Функция у = kx2, ее свойства и график — Гипермаркет знаний. Функция y=kx2 ее свойства и график

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: урок открытия нового знания.

Основные цели:

• сформировать представление о функции у = кх 2 , ее свойствах и графике;
• повторить и закрепить: сведения о функции у = х 2 , свойствах функции, известные по курсу 7 класса.

Демонстрационный материал:

1) алгоритм построения графика функции:

2) Правило определения расположения графика в зависимости от коэффициента к:

3) самостоятельная работа: На рис. изображены графики функций у = кх 2 .

Для каждого графика укажите соответствующее ему значение коэффициента к.

4) образец для самопроверки самостоятельной работы.

Раздаточный материал:

1) карточка:

1, 2 группа:

Постройте графики функций у = 2х 2 , у = 4х

3, 4 группа:

Постройте графики функций у = – 2х 2 , у = – 4х 2 и определите, в каких координатных четвертях расположены графики данных функций. Сделайте вывод относительно коэффициента к.

2) карточка для рефлексии:

ХОД УРОКА

1. Мотивация к учебной деятельности

Цели:

• организовать актуализацию требований к ученику со стороны учебной деятельности;
• организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок: продолжаем работать с функциями;
• создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность.

Организация учебного процесса на этапе 1:

– Здравствуйте! Что интересного вы узнали на предыдущих уроках? (Мы изучали функцию у = | х |, график этой функции и ее свойства.)
– Сегодня вы продолжите знакомиться с новыми функциями.
– С каким настроением вы будете работать сегодня? (С хорошим настроением).
– Успехов Вам!

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в индивидуальной деятельности

Цели:

• актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала.
• зафиксировать актуализированные способы действий в речи и в знаках;
• организовать обобщение актуализированных способов действий;
• мотивировать к выполнению индивидуального задания;
• организовать самостоятельное выполнение индивидуального задания на новое знание;
• организовать фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении учащимися индивидуального задания или в его обосновании.

Организация учебного процесса на этапе 2:

Проанализируйте несколько слайдов 2-5 и ответьте на вопрос:

– С каким графиком вы будете работать сегодня? (С параболой).

– Выберите, графиком какой функции является парабола у = х + 2, у = 2/х , у = х 2 ? (у = х 2 . Эту функцию мы изучали в 7-м классе).

– Назовите числовой коэффициент функции у = х 2 . (Он равен 1)

– В каких координатных четвертях лежит график функции у = х 2 , какова область определения и область значений этой функции, промежутки возрастания и убывания? (График функции у = х 2 лежит в 1 и 2 координатных четвертях или в верхней полуплоскости, область определения – вся числовая прямая, область значений – функция у = х 2 принимает неотрицательные значения; возрастает при х > 0, убывает при х< 0.)

– Обсудим, что происходит при других значениях коэффициента.

– Сформулируйте тему урока. (Функция у = кх 2 , ее свойства и график).

1) На доске приготовлена таблица. Найдите соответствующие значения функций:

– Заполните таблицу. К доске вызываются последовательно 4 ученика.

2) График функции у = кх 2 проходит через точку А(2;8). Определите значение коэффициента. Запишите функцию. (к = 2, у = 2х 2 ).

3) По какому плану вы обычно строите графики функций? Слайд 7.

(Необходимо –
1. Заполнить таблицу значений
2. Построить точки на координатной плоскости
3. Соединить построенные точки плавной линией
4. Подписать название функции.)

– Что вы повторили?

– А теперь, используя всё, что вы только что повторили и узнали, предлагаю вам выполнить следующее задание:
Постройте графики функций у = 2х 2 , у = – 4х 2 и определите, в каких координатных четвертях расположены графики данных функций. Сделайте вывод как расположен график в зависимости от коэффициента к.

Учащиеся работают на миллиметровой бумаге.

– У кого нет результата?
– Что вы не смогли сделать? (Я не смог__________________)
– Покажите результаты, кто выполнил построение.
– Как вы можете доказать, что правильно выполнили задание? (Я должен___________)
– Что вы будете использовать для доказательства? (____________.)
– Что вы не смогли сделать?
– Каким правилом вы пользовались при построении?
– Что вы не можете сделать?

3. Выявление причин затруднения

Цели:

• организовать соотнесение своих действий с используемыми эталонами (алгоритмом, понятием и т.д.);
• на этой основе организовать выявление и фиксацию во внешней речи причины затруднения – тех конкретных знаний и умений, которых недостает для решения исходной задачи.

Организация учебного процесса на этапе 3:

– Какое задание вы должны были выполнить?
– Что вы использовали при выполнении задания?
– В каком месте возникло затруднение?
– В чём причина затруднения? (У нас нет способа определения как расположен график функции у = кх2 в зависимости от коэффициент к.)

4. Проблемное объяснение нового знания

Цели:

• организовать постановку цели урока;
• организовать уточнение и согласование темы урока;
• организовать подводящий или побуждающий диалог по проблемному введению нового знания;
• организовать использование предметных действий с моделями, схемами, свойствами и пр.;
• организовать фиксацию нового способа действия в речи;
• организовать фиксацию нового способа действия в знаках;
• соотнесение нового знания с правилом в учебнике, справочнике, словаре и т.д.
• организовать фиксацию преодоления затруднения.

Организация учебного процесса на этапе 4:

– Сформулируйте цель своей деятельности. (Найти способ определения как расположен график функции у = кх 2 в зависимости от коэффициента к.)

– Уточните тему урока. (Функция у = кх 2 ,ее свойства и график). Слайд 6.

– А сейчас вы будете работать в группах: Слайд 8.

1, 2 группа:

Постройте графики функций у = 2х 2 , у = 4х 2 и определите, в каких координатных четвертях расположены графики данных функций. Сделайте вывод относительно коэффициента к.

3, 4 группа:

Постройте графики функций у = – 2х 2 , у = – 4х 2 и определите, в каких координатных четвертях расположены графики данных функций. Сделайте вывод относительно коэффициента к.

Каждой группе даётся карточка. (При возникновении затруднений учащиеся могут воспользоваться учебником или справочником.)

– Представьте свой вариант алгоритма.

Каждая из групп представляет свой вариант, остальные дополняют, уточняют. После согласования на доску вывешивается правило:

Учитель добавляет:

– Каждую из построенных вами линий называют параболой. При этом точку (0;0) называют вершиной параболы, а ось у – осью симметрии параболы.
От величины коэффициента к зависит «скорость устремления» ветвей параболы вверх (вниз), «степень крутизны» параболы.
– Что вы сейчас открыли?
– Что теперь вы должны сделать?

5. Первичное закрепление во внешней речи

Цель: организовать усвоение детьми нового способа действий с их проговариванием во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 5:

– В каких координатных четвертях расположены графики функций у = 1/5х 2 , у = х 2 /2, у = – х 2 /2, у = 3х 2 ?

Задание выполняется в парах, одна пара работает у доски.

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу

Цели:

• организовать самостоятельное выполнение учащимися типовых заданий на новый способ действия;
• по результатам выполнения самостоятельной работы организовать выявление и исправление допущенных ошибок;
• по результатам выполнения самостоятельной работы создать ситуацию успеха.

Организация учебного процесса на этапе 6:

Для самостоятельной работы предлагается задание на карточке. Слайд 9.

На рис. изображены графики функций у = кх 2 .

Для каждого графика укажите соответствующее ему значение коэффициента к.

После выполнения работы учащиеся проверяют её по образцу: Слайд 10.

– Какие правила вы использовали при выполнении задания?
– У кого возникло затруднение – как определить знак коэффициента к?
– У кого возникло затруднение при определении значения коэффициента к?
– Кто задание выполнил правильно?

7. Включение в систему знаний и повторение

Цели:

• тренировать навыки использования нового содержания совместно с ранее изученным материалом;
• повторить учебное содержание, которое потребуется на следующих уроках:

Организация учебного процесса на этапе 7:

Задание из ГИА-9 выполняется у доски. Слайды 11-16.

– Определите термин, который повторялся много раз сегодня на уроке.(график)

1. Графиком какой из данных функций является парабола, расположенная в нижней полуплоскости?

3. Найти область значений функции у = – 5х2

а) у = –15х 2 б) у = – 9х 2 в) у = – х 2 г) у = – 5х 2

ц э ф ж

5. Укажите промежутки возрастания функции у = – 5х 2

а) при х > 0 б) при х < 0 в) при х < 0 г) при х > 0

ч о и т

6. Укажите наименьшее значение функции у = – 5х 2

а) 0 б) не существует в) – 5 г) 5

ы к д в.

Задачи по физике: Слайд 17.

Путь, пройденный телом за первые t секунд свободного падения, вычисляется по формуле: H = gt 2 /2, где g = 9,8 м/c 2 . Найдите по графику зависимости H от t :

А) расстояние, которое пролетит падающий камень за первые 6 секунд;
Б) время, за которое камень пролетит первые 250 м?

8. Рефлексия деятельности на уроке

Цели:

• организовать фиксацию нового содержания, изученного на уроке;
• организовать фиксацию степени соответствия поставленной цели и результатов деятельности;
• организовать вербальную фиксацию шагов по достижению цели;
• по результатам анализа работы на уроке организовать фиксацию направлений будущей деятельности;
• организовать проведение самооценки учениками работы на уроке;
• организовать обсуждение и запись домашнего задания.

Организация учебного процесса на этапе 8:

– Чему вы сегодня учились?
– Что нового вы узнали на уроке?
– Какие цели ставили перед собой?
– Вы достигли поставленных целей?
– Что вам помогало справиться с затруднениями?
– Проанализируйте свою работу на уроке.

Учащиеся работают с карточками рефлексии (Р).

Домашнее задание: Слайд 18.

• п. П.17 учебника читать
• №17.2,
• №17.3,
• №17.11.

Список литературы:

1. А.Г.Мордкович . Алгебра,8 класс.В двух частях. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. М.:Мнемозина.2011.
2. Интернет-ресурсы.

1. Общие положения

1.1. С целью поддержания деловой репутации и обеспечения выполнения норм федерального законодательства ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика» (далее – Компания) считает важнейшей задачей обеспечение легитимности обработки и безопасности персональных данных субъектов в бизнес-процессах Компании.

1.2. Для решения данной задачи в Компании введена, функционирует и проходит периодический пересмотр (контроль) система защиты персональных данных.

1.3. Обработка персональных данных в Компании основана на следующих принципах:

Законности целей и способов обработки персональных данных и добросовестности;

Соответствия целей обработки персональных данных целям, заранее определенным и заявленным при сборе персональных данных, а также полномочиям Компании;

Соответствия объема и характера обрабатываемых персональных данных, способов обработки персональных данных целям обработки персональных данных;

Достоверности персональных данных, их актуальности и достаточности для целей обработки, недопустимости обработки избыточных по отношению к целям сбора персональных данных;

Легитимности организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных;

Непрерывности повышения уровня знаний работников Компании в сфере обеспечения безопасности персональных данных при их обработке;

Стремления к постоянному совершенствованию системы защиты персональных данных.

2. Цели обработки персональных данных

2.1. В соответствии с принципами обработки персональных данных, в Компании определены состав и цели обработки.

Цели обработки персональных данных:

Заключение, сопровождение, изменение, расторжение трудовых договоров, которые являются основанием для возникновения или прекращения трудовых отношений между Компанией и ее работниками;

Предоставление портала, сервисов личного кабинета для учеников, родителей и учителей;

Хранение результатов обучения;

Исполнение обязательств, предусмотренных федеральным законодательством и иными нормативными правовыми актами;

3. Правила обработки персональных данных

3.1. В Компании осуществляется обработка только тех персональных данных, которые представлены в утвержденном Перечне персональных данных, обрабатываемых в ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика»

3.2. В Компании не допускается обработка следующих категорий персональных данных:

Расовая принадлежность;

Политические взгляды;

Философские убеждения;

О состоянии здоровья;

Состояние интимной жизни;

Национальная принадлежность;

Религиозные убеждения.

3.3. В Компании не обрабатываются биометрические персональные данные (сведения, которые характеризуют физиологические и биологические особенности человека, на основании которых можно установить его личность).

3.4. В Компании не осуществляется трансграничная передача персональных данных (передача персональных данных на территорию иностранного государства органу власти иностранного государства, иностранному физическому лицу или иностранному юридическому лицу).

3.5. В Компании запрещено принятие решений относительно субъектов персональных данных на основании исключительно автоматизированной обработки их персональных данных.

3.6. В Компании не осуществляется обработка данных о судимости субъектов.

3.7. Компания не размещает персональные данные субъекта в общедоступных источниках без его предварительного согласия.

4. Реализованные требования по обеспечению безопасности персональных данных

4.1. С целью обеспечения безопасности персональных данных при их обработке в Компании реализуются требования следующих нормативных документов РФ в области обработки и обеспечения безопасности персональных данных:

Федеральный закон от 27.07.2006 г. № 152-ФЗ «О персональных данных»;

Постановление Правительства Российской Федерации от 1 ноября 2012 г. N 1119 "Об утверждении требований к защите персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Постановление Правительства Российской Федерации от 15.09.2008 г. №687 «Об утверждении Положения об особенностях обработки персональных данных, осуществляемой без использования средств автоматизации»;

Приказ ФСТЭК России от 18.02.2013 N 21 "Об утверждении Состава и содержания организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Базовая модель угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 15.02.2008 г.);

Методика определения актуальных угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 14.02.2008 г.).

4.2. Компания проводит оценку вреда, который может быть причинен субъектам персональных данных и определяет угрозы безопасности персональных данных. В соответствии с выявленными актуальными угрозами Компания применяет необходимые и достаточные организационные и технические меры, включающие в себя использование средств защиты информации, обнаружение фактов несанкционированного доступа, восстановление персональных данных, установление правил доступа к персональным данным, а также контроль и оценку эффективности применяемых мер.

4.3. В Компании назначены лица, ответственные за организацию обработки и обеспечения безопасности персональных данных.

4.4. Руководство Компании осознает необходимость и заинтересовано в обеспечении должного как с точки зрения требований нормативных документов РФ, так и обоснованного с точки зрения оценки рисков для бизнеса уровня безопасности персональных данных, обрабатываемых в рамках выполнения основной деятельности Компании.

Урок 1

Цели: провести анализ контрольной работы; вспомнить свойства функций y = kx + b и y = x2, их графики; объяснить свойства функции y = kx2 и показать построение графика данной функции; формировать умение строить графики функций y = kx + b и y = kx2, и по графику определять свойства данных функций.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ контрольной работы.

Выставить оценки за контрольную работу. Разобрать задания, с которыми не справилось большинство учащихся.

В а р и а н т 1

5*. Упростить выражение:

Р е ш е н и е:

О т в е т:

В а р и а н т 2

5*. Упростить выражение:

Р е ш е н и е:

О т в е т:

III. Актуализация знаний.

1) Повторить понятие линейной функции, её свойства и построение графика данной функции. Закрепить знания о том, что графиком линейной функции является прямая, для построения которой необходимы координаты двух точек, а свойства зависят от коэффициента k.

На доске разобрать построение графика функции

По графику функции определить свойства.

2) Повторить построение графика функции y = x2.

На доске, на координатной плоскости пунктирной линией построить график функции y = x2 и сплошной линей графики функций y = 3x2, y = –3x2 и После этого вместе с учащимися сделать выводы.

Если коэффициент перед переменной x больше 1, то график функции y = kx2 круче графика функции y = x2. Если коэффициент меньше 1, то график функции y = x2 круче графика функции y = kx2. Если же коэффициент является отрицательным числом, то ветви параболы направлены вниз.

Затем учитель показывает общую схему построения графиков функций y = kx2, если k > 1 и 0 < k < 1.

Записываются свойства данной функции при данных условиях учителем на доске, учениками в тетрадях.

1. Область определения (–  ; +  ).

2. у = 0 при х = 0, у > 0 при х  0.

3. y = kx2 является непрерывной функцией (понятие непрерывности рассматривается только на графике – сплошная линия).

4. ymin = 0 при х = 0; ymax не существует.

5. Возрастает данная функция y = kx2 при x ≥ 0; убывает при x ≤ 0.

6. Данная функция ограничена снизу и не ограничена сверху.

Затем учитель показывает общую схему построения графиков функции y = kx2 при значениях –1 < k < 0 и k < –1.

Учащиеся самостоятельно записывают свойства функции y = kx2 при заданном условии k < 0. Затем следует проверка.

1) Схематично изобразить графики данных функций относительно графика y = x2: y = 6x2, y = –2x2, y = 2x2,

2) Разобрать задания № 17.4 (г); 17.5 (г); 17.15; 17.16; 17.20; 17.23; 17.24.

VI. Подведение итогов.

ФУНКЦИЯ y = kx2, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК

Урок 2

Цели: закрепить знания о свойствах функции вида y = kx2 и умение строить ее график; ввести правила решения уравнений графическим способом; показать способ построения графиков функций, заданных несколькими условиями; развивать умение строить графики известных функций.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

К доске для самостоятельного выполнения заданий вызываются четыре ученика.

Карточка 1

Построить на координатной плоскости график функции y = 4x2, найти наибольшее значение данной функции на отрезке [–1; 1]. Сформулировать свойства данной функции.

Карточка 2

Построить на координатной плоскости график функции y = –3x2, найти наименьшее значение данной функции на интервале [–1; 1). Сформулировать свойства данной функции.

Карточка 3

Найти наименьшее значение данной функции на интервале . Сформулировать свойства данной функции.

III. Актуализация знаний.

Во время выполнения индивидуальной работы остальные учащиеся класса проверяют домашнее задание.

Затем устно выполняются задания № 17.1; 17.6; 17.7; 17.19; 17.21. При наличии времени можно выполнить задание № 17.24.

Индивидуальные задания проверяются всем классом.

IV. Объяснение нового материала.

1) Учитель на доске показывает графическое решение уравнения x2 = 3x – 2.

Р е ш е н и е:

Для графического решения данного уравнения необходимо построить графики функций y = x2 и y = 3x – 2 на одной координатной плоскости.

Графиком функции y = x2 является парабола, с вершиной в точке (0; 0). Ветви параболы направлены вверх. Парабола проходит через точки (1; 1), (–1; 1), (2; 4), (–2; 4).

Графиком функции y = 3x – 2 является прямая. Для построения прямой необходимы координаты двух точек. Для данной функции это точки: (1; 1), (0; –2).

Теперь строятся графики.

Графики данных функций имеют точки пересечения (1; 1) и (2; 4). Решением заданного уравнения являются абсциссы точек пересечения – числа 1 и 2.

О т в е т: 1; 2.

2) Один из сильных учеников класса, с помощью учителя, показывает на доске графическое решение системы уравнений

3) Строится график кусочной функции y = f(x), где:

V. Закрепление нового материала.

Решаются задания № 17.28 (а, г), 17.31; 17.43; 17.35 (а, б).

С сильными учащимися при наличии времени разбирается решение задания № 17.62.

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: рассмотреть примеры решения из учебника. Решить задачи № 17.28 (б); 17.30; 17.43; 17.35 (в, г).

ФУНКЦИЯ ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК

Урок 1

Цели: повторить алгоритм графического решения уравнений и систем уравнений; ввести понятие гиперболы; показать правила построения графика функции и рассмотреть свойства данной функции; развивать умение строить графики известных функций; формировать умение строить графики функций вида .

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

Для индивидуальной работы по карточкам к доске вызываются четыре ученика.

Решить графически уравнение

x2 = –4x.

Карточка 2

Решить графически уравнение

–x2 = x.

Карточка 3

Решить графически систему уравнений

Карточка 4

Постройте график функции y = f(x), где

III. Актуализация знаний.

1) Во время выполнения индивидуальной работы остальные учащиеся класса выполняют самостоятельно задания № 17.42. После проверки индивидуальной работы проверяются данные задания.

2) Построить на доске и в тетрадях графики данных функций:

Для построения к доске вызываются одновременно четыре ученика. Затем всем классом формулируются свойства этих функций.

IV. Объяснение нового материала.

Учитель на доске показывает построение графика функции

Построение выполняется поточечное, согласно материалу из учебника на с. 84–88. Дает название данному графику – гипербола, а так же каждой части в отдельности – ветви гиперболы, рассматривается понятие асимптоты.

Затем к доске вызывается один из сильных учеников класса для построения графика функции

Учащиеся делают выводы: ветви гиперболы располагаются в I, III четвертях.

Чем больше значение коэффициента k, тем дальше ветви гиперболы от осей координат.

Записываются свойства данной функции:

1. Область определения (–  ; 0)  (0; +  ).

2. y > 0 при x > 0; y < 0 при x < 0.

3. является непрерывной функцией на промежутках (–  ; 0) и (0; +  ), имеет точку разрыва x = 0.

4. У данной функции нет ни наибольшего значения, ни наименьшего значения.

5. Данная функция убывает на промежутках (–  ; 0) и (0; +  ).

6. Данная функция не ограничена ни сверху, ни снизу.

Затем на доске строится график функции если достаточно времени – график функции

Учащиеся самостоятельно выписывают свойства функции при заданном условии: k < 0. затем происходит проверка.

V. Закрепление нового материала.

Для закрепления данного материала разобрать решение заданий № 18.2; 18.9 (в); 18.10 (в); 18.12.

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: рассмотреть материал параграфа 18, правила выучить. Решить задачи № 18.9 (а); 18.10 (а); 18.11.

ФУНКЦИЯ ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК

Урок 2

Цели: закрепить знания о свойствах функции и умение строить график данной функции; вспомнить правила решения уравнений и систем уравнений графическим способом; проверить умение строить графики функции, решать уравнения и системы уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

К доске для самостоятельного выполнения заданий вызываются четыре ученика, им раздаются карточки с заданиями.

Карточка 1

Построить на координатной плоскости график функции найти наибольшее значение данной функции на отрезке [–4; –2]. Сформулировать свойства данной функции.

Карточка 2

Построить на координатной плоскости график функции найти наибольшее значение данной функции на интервале . Сформулировать свойства данной функции.

Карточка 3

Построить на координатной плоскости график функции найти наименьшее значение данной функции на интервале (–  ; –3]. Сформулировать свойства данной функции.

Карточка 4

Построить на координатной плоскости график функции найти наименьшее значение данной функции на отрезке . Сформулировать свойства данной функции.

III. Актуализация знаний.

Во время индивидуальной работы остальные учащиеся проверяют домашнее задание, решают № 18.1; 18.3; 18.4; 18.5.

Затем проверяются индивидуальные задания.

IV. Решение задач.

1) Разбираются решения следующих зданий № 18.15 (а, в); 18.16 (а, в); 18.19 (а, в); 18.22; 18.25.

2) При наличии времени выполнить следующие задания:

а) Сколько точек, у которых абсцисса равна ординате, имеет график функции Найдите координаты всех таких точек.

б) Постройте график функции

V. Самостоятельная работа.

Вариант 2

1) Построить графики и записать свойства данной функции:

y = 3x2

2) Графически решить данное уравнение:

3) Графически решить систему уравнений:

4) Построить график функции y = f(x), если

О т в е т ы:

Вариант 1

1, –3

Вариант 2

–1

–2

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: рассмотреть примеры решения из учебника на с. 104–107. Решить задания № 18.15 (б, г); 18.23.

Урок 1

Цели: ввести алгоритм построения графика функции y = ax2 + bx + c; рассмотреть свойства данной функции; формировать умение строить график данной функции.

Ход урока

I. Организационный момент.

Выставить оценки за самостоятельную работу. Учащимся, получившим неудовлетворительные оценки, задается домашняя самостоятельная работа.

Построить графики функций:

1) y = x2 + 2; 2) y = –0,5(x + 2) 2; 3) 4) y = x2 + 4x – 1.

III. Объяснение нового материала.

Объяснить тему урока по следующему плану:

1) Дать определение квадратичной функции.

2) Доказать теорему:

Графиком квадратичной функции y = ax2 + bx + c является парабола, которая получается из параболы y = ax2 параллельным переносом.

3) Показать правило нахождения оси симметрии параболы.

4) Выписать формулы нахождения координат вершины параболы.

5) Определить направление ветвей параболы.

Построение графика рассмотреть на примере функции y = –x2 + 8x – – 10.

1) Дана функция квадратичная, так как –1 ≠ 0, причем a = –1, b = 8, c = –10.

2) Уравнение оси симметрии т. е.

3) Координаты вершины данной параболы (4; 6), так как x0 = 4, y0 = –42 + 8 ⋅ 4 – 10 = – 16 + 32 – 10 = 6.

4) Ветви параболы направлены вниз, так как –1 < 0.

5) График данной функции получается с помощью параллельного переноса параболы y = –x2 так, чтобы вершина оказалась в точке (4; 6).

Для того чтобы построить данную параболу, так же нужны координаты хотя бы двух точек, симметричных относительно x = 4.

Например:

x = 5, y = –25 + 40 – 10 = 5;

x = 3, y = –9 + 24 – 10 = 5;

IV. Закрепление нового материала.

1) Устно определите, какая из данных функций является квадратичной (для квадратичной функции найдите значения коэффициентов a, b, c):

а) y = 7x2 – 2x + 1; б) в) y = x2 – 1;

г) y = 5x + 2; д) y = 5x2 + 3x; е) y = 6x3 – 5x2 + 7.

2) Разобрать решения примеров № 22.7; 22.9.

3) Построить графики данных функций и найти координаты точек пересечения получившихся парабол с осями координат:

а) y = x2 – 4x; б) y = 2x2 – 2; в) y = x2 – 2x – 3.

V. Подведение итогов.

ФУНКЦИЯ y = ax2 + bx + c, ЕЁ СВОЙСТВА И ГРАФИК

Урок 2

Цели: повторить правила построения графика функции y = ax2 + bx + + c; рассмотреть свойства данной функции; развивать умение строить график квадратичной функции.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ самостоятельной работы.

К доске вызываются четыре учащихся для построения графиков данных функций:

y = x2 – 4x

Карточка 2

y = x2 – 6x + 3

Карточка 3

y = –3x2 + 12

Карточка 4

y = 2x2 + 8x – 5

III. Актуализация знаний.

Пока идет работа у доски, остальные учащиеся устно разбирают задания № 22.1; 22.2; 22.3; 22.4.

После проверки индивидуальных заданий, домашней работы, рассмотреть № 22.12, предварительно проведя фронтальный опрос:

1) Какая функция является квадратичной?

2) Приведите примеры квадратичных функций.

3) Параллельным переносом параболы можно получить график функции y = 2x2 – 3x, y = –x2 + 3x – 7, какой функцией задается эта парабола?

4) Куда направлены ветви данных парабол y = x2 – 4, y = 2x2 – 5x, y = –3x2 – 6x, y = 4x2 + 5x + 1?

5) Назовите числовые коэффициенты a, b, c следующих функций y = 2x2 – 6x + 1, y = x2 – 12x, y = 2x – x2 – 1?

IV. Решение задач.

1) Рассмотреть решения задач № 22.14; 22.16; 22.26 (а, г); 22.28 (б); 22.29 (б); 22.32; 22.41.

2) Найдите коэффициенты p и q у функции y = x2 + px + q, зная, что ее график проходит через точки A (2; –5) и B (–1; 16).

При наличии времени предложить задание: с помощью функций составить рисунок рожицы на координатной плоскости:

Голова:

Рот:

Нос:

y = –x2 + 2, –1 ≤ x ≤ 1.

Глаза:

y = –x2 + 4x, 1 ≤ x ≤ 3; (–2; 3);

y = –x2 – 4x, –3 ≤ x ≤ –1; (2; 3);

Для данной рожицы ученики сами могут попробовать дорисовать шапку и записать функцию, соответствующую графику.

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задачи № 22.15; 22.26 (б, в); 22.31; 22.44.

Продолжая курс увлекательных обучающих видеоуроков по курсу математики за 8 класс, мы рассмотрим новую для нас функцию. Предложенная функция имеет вид у = kx2, причем в данном случае следует отметить, что коэффициент k, расположенный перед аргументом х, может быть любым числом, которое отличительно от нуля.

С функцией зритель уже встречался ранее в наших видеоматериалах, только тогда она имела вид у = x2, что и рассматриваемая функция, только с коэффициентом, равным единице. График функции называется «параболой». При желании пройденный материал можно восстановить в памяти, посмотрев соответствующее видео.

Вид графика у = kx2 с коэффициентом 1, уже известно. Поэтому далее в видео будет рассматриваться поведение функции при его изменениях.
Большую наглядность демонстрируют приведенные примеры графиков для уравнений: y = 2x2 и y = 0,5x2.
Сначала рассматривается первая функция y = 2x2. Перед началом построения графика рассчитываем путем подставления значения аргумента x в заданное равенство. Само построение графика смотрите в нашем видео.
По тому же алгоритму рассчитываем и координаты построения графика функции y = 0,5x2. Построение точек, а также самого графика более детально смотрите в видео.

Если сравнить все три представленных графика y = kx2, то отчетливо видно, что они между собой похожи, все они - параболы; начала координат является их вершиной, а ось ординат - ось симметрии этого графика. Коэффициент, расположенный возле аргумента x, влияет на крутизну параболы, причем, чем он больше, тем график более крутой. В представленном видеоматериале мы можете это увидеть в системе координат, на которой эти параболы совмещены.
Так же дела обстоят и с каждой функцией заданного вида, когда коэффициент является положительным. График этой функции y = kx2 также парабола, вершина расположена в точке начала координат, ветви параболы имеют направление вверх, на крутизну графика влияет величина коэффициента, причем с увеличением его значения крутизна графика увеличивается. Ось ординат в данном графике и является осью симметрии параболы.
Для удобства использования математики придумали свои сокращения, например, вместо названия «парабола, которая служит графиком функции y = kx2», используют «парабола y = kx2», и вместо уже известного нам термина «ось симметрии параболы» говорят просто «ось параболы».
До этого мы рассматривали поведение указанной функции, если коэффициент имеет положительное значение. А как же будет вести себя функция у = kx2 в случае, если мы имеем отрицательное значение этого коэффициента? Подробно об этом смотрите в видео.

Объяснения более понятны в том случае, когда присутствует наглядность объясняемого процесса. Для этого в видео нам рекомендуется построить график функции вида: у = - х2 (здесь k = - 1). Расчеты координат проводят по алгоритму, упомянутому выше, изображение графика также представлены в видео. Следует обозначить, что графиком также является парабола с вершиной в начале оси координат, но здесь ветки параболы имеют нисходящее направление. Такие же характеристики характерны и для других графиков функций такого типа с коэффициентом со знаком минус.
В заключение следует отметить, что график равенства y = kx2, когда коэффициент не равняется нулю, является параболой с вершиной в точке начала координат; ось y является осью симметрии параболы; ветви направлены вверх при положительном значении коэффициента, и вниз - при его отрицательном значении.

Также для наглядности в видео рекомендую построить графики для уравнений y = x2, а также y = -x2. Осуществив эту операцию, нетрудно сделать вывод, что эти графики являются симметричными между собой относительно оси x. Ту же закономерность можно заметить в случае построения любых двух графиков равенства, имеющих противоположные знаки возле одинаковых коэффициентов.