Как выработать навыки быстрого счета? Советы для всех возрастов. Как научиться быстро считать в уме

Вы забыли деньги дома и коллега любезно согласился купить вам ланч. На обратном пути вы заглянули в магазин за перекусом, а там объявили суперакцию на любимые шоколадки. Вы не удержались и взяли 5 штук. Вы были так заняты покупками, что забыли про свой смартфон и не посчитали, сколько в итоге вы задолжали коллеге. Ситуация некрасивая. Куда проще было бы сразу всё сложить в уме. Но… кому это нужно, когда в каждом телефоне давно есть калькулятор!

Счёт в уме может быть таким же быстрым, как и на калькуляторе. Особенное, если дело касается бытовых вопросов. Главное, освоить приёмы быстрого счёта и периодически практиковать их. В материале приводим самые простые из них.

Разбивка задачи на части

Даже самые сложные арифметические задачи можно разбить на простые.

Пример: как вы посчитаете 15% скидки, если известна полная стоимость товара?

В этом случае имеет смысл разбить 15 на 10% и 5%. 10% отнять достаточно просто, а 5% - это половина от 10%.

Предположим, у нас есть товар за 900 рублей, 10% от него - 90 рублей, 5% - 45. Складываем: 90+45 = 135. Окончательная стоимость товара со скидкой 15%: 900 - 135 = 765 рублей.

Округление до целого

Этот приём подразумевает использование дополнения - числа, которое заполняет промежуток между данным числом и числом, которое, как правило, оканчивается на 00.

Например, дополнительным числом для 87 будет 13, так как их сумма даёт 100.

Пример 1234 - 678 кажется сложным. Округлим 678 до 700. Вычислить 1234 - 700 будет сильно проще, результат 534.

Так как мы вычли слишком большое число, то результату нужно вернуть недостающее: 700 - 678 = 22, к 534 прибавляем 22 и получаем окончательный результат 556.

Умножение на 11

Мы знаем, как просто умножить любое однозначное число на 11: просто два раза повторить его и - готово!

Но мало кто владеет навыком умножения двузначных и даже трёхзначных чисел на 11.

Чтобы умножить двузначное число на 11, необходимо разнести его цифры в разные стороны, а посередине записать их сумму. Если сумма больше 10 - то посередине оставляем вторую цифру от полученного числа, а десяток, то есть единицу, прибавляем к первой цифре.

Пример 1: 36×11 = 3 (3+6) 6 = 396

Пример 2: 57×11 = 5 (5+7) 7 = 627

Для умножения трёхзначных чисел:

• Оставьте без изменения первую и последнюю цифру числа.
• Сложите предпоследнюю цифру с последней запишите результат. Если он больше 10, запомните единицу.
• Прибавьте к первой цифре вторую и запишите результат. Если от предыдущего сложения осталась единица, добавьте её к результату.
• Если в результате последнего сложения осталась единица, прибавьте её к первой цифре исходного числа.

Пример 3 : 869×11

1. Запоминаем 9 во временный результат. Результат: 8...9.
2. Складываем 6 и 9, получаем 15. Записываем 5 перед 9, 1 - запоминаем. Результат: 8...59 (1 в уме).
3. Складываем 8 и 6, получаем 14, прибавляем 1 из прошлого результата. Результат: 8559 (1 в уме).
4. Прибавляем к 8 единицу из прошлого результата. Результат: 9559.

Умножение чисел от 11 до 19

Умножать такие числа можно используя следующий алгоритм:

• Любое число из диапазона от 11 до 19 представляем как десятки и единицы.
• Получаем формулу: (10+a)×(10+b).
• Раскрываем скобки: 100+10×b+10×a+a×b.
• Выносим за скобки общий множитель и получаем окончательную формулу, по которой можно считать и которую есть смысл запомнить: 100+10×(a+b)+a×b.

Пример: 13×17

1. Сложим единицы - 3+7=10.
2. Умножим результат на 10: 10×10 = 100.
3. Прибавим 100: 100+100=200.
4. Перемножим единицы: 3×7 = 21.
5. Прибавим к результату из шага 3: 200+21 = 221.

Ментальная арифметика

Научиться считать в уме можно, освоив приёмы ментальной арифметики. Сначала вы изучаете выполнение арифметических операций на японских счётах - соробане. Затем тренируетесь совершать те же вычисления, передвигая костяшки в уме. Мы уже писали подробнее о том, . Освоить методику полностью помогут курсы ментальной арифметики !

Нравиться! 0

Многие спрашивают, как научиться быстро считать в уме, чтобы это выглядело незаметно и неглупо. Ведь современные технологии позволяют меньше пользоваться своей памятью и умственными способностями. Но иногда нет под рукой данных технологий и порой легче и быстрее посчитать что-то в уме. Многие люди начали считать на калькуляторе или телефоне даже элементарные вещи, что также не очень хорошо. Умение считать в уме остается полезным навыком и для современного человека, несмотря на то, что он владеет всевозможными устройствами, способными считать за него. Возможность обходиться без специальных девайсов и в нужный момент оперативно решить поставленную арифметическую задачу - это не единственное применение данного навыка. Помимо утилитарного назначения, приемы устного счета позволят научиться организовывать себя в различных жизненных ситуациях. Кроме того, умение считать в уме, несомненно, положительно скажется на имидже ваших интеллектуальных способностей и выделит вас среди окружающих «гуманитариев».

Способы быстрого счета

Существует определенный набор простейших арифметических правил и закономерностей, которые не только нужно знать для устного счета, но и постоянно держать в голове, чтобы в нужный момент оперативно применить самый эффективный алгоритм. Для этого необходимо довести их использование до автоматизма, закрепить в машинальной памяти, чтобы от решения самых простых примеров успешно перейти к более сложным арифметическим действиям. Вот основные алгоритмы, которые нужно знать, помнить и применять мгновенно, автоматически:

Вычитание 7, 8, 9

Чтобы вычесть 9 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 1. Чтобы вычесть 8 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 2. Чтобы вычесть 7 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 3. Если обычно вы считаете по-другому, то для лучшего результата вам нужно привыкнуть к этому новому способу.

Умножение на 9

Быстро умножить любое число на 9 можно при помощи пальцев рук.

Деление и умножение на 4 и 8

Деление (или умножение) на 4 и на 8 являются двукратным или трехкратным делением (или умножением) на 2. Производить эти операции удобно последовательно.

Например, 46*4=46*2*2 =92*2= 184.

Умножение на 5

Умножать на 5 очень просто. Умножение на 5, и деление на 2 - это практически одно и то же. Так 88*5=440, а 88/2=44, поэтому всегда умножайте на 5, поделив число на 2 и умножив его на 10.

Умножение на 25

Умножение на 25 соответствует делению на 4 (с последующим умножением на 100). Так 120*25 = 120/4*100=30*100=3000.

Умножение на однозначные числа

Например, умножим 83*7.

Для этого сначала умножим 8 на 7 (и допишем ноль, так как 8 - разряд десятков), и прибавим к этому числу произведение 3 и 7. Таким образом, 83*7=80*7 +3*7= 560+21=581.

Возьмем более сложный пример: 236*3.

Итак, умножаем сложное число на 3 по разрядно: 200*3+30*3+6*3=600+90+18=708.

Определение диапазонов

Чтобы не запутаться в алгоритмах и по ошибке не выдать совсем неверный ответ, важно уметь строить примерный диапазон ответов. Так умножение однозначных чисел друг на друга может дать результат не более 90 (9*9=81), двузначных - не более 10 000 (99*99=9801), трехзначных не более - 1 000 000 (999*999=998001).

Раскладка на десятки и единицы

Способ заключается в разбиении обоих множителей на десятки и единицы с последующим перемножением получившихся четырех чисел. Этот метод достаточно прост, но требует умения удерживать в памяти одновременно до трех чисел и при этом параллельно производить арифметические действия.

Например:

63*85 = (60+3)*(80+5) = 60*80 + 60*5 +3*80 +3*5=4800+300+240+15=5355

Проще такие примеры решаются в 3 действия:

1. Сначала умножаются десятки друг на друга.
2. Потом складываются 2 произведения единиц на десятки.
3. Затем прибавляется произведение единиц.

Схематично это можно описать так:

Первое действие: 60*80 = 4800 - запоминаем
- Второе действие: 60*5+3*80 = 540 - запоминаем
- Третье действие: (4800+540)+3*5= 5355 - ответ

Для максимально быстрого эффекта потребуется хорошее знание таблицы умножения чисел до 10, умение складывать числа (до трехзначных), а также способность быстро переключать внимание с одного действия на другое, держа предыдущий результат в уме. Последний навык удобно тренировать путем визуализации совершаемых арифметических операций, когда вы должны представлять себе картинку вашего решения, а также промежуточные результаты.

Мысленная визуализация умножения в столбик

56*67 - посчитаем в столбик. Наверное, счет столбиком содержит максимальное количество действий и требует постоянно держать в уме вспомогательные числа.

Но его можно упростить:
Первое действие: 56*7 = 350+42=392
Второе действие: 56*6=300+36=336 (ну или 392-56)
Третье действие: 336*10+392=3360+392=3 752

Частные методики умножения двузначных чисел до 30

Преимуществом трех способов умножения двузначных для устного счета состоит в том, что они универсальны для любых чисел и при хорошем навыке устного счета, они могут позволить вам достаточно быстро прийти к правильному ответу. Однако эффективность умножения некоторых двузначных чисел в уме может быть выше за счет меньшего количества действий при использовании специальных алгоритмов.

Умножение на 11

Чтобы умножить любое двузначное число на 11, нужно между первой и второй цифрой умножаемого числа вписать сумму первой и второй цифры.

Например: 23*11, пишем 2 и 3, а между ними ставим сумму (2+3). Или короче, что 23*11= 2 (2+3) 3 = 253.

Если сумма чисел в центре дает результат больше 10, тогда добавляем единицу к первой цифре, а вместо второй цифры пишем сумму цифр умножаемого числа минус 10.

Например: 29*11 = 2 (2+9) 9 = 2 (11) 9 = 319.
Быстро умножать на 11 устно можно не только двузначные числа, но и любые другие числа.

Например: 324 * 11=3(3+2)(2+4)4=3564

Квадрат суммы, квадрат разности

Для того чтобы возвести в квадрат двузначное число, можно воспользоваться формулами квадрата суммы или квадрата разности. Например:

23²= (20+3)2 = 202 + 2*3*20 + 32 = 400+120+9 = 529

69² = (70-1)2 = 702 - 70*2*1 + 12 = 4 900-140+1 = 4 761

Возведение в квадрат чисел, заканчивающихся на 5.Чтобы возвести в квадрат числа, заканчивающиеся на 5. Алгоритм прост. Число до последней пятерки, умножаем на это же число плюс единица. К оставшемуся числу дописываем 25.

25² = (2*(2+1)) 25 = 625

85² = (8*(8+1)) 25 = 7 225

Это верно и для более сложных примеров:

155² = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025

Методика умножения чисел до 20 очень проста:

16*18 = (16+8)*10+6*8 = 288

Доказать правильность этого метода просто: 16*18 = (10+6)*(10+8) = 10*10+10*6+10*8+6*8 = 10*(10+6+8) +6*8. Последнее выражение и является демонстрацией описанного выше метода. По сути, этот метод является частным способом использования опорных чисел. В данном случае опорным числом является 10. В последнем выражении доказательства видно, что именно на 10 мы умножаем скобку. Но в качестве опорного числа можно использовать и любые другие числа, из которых наиболее удобными являются 20, 25, 50, 100…

Опорное число

Посмотрите на суть этого метода на примере умножения 15 и 18. Здесь удобно использовать опорное число 10. 15 больше десяти на 5, а 18 больше десяти на 8.

Для того, чтобы узнать их произведение, нужно совершить следующие операции:

1. К любому из множителей прибавить число, на которое второй множитель больше опорного. То есть прибавить 8 к 15, или 5 к 18. В первом и втором случае получается одно и то же: 23.
2. Затем 23 умножаем на опорное число, то есть на 10. Ответ: 230
3. К 230 прибавляем произведение 5*8. Ответ: 270.

Опорное число при умножении чисел до 100. Наиболее популярной методикой умножения больших чисел в уме является прием использования, так называемого, опорного числа
Опорное число при умножении - это число, к которому близко находятся оба множителя и на которое удобно умножать. При умножении чисел до 100 опорными числами удобно использовать все числа кратные 10, а особенно 10, 20, 50 и 100.
Методика использования опорного числа зависит от того, являются ли множители больше или меньше опорного числа. Тут возможны три случая. Покажем, все 3 методики на примерах.
Оба числа меньше опорного (под опорным) . Допустим, мы хотим умножить 48 на 47.
Эти числа находятся достаточно близко к числу 50, а следовательно удобно использовать 50 в качестве опорного числа.
Чтобы умножить 48 на 47, используя опорное число 50, нужно:

1. Из 47 вычесть столько, сколько не хватает 48 до 50, то есть 2. Получается 45 (или
из 48 вычесть 3 - это всегда одно и то же)
2. Дальше 45 умножаем на 50 = 2250
3. Затем прибавляем 2*3 к этому результату - 2 256

50 (опорное число)

3(50-47) 2(50-48)

(47-2)*50+2*3=2250+6=2256

Если числа меньше опорного, то из первого множителя вычитаем разность между опорным числом и вторым множителем. Если числа больше опорного, то к первому множителю прибавляем разность опорного числа и второго множителя.

50(опорное число)

(51+13)*50+(13*1)=3200+13=3213

Одно число под опорным, а другое над. Третий случай использования опорного числа - когда одно число больше опорного, а другое меньше. Такие примеры решаются не сложнее, чем предыдущие. Меньший множитель увеличиваем на разность между вторым множителем и опорным числом, результат умножаем на опорное число и вычитаем произведение разностей опорного числа и множителей. Или больший множитель уменьшаем на разность между вторым множителем и опорным числом, результат умножаем на опорное число и вычитаем произведение разностей опорного числа и множителей.

50(опорное число)

5(50-45) 2(52-50)

(52-5)*50-5*2=47*50-10=2340 или (45+2)*50-5*2=47*50-10=2340

При умножении двузначных чисел из разных десятков в качестве опорного числа удобнее
брать круглое число, которое больше большего множителя.

90(опорное число)

63 (90-27) 1 (90-89)

(89-63)*90+63*1=2340+63=2403

Таким образом, с помощью использования одного опорного числа можно умножать большую комбинацию двузначных чисел. Описанные выше методики можно разделить на универсальные (подходящие для любых чисел) и частные (удобные для конкретных случаев).

В крайнем случае, можно воспользоваться «крестьянским» счетом . Чтобы умножить одно число на другое, допустим 21*75, нам нужно записать числа в две колонки. Первое число левой колонки 21, первое число правого столбика 75. Затем числа стоящие в левой колонке делить на 2 и отбрасывать остаток, пока не получим единицу, а числа в правой колонке умножаем на 2. Все строчки, имеющие четные числа в левой колонке вычеркиваем, а оставшиеся числа в правой колонке складываем, у нас получается точный результат.

Заключение

Как и все способы вычислений, данные методы быстрого счета имеют свои достоинства и недостатки:

ПЛЮСЫ:

1.С помощью различных методов быстрых вычислений даже самый малообразованный человек может считать.
2. Способы быстрого счета могут помочь избавиться от сложного действия, путем замены его на несколько более простых.
3.Способы быстрого счета полезны в ситуациях, когда нельзя воспользоваться умножением в столбик.
4.Способы быстрого счета позволяют сократить время вычислений.
5.Устный счет развивает умственную деятельность, что помогает быстрее ориентироваться в сложных жизненных ситуациях.
6. Техника устного счета делает процесс вычислений более увлекательным и интересным.

МИНУСЫ:

1.Зачастую, решать пример, пользуясь способами быстрого счета, оказывается дольше, чем просто перемножать в столбик, так как приходится выполнять большее количество действий, каждое из которых проще первоначального.
2.Бывают ситуации, когда человек от волнения или еще чего-то забывает способы быстрого счета или вовсе - путается в них; в таких случаях ответ получается неправильным, а способы являются фактически бесполезными.
3.Не для всех случаев разработаны способы быстрого счета.
4.Вычисляя с использованием техники быстрого счета, нужно держать множество ответов в голове, в чем можно запутаться и прийти к ошибочному результату.

Несомненно, практика играет важнейшую роль в развитии любых способностей. Но навык устного счета не опирается на один лишь опыт. Это доказывают люди, которые способны считать в уме сложные примеры. Например, такие люди могут умножать и делить трехзначные числа, совершать арифметические операции, которые не каждый человек и в столбик сможет посчитать. Что же необходимо знать и уметь обычному человеку, чтобы овладеть такой феноменальной способностью? На сегодняшний день существуют различные методики, помогающие научиться быстро считать в уме.

Изучив многие подходы к обучению навыку считать устно, можно выделить 3 основных составляющих данного навыка:

1. Способности. Способность концентрировать внимание и умение удерживать в краткосрочной памяти несколько вещей одновременно. Предрасположенность к математике и логическому мышлению.

2. Алгоритмы. Знание специальных алгоритмов и умение оперативно подобрать нужный, максимально эффективный алгоритм в каждой конкретной ситуации.

3. Тренировка и опыт , значение которых для любого навыка никто не отменял. Постоянные тренировки и постепенное усложнение решаемых задач и упражнения позволят вам улучшить скорость и качество устного счета. Нужно отметить, что третий фактор имеет ключевое значение. Не обладая необходимым опытом, вы не сможете удивить окружающих быстрым счетом, даже если вы знаете самый удобный алгоритм. Однако не стоит недооценивать важность первых двух составляющих, поскольку имея в своем арсенале способности и набор нужных алгоритмов, вы сможете удивить даже самого опытного «счетовода», при условии, что вы тренировались одинаковое время.

Устный счет – занятие, которым в наше время себя утруждает все меньшее количество людей. Гораздо проще достать калькулятор на телефоне и вычислить любой пример.

Но так ли это на самом деле? В этой статье мы представим математические лайфхаки, которые помогут научиться быстро складывать, вычитать, умножать и делить числа в уме. Причем оперируя не единицами и десятками, а минимум двухзначными и трехзначными числами.

После освоения методов из этой статьи идея лезть в телефон за калькулятором уже не покажется такой хорошей. Ведь можно не тратить время и посчитать все в уме гораздо быстрее, а заодно размять мозги и произвести впечатление на окружающих (противоположного пола).

Предупреждаем! Если вы обычный человек, а не вундеркинд, то для развития навыка счета в уме понадобятся тренировки и практика, концентрация внимания и терпение. Сначала все может получаться медленно, но потом дело пойдет на лад, и вы сможете быстро считать в уме любые числа.

Гаусс и устный счет

Одним из математиков с феноменальной скоростью устного счета был знаменитый Карл Фридрих Гаусс (1777-1855). Да-да, тот самый Гаусс, который придумал нормальное распределение.

По его собственным словам, он научился считать раньше, чем говорить. Когда Гауссу было 3 года, мальчик взглянул на платежную ведомость своего отца и заявил: «Подсчеты неверны». После того как взрослые все перепроверили, выяснилось, что маленький Гаусс был прав.

В дальнейшем этот математик достиг немалых высот, а его труды до сих пор активно используются в теоретических и прикладных науках. До самой смерти большую часть вычислений Гаусс производил в уме.

Здесь мы не будем заниматься сложными расчетами, а начнем с самого простого.

Сложение чисел в уме

Чтобы научиться складывать в уме большие числа, нужно уметь безошибочно складывать числа до 10 . В конечном счете любая сложная задача сводится к выполнению нескольких тривиальных действий.

Чаще всего проблемы и ошибки возникают при сложении чисел с «переходом через 10 ». При сложении (да и при вычитании) удобно применять технику «опоры на десяток». Что это? Сначала мы мысленно спрашиваем себя, сколько одному из слагаемых не хватает до 10 , а потом прибавляем к 10 оставшуюся до второго слагаемого разность.

Например, сложим числа 8 и 6 . Чтобы из 8 получить 10 , не хватает 2 . Затем к 10 останется прибавить 4=6-2 . В итоге получаем: 8+6=(8+2)+4=10+4=14

Основная хитрость со сложением больших чисел – разбить их на разрядные части, а потом сложить эти части между собой.

Пусть нам нужно сложить два числа: 356 и 728 . Число 356 можно представить как 300+50+6 . Аналогично, 728 будет иметь вид 700+20+8 . Теперь складываем:

356+728=(300+700)+(50+20)+(8+6)=1000+70+14=1084

Вычитание чисел в уме

Вычитание чисел тоже будет даваться легко. Но в отличие от сложения, где каждое число разбивается на разрядные части, при вычитании «разбить» нужно только то число, которое мы отнимаем.

Например, сколько будет 528-321 ? Разбиваем число 321 на разрядные части и получаем: 321=300+20+1 .

Теперь считаем: 528-300-20-1=228-20-1=208-1=207

Попробуйте визуализировать процессы сложения и вычитания. В школе всех учили считать в столбик, то есть сверху вниз. Один из способов перестроить мышление и ускорить счет – считать не сверху вниз, а слева направо, разбивая числа на разрядные части.

Умножение чисел в уме

Умножение – это многократное повторение числа. Если нужно умножить 8 на 4 , это значит, что число 8 нужно повторить 4 раза.

8*4=8+8+8+8=32

Так как все сложные задачи сводятся к более простым, нужно уметь умножать все однозначные числа. Для этого существует отличный инструмент – таблица умножения . Если вы не знаете эту таблицу на зубок, то мы настоятельно рекомендуем первым делом выучить ее и только потом приниматься за практику устного счета. К тому же учить там, по сути, нечего.

Умножение многозначных чисел на однозначные

Сначала потренируйтесь в умножении многозначных чисел на однозначные. Пусть нужно умножить 528 на 6 . Разбиваем число 528 на разряды и идем от старшего к младшему. Сначала умножаем, а потом складываем результаты.

528=500+20+8

528*6=500*6+20*6+8*6=3000+120+48=3168

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Умножение двузначных чисел

Здесь тоже нет ничего сложного, только нагрузка на краткосрочную память немного больше.

Перемножим 28 и 32 . Для этого сведем всю операцию к умножению на однозначные числа. Представим 32 как 30+2

28*32=28*30+28*2=20*30+8*30+20*2+8*2=600+240+40+16=896

Еще один пример. Умножим 79 на 57 . Это значит, что на нужно взять число «79 » 57 раз. Разобьем всю операцию на этапы. Сначала умножим 79 на 50 , а потом – 79 на 7 .

• 79*50=(70+9)*50=3500+450=3950
• 79*7=(70+9)*7=490+63=553
• 3950+553=4503

Умножение на 11

Вот хитрый прием быстрого устного счета, который поможет умножить любое двузначное число на 11 с феноменальной скоростью.

Чтобы умножить двузначное число на 11 , две цифры числа складываем друг с другом, и получившуюся сумму вписываем между цифрами исходного числа. Получившееся в итоге трехзначное число - результат умножения исходного числа на 11 .

Проверим и умножим 54 на 11 .

• 5+4=9
• 54*11=594

Возьмите любое двузначное число, умножьте его на 11 и убедитесь сами - эта хитрость работает!

Возведение в квадрат

С помощью другого интересного приема устного счета можно легко и быстро возводить двузначные числа в квадрат. Особенно просто это делать с числами, которые заканчиваются на 5 .

Результат начинается с произведения первой цифры числа на следующую за ней по иерархии. То есть, если эту цифру обозначить через n , то следующей за ней по иерархии цифрой будет n+1 . Результат заканчивается на квадрат последней цифры, то есть квадрат 5 .

Проверим! Возведем в квадрат число 75 .

• 7*8=56
• 5*5=25
• 75*75=5625

Деление чисел в уме

Осталось разобраться с делением. По сути, это операция, обратная умножению. С делением чисел до 100 никаких проблем вообще возникать не должно – ведь есть таблица умножения, которую вы знаете на зубок.

Деление на однозначное число

При делении многозначных чисел на однозначное необходимо выделить максимально большую часть, которую можно разделить с помощью таблицы умножения.

Например, есть число 6144 , которое нужно разделить на 8 . Вспоминаем таблицу умножения и понимаем, что на 8 будет делиться число 5600 . Представим пример в виде:

6144:8=(5600+544):8=700+544:8

544:8=(480+64):8=60+64:8

Осталось разделить 64 на 8 и получить результат, сложив все результаты деления

64:8=8

6144:8=700+60+8=768

Деление на двузначное число

При делении на двузначное число нужно пользоваться правилом последней цифры результата при умножении двух чисел.

При умножении двух многозначных чисел последняя цифра результата умножения всегда совпадает с последней цифрой результата умножения последних цифр этих чисел.

Например, умножим 1325 на 656 . По правилу, последняя цифра в получившемся числе будет 0 , так как 5*6=30 . Действительно, 1325*656=869200 .

Теперь, вооружившись этой ценной информацией, рассмотрим деление на двузначное число.

Сколько будет 4424:56 ?

Первоначально будем пользоваться методом «подгона» и найдем пределы, в которых лежит результат. Нам нужно найти число, которое при умножении на 56 даст 4424 . Интуитивно попробуем число 80.

56*80=4480

Значит, искомое число меньше 80 и явно больше 70 . Определим его последнюю цифру. Ее произведение на 6 должно заканчиваться цифрой 4 . Согласно таблице умножения, нам подходят результаты 4 и 9 . Логично предположить, что результатом деления может быть либо число 74 , либо 79 . Проверяем:

79*56=4424

Готово, решение найдено! Если бы не подошло число 79 , второй вариант обязательно оказался бы верным.

В заключение приведем несколько полезных советов, которые помогут быстро научиться устному счету:

• Не забывайте тренироваться каждый день;
• не бросайте тренировки, если результат не приходит так быстро, как хотелось бы;
• скачайте мобильное приложение для устного счета: так вам не придется самостоятельно придумывать себе примеры;
• почитайте книги по методикам быстрого устного счета. Существуют разные техники устного счета, и вы сможете овладеть той, которая лучше всего подходит именно вам.

Польза устного счета неоспорима. Тренируйтесь, и с каждым днем вы будете считать все быстрее и быстрее. А если вам понадобится помощь в решении более сложных и многоуровневых задач, обращайтесь к специалистам студенческого сервиса за быстрой и квалифицированной помощью!

Эта статья навеяна топиком «Как и насколько быстро вы считаете в уме на элементарном уровне?» и призвана распространить приёмы С.А. Рачинского для устного счёта.
Рачинский был замечательным педагогом, преподававшим в сельских школах в XIX веке и показавшим на собственном опыте, что развить навык быстрого устного счёта можно. Для его учеников не было особой проблемой посчитать подобный пример в уме:

Используем круглые числа

Т.к. на 10 , 100 , 1000 и др. круглые числа умножать быстрее, в уме нужно сводить всё к таким простым операциям, как 18 x 100 или 36 x 10 . Соответственно, и складывать легче, «отщепляя» круглое число, а затем добавляя «хвостик»: 1800 + 200 + 190 .
Еще пример:
31 x 29 = (30 + 1) x (30 - 1) = 30 x 30 - 1 x 1 = 900 - 1 = 899.

Упростим умножение делением

Возведение в квадрат двузначного числа

Приём Рачинского заключается в следующем. Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50 -ю. Например,
37^2 = 12 x 100 + 13^2 = 1200 + 169 = 1369; 84^2 = 59 x 100 + 34^2 = 5900 + 9 x 100 + 16^2 = 6800 + 256 = 7056;
В общем случае (M - двузначное число):

Попробуем применить данный трюк при возведении в квадрат трёхзначного числа, разбив его предварительно на более мелкие слагаемые:
195^2 = (100 + 95)^2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 70 x 100 + 45^2 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + + 7000 + 20 x 100 + 5^2 = 17000 + 19000 + 2000 + 25 = 38025.
Хм, я бы не сказала, что это сильно легче, чем возведение в столбик, но, возможно, со временем можно приноровиться.
И начинать тренировки, конечно, следует с возведения в квадрат двузначных чисел, а там уже и до дизассемблирования в уме можно дойти.

Умножение двузначных чисел

Например, вычислим 77 x 13 . Сумма единиц этих чисел равна 10 , т.к. 7 + 3 = 10 . Сначала ставим меньшее число перед большим: 77 x 13 = 13 x 77 .
Чтобы получить круглые числа, мы забираем три единицы от 13 и добавляем их к 77 . Теперь перемножим новые числа 80 x 10 , а к полученному результату прибавим произведение отобранных 3 единиц на разность старого числа 77 и нового числа 10 :
13 x 77 = 10 x 80 + 3 x (77 - 10) = 800 + 3 x 67 = 800 + 3 x (60 + 7) = 800 + 3 x 60 + 3 x 7 = 800 + 180 + 21 = 800 + 201 = 1001.
У этого приёма есть частный случай: всё значительно упрощается, когда у двух сомножителей одинаковое число десятков. В этом случае число десятков умножается на следующее за ним число и к полученному результату приписывается произведение единиц этих чисел. Посмотрим, как элегантен этот приём на примере.
48 x 42 . Число десятков 4 , последующее число: 5 ; 4 x 5 = 20 . Произведение единиц: 8 x 2 = 16 . Значит, 48 x 42 = 2016.
99 x 91 . Число десятков: 9 , последующее число: 10 ; 9 x 10 = 90 . Произведение единиц: 9 x 1 = 09 . Значит, 99 x 91 = 9009.
Ага, то есть, чтобы перемножить 95 x 95 , достаточно посчитать 9 x 10 = 90 и 5 x 5 = 25 и ответ готов:
95 x 95 = 9025.
Тогда предыдущий пример можно вычислить немного проще:
195^2 = (100 + 95)^2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 9025 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + 9000 + 25 = = 10000 + 19000 + 1000 + 8000 + 25 = 38025.

Вместо заключения

Использованная литература :
«1001 задача для умственного счёта в школе С.А. Рачинского» .

Одна из главных причин плохих результатов по математике на ОГЭ или ЕГЭ – это неумение считать. Многие школьники затрудняются решить пример даже на листочке, не говоря уже о быстром счете в уме. А ведь некоторые участки мозга атрофируются, если человек не пользуется умственными навыками. Поэтому важно развивать умственные способности в полном объеме.

Основа для развития навыка счета в уме

Некоторые родители считают, что обучать ребенка быстро считать примеры в уме необязательно: в дальнейшем ему это не пригодится, ведь всегда можно воспользоваться калькулятором. Но при этом они забывают о том, что для развития мозга такая тренировка просто необходима: любой изученный метод (прием) счета – это новая нейронная цепочка (связь), чем таких цепочек больше, тем умнее школьник. Поэтому основная польза навыка быстрого счета – это развитие мозга, интеллекта.

Невозможно научиться работать с числами в голове, если иметь слабое представление о них и действиях с ними.

Умение счета развивается постепенно от визуально-наглядного представления чисел и действий с ними до абстрактно-логического:

1. Сначала ребенок учится считать в прямом и обратном порядке с помощью стишков, потешек, практических упражнений во время прогулки, принятия пищи игры (посчитать, сколько предметов на столе, машинок в гараже, птичек на дереве). Знакомится с цифрами, узнает, что они обозначают, учится соотносить цифру и количество.
2. Затем осваивает понятия «больше — меньше», «поровну», учится сравнивать количество предметов, размеры.
3. После этого знакомится со сложением и вычитанием, узнает смысл этих действий. Все примеры носят наглядный характер (к двум яблокам ребенок придвигает еще 2 яблока и считает, сколько получится).
4. Учится считать предметы глазами, проговаривает сначала вслух действия и результат действий, а потом — шепотом:если добавить к 4 машинкам еще 2, то получится 6.
5. Многократное повторение действий приведет к тому, что малыш научится распознавать примеры, с которыми уже работал и называть результат вслух, минуя этап проговаривания.

Важно на этапе обучения счету заинтересовать ребенка, поддерживать его в случае неудачи и радоваться вместе с ним победам, пусть даже и маленьким. Когда , навык нужно будет развивать, знакомя школьника с различными приемами и методиками.

Развитие навыка счета в уме

• Совершенствование умения работать с числами в голове.
• Знакомство с новыми приемами и методиками.
• Тренировка умения подбирать оптимальный алгоритм решения в каждом конкретном случае.

Умение работать с числами

Развивать подобный навык позволят упражнения:

• «Назови числа, в которых …» — указывается диапазон и условие, например «Назови числа от 5 до 50, в которых есть цифра 3» или «Назови все двузначные числа, в которых есть цифра 0». При выполнении данного упражнения важно сразу прорабатывать все ошибки, допущенные учеником. Если он пропустил число или назвал неправильное, то начинает сначала.
• «Ведение прогрессии» (диапазон и арифметические действия зависят от возраста и развития навыка счета). Например, «Иди от 5 с шагом 3» или «Иди в обратном порядке от 30 с шагом 4» — для детей начальной школы. Для тех, кто уже выучил таблицу умножения, можно давать задания на умножение и деление: «Иди от 2, умножая все числа на 3».
• «Найди числа от 1 до …» — детям нужно найти и назвать по порядку все числа в таблице.
• «Сравни числа» — дети определяют, какое из них больше (меньше), на сколько;
• «Примеры» — школьникам предлагают решить в уме примеры, сначала простейшие (с маленькими числами), после отработки числа постепенно увеличивают. Не стоит знакомить ребенка с двузначными или трехзначными числами, если он не умеет в совершенстве выполнять действия с числами до 5.

Приемы быстрого счета чисел

К сожалению, единого – универсального – способа, позволяющего решать все примеры одинаково быстро, просто не существует. Поэтому важно знать и уметь применять на практике несколько методов, из которых потом выбирать наиболее целесообразный.

Полезные алгоритмы решения некоторых примеров:

• Чтобы быстро вычесть из числа 7, 8 ил 9, нужно сначала вычесть 10, а затем прибавить 3,2 или 1 соответственно. Например: 45-9=45-10+1=36, или 36-8=36-10+2=28.
• Быстро умножить на 4, 8 и 16 тоже можно. Для этого нужно сначала вспомнить, что 4=2*2, 8=2*2*2, 16=2*2*2*2. Затем просто умножить число на2 несколько раз: 6*16=6*2*2*2*2=96.
• Чтобы умножить число на 9, его сначала увеличивают в 10 раз, а затем от полученного отнимают первый множитель: 27*9=27*10-27=243. Этот прием позволит очень быстро найти результат умножения на 9, если не пользоваться калькулятором.
• Некруглые числа при умножении на 2 удобнее округлить, а затем вычесть или добавить (в зависимости от того, в какую сторону округляли) произведение оставшегося или недостающего числа на 2: 132*2=130*2+2*2=264, или 138*2=140*2-2*2=276.
• Аналогично числа делят на 2: 156/2=150/2+6/2=78, или 156/2=160/2-4/2=78.
• Чтобы умножить на 5, число делят на 2, а затем увеличивают в 10 раз (действия можно произвести наоборот): 27*5=27/2*10 или 27*10/2=135.
• Подобные действия производят при умножении на 25: сначала делят на 4, а потом увеличивают в 100 раз (просто приписывают два нуля): 16*25=16/4*100=400. Конечно, таким способом удобнее пользоваться, когда первый множитель делится без остатка на 4. Определить, делится ли число на 4 без остатка несложно (нетабличные случаи): число, состоящее из двух его последних цифр, должно делиться на 4. Например, число 124 делится на 4 (24/4=6), а 526 – нет (26 не делится на 4 без остатка).

И еще один способ умножения на многозначного числа на однозначное – нужно умножить разрядные слагаемые на второй множитель и результаты сложить. Например, 424*5=400*5+20*5+4*5=2000+100+20=2120.

Чтобы не ошибиться в подсчетах важно уметь прогнозировать будущий результат, и здесь помогут несколько утверждений:

• При умножении однозначных чисел, результат не превышает 81: 9*9=81.
• Аналогично, 99*99=9801, поэтому результат умножения двузначных чисел не должен быть больше этого числа, а при увеличении трехзначных чисел максимальное число – 998001.

Отработка навыка счета в уме

Указанные выше алгоритмы – это основа для развития навыка устного счета. Научиться считать сложные примеры можно только при регулярной тренировке, доведении использования навыка до автоматизма.

Эффективность работы в этом направлении можно повысить, если во время занятий:

1. Создать игровую ситуацию , превращающую обыденный учебный процесс в интересный и необычный процесс.
2. Поддерживать увлеченность ребенка интересным материалом постоянной сменой деятельности.
3. Создать дух соперничества – осознание, что кто-то может сделать лучше, заставит стремиться к новым достижениям, такие занятия будут более эффективны, чем заучивание «в одиночку».
4. Фиксировать личные достижения , ставить новые цели по достижению новых вершин.

Умение концентрироваться на решении задачи в любой ситуации (даже когда мешают другие) также способствует развитию навыка счета (да и не только). Тренировать эту способность можно, решая примеры при включенной музыке или, находясь в шумной компании.

Чтобы ребенку не стало скучно, важно научиться бороться с этим чувством. Психологи рекомендуют использовать для этого любые действия: например, рассматривать, что происходит за окном, или наблюдать за движением часовых стрелок. Если малыш научится справляться со скукой, направлять свою энергию в нужное русло, то на уроках он сможет усвоить больший объем информации, что положительно скажется на его успеваемости .