Вектор – одно из основных геометрических понятий. Вектор характеризуется числом (длиной) и направлением. Наглядно его можно представить себе в виде направленного отрезка, хотя, говоря о векторе, правильнее иметь в виду целый класс направленных отрезков, которые все параллельны между собой, имеют одинаковую длину и одинаковое направление (рис. 1). Примерами физических величин, которые имеют векторный характер, могут служить скорость (поступательно движущегося тела), ускорение, сила и др.
Понятие вектора появилось в работах немецкого математика XIX в. Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем оно было охотно воспринято многими математиками и физиками. В современной математике и ее приложениях это понятие играет важнейшую роль. Векторы применяются в классической механике Галилея-Ньютона (в ее современном изложении), в теории относительности, квантовой физике, в математической экономике и многих других разделах естествознания, не говоря уже о применении векторов в различных областях математики.
Каждый из направленных отрезков, составляющих вектор (рис. 1), можно назвать представителем этого вектора. Вектор, представителем которого является направленный отрезок, идущий от точки к точке , обозначается через . На рис. 1 имеем , т.е. и - это один и тот же вектор (представителями которого являются оба направленных отрезка, выделенных на рис. 1). Иногда вектор обозначают малой буквой со стрелкой: , .
Вектор, изображаемый направленным «отрезком», у которого начало и конец совпадают, называется нулевым; он обозначается через , т.е. . Два параллельных вектора, имеющих одинаковые длины, но противоположные направления, называются противоположными. Если вектор обозначен через , то противоположный ему вектор обозначается через .
Назовем основные операции, связанные с векторами.
I. Откладывание вектора от точки. Пусть - некоторый вектор и - точка. Среди направленных отрезков, являющихся представителями вектора , имеется направленный отрезок, начинающийся в точке . Конец этого направленного отрезка называется точкой, получающейся в результате откладывания вектора от точки (рис. 2). Эта операция обладает следующим свойством:
I1. Для любой точки и любого вектора существует, и притом только одна, точка , для которой .
Сложение векторов. Пусть и - два вектора. Возьмем произвольную точку и отложим вектор от точки , т.е. найдем такую точку , что (рис. 3). Затем от точки отложим вектор , т. е. найдем такую точку , что . Вектор называется суммой векторов и и обозначается через . Можно доказать, что сумма не зависит от выбора точки , т.е. если заменить другой точкой , то получится вектор , равный (рис. 3). Из определения суммы векторов вытекает, что для любых трех точек справедливо равенство
I2:
(«правило трех точек»). Если ненулевые векторы и не параллельны, то их сумму удобно находить с помощью правила параллелограмма (рис. 4).
II. Основные свойства суммы векторов выражают следующие 4 равенства (справедливые для любых векторов , , ):
II2. 
.
Заметим
еще, что сумма нескольких векторов находится последовательным нахождением суммы
двух из них. Например: 
.
При этом, в каком бы порядке мы ни складывали заданные векторы, результат (как это вытекает из свойств, названных в пунктах II1, и II2) всегда будет одним и тем же. Например:
Далее,
геометрически сумма нескольких векторов может быть получена следующим
образом: надо направленные отрезки, являющиеся представителями этих векторов,
последовательно отложить друг за другом (т.е. так, чтобы начало второго
направленного отрезка совпадало с концом первого, начало третьего – с концом
второго и т.д.); тогда вектор 
будет иметь своим представителем
«замыкающий» направленный отрезок, идущий от начала первого к концу последнего
(рис. 5). (Заметим, что если при таком последовательном откладывании получается
«замкнутая векторная ломаная», то 
.)
III. Умножение вектора на число. Пусть - ненулевой вектор и - отличное от нуля число. Через обозначается вектор, определяемый следующими двумя условиями: а) длина вектора равна ; б) вектор параллелен вектору , причем его направление совпадает с направлением вектора при и противоположно ему при (рис. 6). Если справедливо хотя бы одно из равенств , , то произведение считается равным . Таким образом, произведение определено для любого вектора и любого числа .
Следующие 4 равенства (справедливые для любых векторов , и любых чисел ) выражают основные свойства операции умножения вектора на число:
III2. 
.
Из этих свойств вытекает ряд дальнейших фактов, связанных с рассмотренными операциями над векторами. Отметим некоторые из них, часто применяемые при решении задач.
а)
Если - такая
точка отрезка ,
что 
, то
для любой точки справедливо
равенство 
,
в частности если -
середина отрезка ,
то 
.
б)
Если - точка
пересечения медиан треугольника , то 
; кроме того, для любой точки справедливо
равенство 
(обратные
теоремы также справедливы).
в) Пусть - точка прямой и - ненулевой вектор, параллельный этой прямой. Точка в том и только в том случае принадлежит прямой , если (где - некоторое число).
г) Пусть - точка плоскости и , - ненулевые и непараллельные между собой векторы, параллельные этой плоскости. Точка в том и только в том случае принадлежит плоскости , если вектор выражается через и , т.е. .
Наконец, отметим еще свойство размерности, выражающее тот факт, что пространство трехмерно.
IV.
В пространстве существуют такие три вектора , , , что ни один из них не выражается
через два других; любой четвертый вектор выражается через эти три вектора: 
. определяется равенством: обозначено
скалярное произведение вектора (и
тогда угол между ними не определяется).
Перечисленные выше свойства векторных операций во многом похожи на свойства сложения и умножения чисел. В то же время вектор – геометрический объект, и в определении векторных операций используются такие геометрические понятия, как длина и угол; этим и объясняется польза векторов для геометрии (и ее приложений к физике и другим областям знания). Однако для решения геометрических задач с помощью векторов необходимо прежде всего научиться «переводить» условие геометрической задачи на векторный «язык». После такого «перевода» осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное векторное решение снова «переводится» на геометрический «язык». В этом и состоит векторное решение геометрических задач.
При изложении курса геометрии в школе вектор дается как определяемое понятие (см. Определение), и потому принятая в школьном учебнике аксиоматика (см. Аксиоматика и аксиоматический метод) геометрии ничего не говорит о свойствах векторов, т.е. все эти свойства должны доказываться как теоремы.
Существует, однако, и другой путь изложения геометрии, при котором первоначальными (неопределяемыми) понятиями считаются вектор и точка, а отмеченные выше свойства I1, I2, II1-II4, III1-III4, IV, V1-V4 принимаются за аксиомы. Такой путь построения геометрии был предложен в 1917 г. немецким математиком Г. Вейлем. Здесь прямые и плоскости являются определяемыми понятиями. Преимущество такого построения в его краткости и в органической связи с современным пониманием геометрии как в самой математике, так и в других областях знания. В частности, аксиомы II1-II4, III1-III4 вводят так называемое векторное пространство, используемое в современной математике, в физике, математической экономике и т.д.
1. Дать определение равенства геометрический векторов.
Два геометрических вектора называют равными, если:
они коллинеарны и однонаправлены;
их длины совпадают.
2. Дать определение суммы векторов и умножения вектора на число.
Суммой a + b двух векторов a и b называют вектор c, построенный по следующему правилу треугольника. Совместим начало вектора b с концом вектора a. Тогда суммой этих векторов будет вектор c, начало которого совпадает с началом a, а конец - с концом b.
Наряду с правилом треугольника существует правило параллелограмма. Выбрав для векторов a и b общее начало, строим на этих векторах параллелограмм. Тогда диагональ параллелограмма, выходящая из общего начала векторов, определяет их сумму.
При умножении вектора на число, направление вектора не меняется, а длина вектора умножается на число.
3. Дать определения коллинеарных и компланарных векторов.
Два геометрических вектора называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Три геометрических вектора называют компланарными, если эти векторы лежат на прямых, параллельных некоторой плоскости.
4. Дать определение линейно зависимой и линейно независимой системы векторов.
Векторы a 1 , … , a n называют линейно зависимыми, если существует такой набор коэффициентовα 1 , . . . , α n , чтоα 1 a 1 + . . . + α n a n = 0 и при этом хотя бы один из этих коэффициентов ненулевой.
Если указанного набора коэффициентов не существует, то векторы называют линейно независимыми.
5. Сформулировать геометрические критерии линейной зависимости 2-х и 3-х векторов.
Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
6. Дать определение базиса и координат вектора.
Базис- множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества - базисных векторов.
Координаты вектора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.
7. Сформулировать теорему о разложении вектора по базису.
Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.
Если = (̅ | – базис , ̅ | = (1, 2, 3) , то существует набор чисел( | …) такой, что |
||||
̅ + + ̅̅, где ( | …) – координаты вектора в базисе. | ||||||
8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.
Ортогональной проекции вектора на направление вектора называется скалярная величина Пр = | | cos() , где угол – угол между векторами.
9. Дать определение скалярного произведения векторов.
Скалярным произведением двух векторов и называют число, равное cos -
произведению длин | | и| | этих векторов на косинус угла между ними.
10. Сформулировать свойство линейности скалярного произведения.
λ(̅ ̅ ).
= ̅ с̅+ ̅ с̅.
11. Записать формулу для вычисления скалярного произведения двух векторов, заданных в ортонормированном базисе.
̅ = { , }, ̅ = { , }
̅ ̅ = + +
12. Записать формулу для косинуса угла между векторами, заданными в ортонормированном базисе.
̅ ̅ cos =̅ |̅|| |
13. Дать определение правой и левой тройки векторов.
Упорядоченную тройку некомпланарных векторов a, b, c называют правой, если направление вектораa совмещается с направлением вектораb при помощи кратчайшего поворота вектораa в плоскости этих векторов, который со стороны векторас совершается против хода часовой стрелки. В противном случае (поворот по ходу часовой стрелки) эту тройку называют левой.
14. Дать определение векторного произведения векторов.
Векторным произведением неколлинеарных векторов̅ и̅ называют такой векторс̅ , который удовлетворяет следующим трем условиям:
вектор c ортогонален векторамa иb ;
длина вектора c равна |с̅ | = |̅ | |̅ |sin ϕ, где ϕ - угол между векторами̅ и̅ ;
упорядоченная тройка векторов ̅ ,̅ ,с̅ является правой.
15. Сформулировать свойство коммутативности (симметричности) скалярного произведения и свойство антикоммутативности (антисимметричности) векторного произведения.
Скалярное произведение коммутативно: ̅ ̅ =̅ ̅ .
Векторное произведение антикоммутативно: ̅ x̅ =− ̅ x̅ .
16. Сформулировать свойство линейности векторного произведения векторов.
свойство ассоциативности совместно с умножением на число (λ ̅ )×̅ = λ(̅ ×̅ );
свойство дистрибутивности относительно сложения (̅ +̅ )×с̅ =̅ ×с̅ +̅ ×с̅ .
Cвойства ассоциативности и дистрибутивности векторного произведения объединяют, аналогично случаю скалярного произведения, в свойство линейности векторного произведения
относительно первого сомножителя. В силу свойства антикоммутативности векторного произведения векторное произведение линейно и относительно второго сомножителя:
̅ ×(λ̅ ) = −(λ̅ )×̅ = −λ(̅ ×̅ ) = λ(̅ ×̅ )
̅ ×(̅ +̅с ) = −(̅ +̅с )×̅ = −(̅ ×̅ +̅с ×̅ ) =̅ ×̅ +̅ ×̅с .
17. Записать формулу для вычисления векторного произведения в правом ортонормированном базисе.
̅ = { , }, ̅ = { , }.
18. Дать определение смешанного произведения векторов.
Смешанным произведением трех векторов̅ ,̅ ,с̅ называют число, равное (̅ ×̅ )с̅ - скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов и третьего вектора.
19. Сформулировать свойство перестановки (кососимметричности) смешанного произведения.
Для смешанного произведения действует правило циклической перестановки :
̅ с̅ = с̅ ̅ | = ̅с ̅= − ̅ с̅ | = − с̅ ̅= − ̅ ̅с. | ||||||||
20. Сформулировать свойство линейности смешанного произведения. | ||||||||||
Для смешанного произведения выполняется свойство ассоциативности относительно | ||||||||||
умножения векторов на число: (λ ̅ )с̅ | = λ(̅ с̅ ). | |||||||||
Для смешанного произведения выполняется свойство дистрибутивности: (̅̅̅ +̅̅̅ )с̅ | = ̅̅̅ |
|||||||||
̅с + ̅̅̅ | ||||||||||
̅с. | ||||||||||
Эти свойства смешанного произведения сформулированы для первого сомножителя. Однако при помощи циклической перестановки можно доказать аналогичные
утверждения и для второго и для третьего сомножителей, т.е. верны равенства
̅ (λ̅ )̅с = λ(̅ ̅ ̅с ),̅ ̅ (λ̅с ) = λ(̅ ̅ ̅с ),̅ (̅̅̅ 1 +̅̅̅ 2 )̅с =̅ ̅̅̅ 1 ̅с +̅ ̅̅̅ 2 ̅с ,̅ ̅ (̅ 1 +̅ 2 ) =̅ ̅ ̅ 1 +̅ ̅ ̅ 2 ,
и в итоге имеем свойство линейности смешанного произведенияпо каждому сомножителю.
21. Записать формулу для вычисления смешанного произведения в правом ортонормированном базисе.
̅ = { , }, ̅ = { , }, ̅= { , }
22. Записать общее уравнение плоскости и уравнение “в отрезках”. Объяснить геометрический смысл входящих в эти уравнения параметров.
Уравнение Ax + By + Cz + D = 0 называют общим уравнением плоскости . Коэффициенты A, B, C при неизвестных в этом уравнении имеют наглядный геометрический смысл: вектор n = {A; B; C} перпендикулярен плоскости. Его называют нормальным вектором плоскости. Он, как и общее уравнение плоскости, определяется с точностью до (ненулевого) числового множителя.
Уравнение + + = 1 называютуравнением плоскости в отрезках , где a, b, c –
соответствующие координаты точек лежащих на осях OX, OY и OZ соответственно.
23. Записать уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки.
Пусть 1 (1 , 1 , 1 ) ,2 (2 , 2 , 2 ), 3 (3 , 3 , 3 ) – заданные точки, а точка M(x, y, z) – точка, принадлежащая плоскости, образованной точками1 , 2 и 3 , тогда уравнение плоскости имеет
− 1 | − 1 | − 1 |
| 2 −1 | 2 − 1 | 2 −1 | = 0 |
3 − 1 | 3 − 1 | 3 − 1 |
24. Сформулировать условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
Две плоскости перпендикулярны , если их нормальные векторыортогональны .
Две плоскости параллельны , если их нормальные векторыколлинеарны .
25. Записать формулу для расстояния от точки до плоскости, заданной общим уравнением.
Для нахождения расстояния от точки 0 (0 , 0 , 0 ) до плоскости
: + + + = 0 используется формула:(,) = | 0 + 0 + 0 + |
√ 2 +2 +2
26. Записать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Объяснить геометрический смысл входящих в эти уравнения параметров.
Уравнение { = 0 + , где {l; m; n} - координаты направляющего вектора̅ прямой L и
(0 ;0 ; | – координаты точки 0 Lв прямо угольной системе координат, называют |
|||||||||||||||
параметрическими уравнениями прямой в пространстве. |
||||||||||||||||
Уравнение | − 0 | − 0 | − 0 | называют каноническими уравнениями прямойв |
||||||||||||
пространстве. | ||||||||||||||||
27. Записать уравнение прямой, проходящей через две данные точки в пространстве. |
||||||||||||||||
Уравнения | − 1 | − 1 | − 1 | называют уравнениями прямой, проходящей через две точки |
||||||||||||
1 (1 ,1 ,1 )и 2 (2 ,2 ,2 ).
28. Записать условие принадлежности двух прямых одной плоскости.
Пусть а иb - направляющие векторы этих прямых, а точки M1 и M2 принадлежат соответственно прямым иl 1 иl 2 . Тогда две прямые будут принадлежать одной плоскости, если смешанное произведение (a, b, M1 M2 ) равно 0.
29. Записать формулу для расстояния от точки до прямой в пространстве.
Расстояние от точки 1 до прямой L может быть вычислено по формуле:
30. Записать формулу для расстояния между скрещивающимися прямыми.
Расстояние между скрещивающимися прямыми 1 и2 может быть вычислено по формуле:
принадлежащие прямым.
1. Доказать геометрический критерий линейной зависимости трёх векторов.
Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.
Доказательство:
Если три вектора ̅ ,̅ ,̅ линейно зависимы, то, согласно теореме 2.1 (о линейной зависимости векторов), один из них, например̅ , является линейной комбинацией остальных:̅ = β̅ + γ̅ . Совместим начала векторов̅ и̅ в точке A. Тогда векторы β̅ , γ̅ будут иметь общее начало в точке A и по правилу параллелограмма их сумма, т.е. вектор̅ , будет представлять собой вектор с началом A и концом, являющимся вершиной параллелограмма, построенного на векторахслагаемых. Таким образом, все векторы лежат в одной плоскости, т.е. компланарны.
Пусть векторы ̅ ,̅ ,̅ компланарны. Если один из этих векторов является нулевым, то очевидно, что он будет линейной комбинацией остальных. Достаточно все коэффициенты линейной комбинации взять равными нулю. Поэтому можно считать, что все три вектора не являются нулевыми. Совместим начала этих векторов в общей точке O. Пусть их концами будут соответственно точки A, B, C (рис. 2.1). Через точку C проведем прямые, параллельные прямым, проходящим через пары точек O, A и O, B. Обозначив точки пересечения через A’ и B’, получим
параллелограмм OA’CB’, следовательно, = ′ + ′ . Вектор′ и ненулевой вектор̅ | ||||||
коллинеарны, а потому первый из них может быть получен умножением второго на | ||||||
действительное число α: ′ = . Аналогично′ = , β R.В результате получаем , что |
||||||
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ | ||||||
= ′ + ′ , т.е. вектор̅ является линейной комбинацией векторов̅ и. Согласно теореме |
||||||
̅ являются линейно зависимыми. | ||||||
2.1 (о линейной зависимости векторов), векторы ̅ , | ||||||
2. Доказать теорему о разложении вектора по базису. | ||||||||
Теорема о разложении вектора по базису. Если = (̅ | – базис , ̅ | = (1, 2, 3), то |
||||||
существует набор чисел ( | …) такой, что̅= ̅̅̅ | ̅ + + ̅ ̅, где ( | …) – координаты |
|||||
вектора в базисе.
Доказательство: (для i = 2)
(̅1 , ̅2 )– базис 2 , ̅2
По определению пространства V2: x, e1, e2 – компланарны => (критерий линейной зависимости 3- х векторов) => ̅ ,̅ 1 , ̅ 2 линейно зависимы =>0 , 1 , 2 .
0 ̅+1 ̅1 +2 ̅2 = 0̅ ,0 2 +1 2 +2 2 ≠ 0
1 случай: 0 = 0 , тогда1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 = 0 ̅ ,1 2 + 2 2 ≠ 0 , значит1 , 2 – линейно зависимые (̅ 1 , ̅ 2 ) – лин. завис. ̅ 1 и ̅ 2 коллинеарны.
2 случай: 0 ≠ 0
̅= (− 1 ) ̅1 + (−2 ) ̅2 0 0
Доказали существование.
Пусть существует 2 представления:
̅= 1 ̅1 +2 ̅2
Разность:
0 ̅ = ̅− ̅= 1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 − 1 ̅ 1 − 2 ̅ 2 = (1 − 1 )̅ 1 + (2 − 2 )̅ 2 => линейно зависимы, а это противоречит определению базиса.
3. Доказать свойство линейности скалярного произведения.
Совместно с умножением на число операция скалярного умножения ассоциативна: (λ̅ )̅ =
λ(̅ ̅ ).
Скалярное умножение и сложение векторов связаны свойством дистрибутивности: (̅ +̅ )с̅
= ̅ с̅+ ̅ с̅.
Что и требовалось доказать.
4. Вывести формулу для вычисления скалярного произведения векторов, заданных в ортонормированном базисе.
Вывод формулы для вычисления скалярного произведения векторов, заданных в ортонормированном базисе.
Пусть векторы ̅ и̅ из3 заданы своими координатами в ортонормированном базисе,̅ ,̅ ̅ :̅ = { ; ; },̅ = { ; ; }. Это означает, что имеются разложения̅ =̅ +̅ +̅ ,
̅ =̅ +̅ +̅ . Используя их и свойства скалярного произведения, вычислим
̅̅ = (̅+ ̅+̅ )(̅+ ̅+̅ )
= ̅ ̅+ ̅ ̅+ ̅̅ + ̅ ̅+ ̅ ̅+ ̅̅ +̅ ̅+̅ ̅ +̅ ̅ =2 ̅+2 ̅+̅ 2 = + + .
Окончательный ответ получен с учетом того, что ортонормированность базиса,̅ ,̅
̅ означает выполнение равенств̅̅ = ̅ ̅ = ̅ ̅ = 0, 2 ̅= 2 ̅= 2 = 1 . Таким образом,
̅ ̅ = + +
5. Вывести формулу для вычисления векторного произведения векторов, заданных в правом ортонормированном базисе.
Вывод формулы для вычисления векторного произведения векторов, заданных в ортонормированном базисе.
Рассмотрим два вектора ̅ | |||||||||||||||||||||||||||||
и, заданных своими координатами в правом ортонормированном базисе |
|||||||||||||||||||||||||||||
̅ = { | }. Тогда имеют место разложения этих векторов ̅ =̅ +̅ |
||||||||||||||||||||||||||||
, ̅, ̅: | |||||||||||||||||||||||||||||
= ̅ +̅ + | |||||||||||||||||||||||||||||
Исходя из этих | представлений | алгебраических | векторного умножения, | получаем |
|||||||||||||||||||||||||
= ̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× + | ̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× + |
||||||||||||||||||||||||||||
̅ ̅ | |||||||||||||||||||||||||||||
× ̅+ × ̅+ | × = ( | )̅+ ( | )̅+ ( | ||||||||||||||||||||||||||
Чтобы упростить полученную формулу, заметим, что она похожа на формулу разложения определителя третьего порядка по 1-й строке, только вместо числовых коэффициентов стоят векторы. Поэтому можно записать эту формулу как определитель, который вычисляется по обычным правилам. Две строки этого определителя будут состоять из чисел, а одна - из векторов. Итак, формулу вычисления векторного произведения в правом ортонормированном базисе,̅ ,̅ ̅ можно записать в виде:
6. Доказать свойство линейности смешанного произведения.
Используя свойства смешанного произведения, можно доказать линейность векторного
произведения по первому множителю:
(̅ + ̅ , ̅)= (̅,)̅+ (̅ ,)̅
Для этого найдем скалярное произведение вектора в левой части равенства и единичного векторастандартного базиса. Учитывая линейность смешанного произведения по второму множителю,
получаем
т.е. абсцисса вектора, стоящего в левой части доказываемого равенства равна абсциссе вектора в правой его части. Аналогично доказываем, что ординаты, а также и аппликаты, векторов в обеих частях равенства соответственно равны. Следовательно, это равные векторы, так как их координаты относительно стандартного базиса совпадают.
7. Вывести формулу для вычисления смешанного произведения трёх векторов в правом ортонормированном базисе.
Вывод формулы для вычисления смешанного произведения трёх векторов в правом ортонормированном базисе.
Пусть векторы a, b, c заданы своими координатами в правом ортонормированном базисе: ̅ = { ; |
||||||||||||||||||||||||||||
}, = { ; ; }, ̅с = { ; ; }. Чтобы найти их смешанное произведение, | ||||||||||||||||||||||||||||
воспользуемся формулами для вычисления скалярного и векторного произведений: | ||||||||||||||||||||||||||||
̅̅= ̅(× ̅)= ̅ (| | ||||||||||||||||||||||||||||
8. Вывести формулу для расстояния от точки до плоскости, заданной общим уравнением.
Вывод формулы для расстояния от точки до плоскости, заданной общим уравнением.
Рассмотрим в пространстве некоторую плоскость π и произвольную точку 0 . Выберем
для плоскости единичный нормальный вектор n с началом в некоторой точке 1 π ,и пусть ρ(0 ,
так как | ̅ | = 1.
Если плоскость π задана в прямоугольной системе координат своим общим уравнением | |||||||||||
Ax + By + Cz + D = 0, то ее нормальным вектором является вектор с координатами {A; B; C}. | |||||||||||
Пусть (0 , 0 , 0 ) и(1 , 1 , 1 ) - координаты точек0 | и 1 . Тогда выполнено равенство | ||||||||||
A 1 +B1 +C1 +D = 0, так как точка M1 принадлежит плоскости, и можно найти координаты | |||||||||||
̅̅̅̅̅̅̅̅ | ̅̅̅̅̅̅̅̅ | ̅̅̅̅̅̅̅̅ | |||||||||
Вектора 1 0 : | 1 0 = (0 − 1 ; 0 − 1 ; 0 − 1 ) . Записывая скалярное произведение̅ 1 0 |
||||||||||
координатной форме и преобразуя (5.8), получаем | |||||||||||
| (0 −1 ) + (0 −1 ) + (0 −1 )| | | 0 +0 +0 − (1 +1 +1 )| | ||||||||||
2 + 2+ 2 | 2 + 2+ 2 | ||||||||||
= |0 +0 +0 + | √2 +2 +2
поскольку 1 + 1 + 1 = − . Итак, чтобы вычислить расстояние от точки до плоскости нужно подставить координаты точки в общее уравнение плоскости, а затем абсолютную величину результата разделить на нормирующий множитель, равный длине соответствующего нормального вектора.
9. Вывести формулу для расстояния от точки до прямой в пространстве.
Вывод формулы для расстояния от точки до прямой в пространстве.
Расстояние от точки 1 (1 , 1 , 1 ) до прямой L, заданной каноническими уравнениями L:− 0 = − 0 = − 0 , может быть вычислено при помощи векторного произведения. Действительно,
канонические уравнения прямой дают нам точку 0 (0 , 0 , 0 ) на прямой
и направляющий вектор ̅ = {l; m; n} этой прямой. Построим параллелограмм на векторах̅ и̅̅̅̅̅̅̅̅ .
Тогда расстояние от точки 1 до прямой L будет равно высоте h параллелограмма (рис. 6.6).
Значит, нужное расстояние может быть вычислено по формуле
̅̅̅̅̅̅̅̅ | |||
(1 ,) = | | 0 1 × | |
||
10. Вывести формулу для расстояния между скрещивающимися прямыми.
Вывод формулы для расстояния между скрещивающимися прямыми.
Расстояние между скрещивающимися прямыми можно находить, используя смешанное
произведение. Пусть прямые 1 | и 2 | каноническими уравнениями. Так как они |
|
̅̅̅̅̅̅̅̅ |
скрещиваются, их направляющие векторы 1 ,2 и вектор1 2 , соединяющий точки на прямых, некомпланарны. Поэтому на них можно построить параллелепипед (рис. 6.7).
Тогда расстояние между прямыми равно высоте h этого параллелепипеда. В свою очередь, высоту параллелепипеда можно вычислить как отношение объема параллелепипеда к площади его основания. Объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения трех указанных векторов, а площадь параллелограмма в основании параллелепипеда равна модулю векторного произведения направляющих векторов прямых. В результате получаем формулу для расстояния
(1 , 2 ) между прямыми: | ̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ |
||
(1 ,2 ) = | | 1 2 | 1 2| |
|
|
1. Общие положения 1.1. С целью поддержания деловой репутации и обеспечения выполнения норм федерального законодательства ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика» (далее – Компания) считает важнейшей задачей обеспечение легитимности обработки и безопасности персональных данных субъектов в бизнес-процессах Компании. 1.2. Для решения данной задачи в Компании введена, функционирует и проходит периодический пересмотр (контроль) система защиты персональных данных. 1.3. Обработка персональных данных в Компании основана на следующих принципах: Законности целей и способов обработки персональных данных и добросовестности; Соответствия целей обработки персональных данных целям, заранее определенным и заявленным при сборе персональных данных, а также полномочиям Компании; Соответствия объема и характера обрабатываемых персональных данных, способов обработки персональных данных целям обработки персональных данных; Достоверности персональных данных, их актуальности и достаточности для целей обработки, недопустимости обработки избыточных по отношению к целям сбора персональных данных; Легитимности организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных; Непрерывности повышения уровня знаний работников Компании в сфере обеспечения безопасности персональных данных при их обработке; Стремления к постоянному совершенствованию системы защиты персональных данных. 2. Цели обработки персональных данных 2.1. В соответствии с принципами обработки персональных данных, в Компании определены состав и цели обработки. Цели обработки персональных данных: Заключение, сопровождение, изменение, расторжение трудовых договоров, которые являются основанием для возникновения или прекращения трудовых отношений между Компанией и ее работниками; Предоставление портала, сервисов личного кабинета для учеников, родителей и учителей; Хранение результатов обучения; Исполнение обязательств, предусмотренных федеральным законодательством и иными нормативными правовыми актами; 3. Правила обработки персональных данных 3.1. В Компании осуществляется обработка только тех персональных данных, которые представлены в утвержденном Перечне персональных данных, обрабатываемых в ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика» 3.2. В Компании не допускается обработка следующих категорий персональных данных: Расовая принадлежность; Политические взгляды; Философские убеждения; О состоянии здоровья; Состояние интимной жизни; Национальная принадлежность; Религиозные убеждения. 3.3. В Компании не обрабатываются биометрические персональные данные (сведения, которые характеризуют физиологические и биологические особенности человека, на основании которых можно установить его личность). 3.4. В Компании не осуществляется трансграничная передача персональных данных (передача персональных данных на территорию иностранного государства органу власти иностранного государства, иностранному физическому лицу или иностранному юридическому лицу). 3.5. В Компании запрещено принятие решений относительно субъектов персональных данных на основании исключительно автоматизированной обработки их персональных данных. 3.6. В Компании не осуществляется обработка данных о судимости субъектов. 3.7. Компания не размещает персональные данные субъекта в общедоступных источниках без его предварительного согласия. 4. Реализованные требования по обеспечению безопасности персональных данных 4.1. С целью обеспечения безопасности персональных данных при их обработке в Компании реализуются требования следующих нормативных документов РФ в области обработки и обеспечения безопасности персональных данных: Федеральный закон от 27.07.2006 г. № 152-ФЗ «О персональных данных»; Постановление Правительства Российской Федерации от 1 ноября 2012 г. N 1119 "Об утверждении требований к защите персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных"; Постановление Правительства Российской Федерации от 15.09.2008 г. №687 «Об утверждении Положения об особенностях обработки персональных данных, осуществляемой без использования средств автоматизации»; Приказ ФСТЭК России от 18.02.2013 N 21 "Об утверждении Состава и содержания организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных"; Базовая модель угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 15.02.2008 г.); Методика определения актуальных угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 14.02.2008 г.). 4.2. Компания проводит оценку вреда, который может быть причинен субъектам персональных данных и определяет угрозы безопасности персональных данных. В соответствии с выявленными актуальными угрозами Компания применяет необходимые и достаточные организационные и технические меры, включающие в себя использование средств защиты информации, обнаружение фактов несанкционированного доступа, восстановление персональных данных, установление правил доступа к персональным данным, а также контроль и оценку эффективности применяемых мер. 4.3. В Компании назначены лица, ответственные за организацию обработки и обеспечения безопасности персональных данных. 4.4. Руководство Компании осознает необходимость и заинтересовано в обеспечении должного как с точки зрения требований нормативных документов РФ, так и обоснованного с точки зрения оценки рисков для бизнеса уровня безопасности персональных данных, обрабатываемых в рамках выполнения основной деятельности Компании. Г – 9 класс Урок № 2 Тема: Понятие вектора. Равенство векторов. Откладывание вектора от данной точки. Цели: ввести понятие вектора, его длины, коллинеарных и равных векторов; научить обучающихся изображать и обозначать векторы, откладывать от любой точки плоскости вектор, равный данному; закрепить знания обучающихся в ходе решения задач; развивать память, внимание, математическое мышление; вырабатывать трудолюбие, стремление достигать поставленные цели и задачи. Ход урока. Организационные моменты. Сообщение темы и целей урока. Актуализация знаний и умений обучающихся. 1. Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных заданий. 2. Проверка теоретических сведений: Равнобедренный треугольник и его свойства. Признаки равенства треугольников. Определение средней линии треугольника и ее свойство. Теорема Пифагора и обратная ей теорема. Формула для вычисления площади треугольника. Понятие параллелограмма, свойства и признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника. Определение трапеции, виды трапеций. Площадь параллелограмма, площадь трапеции. Изучение нового материала. Материал пунктов 76–78 изложить в виде небольшой лекции с применением разнообразных презентации «Вектора» 1. Понятие векторных величин (или коротко векторов). 2. Примеры векторных величин, известных обучающимся из курса физики: сила, перемещение материальной точки, скорость и другие (рис. 240 учебника). 3. Определение вектора (рис. 241, 242). 4. Обозначение вектора – двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например, , или часто обозначают одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: (рис. 243, а, б). 5. Понятие нулевого вектора: любая точка плоскости также является вектором; в этом случае вектор называется нулевым; обозначают:
6. Определение длины или модуля ненулевого вектора
. Обозначение:
7. Найти длины векторов, изображенных на рисунках 243, а и 243, б. 8. Выполнить практические задания № 738, 739. 9. Рассмотреть пример движения тела, при котором все его точки движутся с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении (из пп. 77 учебника), рис. 244. 10. Ввести понятие коллинеарных векторов (рис. 245). 11. Определение понятий сонаправленных векторов и противоположно направленных векторов, их обозначение (рис. 246). 12. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором. 13. Определение равных векторов: если и , то . 14. Объяснение смысла выражения: «Вектор отложен от точки А» (рис. 247). 15. Доказательство утверждения, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один (рис. 248). 16. Выполнение практического задания № 743. 17. Устно по готовому чертежу на доске решить задачу № 749. Решение задач. 1. Решить задачу № 740 (а) на доске и в тетрадях. 2. Устно решить задачу № 744. 3. Решить задачу № 742. 4. Решить задачу № 745 (выборочно). 5. Устно по заготовленному чертежу решить задачу № 746. 6. Доказать прямое утверждение в задаче № 750: Доказательство По условию , то AB || CD, значит, по признаку параллелограмма АВDС – параллелограмм, а диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, значит, середины отрезков AD и BC совпадают.
Повторение организовать в ходе решения следующих задач - Задания для повторения из банка заданий ОГЭ (ГИА)-2016: № 9, 10, 11, 12, 13 – из модуля «Геометрия»; № 24 – из части 2 модуля «Геометрия» Вариант № 3 Итоги урока. Подведение итогов урока. Выставление отметок. В результате изучения § 1 обучающиеся должны знать определения вектора и равных векторов; уметь изображать и обозначать векторы, откладывать от данной точки вектор, равный данному; решать задачи типа №№ 741–743; 745–752. Домашнее задание: изучить материал пунктов 76–78; ответить на вопросы 1–6, с. 213 учебника; решить задачи №№ 747, 749, 751. ов, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки. Определение 1 Если точка $A$ начала какого-либо вектора $\overrightarrow{a}$, то говорят, что вектор $\overrightarrow{a}$ отложен от точки $A$ (рис. 1). Рисунок 1. $\overrightarrow{a}$ отложенный от точки $A$ Введем следующую теорему: Теорема 1 От любой точки $K$ можно отложить вектор $\overrightarrow{a}$ и притом только один. Доказательство. Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая: Вектор $\overrightarrow{a}$ - нулевой. В этом случае, очевидно, что искомый вектор -- вектор $\overrightarrow{KK}$. Вектор $\overrightarrow{a}$ -- ненулевой. Обозначим точкой $A$ -- начало вектора $\overrightarrow{a}$, а точкой $B$ - конец вектора $\overrightarrow{a}$. Проведем через точку $K$ прямую $b$ параллельную вектору $\overrightarrow{a}$. Отложим на этой прямой отрезки $\left|KL\right|=|AB|$ и $\left|KM\right|=|AB|$. Рассмотрим векторы $\overrightarrow{KL}$ и $\overrightarrow{KM}$. Из этих двух векторов искомым будет тот, который будет сонаправлен с вектором $\overrightarrow{a}$ (рис. 2)
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1 Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование». Теорема доказана. Вычитание векторов. Правило первоеПусть нам даны векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Определение 2 Разностью двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ называется такой вектор $\overrightarrow{c}$, который при сложении с вектором $\overrightarrow{b}$ дает вектор $\overrightarrow{a}$, то есть \[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\] Обозначение: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$. Построение разности двух векторов рассмотрим с помощью задачи. Пример 1 Пусть даны векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Построить вектор $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$. Решение. Построим произвольную точку $O$ и отложим от нее векторы $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$. Соединив точку $B$ с точкой $A$, получим вектор $\overrightarrow{BA}$ (рис. 3).
Рисунок 3. Разность двух векторов По правилу треугольника для построения суммы двух векторов видим, что \[\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}\] \[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}\] Из определения 2, получаем, что \[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA}\] Ответ: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA}$. Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения разности двух векторов. Чтобы найти разность $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ и соединить конец второго вектор с концом первого вектора. Вычитание векторов. Правило второеВспомним следующее необходимое нам понятие. Определение 3 Вектор $\overrightarrow{a_1}$ называется произвольным для вектора $\overrightarrow{a}$, если эти векторы противоположно направлены и имеют равную длину. Обозначение: Вектор $(-\overrightarrow{a})$ противоположный для вектора $\overrightarrow{a}$. Для того чтобы ввести второе правило для разности двух векторов, нам необходимо в начале ввести и доказать следующую теорему. Теорема 2 Для любых двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ справедливо следующее равенство: \[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\] Доказательство. По определению 2, имеем Прибавим к обеим частям вектор $\left(-\overrightarrow{b}\right)$, получим Так как векторы $\overrightarrow{b}$ и $\left(-\overrightarrow{b}\right)$ противоположны, то $\overrightarrow{b}+\left(-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{0}$. Имеем Теорема доказана. Из этой теоремы получаем следующее правило для разности двух векторов: Чтобы найти разность $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить вектор $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, затем от полученной точки $A$ отложить вектор $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{b}$ и соединить начало первого вектора с концом второго вектора. Пример задачи на понятие разности векторовПример 2 Пусть дан параллелограмм $ADCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ (рис. 4). Выразить через векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ следующие векторы: а) $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$ б) $\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OC}$
Рисунок 4. Параллелограмм Решение. а) Произведем сложение по правилу треугольника, получим \[\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}\] Из первого правила разности двух векторов, получаем \[\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\] б) Так как $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AO}$, получим \[\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{AO}\] По теореме 2, имеем \[\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BO}+\left(-\overrightarrow{AO}\right)=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}\] Используя правило треугольника, окончательно имеем \[\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{a}\] Понравилась статья? Поделитесь с друзьями!
Поделиться в Facebook
Читайте также
Наверх
| |||
