Логарифмической функцией комплексного переменного z называется функция, обратная показательной.

Так как показательная функция ez не является однолистной в C, то обратная к ней функция будет многозначной. Эта многозначная логарифмическая функция обозначается Ln z. Таким образом, если w = Ln z, то z = ew . Заметим, что так как ez 6= 0; 8z 2 C, то Ln 0 не существует. Положим

w = u + iv; z = rei" = rei Arg z ;

re i Arg z= z = e w= e u+iv= e ue iv:

Сравнивая числа, стоящие слева и справа этой цепочки, заключаем, что

Каждому комплексному числу z, отличному от 0 и 1, формула (4.16) ставит в соответствие бесконечное множество значений Ln z, отличающихся друг от друга на величину 2 ki, где k любое целое число. Удобно представить Arg z в виде

Arg z = arg z + 2 k;

где arg z главное значение аргумента. Тогда формула (4.16) примет вид:

Ln z = ln jzj + i(arg z + 2 k); k 2 C:


Пример 4.5. Решить уравнение e 2
	Очевидно z =	2i) = 2i Ln(2 2i).

Чтобы привести это число к алгебраическому виду, воспользуемся формулой (4.17).

2i Ln(2 2i) = 2i (ln j2 2ij + i Arg(2 2i)) =


	2i ln(2p 2) + i

где k 2 Z:

Для каждого значения k функция Ln z является непрерывной однозначной функцией в комплексной плоскости с разрезом по отрицательной части действительной оси; она также и аналитична в этой области как функция, обратная аналитической функции ez . Таким образом, для каждого фиксированного k формула(4.17) определяет регулярную ветвь многозначной функции Ln z. Эта ветвь взаимно-однозначно отображает плоскость с разрезом по отрицательной части действительной оси в полосу

2 k < Im w < + 2 k:

Ветвь, которая получается при k = 0, обозначается ln z и называется главным значением многозначной функции Ln z:

ln z = ln jzj + i arg z:

Главная ветвь логарифма будет отображать луч arg z = c в прямую Im w = c, угол c1 < arg z < c2 в полосу c1 < Im w < c2 .

Чтобы представить себе риманову поверхность функции Ln z, возьмем бесконечное количество экземпляров ("листов") плоскости с разрезом по отрицательной части действительной оси и склеим их так, как показано на рис. 4.14.

Рис. 4.14

Над каждой точкой плоскости, кроме точек z = 0 и z = 1, располагается бесконечно много точек римановой поверхности. В точках 0 и 1 функция Ln z не определена, и точек поверхности над ними нет. Точки z = 0 и z = 1 называются точками ветвления бесконечного порядка.

Рис. 4.14 наглядно демонстрирует причину того, что ln(1 + i 0) 6= ln(1 i 0). Если предположить, что точки1 ih находятся на одном и том же листе римановой поверхности и устремить h к нулю, то предельные положения1 + i 0 и 1 i 0 этих точек окажутся на разных листах римановой поверхности.

Выделить регулярную ветвь логарифма можно не только в области D, являющейся плоскостью с разрезом по отрицательной части действительной оси. Если сделать разрез плоскости по любому лучу, то полученная область также допускает выделение в ней регулярной ветви. Пусть разрез сделан по лучу, идущему под углом к оси OX. Тогда регулярные ветви будут задаваться следующей формулой: при z = rei" , < " < + 2 Ln z = ln r + i(" + 2 k): Формула(4.17) является частным случаем при = .

В заключение отметим, что производная каждой регулярной ветви f(z) логарифма находится по формуле

f0 (z) =z 1 ;

аналогичной формуле для производной логарифма действительного переменного. Этот факт выводится из равенства (ez )0 = ez и формулы производной обратной функции.

4.6. Общая степенная функция

Общая степенная функция w = za , где a = + i фиксированное комплексное число, определяется соотношением

Отсюда следует, что значения степенной функции отличаются лишь аргументами k = (" + 2 k). Если рациональное число, т.е. оно представимо несократимой дробью =m n (m

и n целые числа), то среди k имеется лишь n значений, определяющих различные значения za :

При k = n; n + 1; : : : мы получим значения k , отличающиеся от уже известных на числа, кратные 2 . Значит, для таких значений k мы не получим новых точек za . Итак, при a = m=n формула(4.19) дает (мы пользуемся также равенством eln r = r для действительных чисел r,):

cos, то =k 2 k 1 и, следова-тельно, рациональное число, что противоречило бы сделан-

ному предположению.) Поэтому для иррациональных чисел a функция za бесконечнозначна. Ее риманова поверхность такая же, как и риманова поверхность логарифма.

Общая степенная функция w = za в силу своего определения допускает выделение регулярных ветвей там же, где логарифм; например, в плоскости с разрезом по лучу. Ветвь

e a ln z= e a(ln jzj+i arg z);

выделенная в плоскости с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси, называется главной ветвью степенной функции. В силу теоремы о производной сложной функции для каждой регулярной ветви степенной функции справедливы равенства

dz d za =dz d eaf(z) = eaf(z) af0 (z) = za az 1 = aza 1 ;

где f(z) регулярная ветвь логарифмической функции Ln z. Мы получили обычную формулу для производной степен-

ной функции: (za )0 = aza 1 .

Пример 4.6. Представить в алгебраической форме комплексное число (1 + i)2i .

Что такое логарифм?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно - уравнения с логарифмами.

Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите? Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 - 20 минут вы:

1. Поймете, что такое логарифм .

2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.

3. Научитесь вычислять простые логарифмы.

Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень...

Чувствую, сомневаетесь вы... Ну ладно, засекайте время! Поехали!

Для начала решите в уме вот такое уравнение:

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Модульный урок по теме:

Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства.

Цели урока:

Образовательные цели:

Учебный элемент №1.

Ц1. Повторить и закрепить свойства функции у= log a x при различных а.

Учебный элемент №2.

Ц2. Закрепить решение логарифмических уравнений, корректировать знания.

Ц3. Закрепить решение логарифмических неравенств, корректировать.

Учебный элемент №3.

Ц4. Научить применение полученных знаний в нестандартных ситуациях.

Развивающие цели:

Научить учащихся грамотно, доступно излагать свои мысли, развивать математическую речь, формировать навыки самообучения, самоорганизации и самооценки.

Воспитательные цели:

Воспитать у учащихся любовь и уважение к предмету, научить видеть в ней не только строгость, сложность, но и логичность, простоту и красоту.

Примерный план урока

Организационное начало.

Знакомство, мотивация, эпиграф.

Устные упражнения.

Объявление темы урока, плана.

Учебный элемент №1

Исторические сведения, применение логарифма.

Промежуточная диагностика.

Взаимопроверка.

Учебный элемент №2

Повторение теоретической части.

Промежуточная диагностика.

Самопроверка.

Учебный элемент №3

Решение задачи.

Промежуточная диагностика.

Коррекция.

Подведение итогов, оценивание.

Домашнее задание.

Оборудование: опорные сигналы, памятки, формулы–справочники; карточки с заданиями; тесты.

Тип урока : урок обобщения и систематизации знаний.

ХОД УРОКА

Мотивация

Дорогие ребята! Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением: Математика – интересный и нужный предмет.

Сегодняшнему уроку я посвятила свое стихотворение, которое назвала «Признание»:

Математика! Как я люблю тебя,

В течение очень многих лет.

Таинственней, величавей, строже

Чем ты, на свете предметов нет.

С тобой я узнала радость познанья,

Наслаждаясь красотой твоей,

Постигала тайны мирозданья,

Ты стала смыслом жизни моей!

Как сияют лица вдохновеньем,

Когда с волненьем я веду урок

О логарифмических уравнениях,

Об изяществе формул царицы наук.

И не знаю я момента лучшего,

Чем тот, когда мой юный друг,

Склоняясь над задачей вдумчиво,

Ничего не замечает вокруг.

Математика!

В тебе мысли глубина и точность,

В тебе числам и задачам простор.

Теорем и определений строгость,

Совершенство и гармония фигур.

В самом деле, душой математики является красота и гармония. Я хочу, чтобы вы чувствовали эту красоту и это чувство помогало вам в изучении такого замечательного предмета, как математика. Тем более вы все собираетесь связывать свою жизнь так или иначе с этим предметом. О гармонии в математики, о ее красоте говорили очень многие. Об этом говорил и известный геометр 20 века

Раздел логарифмов занимает огромное значение в школьном курсе «Математического анализа». Задания для логарифмических функций построены на иных принципах, нежели задачи для неравенств и уравнений. Знание определений и основных свойств понятий логарифм и логарифмическая функция, обеспечат успешное решение типовых задач ЕГЭ.

Прежде чем приступить к объяснению, что представляет собой логарифмическая функция, стоит обратиться к определению логарифма.

Разберем конкретный пример: а log a x = x, где a › 0, a ≠ 1.

Основные свойства логарифмов можно перечислить несколькими пунктами:

Логарифмирование

Логарифмированием называют математическую операцию, которая позволяет с помощью свойств понятия найти логарифм числа или выражения.

Примеры:

Функция логарифма и ее свойства

Логарифмическая функция имеет вид

Сразу отметим, что график функции может быть возрастающим при a › 1 и убывающим при 0 ‹ a ‹ 1. В зависимости от этого кривая функции будет иметь тот или иной вид.

Приведем свойства и способ построения графиков логарифмов:

область определения f(x) – множество всех положительных чисел, т.е. x может принимать любое значение из интервала (0; + ∞);
ОДЗ функции – множество всех действительных чисел, т.е. y может быть равен любому числу из промежутка (— ∞; +∞);
если основание логарифма а › 1, то f(x) возрастает на всей области определения;
если основание логарифма 0 ‹ a ‹ 1, то F – убывающая;
логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной;
кривая графика всегда проходит через точку с координатами (1;0).

Построить обе разновидности графиков очень просто, рассмотрим процесс на примере

Для начала необходимо вспомнить свойства простого логарифма и ее функции. С их помощью нужно построить таблицу для конкретных значений x и y. Затем на координатной оси следует отметить полученные точки и соединить их плавной линией. Эта кривая и будет являться требуемым графиком.

Логарифмическая функция является обратной для показательной функции, заданной формулой y= а x . Чтобы убедиться в этом, достаточно нарисовать обе кривые на одной координатной оси.

Очевидно, что обе линии являются зеркальным отражением друг друга. Построив прямую y = x, можно увидеть ось симметрии.

Для того, чтобы быстро найти ответ задачи нужно рассчитать значения точек для y = log 2⁡ x, а затем просто перенести начала точки координат на три деления вниз по оси OY и на 2 деления влево по оси OX.

В качестве доказательства построим расчетную таблицу для точек графика y = log 2 ⁡(x+2)-3 и сравним полученные значения с рисунком.

Как видно, координаты из таблицы и точек на графике совпадают, следовательно, перенос по осям был осуществлен правильно.

Примеры решения типовых задач ЕГЭ

Большую часть тестовых задач можно разделить на две части: поиск области определения, указания вида функции по рисунку графика, определение является ли функция возрастающей/убывающей.

Для быстрого ответа на задания необходимо четко уяснить, что f(x) возрастает, если показатель логарифма а › 1, а убывает – при 0 ‹ а ‹ 1. Однако, не только основание, но и аргумент может сильно повлиять на вид кривой функции.

F(x), отмеченные галочкой, являются правильными ответами. Сомнения в данном случае вызывают пример 2 и 3. Знак «-» перед log меняет возрастающую на убывающую и наоборот.

Поэтому график y=-log 3⁡ x убывает на всей области определения, а y= -log (1/3) ⁡x – возрастает, при том, что основание 0 ‹ a ‹ 1.

Ответ : 3,4,5.

Ответ : 4.

Данные типы заданий считаются легкими и оцениваются в 1- 2 балла.

Задание 3.

Определить убывающая или возрастающая ли функция и указать область ее определения.

Y = log 0.7 ⁡(0,1x-5)

Так как основание логарифма меньше единицы, но больше нуля – функция от x является убывающей. Согласно свойствам логарифма аргумент также должен быть больше нуля. Решим неравенство:

Ответ : область определения D(x) – интервал (50; + ∞).

Ответ : 3, 1, оси OX, направо.

Подобные задания классифицируются как средние и оцениваются в 3 — 4 балла.

Задание 5 . Найти область значений для функции:

Из свойств логарифма известно, что аргумент может быть только положительным. Поэтому рассчитаем область допустимых значений функции. Для этого нужно будет решить систему из двух неравенств.

Приведены основные свойства логарифма, график логарифма, область определения, множество значений, основные формулы, возрастание и убывание. Рассмотрено нахождение производной логарифма. А также интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.

Определение логарифма

Логарифм с основанием a - это функция y(x) = log a x , обратная к показательной функции с основанием a: x(y) = a y .

Десятичный логарифм - это логарифм по основанию числа 10 : lg x ≡ log 10 x .

Натуральный логарифм - это логарифм по основанию числа e : ln x ≡ log e x .

2,718281828459045... ;
.

График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x . Слева изображены графики функции y(x) = log a x для четырех значений основания логарифма : a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . На графике видно, что при a > 1 логарифм монотонно возрастает. С увеличением x рост существенно замедляется. При 0 < a < 1 логарифм монотонно убывает.

Свойства логарифма

Область определения, множество значений, возрастание, убывание

Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице.


Область определения	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Область значений	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Монотонность	монотонно возрастает	монотонно убывает
Нули, y = 0	x = 1	x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	нет	нет
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Частные значения

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается так:

Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом :

Основные формулы логарифмов

Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Логарифмирование - это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей преобразуются в суммы членов.

Потенцирование - это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов преобразуются в произведения сомножителей.

Доказательство основных формул логарифмов

Формулы, связанные с логарифмами вытекают из формул для показательных функций и из определения обратной функции.

Рассмотрим свойство показательной функции
.
Тогда
.
Применим свойство показательной функции
:
.

Докажем формулу замены основания.
;
.
Полагая c = b , имеем:

Обратная функция

Обратной для логарифма по основанию a является показательная функция с показателем степени a .

Если , то

Производная логарифма

Производная логарифма от модуля x :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Для нахождения производной логарифма, его нужно привести к основанию e .
;
.

Интеграл

Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям : .
Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z :
.
Выразим комплексное число z через модуль r и аргумент φ :
.
Тогда, используя свойства логарифма, имеем:
.
Или

Однако, аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n - целое,
то будет одним и тем же числом при различных n .