В статье было рассказано о сути метода параллельного проектирования и его свойствах. Но как показывает практика, учащимся трудно воспринимать теоретические выкладки без демонстрации на конкретных примерах.
В данной статье покажем, как использовать свойства параллельного проектирования и свойства известных школьникам плоских фигур (треугольника, параллелограмма, трапеции, круга и шестиугольника) для изображения этих фигур при параллельном проектировании .
1. Изображение треугольника
1) Любой треугольник (прямоугольный, равнобедренный, правильной) изображается произвольным треугольником в удобном расположении на рисунке.
2) Если ΔA 1 B 1 C 1 – прямоугольный, то изображение направлений двух его высот (катетов) задано. Произвольно изображаются высота, опущенная на гипотенузу, и центр вписанной окружности. Изображение перпендикуляра, опущенного из заданной точки гипотенузы на какой-либо катет, является отрезком, параллельным другому катету.
3) Если ΔA 1 B 1 C 1 – равнобедренный, то изображение медианы B 1 D 1 является изображением высоты и биссектрисы ΔA 1 B 1 C 1 . Изображение центра вписанной и описанной окружностей принадлежат BD.
4) Если ΔA 1 B 1 C 1 – правильный (равносторонний), то центры вписанной и описанной окружностей совпадают и лежат в точке пересечения медиан. Поэтому построение изображения этого треугольника не может быть произвольным, если задан, например, центр одной из этих окружностей.
2. Изображение параллелограмма
Любой заданный параллелограмм A 1 B 1 C 1 D 1 (включая прямоугольник, квадрат, ромб) может быть изображен произвольным параллелограммом ABCD.
На изображении произвольного параллелограмма изображения двух его высот, проведенных из одной вершины, можно построить произвольно. Причем высоты, проведенные из вершины острого угла параллелограмма – оригинала, лежат вне параллелограмма, а высоты, проведенные из вершины тупого угла – внутри него.
1) Если A 1 B 1 C 1 D 1 – ромб, то на изображении определяется пара взаимно перпендикулярных прямых – это диагонали ABCD. Поэтому произвольно можно построить изображение только лишь одной высоты из данной вершины ромб на его сторону.
При изображении другой высоты ромба учитывают, что основания этих высот лежат на прямой, параллельной диагонали ромба.
Аналогично изображаются перпендикуляры, опущенные на стороны ромба из любой точки его диагонали.
2) Если A 1 B 1 C 1 D 1 – квадрат, то его изображение – произвольный параллелограмм ABCD. Причем изображения высот, биссектрис, углов, перпендикуляров к сторонам строить произвольно нельзя.
3. Изображение трапеции
Любая трапеция A 1 B 1 C 1 D 1 (а также равнобокая и прямоугольная) может быть изображена произвольной трапецией ABCD.
1) Если A 1 B 1 C 1 D 1 - трапеция общего вида, то изображение ее высоты и одного из перпендикуляров, опущенных из точки основания на боковые стороны, можно строить произвольно.
2) Если A 1 B 1 C 1 D 1 - прямоугольная трапеция, то C 1 B 1 ⊥ A 1 B 1 , изображение высоты трапеции уже задано на рисунке, поэтому произвольно может быть изображен лишь перпендикуляр к наклонной боковой стороне.
3) Если A 1 B 1 C 1 D 1 - равнобокая трапеция (есть ось симметрии), то изображением высоты является отрезок, соединяющий середины верхнего и нижнего оснований трапеции (или ему параллельный).
4. Изображение окружности
Параллельной проекцией окружности является эллипс. Центром окружности на изображении является точка пересечения сопряженных диаметров эллипса. Два диаметра окружности (эллипса) называются сопряженными, если каждый из них делит пополам все хорды, параллельные другому диаметру.
4. Изображение правильного шестиугольника
Правильный шестиугольник A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 изображается так: сначала изображается произвольный параллелограмм BCEF и проводятся его диагонали BE и CF; затем от точки их пересечения О откладываются равные отрезки произвольной длины (но большей половины стороны ВС) параллельно сторонам BC и EF. Концы построенных отрезков – это вершины A и D.
Итак, мы рассмотрели всевозможные варианты изображения плоских фигур на плоскости с использованием метода параллельного проектирования .
В следующей статье мы рассмотрим изображение пространственных фигур на плоскости .
В ряде случаев построение аксонометрических проекций удобнее начинать с построения фигуры основания. Поэтому рассмотрим, как изображают в аксонометрии плоские геометрические фигуры , расположенные горизонтально.
1. квадрата показано на рис. 1, а и б.
Вдоль оси х откладывают сторону квадрата а, вдоль оси у - половину стороны а/2 для фронтальной диметрической проекции и сторону а для изометрической проекции. Концы отрезков соединяют прямыми.
Рис. 1. Аксонометрические проекции квадрата:
2. Построение аксонометрической проекции треугольника показано на рис. 2, а и б.
Симметрично точке О (началу осей координат) по оси х откладывают половину стороны треугольника а/ 2, а по оси у - его высоту h (для фронтальной диметрической проекции половину высоты h/2 ). Полученные точки соединяют отрезками прямых.
Рис. 2. Аксонометрические проекции треугольника:
а - фронтальная диметрическая; б - изометрическая
3. Построение аксонометрической проекции правильного шестиугольника показано на рис. 3.
По оси х вправо и влево от точки О откладывают отрезки, равные стороне шестиугольника . По оси у симметрично точке О откладывают отрезки s/2 , равные половине расстояния между противоположными сторонами шестиугольника (для фронтальной диметрической проекции эти отрезки уменьшают вдвое). От точек m и n , полученных на оси у , проводят вправо и влево параллельно оси х отрезки, равные половине стороны шестиугольника. Полученные точки соединяют отрезками прямых.
Рис. 3. Аксонометрические проекции правильного шестиугольника:
а - фронтальная диметрическая; б - изометрическая
4. Построение аксонометрической проекции окружности .
Фронтальная диметрическая проекция удобна для изображения предметов с криволинейными очертаниями, подобных представленными на рис. 4.
Рис.4. Фронтальные диметрические проекции деталей
На рис. 5. дана фронтальная диметрическая проекция куба с вписанными в его грани окружностями. Окружности , расположенные на плоскостях, перпендикулярных к осям х и z, изображаются эллипсами . Передняя грань куба, перпендикулярная к оси у, проецируется без искажения, и окружность, расположенная на ней, изображается без искажения, т. е. описывается циркулем.
Рис.5. Фронтальные диметрические проекции окружностей, вписанных в грани куба
Построение фронтальной диметрической проекции плоской детали с цилиндрическим отверстием .
Фронтальную диметрическую проекцию плоской детали с цилиндрическим отверстием выполняют следующим образом.
1. Строят очертания передней грани детали, пользуясь циркулем (рис. 6, а).
2. Через центры окружности и дуг параллельно оси у проводят прямые, на которых откладывают половину толщины детали. Получают центры окружности и дуг, расположенных на задней поверхности детали (рис. 6, б). Из этих центров проводят окружность и дуги, радиусы которых должны быть равны радиусам окружности и дуг передней грани.
3. Проводят касательные к дугам. Удаляют лишние линии и обводят видимый контур (рис. 6, в).
Рис. 6. Построение фронтальной диметрической проекции детали с цилиндрическими элементами
Изометрические проекции окружностей .
Квадрат в изометрической проекции проецируется в ромб . Окружности, вписанные в квадраты, например, расположенные на гранях куба (рис. 7), в изометрической проекции изображаются эллипсами. На практике эллипсы заменяют овалами, которые вычерчивают четырьмя дугами окружностей.
Рис. 7. Изометрические проекции окружностей, вписанных в грани куба
Построение овала, вписанного в ромб.
1. Строят ромб со стороной, равной диаметру изображаемой окружности (рис. 8, а). Для этого через точку О проводят изометрические оси х и у, и на них от точки О откладывают отрезки, равные радиусу изображаемой окружности. Через точки a, b , с и d проводят прямые, параллельные осям; получают ромб. Большая ось овала располагается на большой диагонали ромба.
2. Вписывают в ромб овал . Для этого из вершин тупых углов (точек А и В ) описывают дуги радиусом R , равным расстоянию от вершины тупого угла (точек А и В ) до точек a, b или с, d соответственно. От точки В к точкам а и b проводят прямые (рис. 8, б); пересечение этих прямых с большей диагональю ромба дает точки С и D , которые будут центрами малых дуг; радиус R 1 малых дуг равен Са (Db ). Дугами этого радиуса сопрягают большие дуги овала.
Рис. 8. Построение овала в плоскости, перпендикулярной оси z.
Так строят овал, лежащий в плоскости, перпендикулярной к оси z (овал 1 на рис. 7). Овалы, находящиеся в плоскостях, перпендикулярных к осям х (овал 3) и у (овал 2), строят так же, как овал 1., только построение овала 3 ведут на осях у и z (рис. 9, а), а овала 2 (см. рис. 7) - на осях х и z (рис. 9, б).
Рис. 9. Построение овала в плоскостях, перпендикулярных осям х и у
Построение изометрической проекции детали с цилиндрическим отверстием .
Если на изометрической проекции детали нужно изобразить сквозное цилиндрическое отверстие, просверленное перпендикулярно передней грани, представленное на рисунке. 10, а.
Построения выполняет следующим образом.
1. Находят положение центра отверстия на передней грани детали. Через найденный центр проводят изометрические оси. (Для определения их направления удобно воспользоваться изображением куба на рис. 7.) На осях от центра откладывают отрезки, равные радиусу изображаемой окружности (рис. 10, а).
2. Строят ромб , сторона которого равна диаметру изображаемой окружности; проводят большую диагональ ромба (рис. 10, б).
3. Описывают большие дуги овала; находят центры для малых дуг (рис. 10, в).
4. Проводят малые дуги (рис. 10, г).
5. Строят такой же овал на задней грани детали и проводят касательные к обоим овалам (рис. 10, д).
Рис. 10. Построение изометрической проекции детали с цилиндрическим отверстием
31*. Провести из точки С перпендикуляр на прямую АВ (рис. 29,а, где AB || пл. V).
Решеиие. Известно, прямой угол проецируется на плоскость в виде прямого угла в том случае, если одна из его сторон параллельна плоскости проекции, а другая пересекает эту плоскость под острым углом.
В данном случае (рис. 29, а) прямая АВ параллельна пл. V. Поэтому можно из точки с" (рис. 29, б) провести прямую перпендикулярно к а"b" и найти проекции точки К, в которой СК пересекает АВ. Получаем проекции c"k" и ck искомого перпендикуляра.
32. Провести ив точки С прямую перпендикулярно к прямой АВ: 1) AB || пл. H (рис. .30, а), 2) AB || пл. W (рис. 30, б).
33*. Пересечь прямые АВ и CD (рис. 31, а) третьей прямой, перпендикулярной к ним, т. е. найти кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD, из которых одна прямая (CD) перпендикулярна к пл. проекций Н.
Решение. Так как прямая CD перпендикулярна к пл. Н, то любой перпендикуляр к ней располагается параллельно пл. Н. Поэтому прямой угол между искомой прямой и прямой АВ изображается на пл. Н в виде прямого угла. Горизонт. проекция точки пересечения искомой прямой с прямой CD - точка m - совпадает с с (d) (рис. 31, б). Проводим через точку m горизонт. проекцию прямой перпендикулярно к ab до пересечения с ней в точке k и находим k". Фронт, проекция искомой прямой (k"m") располагается параллельно оси х.
34*. Построить ромб ABCD, зная, что отрезок BD является одной из его диагоналей (BD || пл. V), а вершина А должна быть на прямой EF (рис. 32, а).
Решение. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся в точке пересечения пополам. Поэтому делим (рис. 32, б) проекции диагонали BD пополам. Так как BD || пл. V, то из точки k" проводим перпендикуляр к прямой b"d". Это соответствует правилам построения проекции прямого угла на плоскости, по отношению к которой диагональ BD параллельна. Точка пересечения этого перпендикуляра с проекцией e"f" представляет собой фронт, проекцию а" искомой вершины ромба А. Для построения точки с" откладываем на продолжении прямой a"k" отрезок k"с", разный отрезку а"k". По точке а" строим на ef точку а. Дальнейшее ясно из чертежа.
35. Построить равнобедренный треугольник ABC с основанием, равным ВС (ВС || пл. Н). Вершина А должна быть на прямой ЕF (рис. 33).
36. Построить прямоугольный треугольник ABC, у которого катет А В лежит на прямой MN (MN || пл. V) и равен l. Для катета ВС дана его проекция bс (рис. 34).
37*. Построить равнобедренный треугольник с основанием ВС на прямой MN (MN || пл. H) и вершиной А на прямой EF (рис. 35, а). Основание ВС должно равняться высоте треугольника АК, причем для точки К дана ее горизонт, проекция.
Решение. Для построения треугольника надо найти его высоту АК и отложить половину ее величины на прямой М N по обе стороны от точки К. На рис. 35, б по точке k строим точку k". Из точки k проводим перпендикуляр к прямой mn (прямой угол между высотой АК и основанием ВС, лежащим на MN, изображается на пл. проекций Н в виде прямого же угла, так как прямая MN параллельна пл. Н). Продолжаем зтст перпендикуляр до пересечения с ef. По точке а строим а" на е"f"; получаем фронт. проекцию высоты АК.
Теперь можно найти натуральную величину высоты АК. Для этого строим прямоугольный треугольник akK , у которого катет kK равен разности расстояний точек А и К от пл. Н. Гипотенуза аK выражает высоту АК. Откладывая на прямой mn отрезки kb н kc, равные половине высоты АК (т. е. половине отрезка аK ), получаем точки b и с, а по ним проекции b" и с". Дальнейшее ясно из чертежа.
38. Построить квадрат ABCD со стороной ВС на прямой ММ, которая || пл. V (рис. 36).
39. Построить прямоугольный треугольник ABC с катетом ВС на прямой MN (MN || пл. H). Для катета АВ дана проекция а"b". Катет ВС должен быть в 1,5 раза больше катета АВ (рис. 37).
8.1. Фронтальные диметрические проекции окружностей . Если на аксонометрическом изображении хотят некоторые элементы. например окружности (рис. 64), сохранить неискаженными, то применяют фронтальную диметрическую проекцию. Построение фронтальной диметрической проекции детали с цилиндрическим отверстием, два вида которой даны на рисунке 64, а, выполняют так:
- Пользуясь осями х, у, z, строят тонкими линиями очертания внешней формы детали (рис. 64, б).
- Находят центр отверстия на передней грани. Через него параллельно оси у проводят ось отверстия и откладывают на ней половину толщины детали. Получают центр отверстия, расположенный на задней грани.
- Из полученных точек как из центров проводят окружности, диаметр которых равен диаметру отверстия (рис. 64, в).
- Удаляют лишние линии и обводят видимый контур детали (рис. 64, г).
Рис. 64. Построение фронтальной диметрической проекции
Постройте в рабочей тетради фронтальную диметрическую проекцию детали, изображенной на рисунке 64, а. Ось у направьте в другую сторону. Величину изображения увеличьте примерно в два раза.
8.2. Изометрические проекции окружностей . Изометрической проекцией окружности (рис. 65) является кривая, которая называется эллипсом. Эллипсы строить трудно. В практике черчения вместо них часто строят овалы. Овал - замкнутая кривая, очерченная дугами окружностей. Овал удобно строить, вписывая в ромб, который является изометрической проекцией квадрата.
Рис. 65. Изображение в изометрической проекции окружностей вписанных в куб
Построение овала, вписанного в ромб, выполняют в такой последовательности.
Вначале строят ромб со стороной, равной диаметру изображаемой окружности (рис. 66, а). Для этого через точку О проводят изометрические оси х и у. На них от точки О откладывают отрезки, равные радиусу изображаемой окружности. Через точки а, b, с и d проводят прямые, параллельные осям; получают ромб.
Рис. 66. Построение овала
Большая ось овала располагается на большой диагонали ромба.
После этого вписывают в ромб овал. Для этого из вершин тупых углов (точек А и В) описывают дуги. Их радиус R равен расстоянию от вершины тупого угла (точек А и В) до точек с, d или a, b соответственно (рис. 66, б).
Через точки В и а, В и b проводят прямые. В пересечении прямых Ва и ВЬ с большей диагональю ромба находят точки С и D (рис. 66, а). Эти точки будут центрами малых дуг. Их радиус R1 равен Са (или Db). Дугами этого радиуса плавно соединяют большие дуги овала.
Мы рассмотрели построение овала, лежащего в плоскости, перпендикулярной оси z (овал 1 на рисунке 65). Овалы, находящиеся в плоскостях, перпендикулярных оси у (овал 2) и оси х (овал 3), строят также. Только для овала 2 построение ведут на осях х и z (рис. 67, а), а для овала 3- на осях у и z (рис. 67, б). Рассмотрим, как применяются изученные построения на практике.
Рис. 67. Построение овалов: а лежащего в плоскости, перпендикулярной оси у; б - лежащего в плоскости, перпендикулярной оси x
Рис. 68. Построение изометрической проекции детали с цилиндрическим отверстием
8.3. Способ построения аксонометрических проекций предметов, имеющих круглые поверхности . На рисунке 68, а дана изометрическая проекция планки. Надо изобразить цилиндрическое отверстие, просверленное перпендикулярно передней грани. Построение выполняют так:
- Находят центр отверстия па передней грани. Определяют направление изометрических осей лля построения ромба (см. рис. 65). Из найденного центра проводят оси (рис. 68, а) и откладывают на них отрезки, равные радиусу окружности.
- Строят ромб. Проводят его большую диагональ (рис. 68, б).
- Описывают большие дуги. Находят центры для малых дуг (рис. 68. в).
- Проводят из найденных центров малые дуги.
Такой же овал строят на задней грани, но обводят лишь видимую его часть (рис. 68, г).
