Найдем отношение первой и второй квадратичных форм
II/I=(Ldu 2 +2Mdudv+Ndv 2)/(Edu 2 + 2Fdudv+ Gdv 2)=k 0
Полученную величину k 0 назовем нормальной кривизной поверхности в данном направлении (du:dv)
Направление (du:dv) на поверхности будем называть главным, если нормальная кривизна поверхности в этом направлении достигает экстремального значения Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. - М., изд. «Наука», 1969, С. 126,132. .
Пусть на поверхности в данной точке уже вычислены коэффициенты первой и второй основных квадратичных форм. Требуется найти главные кривизны. Мы их можем найти из (необходимого и достаточного) условия теоремы Родрига:
В случае бесконечно малого смещения в главном направлении (первом или втором) dm и dr коллинеарны и имеют место формулы dm=-k1dr или dm=-k2dr (первая или вторая).
Обратно, если для какого-нибудь бесконечно малого смещения из данной точки М по поверхности dm и dr коллинеарны, так что можно записать формулу dm=-kdr, где k - некоторый численный коэффициент, то направление смещения - главное, а k равно соответствующей главной кривизне k1 или k2.
Воспользуемся формулой dm=-kdr из этой теоремы и напишем вместо dr, dm их развернутые выражения
mudu+mvdv = -k(rudu + rvdv).
Это одно векторное равенство можно заменить двумя скалярными, а именно, умножая скалярно обе части равенства на ru и rv по очереди:
murudu+mvrudv=-k(rurudu+rvrudv),
murvdu+mvrvdv=-k(rurvdu+rvrvdv).
Двух скалярных равенств достаточно потому, что векторы dm и -kdr заведомо лежат в касательной плоскости, и для их равенства не только необходимо, но и достаточно, чтобы они давали одинаковые скалярные произведения с двумя неколлинеарными векторами в этой плоскости. В качестве таких векторов мы взяли ru, rv.
Полученные уравнения можно переписать, умножив их почленно на -1 и заменив скалярные произведения коэффициентами первой и второй квадратичных форм. Получим
Из этих двух уравнений мы должны определить главную кривизну k.
Перенесем в этих уравнениях все члены влево, и перепишем следующим образом:
(L-kE)du+(M-kF)dv=0,
(M-kF)du+(N-kG)dv=0.
Так как для главной кривизны k эта система двух однородных уравнений относительно du, dv, совместна, то определитель этой системы должен быть равен нулю:
Мы получаем квадратное уравнение относительно k, которому должны удовлетворять главные кривизны k1 и k2 и из которого их можно определить. Напишем это уравнение в развернутом виде:
(EG-F 2)k 2 +(2MF-EN-LG)k+(LN-M 2)=0.
Нетрудно было бы написать явные выражения для каждой из главных кривизн k1,k2, как для корней этого квадратного уравнения. Но эти выражения были бы довольно громоздки, и вычисление их не дало бы какого-либо преимущества. Зато из уравнения (EG-F 2)k 2 +(2MF-EN-LG)k+(LN-M 2)=0 можно сравнительно просто получить сумму и произведение главных кривизн. Действительно, после того как левая часть уравнения будет поделена на коэффициент при k 2 , т.e. на EG-F 2 , произведение корней будет равно свободному члену, а сумма корней - коэффициенту при k с обратным знаком. Итак,
Произведение главных кривизн в данной точке поверхности называется полной или гауссовой кривизной поверхности в данной точке. Мы будем обозначать полную кривизну через К.
Полусумма главных кривизн в данной точке поверхности называется средней кривизной поверхности. Ее мы будем обозначать через H.
Эти кривизны могут быть вычислены через коэффициенты квадратичных форм поверхности. Окончательно предшествующие формулы перепишутся в виде:
Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии, изд. 3-е, переработанное. - М., 1950, С. 258-259,261-262.
Гауссова кривизна поверхности и гиперповерхности
Гаусс ввел понятие кривизны поверхности , которое помогает выяснять то, как различаются разные кривые геометрии.
Как показал Гаусс, существует важная количественная характеристика искривления поверхности - называемая гауссовой кривизной . Смысл ее показан на рисунке. В каждой точке поверхности можно провести две "главные" линии, пересекающиеся в этой точке. На рисунке точка, где производится вычисление гауссовой кривизны, находится на месте пересечения двух черных кривых. Вблизи этой точки кривые почти не отличаются от участков окружностей с радиусами и , соответственно. Если Вы сумели вычислить радиусы этих окружностей, то гауссова кривизна равна по определению произведению обратных радиусов:
Другая величина , равная сумме обратных величин радиусов,:
называется средней кривизной поверхности в данной точке. Средняя и гауссова кривизна поверхностей быстро попали в обиход физики. Так средняя кривизна входит в формулу Лапласа для избыточного давления пара над искривленной поверхностью жидкости. Эта формула имеет прямое отношение к мыльным пузырям. Гауссова же кривизна входит в формулу для дисперсионного соотношения волн на поверхности жидкости при учете поверхностного нятяжения . Это соотношение объясняет тот факт, почему рябь на поверхности жидкости почти не движется, в то время как длинные волны бегут сравнительно быстро. Это можно легко заметить на поверхности любого открытого водоема - реки, озера, моря.
Но не только этим важна гауссова кривизна. Как доказал Гаусс, если просуммировать (взять интеграл) значения гауссовой кривизны во всех точках замкнутой (не имеющей края) поверхности и разделить полученную величину на , то получается всегда целое число :
|
|
Это целое число называется эйлеровой характеристикой замкнутой поверхности.
Удивительным здесь является то, что все замкнутые поверхности можно отнести к одному из классов, для каждого из которых число . В обиход математики и физики XIX века был привнесен способ отличать поверхности по их кривизне. Поскольку, как установил Лобачевский и его поддержал Гаусс, геометрии могут быть разными кривыми даже у нашего физического пространства, то появился способ отличать разные кривые пространства по величине кривизны будет иметь определенное значение. Например, для сферы .
В связис вышеизложенным сразу возникает вопрос, а нельзя ли получить Гаусову (Эйлерову ) характеристикузамкнутой кривой, гиперсферы и т.д.
Если в 3-мерном пространстве сферу можно определить тремя разными точками на сфере и центром, то гиперсфера определяется уже 4-мя точками и центром и, соответственно, на поверхности гиперсферы будут находится три«главных» линии. Соответственнобудет три радиуса: R1, R2, R 3
Вычислив радиусы этих окружностей, то гауссова кривизна будет равна произведению обратных радиусов:
К = 1/(R 1* R 2* R 3)
Н = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3
Аналогично в каждой точке гиперповерхности можно провести три "главные" линии, не лежащие на одной поверхности, пересекающиеся в этой точке и также определить характеристикикривизны поверхности вплоть до эйлеровой , правда, это относится для замкнутой гиперповерхности.
Условно показано как бы часть гиперповерхности – гиперсферы .
Причем и сечения гиперсферы показаны как быдвумяглавными гиперсечениями , на самом деле гиперсфекра (как здесь часть ее) будет 3-мерное тело, состоящее из слоенных поверхностей 3D. Краснаялиния должна быть общей для той и другой поверхности. Точки A на гиперповерхностиопределяется:A = Ф(u ,v ,t )В двух главных сечений-поверхностей имеем три главных линии, вычислить кривизны которых уже не представляет труда.
Здесь также показаны
три главных направления гиперповерхности
в пространстве 4D. В точке их пересечения средняя кривизна будет равна нулю
Вычисления параметров кривизны можно два раза с помощью метода Krivizna .
Метод : Krivizna ( st , A, Kr, Pmax , Pmin )
Входные параметры: шаг - st и точка A (u,v,0)
Kr , Pmax , Pmin – три точки (на входе пустышки)
На выходе:
Kr.x – максимальная кривизна
Kr.y – минимальная кривизна
Kr .z - Гауссова кривизна
Pmax – точка в направлении максимальной кривизны
Pmin – точка в направлении минимальной кривизны
Для нашего второго случая вычислить кривизну не удалось. Поверхности были преобразованы с помощью управляющих параметров, которые не учитываютсяпри вычислении кривизны на такой поверхности.
Вычисления (справа)
произошли
на не преобразованную (слева) поверхность
(поверхностьнадо задавать через метод,
а не в диалоге)
Сетки наибольших (синие линии) и наименьших (красные линии) кривизн
Вернемся к гиперповерхности.
Зададим изначально две поверхности
у которых общая
линия (гиперповерхность в 4D
)
Справа показаны три
направления главных кривизн
и точка А
(u
,v
,t
) гиперповерхности
Вычисляемкривизны попарно на той и другой двумерной поверхности
На нижней поверхности - полицилиндре
На верхней полиповерхности (красная)
Направления кривизн А-К2 (с первой поверхности) =А-К1 (со второй)
Гауссова кривизна будет равна произведению трех кривизн по трем направлениям, похоже, получается равно нулю:
К = К1 * K 2 * K 2 (2-й поверхности)
Средняя кривизна гиперсферы равна сумме обратных величин радиусов:
Н = К1 + K 2 + K 2 (2-й поверхности)
Листинг формирования 2-х полиповерхностей (МК вычисления кривизн вызывается после
При условии что тта или иная поверхность в структуре должна быть последней и активной)
var O = Vector.p (0,0,0)
// ПОлиповерхность
Arc.ss (p (-2,0,0), 2, 2, 90, 270, p (1,0,0), 0)
var n31 = Vector.LastNmb ()
CurrObjNmb = n31
dubl ()
Vector.Obj.Translate (Vector.p (2, 0, 0))
CurrObjNmb = n31
dubl ()
Vector.Obj.Translate (Vector.p (4, 0, 0))
MoveToGroup (1, 4, "gr ")
//dubl ()
var n11 = Vector.LastNmb ()
Vector.PolyPov.Reset ()
Vector.PolyPov.SS (O, n11, 10, 10, 0, 0)
obj.All = 0
Arc.ss (p(-2,0,0), 2, 2, 90, 270, p(1,0,0), 0)
var n33 = Vector.LastNmb ()
Vector.Obj.Translate (Vector.p (2, 0, 0))
obj.yAngle =35
Vector.Obj.Translate (Vector.p (-3, 0, 4))
obj.All = 0
Arc.ss (
Arc.ss (p(0,0,0), 2, 2, 90, 270, p(1,0,0), 0)
obj.yAngle =35
Vector.Obj.Translate (Vector.p (2, 0, -2))
MoveToGroup (2, 5, "gr2")
dubl ()
var n11 = Vector.LastNmb ()
Vector.PolyPov.Reset ()
Vector.PolyPov.SS (O, n11, 10, 10, 0, 0)
SetFillColor (250, 0, 0)
Во многих вопросах теории поверхностей важную роль играют не сами главные кривизны, а зависящие от них величины: так называемая средняя кривизна и гауссова или полная кривизна поверхности в данной точке. Остановимся на них подробнее.
Средней кривизной поверхности в данной точке называется полусумма главных кривизн
Чтобы привести пример использования этого понятия, рассмотрим следующую механическую задачу. Представим себе, что вдоль поверхности некоторого тела плотно натянута упругая, допустим резиновая, пленка. Спрашивается, как давит в каждой точке пленка на поверхность тела F.
Давление в точке М измеряется силой, действующей со стороны пленки на единицу площади малого участка поверхности, содержащего точку точнее, давление «в точке» М измеряется пределом отношения указанной силы к площади участка, когда последний стягивается к точке М.
Окружим на поверхности точку М небольшим криволинейным прямоугольником, стороны которого имеют длины и идут соответственно перпендикулярно первому и второму главному направлению в точке М (рис. 29). На каждую сторону прямоугольника действует сила, пропорциональная (ввиду предположенной равномерности натяжения пленки) длине стороны и величине Т натяжения пленки. Поэтому на стороны, перпендикулярные первому главному направлению, действуют силы, приближенно равные и направленные по касательной к поверхности. Аналогичные силы, равные приложены к другой паре сторон прямоугольника. Чтобы найти давление в точке М, нужно равнодействующую этих четырех сил разделить на площадь прямоугольника, приближенно равную и перейти к пределу при
Сложим отдельно первые две силы и поделим их равнодействующую на
Если посмотреть на прямоугольник сбоку (рис. 30), то можно увидеть, что эти силы направлены по касательным к линии первого нормального сечения и расстояние между точками их приложения как раз равно Поэтому вычисление интересующего нас предела - это та самая задача, которая была решена в § 2 в связи с вопросом о давлении нити на опору. Используя прежний результат, получим, что интересующий нас.
предел равен где - кривизна первого нормального сечения. Учитывая аналогично другие две силы, приходим к формуле:
Полученный результат имеет многочисленные и важные следствия Рассмотрим пример.
Известно, что поверхностная пленка жидкости имеет некоторое, одинаковое во всех направлениях поверхностное натяжение. При изогнутой форме границы жидкого тела это натяжение, согласно сказанному выше, вызывает давление поверхностной пленки на жидкость, пропорциональное средней кривизне граничной поверхности в данной точке.
По этой причине в каплях весьма малого размера должны развиваться колоссальные давления, что препятствует образованию весьма малых капель. При охлаждении пара капли, как правило, образуются сначала вокруг пылинок и заряженных частиц. В совершенно чистом несколько переохлажденном паре каплеобразование задерживается. Если же, например, через этот пар пролетает с большой скоростью частица, возбуждающая ионизацию молекул, то вокруг образовавшихся на её пути ионов мгновенно образуются капельки пара, составляющие видимый след частицы. (На этом основано устройство широко используемой в ядерной физике камеры Вильсона, позволяющей наблюдать движения отдельных заряженных частиц.)
Поскольку жидкость передает давление во все стороны равномерно, капля жидкости при отсутствии других источников давления должна принимать форму, при которой во всех точках ее поверхности средняя кривизна одинакова. В так называемом опыте Плато берутся две жидкости одинакового удельного веса, благодаря чему сгусток одной жидкости плавает внутри другой, находясь в равновесии. Можно считать, что плавающая жидкость находится только под давлением, вызванным поверхностным натяжением ее границы. При этом оказывается, что «плавающая» жидкость всегда принимает форму шара. Результат опыта наводит на мысль, что всякая замкнутая поверхность с постоянной средней кривизной есть шар. Эта теорема действительно верна, но строгое математическое доказательство ее очень трудно.
Можно подойти к вопросу еще с другой стороны. Ввиду того, что поверхностная пленка жидкости стремится сократиться, а объем жидкости измениться не может, естественно ожидать, что плавающая масса жидкости должна обладать наименьшей поверхностью при данном объеме. Доказано, что тело, обладающее указанным свойством, тоже есть шар.
Полученная зависимость между боковым давлением пленки и ее средней кривизной находит также применение в задаче о форме мыльной пленки, натянутой на некоторый контур. Поскольку в этом случае боковое давление пленки, направленное по нормали к ее поверхности, не уравновешивается никакой реакцией опоры (опоры в этом случае просто нет), то оно должно быть равно нулю, и мы получаем для искомой поверхности условие
Используя аналитическое выражение средней кривизны, из этого условия получают дифференциальное уравнение, и задача сводится к решению этого уравнения с учетом того, что искомая поверхность проходит через заданный контур Этой трудной задаче посвящено много исследований.
К тому же уравнению (6) приводит задача о нахождении поверхности наименьшей площади, натянутой на заданный контур. С физической точки зрения это совпадение естественно, так как пленка стремится сократиться и приходит в устойчивое равновесие, когда достигает минимальной площади, возможной в данных условиях. Поверхности нулевой средней кривизны называют в связи с этой последней задачей минимальными.
Математическое исследование минимальных поверхностей представляет большой интерес, отчасти в связи с качественным их разнообразием, обнаруженным в опытах с мыльными пленками. На рис. 31 приведены изображения мыльных пленок, натянутых на различные контуры.
