Как отбирать корни принадлежащие промежутку. Способы отбора корней тригонометрических уравнений

Цель урока:

Повторить формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
Рассмотреть три основных способа отбора корней при решении тригонометрических уравнений:
отбор неравенством, отбор знаменателем и отбор в промежуток.

Оборудование: Мультимедийная аппаратура.

Методический комментарий .

Обратить внимание учащихся на важность темы урока.
Тригонометрические уравнения, в которых требуется провести отбор корней, часто встречаются в тематических тестах ЕГЭ;
решение таких задач позволяет закрепить и углубить ранее полученные знания учащихся.

Ход урока

Повторение. Полезно вспомнить формулы решения простейших тригонометрических уравнений (экран).

Значения	Уравнение	Формулы решения уравнений
	sinx=a
	sinx=a	уравнение решений не имеет
а=0	sinx=0
а=1	sinx= 1
а= -1	sinx= -1
	cosx=a
	cosx=a	уравнение решений не имеет
а=0	cosx=0
а=1	cosx= 1
а= -1	cosx= -1
	tgx=a
	ctgx=a

При отборе корней в тригонометрических уравнениях запись решений уравнений sinx=a, сosx=a в виде совокупности более оправдана. В этом мы убедимся при решении задач.

Решение уравнений.

Задача . Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно следующей системе

Рассмотрим окружность. Отметим на ней корни каждой системы и отметим дугой ту часть окружности, где выполняется неравенство (рис. 1 )

Рис. 1

Получаем, что не может быть решением исходного уравнения.

Ответ:

В этой задаче мы провели отбор корней неравенством.

В следующей задаче проведем отбор знаменателем. Для этого выберем корни числителя, но такие, что они не будут являться корнями знаменателя.

Задача 2. Решить уравнение.

Решение . Запишем решение уравнения, используя последовательные равносильные переходы.

Решая уравнение и неравенство системы, в решении ставим разные буквы, которые обозначают целые числа. Иллюстрируя на рисунке, отметим на окружности корни уравнения кружочками, а корни знаменателя крестиками (рис.2.)

Рис. 2

Из рисунка хорошо видно, что – решение исходного уравнения.

Обратим внимание учащихся на то, что отбор корней проще было проводить, используя систему c нанесением соответствующих точек на окружности.

Ответ:

Задача 3. Решить уравнение

3sin2x = 10 cos 2 x – 2 /

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение. В этой задаче производится отбор корней в промежуток, который задается условием задачи. Отбор корней в промежуток можно выполнять двумя способами: перебирая значения переменной для целых чисел или решая неравенство.

В данном уравнении отбор корней проведем первым способом, а в следующей задаче – путем решения неравенства.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой двойного угла для синуса. Получим уравнение

6sinxcosx = 10cos 2 x – sin 2 x – cos 2 x, т.е. sin 2 x – 9cos 2 x+ 6sinxcosx = 0

Т.к. в противном случае sinx = 0 , что не может быть, так как не существует углов, для которых одновременно синус и косинус равные нулю в виду sin 2 x+ cos 2 x = 0.

Разделим обе части уравнения на cos 2 x. Получим tg 2 x+ 6tgx – 9 = 0 /

Пусть tgx = t , тогда t 2 + 6t – 9 = 0, t 1 = 2,t 2 = –8.

tgx = 2 или tg = –8;

Рассмотрим каждую серию отдельно, находя точки внутри промежутка , и по одной точке слева и справа от него.

Если к=0 , то x=arctg2 . Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если к=1 , то x=arctg2+. Этот корень тоже принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если к=2 , то . Ясно, что данный корень не принадлежит нашему промежутку.

Мы рассмотрели одну точку справа от данного промежутка, поэтому к=3,4,… не рассматриваются.

Если к = –1, получим – не принадлежит промежутку .

Значения к = –2, –3,… не рассматриваются.

Таким образом, из данной серии два корня принадлежат промежутку

Аналогично предыдущему случаю убедимся, что при п = 0 и п = 2, а, следовательно, при п = –1, –2,…п = 3,4,… мы получим корни, не принадлежащие промежутку . Лишь при п=1 получим , принадлежащий этому промежутку.

Ответ:

Задача 4. Решить уравнение 6sin 2 x+2sin 2 2x=5 и указать корни, принадлежащие промежутку .

Решение. Приведем уравнение 6sin 2 x+2sin 2 2x=5 к квадратному уравнению относительно cos2x.

Откуда cos2x

Здесь применим способ отбора в промежуток при помощи двойного неравенства

Так как к принимает только целые значения, то возможно лишь к=2,к=3 .

При к=2 получим , при к=3 получим .

Ответ:

Методический комментарий. Приведенные четыре задачи рекомендуется решать учителю у доски с привлечением учащихся. Для решения следующей задачи лучше вызвать к дочке сильного учащегося, предоставив ему максимальную самостоятельность в рассуждениях.

Задача 5. Решить уравнение

Решение. Преобразовывая числитель, приведем уравнение к более простому виду

Полученное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Отбор корней на промежутке (0; 5) проведем двумя способами. Первый способ -для первой системы совокупности, второй способ – для второй системы совокупности.

, 0.

Так как к – целое число, то к=1 . Тогда х = – решение исходного уравнения.

Рассмотрим вторую систему совокупности

Если n=0 , то . При п = -1; -2;… решений не будет.

Если п=1,– решение системы и, следовательно, исходного уравнения.

Если п=2 , то

При решений не будет.

Данная статья может помочь учащимся старших классов, а также учителям при решении тригонометрических уравнений и отборе корней, принадлежащих определенному промежутку. В зависимости от того какие даны ограничения на полученные корни следует использовать различные методы отбора корней, то есть нужно взять тот способ, который более наглядно покажет правильный результат.

Просмотр содержимого документа
«СПОСОБЫ ОТБОРА КОРНЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

СПОСОБЫ ОТБОРА КОРНЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Попова Татьяна Сергеевна, учитель математики, информатики, физики МКОУ БГО Петровская СОШ

В ЕГЭ по математике входят задания, связанные с решением уравнений. Встречаются уравнения линейные, квадратные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические. Эти уравнения требуется: во-первых, решить, то есть найти их все решения, во-вторых, осуществить отбор корней, принадлежащие тому или иному промежутку. В этой статье рассмотрим пример решения тригонометрического уравнения и отбор его корней различными способами. В зависимости от того какие даны ограничения на полученные корни следует использовать различные методы отбора корней, то есть нужно взять тот способ, который более наглядно покажет правильный результат.

Рассмотрим три способа отбора корней:

С помощью единичной окружности;

С помощью неравенств;

С помощью графика.

На конкретном примере разберем эти способы.

Пусть дано следующее задание:

а) Решите уравнение

б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.

Вначале решим данное уравнение:

Используя формулу двойного угла и формулы привидения, получим:

Отсюда, или. Решая каждое уравнение, получим:

; или
.

б) Производить отбор корней можно с помощью единичной окружности (рис.1), но дети путаются, так как заданный промежуток может быть больше длины окружности и его при нанесении на окружность трудно изобразить:

Получим числа:

Можно воспользоваться методом неравенств. Заметим, что если дан отрезок, то неравенство нестрогое, а если интервал, то неравенство строгое. Проверим каждый корень

С учетом того, что -3,-2. Подставим n в формулу корней, получим корни ; x =

Аналогично найдем корни для,

k – целых нет,

1, подставим в общий корень

Получили точно такие же корни как с помощью единичной окружности.

Пусть этот метод более громоздкий, но на собственном опыте, занимаясь решением таких уравнений и отбором корней с учениками, мы заметили, что методом неравенств школьники делают меньше ошибок.

Рассмотрим на этом же примере отбор корней уравнения с помощью графика (рис.2)

Также получаем три корня:

Нужно научить детей пользоваться всеми тремя методами отбора корней, а потом пусть сами решают как им проще и какой метод ближе. Также можно проверять себя в правильности решения, используя разные способы.

Используемая литература:

http://yourtutor.info
http://www.ctege.info/zadaniya-ege-po-matematike

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока : Урок повторения, обобщения и систематизации изученного материала.

Цель урока:

образовательная: закрепить умение выполнять отбор корней тригонометрического уравнения на числовой окружности; стимулировать учащихся к овладению рациональными приёмами и методами решения тригонометрических уравнений;

развивающая: развивать логическое мышление, умение выделять главное, проводить обобщение, делать верные логические выводы;

воспитательная: воспитание таких качеств характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемной ситуации.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер.

Ход урока

I. Организационный момент.

Проверка готовности к уроку, приветствие.

II. Постановка цели.

Французский писатель Анатоль Франс однажды сказал: «…Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом.» Так давайте сегодня последуем этому мудрому совету и будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в ближайшее время на ЕГЭ.

Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки отбора корней в тригонометрических уравнениях с помощью числовой окружности. Окружность удобно использовать как при отборе корней на промежутке, длина которого не превышает 2π, так и в случае, когда значения обратных тригонометрических функций не являются табличными. При выполнении заданий будем применять не только изученные методы и способы, но и нестандартные подходы.

III. Актуализация опорных знаний.

1. Решите уравнение: (Слайд 3-5)

a) cosx = 0
б) cosx = 1
в) cosx = - 1
г) sinx = 1
д) sinx = 0
е) sinx = - 1
ж) tgx = 1
з) tgx = 0

2. Заполните пропуски: (Слайд 6)

sin2x =
cos2x =
1/cos 2 x – 1=
sin(π/2 – x) =
sin(x – π/2) =
cos(3π/2 – 2x) =

3. Покажите на числовой окружности следующие отрезки (Слайд 7) [- 7π/2; -2π], [-π; π/2], [π; 3π], , [-2π; -π/2], [-3π/2; -π/2], [-3π; -2π],, [-4π; -5π/2].

4. Применяя теорему Виета и её следствия, найдите корни уравнений: (Слайд 8)

t 2 -2t-3=0; 2t 2 -3t-3=0; t 2 +4t-5=0; 2t 2 +t-1=0; 3t 2 +7t=4=0; 2t 2 -3t+1=0

IV. Выполнение упражнений.

(Слайд 9)

Многообразие методов преобразований тригонометрических выражений подталкивает нас к выбору более рационального из них.

1. Решите уравнения : (Один ученик решает на доске. Остальные участвуют в выборе рационального метода решения и записывают в тетрадь. Учитель следит за верностью рассуждений учащихся. )

1) 2sin 3 x-2sinx+cos 2 x=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-7π/2; - 2π].

Решение.

[-7π/2; -2π]

Получим числа: - 7π/2; -19π/6;-5π/2.

Ответ: а) π /2+ πn , π /6+2 πn , 5 π /6+2 πn , n Є Z ; б) - 7π/2, -19π/6,-5π/2.

2) sin 2 x-2sinx∙cosx-3cos 2 x=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-π; π/2].

Решение.

a ) Разделим обе части уравнения на cos 2 x =0. Получим:

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-π; π/2]

Получим числа: - π+ arctg 3 ; -π/4; arctg 3.

Ответ: а) - π /4+ πn , arctg 3+ πn , n Є Z ; б) - π+ arctg 3 , -π/4, arctg 3.

3) 2sin 2 x-3cosx-3=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [π; 3π].

Решение.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [π; 3π]

Получим числа: π; 4π/3; 8π/3; 3π.

Ответ: а) π +2 πn , ±2 π /3+2 πn , n Є Z ; б) π, 4π/3, 8π/3, 3π.

4) 1/cos2x +4tgx - 6=0 .Укажите корни, принадлежащие отрезку [2π ;7π/2] .

Решение.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [; 7π/2]

Получим числа: 9π/4; 3π- arctg 5;1 3π/4.

Ответ: а) π /4+ πn , - arctg 5+ πn , n Є Z ; б) 9π/4, 3π- arctg 5, 1 3π/4.

5) 1/cos 2 x + 1/sin(x – π/2) = 2. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-2π; -π/2].

Решение.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-2 π; -π/2]

Получим числа: -5π/3;- π .

Ответ: а) π +2 πn , ± π /3+2 πn , n Є Z ; б) -5π/3;- π .

2. Работа в парах : (Двое учащихся работают на боковых досках, остальные в тетрадях. Затем задания проверяются и анализируются.)

Решите уравнения:

Решение .

Учитывая, что tgx ≠1 и tgx >0, отберём корни с помощью числовой окружности. Получим:

x = arccos √2/3+2 πn , n Є Z .

Ответ: arccos √2/3+2 πn , n Є Z .

6соs2x-14 cos 2 x - 7sin2x = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-3π/2; - π/2].

Решение.

a ) 6(cos 2 x - sin 2 x )-14 cos 2 x -14 cosxsinx =0; 6 cos 2 x -6 sin 2 x -14 cos 2 x -14 cosxsinx =0;

3 sin 2 x +7 cosxsinx +4 cos 2 x =0 Разделим обе части уравнения на cos 2 x=0. Получим:

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-3π/2; -π/2]

Получим числа: -5 π /4;- π - arctg 4/3.

Ответ: а) - π /4+ πn , - arctg 4/3+ πn , n Є Z ; б) -5π/4, - π - arctg 4/3.

3. Самостоятельная работа . (После выполнения работы учащиеся обмениваются тетрадями и проверяют работу своего одноклассника, исправляя ошибки (если таковы есть) ручкой с красной пастой.)

Решите уравнения:

1) 2cos 2 x+(2-√2)sinx+√2-2=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-3π; -2π].

Решение.

a ) 2(1- sin 2 x )+2 sinx -√2 sinx +√2-2=0; 2-2 sin 2 x +2 sinx -√2 sinx +√2-2=0; -2 sinx (sinx -1)-√2(sinx -1)=0;

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-3π; -2π].

Получим числа: -11 π /4;-9 π /4.

Ответ: а) π /2+2 πn , - π /4+2 πn , -3 π /4+2 πn , n Є Z ; б) -11π/4, -9 π /4 .

2) cos(3π/2-2x)=√2sinx. Укажите корни, принадлежащие отрезку

Решение.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку .

Получим числа: 13 π /4;3 π ;4 π .

Ответ: а) πn , ±3 π /4+2 πn , n Є Z ; б) 13 π /4,3 π , 4 π .

3)1/tg 2 x – 3/sinx+3=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2]

Решение.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-4π;-5π/2].

Получим числа: -19 π /6;-7 π /2;-23 π /6.

Ответ: а) π /2+2 πn , π /6+2 πn , 5 π /6+2 πn , n Є Z ; б) -19 π /6,-7 π /2,-23 π /6.

V. Подведение итогов урока.

Отбор корней в тригонометрических уравнениях требует хороших знаний формул, умений применять их на практике, требует внимания и сообразительности.

VI. Стадия рефлексии.

(Слайд 10)

На этапе рефлексии учащимся предлагается составить синквейн и в поэтической форме

выразить своё отношение к изучаемому материалу.

Например:

Окружность.
Числовая, тригонометрическая.
Изучим, поймем, заинтересуемся.
Присутствует в ЕГЭ.
Реальность.

VII. Домашнее задани e .

1. Решите уравнения:

2. Практическое задание.

Составьте по два тригонометрических уравнения, содержащих формулы двойного аргумента.

VIII. Литература.

ЕГЭ-2013: Математика: самое полное издание типовых вариантов заданий/ авт.-сост. И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий; под ред. А.Л. Семёнова, И.В. Ященко – М.:АСТ: Астрель, 2013.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:
Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.

Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.

Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.

В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.