Где применяется критерий гурвица. Минимаксное решение

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все миноры определителя Гурвица были положительны. По коэффициентам характеристического уравнения составляется определитель Гурвица.

Для этого по главной диагонали делителя выписываются все коэффициенты характеристического уравнения, начиная со второго (т.е. а 1 , а 2 , а 3 , ... ,а n), затем вверх записываются коэффициенты с возрастающим индексом, а вниз - с убывающим индексом.

Например, для третьего коэффициента в главной диагонали а 3 вверх записываются а 4 , а 5 (индекс возрастает), а вниз - а 2 , а 1 , а 0 . На остальные оставшиеся места вписываются нули.

Д
ля проверки правильности заполнения определителя Гурвица необхо­димо учесть, что по строкам чередуются коэффициенты с нечётными и чёт­ными индексами. Так первая строка - нечётные а 1 а 3 а 5 а 7 ..., вторая строка - четные а 0 а 2 а 4 а 6 и т.д.

Покажем вычисление миноров в определителе Гурвица для системы 6-го порядка.

Последний определитель обычно не рассчитывается. В данном случае
. Если выполняется первое необходимое условие устойчивости (все а>0), то при>0всегда положителен.

Пусть необходимо определить устойчивость системы пятого порядка. Тогда а 6 =0 >0 неравенства принимают вид:

Если необходимо определить устойчивость системы четвертого порядка, то

неравенства принимают вид:

Для устойчивости системы третьего порядка достаточно

.

Для систем седьмого порядка определение устойчивости по Гурвицу обычно не делают из-за громоздкости расчетов.

ПРИМЕР 1. Определить устойчивость САУ по критерию Гурвица по следующему характеристическому уравнению:

Решение. 1. Все коэффициенты характеристического уравнения положительные. Значит необходимое условие устойчивости выполняется.

2. Составляется определитель Гурвица

Определяют значения миноров согласно неравенствам:

Ответ. Все миноры определителя Гурвица положительны, значит вещественная часть корней характеристического уравнения отрицательна и, согласно теореме Ляпунова, САУ устойчива.

Критерий устойчивости Рауса

Для устойчивости систем необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса были положительны.

Таблица Рауса составляется по правилам:

а) в первой строке таблицы Рауса записываются соответственно коэффициенты а 0, а 2, а 4 ….;

б) во второй строке таблицы Рауса записываются соответственно коэффициенты а 1, а 3, а 5 ….;

в) коэффициенты третьей строки таблицы Рауса вычисляются по формулам:

г) коэффициенты четвертой строки таблицы Рауса определяются по формулам:

д) коэффициенты n-й строки таблицы Рауса вычисляются по формулам

где i – номер столбца; j – номер строки.

ПРИМЕР 2. Определить устойчивость САУ по критерию Рауса по характеристическому уравнению примера 1.

Решение. 1. Вычисляют третью строку таблицы Рауса:

2. Определяют четвертую строку:

3. Вычисляют пятую строку:

4. Определяют шестую строку:

По результатам расчета составляют таблицу Рауса.

Таблица 1

Таблица Рауса

Для принципа выбора Гурвица характерно использование взвешенных значений принципа гарантированного результата (пессимизма) и принципа оптимизма . Здесь каждая стратегия характеризуется своим коэффициентом важности стратегии α,β = . Функция выбора, описывающая принцип Гурвица, может быть записана в виде:

u (y*)= α·u 1 (y)+(1-α)·u 2 (y),

где u 1 (y) - стратегия выбора, характеризующая принцип гарантированного результата;

u 2 (y) - стратегия выбора, характеризующая принцип оптимизма.

Учитывая, что

u 1 (y) = max min U i j

u 2 (y) = max max U i j

можно представить общее выражение для принципа Гурвица в виде

u (y*)= α max min U i j + (1-α)· max max U i j (3)

u (y*)= max [α min U i j + (1-α)· max U i j ]. (4)

Следовательно, наиболее предпочтительна стратегия Y*, для которой выполняется условие (4). При этом в зависимости от значения весового коэффициента α можно получить различные стратегии выбора при изменении его в диапазоне 0≤ α ≤ 1:

если α = 1, то получим принцип гарантированного результата ;

если α = 0, получим принцип оптимизма .

Проведем решение исходной задачи (табл.9)с использованием данной методики.

Решение задачи по принципу Гурвица.

Задаём коэффициент , который характеризует ориентацию на принцип максимина или принцип оптимизма и     . Пусть  = 0,6.

Решаем задачу по формуле Y *  max i ( min U ij + (1 - ) max j U ij) в два этапа:

2.1. Для каждой альтернативы находим *min j U ij +(1-)* max j U ij , для чего используем уже вычисленные значения по предыдущим задачам (значения Min U ij , Max U ij в табл.10). Расчет этих значений формируется так.

Исходными данными для выбора по методу Гурвица будут данные, полученные по стратегиям:

Для стратегии гарантированного результата:

Для стратегии оптимизма:

Принцип Гурвица Таблица 10

Пусть весовой коэффициент характеризует степень важности соответствующей первой стратегии и его значение примем  = 0,6. Тогда получим для первого этапа

Подставляя соответствующие значения в систему получим:

Подставим их в графу «Значение предпочтений по Гурвицу» табл.10.

2.2. На втором этапе производим выбор в соответствии с правилом:

Оптимальной (по комбинированному принципу Гурвица) будет альтернатива Y 3 , значение функции полезности которой равно 4,2.

Для оценки влияния коэффициента  на уровень предпочтений по Гурвицу, проведем анализ значений для различных коэффициентов (табл.11).

Таблица 11

На основании данных значений можно сказать, что общим правилом выбора по всем значениям  будет метрика с  = 0,1, при этом, эффективной альтернативой является вариант 1 (Y1) с функцией предпочтения = 7,3.

Решение данной задачи в интегрированной системе Excel предполагает процедуру расчета показателей приведенных в табл.10-11, по алгоритму и формулам, приведенным в табл.12 и табл.13. Экранная форма указанных таблиц приведена на рис.10, 11.

Алгоритм расчета показателей по принципу Гурвица, в виде экранной формы приведен на рис.12.

Рис.10. Решение задачи по принципу Гурвица

Рис.11. Анализ оптимального решения (по Гурвицу) при различных значениях коэффициента 

Таблица 12

Принцип Гурвица

Таблица 13

Значения предпочтений по Гурвицу для различных коэффициентов 

Рис. 12. Алгоритм расчета показателей по принципу Гурвица

Критерий Гурвица основан на следующих двух предположениях: «природа» может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1 - y) и в самом выгодном состоянии с вероятностью y , где y - коэффициент доверия. Если результат h ji - прибыль, полезность, доход и т.п., то критерий Гурвица записывается так:

W = max[ y max+(1- y)min]

Когда целевая функция представляет затраты (потери), то:

W = min[ y min+(1- y)max]

Назначение сервиса . С помощью онлайн калькулятора выбирается оптимальная стратегия по критерию Гурвица. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word (см. Пример оформления).

Инструкция Для расчета и оформления решения в формате Word и Excel необходимо выбрать

Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями крайнего пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих способов поведения соответствующими весами (1 - y) и y , где 0Пример . Исходные данные:

Минимаксное решение. Критерий Гурвица

Решения, принимаемые в условиях неопределенности, занимают весомую часть всего множества решений, принимаемых менеджерами. Но, как правило, на практике решения, принимаемые в условиях полной неопределенности, не встречаются. Для принятия решений предприятие должно собрать необходимый дополнительный объем релевантной информации и проанализировать ситуацию, либо принять решение на основе суждений, интуиции, анализа накопленного опыта руководителя. Для принятия оптимальных решений необходимо использовать научный подход при использовании различных методов.

К правилам принятия решений, при которых не учитывается численное значение вероятных исходов, относятся рассмотренные ранее максимаксное и максиминное решение, а также минимаксное решение и критерий Гурвица.

Минимаксное решение - это решение, при котором минимизируются максимальные потери. Это наиболее осторожный подход к принятию решений и наиболее учитывающий все возможные риски.

Правило минимакса (минимаксное правило возможных потерь ) состоит в том, чтобы для каждого решения выбрать максимально возможные потери. Затем выбирается решение, которое ведет к минимальному значению максимальных потерь.

Под потерями учитываются не только реальные потери, но и упущенные возможности. При использовании данного правила внимание уделяется возможным потерям, чем доходам.

На основании данных предыдущего примера по реализации пирожных составим таблицу возможных потерь, которая дает представление о прибылях каждого исхода, потерянных в результате принятия неправильного решения (число закупленных единиц).

Таблица возможных потерь за день

Таблица заполняется следующим образом.

Если количество закупленных пирожных равняется спросу за день, то возможные потери равняются нулю.

Если было принято решение приобрести, например, 1 пирожное, а спрос в этот день составил 2 штуки, то упущенная выгода составит 1*(60-50)=10 руб. Это и есть возможные потери. Для 2 штук пирожных, которые могли бы продать, сумма возможных потерь составляет 20 руб., для 3-х пирожных - 30 руб.

В тех случаях, когда закупленная единица не была реализована, она приносит убыток 1* (50-30)=20, это тоже возможные потери.

Для каждого решения выбирается максимальное число возможных потерь. Это числа 30, 20, 40, 60 и определяем из них минимальное 20. Данное значение соответствует решению о закупке 2 штук. Следовательно, руководствуясь правилом минимакса, минимальная величина максимальных потерь возникает в результате закупки двух пирожных в день.

Критерий Гурвица (Hurwicz criterion)- это компромиссный способ принятия решений.

При выборе решения из двух крайностей: пессимистической оценкой по критерию максимина и оптимистической оценкой максимакса рационально придерживаться промежуточной позиции, граница которой регулируется показателем пессимизма-оптимизма µ, называемым степенью оптимизма в критерии Гурвица.

В соответствии с этим компромиссным решением будет линейная комбинация минимального и максимального выигрыша

где 0 < µ < 1,

gnm - размер возможного дохода, который соответствует решениям при данных исходах.

Причем величину µ определяет исследователь или лицо, принимающее решение, при этом значению µ=1 критерию Гурвица соответствует правилу максимина (критерий Вальда), а значению µ =0 - правило максимакса (критерий Сэвиджа).

Критерий Гурвица заключается в том, что минимальному и максимальному результатам каждого решения присваивается "вес". Умножив результаты на соответствующие веса и суммируя их, лицо, принимающее решение, получает общий результат. Далее выбирается решение с наибольшим результатом.

Вернемся к предыдущему примеру и заполним таблицу по методу Гурвица.

Для четырех возможных решение были ранее получены максимаксное и максминное решения. Пусть вес минимального результата равен 0,4, следовательно, вес максимального - 0,6.

Таблица возможных решений

В данном примере критерий Гурвица свидетельствует в пользу решения о закупке одного пирожного, максимальная сумма составила 10. Очевидно, что при выборе других весов результат получается иным.

Поэтому к достоинству и одновременно недостатку критерия Гурвица относится необходимость присваивания весов возможным исходам: это позволяет учесть специфику ситуации, однако при этом всегда присутствует субъективный человеческий фактор - предпочтения аналитика.

Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 году. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом в 1873 году для уравнений четвертой и пятой степени и в 1877 году - полностью.

Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его в практике является неудобным. Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный в 1895 году математиком А. Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин.

Ниже критерий Гурвица приводится без доказательства.

Для характеристического уравнения (6.9) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую п строк и п столбцов:

Эта таблица составляется следующим образом.

Каждая строка дополняется коэффициентами

с нарастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше п, на месте его пишется нуль.

должны быть больше

нуля все п определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов.

Определители Гурвица составяются по следующему правилу (см. (6.11)):

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний следующим образом:

т. е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.

Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости) и второе - границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости).

Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критерии устойчивости для системы первого, второго, третьего, четвертого и более высоких порядков.

порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица дает

т. е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными.

порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица требует

Таким образом, и для уравнения второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

3. У р а в н е н и е третьего поря д к а

Для этого уравнения получаем условия

4. Уравнение четвертого порядка

На основании критерия Гурвица можно получить, что для уравнения четвертого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия

пятого поря д к а

Для уравнения пятого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, должны выполняться еще два условия:

Как видно, уже для уравнения пятой степени условия устойчивости но критерию Гурвица получаются достаточно громоздкими. Поэтому использование этого критерия практически ограничивается уравнениями четвертого порядка.

Существенным недостатком критерия Гурвица является также то, что для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива система автоматического управления. При этом в случае неустойчивости системы критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы более удобными в инженерной практике.

Для иллюстрации применения критерия Гурвица рассмотрим пример на определение устойчивости дистанционной следящей системы. Принципиальная и структурная схемы изображены на рис. 6.4. В качестве чувствительного элемента использованы два сельсина (СД и СП), включенные по трансформаторной схеме. Передаточная функция сельсинов равна коэффициенту передачи схемы:

Электромеханическая постоянная времени двигателя совместно с оконечным каскадом усилителя. Передаточная функция редуктора (Р) равна его коэффициенту передачи, определяемому передаточным отношением:

Так как цепь управления состоит из включенных последовательно звеньев, то передаточная функция разомкнутой цепи будет равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

Общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.

Характеристическое уравнение:

получаем

В данном случае характеристическое уравнение имеет третий порядок. Нетрудно видеть, что условие положительности всех коэффициентов выполняется всегда, если выполнено условие К> О, что будет при правильном согласовании направления вращения двигателя со знаком рассогласования.

накладываемое на коэффициенты характеристического уравнения, сводится при подстановке значений коэффициентов

К неравенству

которое и является условием устойчивости рассматриваемой системы.

Из этого неравенства, в частности, можно заметить, что увеличение каждой постоянной времени сказывается отрицательно на устойчивости системы, так как при

этом снижается предельное значение общего коэффициента усиления к, при котором система еще остается устойчивой.

Измеряется датчиком угла (нотенциометрическим, индукционным или др.), установленным на гиростабилизированной платформе. Передаточная функция датчика

Для формирования алгоритма управления дополнительно устанавливается датчик угловой скорости (ДУС). Напряжение на его выходе пропорционально производной от отклонения. Передаточная функция ДУС в идеальном случае

суммируются:

И производной от отклонения (см. § 2.2). Передаточная функция усилительно-преобразовательного устройства