Докажем следующую основную теорему.

Теорема . Непрерывная на сегменте [a , b ] функция f (x ) интегрируема на этом сегменте.

Доказательство . Пусть дано любое ε > 0. В силу равномерной непрерывности функции f (x ) на сегменте [a , b ] для положительного числа ε /(b - a ) можно указать такое δ > 0, что при разбиении T сегмента [a , b ] на частичные сегменты [x i -1 , x i ], длины Δx i которых меньше δ , колебание ω i функции f (x ) на каждом таком частичном сегменте будут меньше ε /(b - a ) . Поэтому для таких разбиений T

Следовательно, для непрерывной на сегменте [a , b ] функции f (x ) выполнены достаточные условия интегрируемости.

Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.

Данная формула верна для любой функции f(x) , непрерывной на отрезке [а, b] , F - первообразная для f(x) . Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x) , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a) .

Методические особенности введения определения интеграла.

Тема изучается в 11 классе и главное её назначение – обучить учащихся вычислению площади криволинейной трапеции и других более сложных фигур и вычислять объемы геометрического тела с помощью интеграла. Значимость этой темы в том, что интегрирование или отыскание первообразной – это обратная задача отыскания производной. До изучения этой темы учащиеся могли выполнять над функциями следующие действия: сложение, вычитание, умножение и деление. После изучения этой темы учащиеся должны будут уметь выполнять новые действия: дифференцирование.

Изучение этой темы завершает школьный курс математического анализа

Данная тема включает в себя следующие вопросы: первообразная, основное свойство первообразной, три правила нахождения первообразных, площадь криволинейной трапеции, интеграл, формула Ньютона – Лейбница, применение интеграла.

Существует два способа введения понятия интеграла: 1 способ-рассмотрение интеграла как приращения первообразной; Например в учебнике А.Н. Колмогорова., и 2 способ-рассмотрение интеграла как предела интегральных сумм. Например, учебник Алимов Ш.А.

Наиболее трудный, недоступный для школьников – второй подход, так как теория пределов в школе не изучается. В школе используются первый подход. S кр.тр. =F(b)-F(a) – такой подход реализован в современных учебниках.

Сравнительный анализ содержания темы в школьных учебниках

В учебнике А. Н. Колмогорова «Алгебра и начала анализа» при введении интеграла рассматривается задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Автор приводит в учебнике два способа вычисления площади криволинейной трапеции: с помощью теоремы о площади криволинейной трапеции и с помощью интегральных сумм. Второй способ сводится к определению интеграла. С помощью интегральных сумм выводятся также формулы для вычисления объемов тел, работы переменной силы, а также нахождения массы стержня и центра масс.

В учебнике Мордковича А. Г. «Алгебра и начала анализа» при введении понятия «Определенный интеграл» рассматриваются задачи, приводящие к данному понятию, а именно задача о вычислении площади криволинейной трапеции, задача о вычислении массы стержня и задача о перемещении точки. Все три задачи при их решении приводятся к одной и той же математической модели.

В учебнике Никольского С. М. «Алгебра и начала анализа» рассмотрение задачи о вычислении площади криволинейной трапеции приводит к понятию интегральных сумм и пределу от них, после чего вводится определение определенного интеграла. Теоретическое обоснование применения определенного интеграла рассматривается в таких физических задачах, как задачи на работу силы, работу электрического заряда, на вычисление массы стержня переменной плотности, давления жидкости на стенку и центра тяжести.

В учебнике Ш. А. Алимова «Алгебра и начала анализа» перед введением понятия интеграла рассматривается задача о нахождении площади криволинейной трапеции, где вычисление площади сводится к отысканию первообразной F(х) функции f(x). Разность F(b)- F(a) называют интегралом от функции f(x) на отрезке . Далее автор рассматривает вычисление площади криволинейной трапеции с помощью интегральных сумм, говорит о том, что такой способ приближенного вычисления интеграла требует громоздких вычислений и им пользуются в тех случаях, когда не удается найти первообразную функции. В качестве примеров применения интеграла приведены задачи о вытекании воды из бака и нахождении работы силы. Задачи для самостоятельного решения однотипны и их очень мало.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (задача о площади криволинейной трапеции, задача о вычислении работы под действием переменной силы). Понятие определенного интеграла. Суммы Дарбу и их свойства (обзорно). Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Интегрируемость непрерывной функции. Основные свойства определенного интеграла

Задача о площади криволинейной трапеции. Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную линиями гдеf (x ) есть непрерывная положительная функция, заданная при (см. рис.3). Такая фигура называетсякриволинейной трапецией . Поставим вопрос о площади F этой трапеции.

Разделим [a , b ] точками и пустьλ = max(x k +1 - x k ). Прямые x = x k разбивают нашу трапецию на n узких полос. Так как функция f (x ) непрерывна, то она мало меняется при x k ≤ x ≤ x k +1 и без большой погрешности ее можно считать на промежутке [x k , x k +1 ] постоянной и равной f (ξ k ), где ξ k есть произвольно взятая точка промежутка [x k , x k +1 ]. Легко видеть, что сделанное допущение равносильно тому, что мы принимаем вышеупомянутые полосы за прямоугольники, а всю нашу трапецию - за ступенчатую фигуру, изображенную на рис. 4. Площадь этой ступенчатой фигуры, очевидно, равна Естественно считать, что эта площадь при маломλ является приближенным значением интересующей нас площади F . Поэтому по определению будем называть площадью нашей криволинейной трапеции предел .

Если функция имеет, хотя бы одну первообразную, то она имеет бесконечно много первообразных. На практике часто приходится искать разность значений первообразной в точках b и a . Эта разность не зависит от выбора произвольной постоянной с, т.к.. Пусть функция f задана на отрезке и имеет на нем первообразнуюF . Разность называютопределённым интегралом функции f по отрезку и обозначаютЧислаb и a называют верхним и нижним пределами интегрирования. Отрезок областью интегрирования.

Работа переменной силы . Рассмотрим движение материальной точки вдоль осиOXпод действием переменной силыf, зависящей от положения точкиxна оси, т.e. силы, являющейся функциейx. Тогда работаA, необходимая для перемещения материальной точки из позицииx=aв позициюx=bвычисляется по формуле:

Свойства ОИ.

1) Если функция f имеет первообразную на отрезке и– любое число, то.

2) Если функции имеют первообразную на отрезке, то.

3) Аддитивное св-во. Если функция f имеет первообразную на отрезке и, то.

4) Если функция f имеет первообразную на отрезке , то.

5)6)

7) Если функция f имеет первообразную на отрезке и является четной, то. Если жеf является нечетной, то .

8) Если функция f имеет период и на отрезкесуществует первообразная дляf , то для любого a справедливо равенство .

9) Если .

11) Пусть на отрезке выполняются неравенства, причем на этом отрезке функцияf имеет первообразную. Тогда .

Суммы Дарбу. Пусть Составим суммы. Они называются нижней и верхней суммами Дарбу.

Свойства Суммы Дарбу : 1) Если к имеющимся точкам разбиения отрезка на промежутки добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу от этого может разве лишь возрасти, а верхняя сумма - уменьшается. Т.е. если τ′-измельчение разбиения τ, то .

2) Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждую из верхних сумм, даже отвечающих другому разбиению промежутка.

3) - колебание функции на− нижний интеграл Дарбу функцииf на , - верхний интеграл Дарбу. Множество {} нижних сумм Дарбу ограничено сверху хотя бы одной из верхних сумм Дарбу тогда оно имеетпричем. Множество верхних сумм Дарбу {} ограничено снизу, поэтому существует-, причем. Т.о..

Th Необходимое условие интегрируемости. Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на нем. Th Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируема на нем необходимо и достаточно чтобы Это условие означает, для любого ε>0 существует δ(ε)>0, что для любого разбиения τ мелкости меньше, чем δ выполняется неравенство:−<ε.

Th Интегрируемость непрерывной функции. Если f(x) непрерывна на , то она интегрируема на нем.Th . Функция определенная и монотонная на интегрируема на нем. Th . Если функция ограничена и непрерывна на отрезке, кроме, может быть, конечного числа точек, то она интегрируема на нем.

d(τ)→0

Замечание 1. Если функция f(x) интегрируема на отрезке с концами a, b, то справедливо неравенство

Замечание 2. Если функция f(x) непрерывна на , f(x) ≥ 0 на

И x0 : f(x0 ) > 0, то f(x) dx > 0.

1.6 Интегрируемость кусочно непрерывной функции

Рассмотрим класс интегрируемых функций, более широкий по сравнению с классом непрерывных функций. Для этого потребуется следующая лемма, указывающая еще одно достаточное условие интегрируемости функции.

Лемма 1.3. Пусть функцияf(x) интегрируема на отрезке . Изменение значения функции в конечном числе точек не влияет на ее интегрируемость на и на величину интеграла.

Пусть, для определенности, A > 0. Зафиксируем ε > 0 и выберем

произвольное разбиение τ = {xk }n k=0 N с диаметром d(τ) <2A . Точка α может принадлежать только одному отрезку разбиения, если α не является точкой из разбиения τ, или двум отрезкам, если α является точкой из разбиения τ, не совпадающей с a или b. В любом случае

I(fe ) = fe (x) dx = 0.

2) Пусть f R ,

0, x \ {α},

и g(x) = A − f(α), x = α.

Тогда fe (x) = f(x) + g(x), x , и по теореме1.12 функция fe интегрируема на , при этом

Если изменение значения функции происходит в конечном числе точек отрезка , то для каждой такой точки следует построить функцию, аналогичную функции g, которая будет интегрируема на , составить сумму, аналогичную (1.21), и применить теорему1.12.

Определение 1.6. Функция f:

непрерывной на отрезке , если ключением конечного числа точек, разрыва первого рода.

→ R называется кусочно она непрерывна на за искоторые являются ее точками

Рис. 1.1: Пример кусочно непрерывной функции

Теперь мы можем доказать результат, расширяющий класс интегрируемых по Риману функций.

Теорема 1.19. Если функцияf: → R кусочно непрерывна на отрезке , то она интегрируема на нем.

Рассмотрим случай, когда функция f(x) имеет на отрезке одну точку разрыва первого рода c (a, b), то есть существуют конечные

предельные значения f(c + 0) и f(c − 0). Рассмотрим функции

Так как функции f1 (x) и f2 (x) непрерывны на отрезках и соответственно, то они интегрируемы на этих отрезках. Тогда по лемме1.3 функция f(x), отличающаяся от функции f1 (x) значением в одной точке, интегрируема на отрезке . Аналогично, f(x) интегрируема и на отрезке . Тогда по теореме1.17 f(x) интегрируема на .

Замечание. Если функция f(x) кусочно непрерывна на отрезке , то она интегрируема на нем и для вычисления определенного интеграла от такой функции отрезок разбивается на конечное число отрезков так, что f(x) является непрерывной и ограниченной функцией на интервалах (ak , bk ).

1.7 Первая интегральная теорема о среднем

Теорема 1.20. Пусть функцииf иg удовлетворяют условиям:

Пусть, например, g(x) ≥ 0, x , тогда из условия 2) следует, что mg(x) ≤ f(x)g(x) ≤ Mg(x), x . Так как функции f и g

интегрируемы на отрезке , то функция f · g также интегрируема на этом отрезке и в силу теоремы 1.18

случае равенство (1.22) выполняется при любом µ.

Из определения µ следует равенство (1.22). Аналогично доказывается теорема и в случае, когда g(x) ≤ 0 на .

Cледствие 1. Если функцияf интегрируема на отрезке иm ≤ f(x) ≤ M, x , то

µ : f(x) dx = µ(b − a).

Cледствие 2. Если функцияf(x) непрерывна на отрезке , а функцияg(x) интегрируема и не меняет на нем знак, то

Из непрерывности функции f(x) на отрезке следует, что она интегрируема на нем. Согласно второй теореме Вейерштрасса

По теореме Больцано–Коши о промежуточном значении непрерывной на отрезке функции, существует точка c, принадлежащая отрезку с концами в точках p и q, а значит, c , такая, что f(c) = µ. Таким образом,