Цели урока:
Учащиеся должны знать:
- что называется угловым коэффициентом прямой;
- углом между прямой и осью Ох;
- в чем состоит геометрический смысл производной;
- уравнение касательной к графику функции;
- способ построения касательной к параболе;
- уметь применять теоретические знания на практике.
Задачи урока:
Образовательные: создать условия для овладения учащимися системы знаний, умений и навыков с понятиями механический и геометрический смысл производной.
Воспитательные: формировать у учащихся научное мировоззрение.
Развивающие: развивать у учащихся познавательный интерес, творческие способности, волю, память, речь, внимание, воображение, восприятие.
Методы организации учебно-познавательной деятельности:
- наглядные;
- практические;
- по мыслительной деятельности: индуктивный;
- по усвоению материала: частично-поисковый, репродуктивный;
- по степени самостоятельности: лабораторная работа;
- стимулирующие: поощрения;
- контроля: устный фронтальный опрос.
План урока
- Устные упражнения (найти производную)
- Сообщение ученика на тему “Причины появления математического анализа”.
- Изучение нового материала
- Физ. Минутка.
- Решение заданий.
- Лабораторная работа.
- Подведение итогов урока.
- Комментирование домашнего задания.
Оборудование: мультимедийный проектор (презентация), карточки (лабораторная работа).
Ход урока
“Человек лишь там чего – то добивается, где он верит в свои силы”
Л. Фейербах
I. Организационный момент.
Организация класса в течение всего урока, готовность учащихся к уроку, порядок и дисциплина.
Постановка целей учения перед учащимися, как на весь урок, так и на отдельные его этапы.
Определить значимость изучаемого материала как в данной теме, так и во все курсе.
Устный счет
1. Найдите производные:
" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "
2. Логический тест.
а) Вставить пропущенное выражение.
5х 3 -6х | 15х 2 -6 | 30х |
2sinx | 2cosx … | |
cos2x | … … |
II. Сообщение ученика на тему “Причины появления математического анализа”.
Общее направление развития науки, в конечном счете, обусловлено требованиями практики человеческой деятельности. Существование древних государств со сложной иерархической системой управления было бы невозможно без достаточного развития арифметики и алгебры, ибо сбор податей, организация снабжения армии, строительство дворцов и пирамид, создание оросительных систем требовали выполнения сложных расчетов. В эпоху Возрождения расширяются связи между различными частями средневекового мира, развиваются торговля и ремесла. Начинается быстрый подъем технического уровня производства, промышленное применение получают новые источники энергии, не связанные с мускульными усилиями человека или животных. В XI-XII столетии появляются сукновальные и ткацкие станки, а в середине XV - печатный станок. В связи с потребностью в быстром развитии общественного производства в этот период изменяется сущность естественных наук, носивших со времен древности описательный характер. Целью естествознания становится углубленное изучение естественных процессов, а не предметов. Описательному естествознанию древности соответствовала математика, оперировавшая постоянными величинами. Необходимо было создать математический аппарат, который давал бы описание не результата процесса, а характера его течения и свойственных ему закономерностей. В итоге к концу XII столетия, Ньютон в Англии и Лейбниц в Германии завершили первый этап создания математического анализа. Что же такое “математический анализ”? Как можно охарактеризовать, предсказать особенности протекания любого процесса? Использовать эти особенности? Глубже проникать в сущность того или иного явления?
III. Изучение нового материала.
Пойдем по пути Ньютона и Лейбница и посмотрим, каким способом можно анализировать процесс, рассматривая его как функцию времени.
Введем несколько понятий, которые помогут нам в дальнейшем.
Графиком линей ной функции y=kx+ b является прямая, число k называют угловым коэффициентом прямой. k=tg, где – угол прямой, то есть угол между этой прямой и положительным направлением оси Ох.
Рисунок 1
Рассмотрим график функции у=f(х). Проведем секущую через любые две точки, например, секущую АМ. (Рис.2)
Угловой коэффициент секущей k=tg. В прямоугольном треугольнике АМС <МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.
Рисунок 2
Рисунок 3
Сам термин “скорость” характеризует зависимость изменения одной величины от изменения другой, и последняя необязательно должна быть временем.
Итак, тангенс угла наклона секущей tg = .
Нас интересует зависимость изменения величин в более короткий промежуток времени. Устремим приращение аргумента к нулю. Тогда правая часть формулы – производная функции в точке А (объясните почему). Если х –> 0, то точка М движется по графику к точке А, значит прямая АМ приближается к некоторой прямой АВ, которая является касательной к графику функции у = f(х) в точке А . (Рис.3)
Угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной.
Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке.
Механический смысл производной.
Тангенс угла наклона касательной есть величина, показывающая мгновенную скорость изменения функции в данной точке, то есть новая характеристика изучаемого процесса. Эту величину Лейбниц назвал производной , а Ньютон говорил, что производной называется сама мгновенная скорость .
IV. Физкультминутка.
V. Решение заданий.
№91(1) стр 91 – показать на доске.
Угловой коэффициент касательной к кривой f(х) = х 3 в точке х 0 – 1 есть значение производной этой функции при х = 1. f’(1) = 3х 2 ; f’(1) = 3.
№91 (3,5) – под диктовку.
№92(1) – на доске по желанию.
№ 92 (3) – самостоятельно с устной проверкой.
№92 (5) – за доской.
Ответы: 45 0 , 135 0 , 1,5 е 2 .
VI. Лабораторная работа.
Цель: отработка понятия “механический смысл производной”.
Приложения производной к механике.
Задан закон прямолинейного движения точки х = х(t), t.
- Среднюю скорость движения на указанном отрезке времени;
- Скорость и ускорение в момент времени t 04
- Моменты остановки; продолжает ли точка после момента остановки двигаться в том же направлении или начинает двигаться в противоположном направлении;
- Наибольшую скорость движения на указанном отрезке времени.
Работа выполняется по 12 вариантам, задания дифференцированы по уровню сложности (первый вариант - наименьший уровень сложности).
Перед началом работы беседа по вопросам:
- Каков физический смысл производной перемещения? (Скорость).
- Можно ли найти производную скорости? Используется ли эта величина в физике? Как она называется? (Ускорение).
- Мгновенная скорость равна нулю. Что можно сказать о движении тела в это момент? (Это момент остановки).
- Каков физический смысл следующих высказываний: производная движения равна нулю в точке t 0; при переходе через точку t 0 производная меняет знак? (Тело останавливается; меняется направление движения на противоположное).
Образец выполнения работы учащимся.
х(t)= t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2.
Рисунок 4
В противоположном направлении.
Начертим схематично график скорости. Наибольшая скорость достигается в точке
t=10, v (10) =3· 10 2 -4· 10 =300-40=260
Рисунок 5
VII. Подведение итогов урока
1) В чем состоит геометрический смысл
производной?
2) В чем состоит механический смысл производной?
3) Сделайте вывод о своей работе.
VIII. Комментирование домашнего задания.
Стр.90. №91(2,4,6), №92(2,4,6,), стр. 92 №112.
Используемая литература
- Учебник Алгебра и начала анализа.
Авторы: Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунина.
Под редакцией А. Б. Жижченко. - Алгебра 11 класс. Поурочные планы по учебнику Ш. А. Алимова, Ю. М. Колягина, Ю. В. Сидорова. Часть 1.
- Интернет-ресурсы:
Конспект открытого урока преподавателя ГБПОУ «Педагогического колледжа № 4 Санкт-Петербурга»
Мартусевич Татьяны Олеговны
Дата: 29.12.2014.
Тема: Геометрический смысл производной.
Тип урока: изучение нового материала.
Методы обучения: наглядный, частично поисковый.
Цель урока.
Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его.
Добиться понимания геометрического смысла производной; вывода уравнения касательной; научиться решать базовые задачи;
обеспечить повторение материала по теме «Определение производной»;
создать условия контроля (самоконтроля) знаний и умений.
Развивающие задачи:
способствовать формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного;
продолжить развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
Воспитательные задачи:
содействовать воспитанию интереса к математике;
воспитание активности, мобильности, умения общаться.
Тип урока – комбинированный урок с использованием ИКТ.
Оборудование – мультимедийная установка, презентация Microsoft Power Point .
Этап урока
Время
Деятельность преподавателя
Деятельность учащегося
1. Организационный момент.
Сообщение темы и цели урока.
Тема: Геометрический смысл производной.
Цель урока.
Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его.
Подготовка студентов к работе на занятии.
Подготовка к работе на занятии.
Осознание темы и цели урока.
Конспектирование.
2. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.
Организация повторения и актуализации опорных знаний: определения производной и формулирование её физического смысла.
Формулирование определения производной и формулирование её физического смысла. Повторение, актуализация и закрепление опорных знаний.
Организация повторения и формирование навыка нахождения производной степенной функции и элемениарных функций.
Нахождение производной данных функций по формулам.
Повторение свойств линейной функции.
Повторение, восприятие чертежей и высказываний преподавателя
3. Работа с новым материалом: объяснение.
Объяснение смысла отношения приращения функции к приращению аргумента
Объяснение геометрического смысла производной.
Введение нового материала посредством словесных объяснений с привлечением образов и наглядных средств: мультимедийной презентации с анимацией.
Восприятие объяснения, понимание, ответы на вопросы учителя.
Формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения.
Восприятие новой информации, её первичное понимание и осмысление.
Формулирование вопросов преподавателю в случае затруднения.
Создание конспекта.
Формулирование геометрического смысла производной.
Рассмотрение трех случаев.
Конспектирование, выполнение рисунков.
4. Работа с новым материалом.
Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.
В каких точках производная положительна?
Отрицательна?
Равна нулю?
Обучение поиску алгоритма ответов на поставленные вопросы по графику.
Понимание и осмысление и применение новой информации для решения задачи.
5. Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.
Сообщение условия задачи.
Запись условия задачи.
Формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения
6. Применение знаний: самостоятельная работа обучающего характера.
Решите задачу самостоятельно:
Применение полученных знаний.
Самостоятельная работа по решению задачи на нахождение производной по рисунку. Обсуждение и сверка ответов в паре, формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения.
7. Работа с новым материалом: объяснение.
Вывод уравнения касательной к графику функции в точке.
Подробное объяснение вывода уравнения касательной к графику функции в точке с привлечением в качестве наглядности в виде мультимедийной презентации, ответы на вопросы учащихся.
Вывод уравнения касательной совместно с преподавателем. Ответы на вопросы преподавателя.
Конспектирование, создание рисунка.
8. Работа с новым материалом: объяснение.
В диалоге со студентами вывод алгоритма нахождения уравнения касательной к графику данной функции в данной точке.
В диалоге с преподавателем вывод алгоритма нахождения уравнения касательной к графику данной функции в данной точке.
Конспектирование.
Сообщение условия задачи.
Обучение применению полученных знаний.
Организация поиска путей решения задачи и их реализация. подробный разбор решения с объяснением.
Запись условия задачи.
Выдвижение предположений о возможных путях решения задачи при реализации каждого пункта плана действий. Решение задачи совместно с преподавателем.
Запись решения задачи и ответа.
9. Применение знаний: самостоятельная работа обучающего характера.
Индивидуальный контроль. Консультирование и помощь студентам по мере необходимости.
Проверка и объяснение решения с использованием презентации.
Применение полученных знаний.
Самостоятельная работа по решению задачи на нахождение производной по рисунку. Обсуждение и сверка ответов в паре, формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения
10. Домашнее задание.
§48, задачи 1 и 3, разобраться в решении и записать его в тетрадь, с рисунками.
№ 860 (2,4,6,8),
Сообщение домашнего задания с комментариями.
Запись домашнего задания.
11. Подведение итогов.
Повторили определение производной; физический смысл производной; свойства линейной функции.
Узнали, в чём заключается геометрический смысл производной.
Научились выводить уравнение касательной к графику данной функции в данной точке.
Корректировка и уточнение итогов урока.
Перечисление итогов урока.
12. Рефлексия.
1. Вам было на уроке: а) легко; б) обычно; в) трудно.
а) усвоил(а) полностью, могу применить;
б) усвоил(а), но затрудняюсь в применении;
в) не усвоил(а).
3. Мультимедийная презентация на уроке:
а) помогала усвоению материала; б) не помогала усвоению материала;
в) мешала усвоению материала.
Проведение рефлексии.
Тип задания: 7
Условие
Прямая y=3x+2 является касательной к графику функции y=-12x^2+bx-10. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания меньше нуля.
Показать решениеРешение
Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=-12x^2+bx-10, через которую проходит касательная к этому графику.
Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=-24x_0+b=3. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть -12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. Получаем систему уравнений \begin{cases} -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end{cases}
Решая эту систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания меньше нуля, поэтому x_0=-1, тогда b=3+24x_0=-21.
Ответ
Тип задания: 7
Тема:
Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции
Условие
Прямая y=-3x+4 параллельна касательной к графику функции y=-x^2+5x-7. Найдите абсциссу точки касания.
Показать решениеРешение
Угловой коэффициент прямой к графику функции y=-x^2+5x-7 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=-2x+5, значит, y"(x_0)=-2x_0+5. Угловой коэффициент прямой y=-3x+4, указанной в условии, равен -3. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что =-2x_0 +5=-3.
Получаем: x_0 = 4.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 7
Тема:
Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции
Условие
Показать решениеРешение
По рисунку определяем, что касательная проходит через точки A(-6; 2) и B(-1; 1). Обозначим через C(-6; 1) точку пересечения прямых x=-6 и y=1, а через \alpha угол ABC (на рисунке видно, что он острый). Тогда прямая AB образует с положительным направлением оси Ox угол \pi -\alpha, который является тупым.
Как известно, tg(\pi -\alpha) и будет значением производной функции f(x) в точке x_0. Заметим, что tg \alpha =\frac{AC}{CB}=\frac{2-1}{-1-(-6)}=\frac15. Отсюда по формулам приведения получаем: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 7
Тема:
Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции
Условие
Прямая y=-2x-4 является касательной к графику функции y=16x^2+bx+12. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания больше нуля.
Показать решениеРешение
Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=16x^2+bx+12, через которую
проходит касательная к этому графику.
Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=32x_0+b=-2. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть 16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. Получаем систему уравнений \begin{cases} 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end{cases}
Решая систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания больше нуля, поэтому x_0=1, тогда b=-2-32x_0=-34.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 7
Тема:
Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=6.
Показать решениеРешение
Прямая y=6 параллельна оси Ox . Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 4 .
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 7
Тема:
Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции
Условие
Прямая y=4x-6 параллельна касательной к графику функции y=x^2-4x+9. Найдите абсциссу точки касания.
Показать решениеРешение
Угловой коэффициент касательной к графику функции y=x^2-4x+9 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=2x-4, значит, y"(x_0)=2x_0-4. Угловой коэффициент касательной y=4x-7, указанной в условии, равен 4 . Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что 2x_0-4=4. Получаем: x_0=4.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 7
Тема:
Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции
Условие
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.
Показать решениеРешение
По рисунку определяем, что касательная проходит через точки A(1; 1) и B(5; 4). Обозначим через C(5; 1) точку пересечения прямых x=5 и y=1, а через \alpha угол BAC (на рисунке видно, что он острый). Тогда прямая AB образует с положительным направлением оси Ox угол \alpha.
Тема. Производная. Геометрический и механический смысл производной
Если этот предел существует, то функция называется дифференцируемой в точке. Производная функции обозначается (формула 2).
- Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции. Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции можно записать формула 3). В ней - угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует вывод.
Производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
- Уравнение касательной . Выведем уравнение касательной к графику функции в точке. В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: . Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A: . Отсюда следует: . Подставляя это выражение вместо b, получаем уравнение касательной (формула 4).
Геометрический смысл производной. Задачи на экзамене связанные данной темой у выпускников вызывают некоторые затруднения. Большинство же из них, на самом деле, очень просты. В этой статье разберём задания, в которых требуется найти производную при заданном графике функции и касательной к графику в определённой точке
*При чём в этих задачах на эскизе явно отмечены как минимум две точки, через которые эта касательная проходит. Что нужно знать для решения?
Построим произвольный график некой функции y = f (x) на координатной плоскости, построим касательную в точке x о , обозначим угол между прямой о осью ox как α (альфа)
Из курса алгебры известно, что уравнение прямой имеет вид:
То есть производная функции y = f (x ) в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной:
А угловой коэффициент в свою очередь равен тангенсу угла α (альфа), то есть:
Угол α (альфа) может быть меньше, больше 90 градусов или равен нулю.
Проиллюстрируем, два случая:
1. Угол наклона касательной больше 90 градусов (тупой угол).
2. Угол наклона касательной равен нулю градусов (касательная параллельна оси ох ).
То есть задачи, в которых дан график функции, касательная к этому графику в определённой точке, и требуется найти производную в точке касания, сводятся к нахождению углового коэффициента касательной (либо тангенса угла наклона касательной, что одно и тоже).
Ниже рассмотрим решение таких задач через нахождение тангенса угла между касательной и осью абсцисс (осью ох ), ещё один способ решения (нахождение производной через угловой коэффициент) рассмотрим в недалёком будущем. Также будем рассматривать задачи, где требуется знание свойств производной для чтения графика функции. Не пропустите!
Обратите внимание, что на координатной плоскости обозначены две точки через которые проходит касательная – это очень важный момент (можно сказать ключевой в этих задачах).
Что ещё потребуется - это знание для тангенса тупого угла.
y = f (x ) x 0 y = f (x ) в точке x 0 .
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Для того, чтобы найти тангенс этого угла, построим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой, а катеты параллельны осям. В данной задаче это точки (–5; –4), (1; 5).
Напомню: тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Катеты определяем по числу клеток.
Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу BAC, ох . Значит
Ответ: 1,5
y = f (x ) x 0 y = f (x ) в точке x 0 .
Задача аналогична предыдущей. Так же строим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой. В данной задаче это точки (–5; –7), (3; 3).
Катеты также определяем по числу клеток.
Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу ВАС, так как катет АС параллелен оси ох . Значит
Ответ: 1,25
На рисунке изображены график функции y = f (x ) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции y = f (x ) в точке x 0 .
Строим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой. В данной задаче это точки (–3; 3) и (5; 11). Из точки (5;11) построим продолжение катета так, чтобы получился внешний угол.
Так как CD параллельна оси ох, то угол ABD равен углу наклона касательной к оси ох. Таким образом, мы будем вычислять тангенс угла ABD. Отметим, что он больше 90 градусов, поэтому здесь необходимо воспользоваться формулой приведения для тангенса:
Значит
*Длины катетов считаем по количеству клеток.
Ответ: -1,75
На рисунке изображены график функции y = f (x ) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции y = f (x ) в точке x 0 . х 0
На этом всё! Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.