Найдите периметр трапеции. Здравствуйте! В этой публикации мы с вами рассмотрим решение типовых задачек входящих в состав экзамена по математике. Требуется вычислить периметр трапеции. Можно сказать, что это задания для устных вычислений, они просты. Перед решением рекомендую посмотреть статью « » . Рассмотрим задачи:

27834. В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 27, острый угол равен 60 0 . Найдите ее периметр.

Для того, чтобы найти периметр нам необходимо вычислить боковую сторону. Из вершин меньшего основания опустим высоты:

AD является гипотенузой в прямоугольном треугольнике ADF. Её мы можем вычислить воспользовавшись определением косинуса:

AF мы можем вычислить:

Следовательно:

Таким образом периметр равен 12+27+15+15=69.

*При решении задачи также можно было воспользоваться свойством катета лежащего против угла 30°. Посмотрите:

∠ADF равен 30°, катет AF равен половине гипотенузы AD. AF=7,5 следовательно AD будет равно 15.

27835. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

Ход решения очевиден! Давайте посмотрим на эскиз: AD и AE это часть периметра, DE=CB – противолежащие стороны параллелограмма. То есть

Остаётся прибавить DC и EB. В условии сказано, что DC=4. Так DC и EB являются противолежащими сторонами параллелограмма, то они равны:

Таким образом периметр равен 15+4+4=23.

На этом всё, успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

Содержимое:

Трапеция – это четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Чтобы найти периметр трапеции, нужно сложить длины всех четырех сторон. Зачастую в задачах длины некоторых сторон не даны, но известны другие величины, например, высота или угол трапеции. При помощи известных величин, а также геометрических и тригонометрических правил можно найти неизвестные стороны трапеции.

Шаги

1 По известным боковым сторонам и основаниям

1. 1 Запишите формулу для вычисления периметра трапеции. Формула: P = T + B + L + R
2. 2 В формулу подставьте известные длины сторон. Не используйте этот метод, если не даны значения всех четырех сторон.
   • Например, верхнее основание трапеции равно 2 см, нижнее основание равно 3 см, а каждая боковая сторона равна 1 см. В этом случае формула примет следующий вид:
     P = 2 + 3 + 1 + 1 3 Сложите длины сторон. Так вы найдете периметр трапеции.
     • В нашем примере:
       P = 2 + 3 + 1 + 1

       2 По известным высоте, боковым сторонам и верхнему основанию

       1. 2 Обозначьте каждую высоту.
       2. 3 Эта часть равна верхнему основанию (то есть верхней стороне прямоугольника), так как противоположные стороны прямоугольника равны. Не используйте этот метод, если не дано значение верхнего основания.
       3. 4 Формула: a 2 + b 2 = c 2
       4. 5 Боковую сторону трапеции подставьте вместо c 6 Возведите в квадрат известные значения. Затем при помощи вычитания обособьте переменную b 7 Извлеките квадратный корень, чтобы найти b .) Вы найдете основание первого прямоугольного треугольника. Напишите найденное значение под основанием соответствующего треугольника.
          • В нашем примере:
            b 2 = 45 8 Найдите неизвестную сторону второго прямоугольного треугольника. Для этого запишите теорему Пифагора для второго треугольника и действуйте так, как описано выше. Если дана равнобедренная трапеция, у которой боковые стороны равны, то два прямоугольных треугольника являются равными, то есть любая сторона одного треугольника равна соответствующей стороне другого.
            • Например, если вторая боковая сторона трапеции равна 7 см, то формула запишется так:
              a 2 + b 2 = c 2 9 Периметр любого многоугольника равен сумме всех его сторон: P = T + B + L + R

              3 По известным высоте, основаниям и нижним углам

              1. 1 Разбейте трапецию на прямоугольник и два прямоугольных треугольника. Для этого из каждой вершины трапеции проведите высоту.
                 • Если одна сторона трапеции перпендикулярна основаниям, вы не сможете получить два прямоугольных треугольника. В этом случае боковая сторона, перпендикулярная основаниям, равна высоте, а трапеция разбивается на прямоугольник и один прямоугольный треугольник.
              2. 2 Обозначьте каждую высоту. Так как высоты являются противоположными сторонами прямоугольника, они равны.
                 • Например, высота трапеции равна 6 см. Из вершин трапеции проведите две высоты (к нижнему основанию). Возле каждой высоты напишите «6 см» (без кавычек).
              3. 3 Обозначьте среднюю часть нижнего основания (она является нижней стороной прямоугольника). Эта часть равна верхнему основанию (то есть верхней стороне прямоугольника), так как противоположные стороны прямоугольника равны.
                 • Например, если верхнее основание трапеции равно 6 см, то средняя часть нижнего основания также равна 6 см.
              4. 4 Напишите функцию (формулу) синуса угла первого прямоугольного треугольника. Функция: sin ⁡ θ = B H 5 В формулу синуса подставьте известные величины. Вместо противоположной стороны подставьте высоту треугольника. Вы найдете гипотенузу, то есть боковую сторону трапеции.
                 • Например, если нижний угол трапеции равен 35 градусов, а высота треугольника равна 6 см, то формула запишется так:
                   sin ⁡ (35) = 6 H 6 Найдите синус угла. Это делается при помощи научного калькулятора, а именно клавиши SIN. Найденное значение подставьте в формулу.
                   • При помощи калькулятора вы найдете, что синус угла в 35 градусов приблизительно равен 0,5738. Таким образом, формула примет следующий вид:
                     0 , 5738 = 6 H 7 Найдите переменную H. Для этого каждую сторону уравнения (формулы) умножьте на Н, а затем каждую сторону уравнения разделите на синус угла. Или просто разделите высоту треугольника на синус угла.
                     • В нашем примере:
                       0 , 5738 = 6 H 8 Найдите гипотенузу второго прямоугольного треугольника. Напишите функцию (формулу) синуса угла второго прямоугольного треугольника: sin ⁡ θ = B H 9 Запишите теорему Пифагора для первого прямоугольного треугольника. Формула: a 2 + b 2 = c 2 10 В формулу подставьте известные величины первого треугольника. Боковую сторону трапеции подставьте вместо c 11 Найдите b 12 Найдите основание второго прямоугольного треугольника. Для этого воспользуйтесь теоремой Пифагора (a 2 + b 2 = c 2 13 Сложите значения всех сторон трапеции. Периметр любого многоугольника равен сумме всех его сторон: P = T + B + L + R или треугольник 90-45-45) существуют формулы, при помощи которых можно найти неизвестные стороны без использования функции синуса или теоремы Пифагора.
                     • Чтобы найти синус угла, воспользуйтесь научным калькулятором – введите угол, а затем нажмите клавишу SIN. Или используйте тригонометрические таблицы.

                     Что вам понадобится

                     • Калькулятор
                     • Карандаш
                     • Бумага

Трапеция – четырехугольная геометрическая фигура, имеющая две параллельные стороны, которые называются основаниями, и две непараллельные боковые стороны. Если боковые стороны равны, то фигура называется равнобедренной трапецией. Прямоугольная трапеция – когда одна боковая сторона образует с основанием прямой угол. Для нахождения периметра трапеции можно воспользоваться одним из методов, в зависимости от исходных данных.

Как найти периметр трапеции, когда известна длина боковых сторон и оснований

В этом случае никаких затруднений нет. Воспользовавшись формулой P=a+b+c+d и подставив все известные данные, легко найдем периметр трапеции. Например: a=5, b=4, c=6, d=4. Используя формулу, получаем P=5+4+6+4=19

Данный метод нельзя использовать, если не известна длина хотя бы одной из сторон.

Как найти периметр трапеции, когда известна длина боковых сторон, верхнего основания и высоты

Разбиваем трапецию на два треугольника и прямоугольник.

Для того чтобы можно было воспользоваться формулой P=a+b+c+d, необходимо найти нижнее основание. Его можно представить как выражение k+a+n.

Далее воспользуемся теоремой Пифагора. Запишем формулу для первого треугольника c^2=h^2+k^2. После преобразований получаем k=(c^2-h^2)^1/2. Для второго треугольника: b^2=h^2+n^2, итого n=(b^2-h^2)^1/2. После всех вычислений получаем P=a+b+(n+a+k)+c.

Как найти периметр трапеции, когда известны оба основания и высота (для равнобедренной трапеции)

Как и в предыдущем методе, необходимо разделить трапецию на прямоугольник и два треугольника. Гипотенузы треугольников являются так же боковыми сторонами трапеции, которые необходимо найти. Меньший катет находим следующим образом.

Так как трапеция равнобедренная, от длины большего основания вычитаем длину меньшего и делим пополам, т.е. d1=d2=(d-a)/2.

Воспользовавшись теоремой Пифагора, находим боковые стороны c=(d(1)^2+h^2)^1/2. Далее по формуле P=a+2c+d высчитываем периметр.

Как найти периметр трапеции, когда известны нижнее основание, боковые стороны и нижние углы

Рассмотрим пример, когда известны нижнее основание AD, боковые стороны AB и CD, а так же углы BAD и CDA.

Из вершин B и C проводим две высоты, которые образуют прямоугольник и два прямоугольных треугольника. В треугольнике ABK сторона AB является гипотенузой. Осталось найти катеты по формуле BK=AB*sin(BAK) и AK=AB*cos(BAK). Так как BK и CN – высоты, то они равны. По такой же формуле находим ND=CD*cos(CDN). Осталось вычислить BC=AD-AK-ND. Теперь необходимо сложить все стороны и ответ готов.

Как найти периметр трапеции, когда известна длина боковых сторон и средней линии

Средняя линия трапеции равна половине суммы длин ее оснований, т.е. f=(a+d)/2. Когда длина оснований неизвестна, но даны размеры боковых сторон и средней линии, периметр находится по формуле P=2*f+c+b.

Как видно, найти периметр трапеции не так уж и сложно. Приступая к решению задачи, нужно лишь определить, какие величины известны и каким методом можно воспользоваться. И тогда решить даже сложную задачу не составит труда.

Трапеция – четырехугольник с двумя параллельными основаниями и не параллельными боковыми сторонами. Прямоугольная трапеция имеет прямой угол при одной боковой стороне.

Инструкция

1. Периметр прямоугольной трапеции равен сумме длин сторон 2-х оснований и 2-х боковых сторон. Задача 1. Обнаружьте периметр прямоугольной трапеции , если вестимы длины всех его сторон. Для этого сложите все четыре значения: P (периметр) = a + b + c + d.Это самый примитивный вариант нахождения периметра, задачи с другими исходными данными, в финальном выводе, сводятся к ней. Разглядим варианты.

2. Задача 2.Обнаружьте периметр прямоугольной трапеции , если знаменито нижнее основание AD = a, не перпендикулярная ему боковая сторона CD = d, а угол при этой боковой стороне ADC равен Альфа.Решение.Проведите высоту трапеции из вершины C на большее основание, получим отрезок CE, трапеция разделилась на две фигуры – прямоугольник ABCE и прямоугольный треугольник ECD. Гипотенуза треугольника – это вестимая нам боковая сторона трапеции CD, один из катетов равен перпендикулярной боковой стороне трапеции (по правилу прямоугольника две параллельные стороны равны – AB = CE), а иной – отрезок, длина которого равна разности оснований трапеции ED = AD – BC.

3. Обнаружьте катеты треугольника: по присутствующим формулам CE = CD*sin(ADC) и ED = CD*cos(ADC).Сейчас вычислите верхнее основание – BC = AD – ED = a – CD*cos(ADC) = a – d*cos(Альфа).Узнайте длину перпендикулярной боковой стороны – AB = CE = d*sin(Альфа).Выходит, вы получили длины всех сторон прямоугольной трапеции .

4. Сложите полученные значения, это и будет периметр прямоугольной трапеции 😛 = AB + BC + CD + AD = d*sin(Альфа) + (a – d*cos(Альфа)) + d + a = 2*a + d*(sin(Альфа) – cos(Альфа) + 1).

5. Задача 3.Обнаружьте периметр прямоугольной трапеции , если вестимы длины его оснований AD = a, BC = c, длина перпендикулярной боковой стороны AB = b и острый угол при иной боковой стороне ADC = Альфа.Решение.Проведите перпендикуляр CE, получите прямоугольник ABCE и треугольник CED.Сейчас обнаружьте длину гипотенузы треугольника CD = AB/sin(ADC) = b/sin(Альфа).Выходит, вы получили длины всех сторон.

6. Сложите полученные значения:P = AB + BC + CD + AD = b + c + b/sin(Альфа) + a = a + b*(1+1/sin(Альфа) + с.

О том, что такое периметр, всякий из нас узнал еще в младших классах. нахождением сторон квадрата при вестимом периметре задач обыкновенно не появляется даже у тех, кто завершил школу давным-давно и поспел позабыть курс математики. Впрочем решить аналогичную задачу в отношении прямоугольника либо прямоугольного треугольника получается без подсказки не каждом.

Инструкция

1. Как решить задачу по геометрии, в условии которой приведены только периметр и углы? Безусловно, если речь идет о остроугольном треугольнике либо многоугольнике, то такую задачу без умения длины одной из сторон решить нереально. Впрочем, если речь идет о прямоугольном треугольнике либо прямоугольнике, то по заданному периметру дозволено обнаружить его стороны. Прямоугольник имеет длину и ширину . Если провести диагональ прямоугольника, дозволено найти, что она разбивает прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Диагональ является гипотенузой, а длина и ширина – катетами этих треугольников. У квадрата, являющегося частным случаем прямоугольника, диагональ является гипотенузой прямоугольного равнобедренного треугольника.

2. Представим, что имеется прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c, у которого один из углов равен 30 , а 2-й 60. На рисунке видно, что a = c*sin?, а b = c*cos?. Зная, что периметр всякий фигуры, в том числе и треугольника, равен сумме всех его сторон, получаем:a+b+c=c*sin ?+c*cos+c=pИз этого выражения дозволено обнаружить незнакомую сторону c, которая является гипотенузой для треугольника. Потому что угол? = 30, позже реформирования получим:c*sin ?+c*cos ?+c=c/2+c*sqrt(3)/2+c=pОтсюда следует, что с=2p/Соответственно a = c*sin ?=p/,b=c*cos ?=p*sqrt(3)/

3. Как теснее сказано выше, диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника с углами 30 и 60 градусов. От того что периметр прямоугольника равен p=2(a + b), ширину a и длину b прямоугольника дозволено обнаружить, исходя из того, что диагональ является гипотенузой прямоугольных треугольников:a = p-2b/2=p/2b= p-2a/2=p/2Эти два уравнения выражены через периметр прямоугольника. По ним вычисляются длина и ширина этого прямоугольника с учетом получившихся углов при проведении его диагонали.

Видео по теме

Обратите внимание!
Как обнаружить длину прямоугольника,если знаменит периметр и ширина? Вычесть из периметра удвоенную ширину, тогда получим удвоенную длину. Потом разделяем её напополам, дабы обнаружить длину.

Полезный совет
Еще из исходной школы многие помнят, как обнаружить периметр всякий геометрической фигуры: довольно узнать длину всех ее сторон и обнаружить их сумму. Вестимо, что в такой фигуре, как прямоугольник, длины сторон равны попарно. Если ширина и высота прямоугольника имеют идентичную длину, то он именуется квадратом. Обыкновенно длиной прямоугольника называют крупнейшую из сторон, а шириной – наименьшую.

Периметр (Р) – сумма длин всех сторон фигуры, а у четырехугольника их четыре. Значит, дабы обнаружить периметр четырехугольника, необходимо легко сложить длины всех его сторон. Но вестимы такие фигуры, как прямоугольник, квадрат, ромб, то есть положительные четырехугольники. Их периметры определяются специальными методами.

Инструкция

1. Если данная фигура – прямоугольник (либо параллелограмм) АВСД, то он владеет следующими свойствами: параллельные стороны попарно равны (см. рисунок). АВ = СД и АС = ВД. Зная такое отношение сторон в этой фигуре, дозволено вывести периметр прямоугольника (и параллелограмма): Р = АВ + СД + АС+ ВД. Пускай одни стороны будут равны числу а, другие – числу в, тогда Р = а + а + в + в = 2*а = 2* в = 2*(а + в). Пример 1. В прямоугольнике АВСД стороны равны АВ = СД = 7 см и АС = ВД = 3 см. Обнаружить периметр такого прямоугольника. Решение: Р = 2*(а + в). Р = 2*(7 +3) = 20 см.

2. Решая задачи на сумму длин сторон с фигурой, называемой квадрат либо ромб, следует использовать несколько видоизмененную формулу периметра. Квадрат и ромб – фигуры, имеющие идентичные четыре стороны. Исходя из определения периметра, Р = АВ + СД + АС+ ВД и допуская обозначение длины буквой а, то Р = а + а + а + а = 4*а. Пример 2. Ромб имеет длину стороны 2 см. Обнаружить его периметр. Решение: 4*2 см = 8 см.

3. Если данный четырехугольник является трапецией, то в этом случае легко необходимо сложить длины четырех ее сторон. Р = АВ + СД + АС+ ВД. Пример 3. Обнаружить периметр трапеции АВСД, если ее стороны равны: АВ = 1 см, СД = 3 см, АС = 4 см, ВД = 2 см. Решение: Р = АВ + СД + АС+ ВД = 1 см + 3 см + 4 см + 2 см = 10 см. Может случиться такое, что трапеция окажется равнобокой (у нее две боковые стороны равны), тогда ее периметр может свестись к формуле: Р = АВ + СД + АС+ ВД = а + в +а + с = 2*а + в + с. Пример 4. Обнаружить периметр равнобокой трапеции, если ее боковые грани равны 4 см, а основания – 2 см и 6 см. Решение: Р = 2*а + в + с = 2 *4см + 2 см + 6 см = 16 см.

Видео по теме

Полезный совет
Никто не мешает находить периметр четырехугольника (и всякий иной фигуры), как сумму длин сторон, не применяя выведенные формулы. Они даны для комфорта и облегчения вычисления. Не является оплошностью способ решения, значим верный результат и умение математической терминологии.

Совет 4: Как обнаружить основания прямоугольной трапеции

Математическая фигура с четырьмя углами именуется трапецией, если пара противоположных ее сторон параллельна, а иная пара – нет. Параллельные стороны называют основаниями трапеции , две другие – боковыми. В прямоугольной трапеции один из углов при боковой стороне – прямой.

Инструкция

1. Задача 1.Обнаружьте основания BC и AD прямоугольной трапеции , если вестима длина диагонали AC = f; длина боковой стороны CD = c и угол при ней ADC = ?.Решение:Разглядите прямоугольный треугольник CED. Знамениты гипотенуза c и угол между гипотенузой и катетом EDC. Обнаружьте длины сторон CE и ED: по формуле угла CE = CD*sin(ADC); ED = CD*cos(ADC). Выходит: CE = c*sin?; ED=c*cos?.

2. Разглядите прямоугольный треугольник ACE. Гипотенуза AC и катет CE вам вестимы, обнаружьте сторону AE по правилу прямоугольного треугольника: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Выходит: AE(2) = AC(2) – CE(2) = f(2) – c*sin?. Вычислите квадратный корень из правой части равенства. Вы обнаружили верхнее основание прямоугольной трапеции .

3. Длина основания AD является суммой длин 2-х отрезков AE и ED. AE = квадратный корень(f(2) – c*sin?); ED = c*cos?).Выходит: AD = квадратный корень(f(2) – c*sin?) + c*cos?.Вы обнаружили нижнее основание прямоугольной трапеции .

4. Задача 2.Обнаружьте основания BC и AD прямоугольной трапеции , если вестима длина диагонали BD = f; длина боковой стороны CD = c и угол при ней ADC = ?.Решение:Разглядите прямоугольный треугольник CED. Обнаружьте длины сторон CE и ED: CE = CD*sin(ADC) = c*sin?; ED = CD*cos(ADC) = c*cos?.

5. Разглядите прямоугольник ABCE. По свойству прямоугольника AB = CE = c*sin?.Разглядите прямоугольный треугольник ABD. По свойству прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Следственно AD(2) = BD(2) – AB(2) = f(2) – c*sin?.Вы обнаружили нижнее основание прямоугольной трапеции AD = квадратный корень(f(2) – c*sin?).

6. По правилу прямоугольника BC = AE = AD – ED = квадратный корень(f(2) – c*sin?) – с*cos?.Вы обнаружили верхнее основание прямоугольной трапеции .

Трапеция представляет собой четырехугольник с двумя параллельными и двумя не параллельными сторонами. Дабы вычислить ее периметр, надобно знать размеры всех сторон трапеции. При этом данные в задачах могут быть различными.

Вам понадобится

• – калькулятор;
• – таблицы синусов, косинусов и тангенсов;
• – бумага;
• – чертежные принадлежности.

Инструкция

1. Самый примитивный вариант задачи – когда даны все стороны трапеции. В этом случае их надобно легко сложить. Дозволено воспользоваться дальнейшей формулой: p=a+b+c+d, где p – периметр, а буквами a, b, c и d обозначены стороны, противолежащие углам, обозначенным соответствующими прописными буквами.

2. Есть дана равнобедренная трапеция, довольно сложить два ее основания и прибавить к ним удвоенный размер стороны. То есть периметр в этом случае вычисляется по формуле: p=a+c+2b, где b – сторона трапеции, а и с – основания.

3. Расчеты будут несколько больше долгими, если какую-то из сторон нужно вычислить. Скажем, вестимо длинное основание, прилежащие к нему углы и высота. Вам надобно вычислить короткое основание и сторону. Для этого начертите трапецию ABCD, из верхнего угла B проведите высоту BE. У вас получится треугольник АВЕ. Вам вестим угол А, соответственно, вы знаете его синус. В данных задачи указана также высота BE, которая единовременно является катетом прямоугольного треугольника, противолежащим знаменитому вам углу. Дабы обнаружить гипотенузу АВ которая единовременно является стороной трапеции, довольно BE поделить на sinA. Верно так же обнаружьте длину 2-й стороны. Для этого надобно провести высоту из иного верхнего угла, то есть CF. Сейчас вам вестимы большее основание и стороны. Для вычисления периметра этого немного, надобен еще размер меньшего основания. Соответственно, в 2-х образовавшихся внутри трапеции треугольниках нужно обнаружить размеры отрезков AE и DF. Это дозволено сделать, скажем, через косинусы вестимых вам углов А и D. Косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Дабы обнаружить катет, необходимо гипотенузу умножить на косинус. Дальше периметр вычислите по той же формуле, что и в первом шаге, то есть сложив все стороны.

4. Еще один вариант: даны два основания, высота и одна из сторон, необходимо обнаружить вторую сторону. Это также отличнее делать с применением тригонометрических функций. Для этого начертите трапецию. Возможен, вам вестимы основания АD и ВС, а также сторона АВ и высота BF. По этим данным вы можете обнаружить угол A (через синус, то есть отношение высоты к знаменитой стороне), отрезок АF (через косинус либо тангенс, от того что угол вам теснее знаменит. Припомните также свойства углов трапеции – сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет 180°. Проведите высоту CF. У вас получился еще один прямоугольный треугольник, в котором вам надобно обнаружить гипотенузу CD и катет DF. Начните с катета. Вычтите из длины нижнего основания длину верхнего, а из полученного итога – длину теснее вестимого вам отрезка АF. Сейчас в прямоугольном треугольнике СFD вам знамениты два катета, то есть вы можете обнаружить тангенс угла D, а по нему – и сам угол. Позже этого останется через синус этого же угла вычислить сторону CD, как теснее было описано выше.

Видео по теме