{12}\cdot a_{21} $$
Из произведения элементов, стоящих на главной диагонали $ a_{11}\cdot a_{22} $, вычитается произведение элементов, расположенных на побочной диагонали $ a_{12}\cdot a_{21} $. Это правило верно только (!) для определителя 2-го порядка.
Если дана матрица третьего порядка $ A = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} $, то вычислить её определитель следует по формуле:
$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} = $$
$$ = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13} - a_{13}a_{22}a_{31}-a_{23}a_{32}a_{11}-a_{12}a_{21}a_{33} $$
Примеры решений
Пример 1 |
Пусть задана матрица $ A = \begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix} $ Вычислить её определитель. |
Решение |
Как найти определитель матрицы? Обратим внимание на то что матрица квадратная второго порядка, то есть количество столбцов равно количеству строк и они содержат по 2 элемента. Поэтому применим первую формулу. Перемножим элементы, стоящие на главной диагонали и вычтем из них произведение элементов, стоящих на побочной диагонали: $$ \Delta = \begin{vmatrix} 1&2\\3&4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4-6 = -2 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ \Delta = -2 $$ |
Пример 2 |
Дана матрица $ A = \begin{pmatrix} 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end{pmatrix} $. Требуется вычислить определитель. |
Решение |
Так как в задаче квадратная матрица 3-го порядка, то найти определитель следует по второй формуле. Для простоты решения задачи достаточно подставить вместо $ a_{ij} $ переменных, стоящих в формуле значения из матрицы нашей задачи: $$ \Delta = \begin{vmatrix} 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end{vmatrix} = $$ $$ = 2\cdot (-3) \cdot (-2) + 2\cdot (-1) \cdot 3 + 1\cdot 4\cdot 1 - $$ $$ - 1\cdot (-3)\cdot 3 - (-1)\cdot 4\cdot 2 - 2\cdot 1\cdot (-2) = $$ $$ = 12 - 6 + 4 + 9 + 8 + 4 = 31 $$ Стоит отметить когда мы находим произведения элементов на побочной диагонали и подобных её, то перед произведениями ставится знак минус. |
Ответ |
$$ \Delta = 31 $$ |
КОНСПЕКТ 2
2.1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Определителем второго порядка (соответствующим данной матрице
) называется число
Пример1 : Вычислим определитель матрицы
Пример 2. Вычислить определители второго порядка:
2(-4) - 5(-3) = -8 + 15 = 7
=
2.2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:
А =
Определителем (или детерминантом) третьего порядка , соответствующим данной матрице, называют число
det A = =
Пример 3
Первый способ решения:
Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок». Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:
Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс». Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:
Пример 3
Второй способ решения:
Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.
Пример 4
Вычислить определитель третьего порядка:
Пример 5
Вычислить определитель третьего порядка
ПРАКТИКУМ 2
ЗАДАНИЕ N 1 , то…
Решение:
то
По условию, тогда
ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Определители второго порядка Если определитель второго порядка
, то…
Решение:
В нашем случае имеем
По условию, тогда
ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Определители второго порядка Если определитель второго порядка
, то…
Решение: Так как определитель второго порядка равен числу, которое получают по правилу:
то
По условию, тогда
ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Определители второго порядка Если определитель второго порядка, то…
Решение: Напоминаем, что определитель второго порядка равен числу, которое получают по правилу:
В нашем случае имеем
По условию, тогда
ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Определители третьего порядка Значение определителя третьего порядка можно вычислить, используя «правило треугольников», которое схематически указано на рисунках.Тогда определительравен …
Решение:
ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Определители третьего порядка Значение определителя третьего порядка можно вычислить, используя «правило треугольников», которое схематически указано на рисунках.Тогда определительравен …
Решение: Определитель третьего порядка равен сумме шести слагаемых, из которых три берутся со знаком «+» и три – со знаком «−». Правило вычисления слагаемых со знаком «+» схематически указано на рис. 1. Одно из слагаемых равно произведению элементов определителя, лежащих на главной диагонали. Каждое из двух других находится как произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, с добавлением третьего множителя из противоположного угла определителя. Слагаемые со знаком «−» получаются таким же образом, но относительно второй диагонали (рис. 2). Тогда
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 2
ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Определители второго порядка Если определитель второго порядка, то…