Как заработать на покупке акций сбербанка. Максимизация прибыли от акций

Часто мы начинаем анализ вероятностей, имея предварительные, априорные значения вероятностей интересующих нас событий. Затем из источников информации, таких как выборка, отчет, опыт и т. д., мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас событий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей.

а также известны и условные вероятности события А:

Так как заранее неизвестно, с каким из событий Нi произойдет событие А, то события Нi, называют гипотезами.

Необходимо определить вероятность события А и переоценить вероятности событий Нi с учетом

полной информации о событии А.

Вероятность события А определяется как

Эта вероятность называется полной вероятностью. Если событие А может наступить только вместе с одним из событий Н1,Н2 ,Н3, ..., Нn, образующих полную группу несовместных событий и называемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Н1, Н2, ..., Нn на соответствующую условную вероятность события А.

Это - формулы Байеса (по имени английского математика Т.Байеса, опубликовавшего их в 1764 г.),

выражение в знаменателе - формула полной вероятности.

Пример 1. Предприятие, производящее компьютеры, получает одинаковые ЧИПы от 2 поставщиков. 1-й поставляет 65% ЧИПов, 2-й - 35%. Известно, что качество поставляемых ЧИПов разное. На основании предыдущих данных о рейтингах качества составлена табл. 3.1.

Таблица 3.1

Предприятие осуществляет гарантийный ремонт компьютеров. Имея данные о числе компьютеров, поступающих на гарантийный ремонт в связи с неисправностью ЧИПов, переоцените вероятности того, что возвращенный для ремонта компьютер укомплектован ЧИПом: а) от 1-го поставщика; б) от

2-го поставщика.

Решение задач с использованием формул полной вероятности и Байеса удобнее оформлять в виде табл. 3.2.

Таблица 3.2

Шаг 1. В колонке 1 перечисляем события, которые задают априорную информацию в контексте решаемой проблемы: Соб. Н1 - ЧИП от 1-го поставщика; Соб. Н2 - ЧИП от 2-го поставщика. Это - гипотезы и они образуют полную группу независимых и несовместных событий.

В колонке 2 записываем вероятности этих событий:

Р(Н1) = 0,65, Р(Н2) = 0,35.

В колонке 3 определим условные вероятности события А - «ЧИП бракованный» для каждой из гипотез.

Шаг 2. В колонке 4 находим вероятности для событий «ЧИП от 1-го поставщика и он бракованный»

и «ЧИП от 2-го поставщика и он бракованный». Они определяются по правилу умножения вероятностей путем перемножения значений колонок 2 и 3. Поскольку сформулированные события

являются результатом пересечения двух событий А и Нi, то их вероятности называют совместными:

Р(Нi ∩ А) = Р(Нi)Р(А/Нi).

Шаг 3. Суммируем вероятности в колонке 4 для того, чтобы найти вероятность события А. В нашем

примере 0,0130 - вероятность поставки некачественного ЧИПа от 1-го поставщика, 0,0175 - вероятность поставки некачественного ЧИПа от 2-го поставщика. Поскольку, как мы уже сказали выше, ЧИПы поступают только от 2 поставщиков, то сумма вероятностей 0,0130 и 0,0175 показывает, что

0,0305 есть вероятность бракованного ЧИПа в общей поставке, определяемая с помощью формулы (3.1)

Шаг 4. В колонке 5 вычисляем апостериорные вероятности, используя формулу (3.2):

Заметим, что совместные вероятности находятся в строках колонки 4, а вероятность события А как сумма колонки 4 (табл. 3.3).

Таблица 3.3

Пример 2. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году будет равна 0,75, если экономика страны будет на подъеме; и эта же вероятность будет равна 0,30, если экономика страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъема в новом году равна 0,80. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году.

Решение. Определим события:

А - «Акции компании поднимутся в цене в будущем году». Событие А может произойти только вместе с одной из гипотез: Н1 - «Экономика страны будет на подъеме»;

Н2 - «Экономика страны не будет успешно развиваться».

По условию известны вероятности гипотез:

Р(Н1) = 0,80; Р(Н2) = 0,20 и условные вероятности события А:

Р(А/Н1)= 0,75; Р(А/Н2)= 0,30.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Рассмотрим событие А - это или Н1А, или Н2А. События Н1А и Н2А - несовместные попарно, так как события Н1 и Н2 - несовместны.

События Н1 и А, Н2 и А - зависимые. Вышеизложенное позволяет применить для определения

искомой вероятности события А формулу полной вероятности

Р(А) = Р(Н1)Р(А/Н1) + Р(Н2)Р(А/Н2) = == 0,80 · 0,75 + 0,20 · 0,30 = 0,66.

Решение оформим в виде табл. 3.4.

Таблица 3.4

Вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году, составляет 0,66.

Ответ. 0,66.

Пример 3. Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американ- ский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,70, в период умеренного экономического роста он по- дорожает с вероятностью 0,40 и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероят- ностью 0,20. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста - 0,30; умеренного экономического роста - 0,50 и низкого роста - 0,20. Предположим, что доллар дорожает в течение текущего периода. Чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с пери- одом активного экономического роста?

Решение. Определим события:

А - «Доллар дорожает». Оно может произойти только вместе с одной из гипотез:

Н1 - «Активный экономический рост»;

Н2 - «Умеренный экономический рост»;

Н3 - «Низкий экономический рост». По условию известны доопытные (априорные) вероятности

гипотез и условные вероятности события А:

Р(Н1) = 0,30, Р(Н2) = 0,50, Р(Н3) = 0,20, Р(А/Н1) = 0,70, Р(А/Н2) = 0,40, Р(А/Н3) = 0,20.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Событие А - это или Н1А, или Н2А, или Н3А. События Н1А, Н2А. и Н3А. - несовместные попарно, так как события Н1, Н2 и Н3 - несовместны. События Н1 и А, Н2 и А, Н3 и А - зависимые.

Требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность первой гипотезы, т. е.

необходимо найти вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает

(событие А уже произошло), т. е. Р(Н1/А).

Используя формулу Байеса (3.2) и подставляя заданные значения вероятностей, имеем

Мы можем получить тот же результат с помощью табл. 3.5.

Вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает, составляет 0,467.

Таблица 3.5

Для более наглядного восприятия решения нашей задачи мы можем также построить дерево ре-

Пример 4. В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из 1-й урны во 2-ю наудачу переложен один шар.

а) Найти вероятность того, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, окажется черным.

б) Предположим, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, оказался черным. Какова тогда вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю был переложен белый шар?

Решение. Определим события:

А - «Шар, извлеченный из 2-й урны, черный». Оно может произойти только вместе с одной из ги-

Н1 - «Из 1-й урны во 2-ю урну переложили черный шар» и Н2 - «Из 1-й урны во 2-ю переложили белый шар».

Используя классическое определение вероятности, найдем вероятности гипотез

Р(Н1) = 6/10; Р(Н2) = 4/10

и условные вероятности события А.

После перекладывания во 2-й урне окажется 11 шаров. Если из 1-й урны во 2-ю переложили черный шар, то во 2-й урне окажется 7 черных и 4 белых шаров, тогда

Р(А/Н1) = 7/11.

Если из 1-й урны во 2-ю переложили белый шар, то во 2-й урне окажется 6 черных и 5 белых шаров,

Р(А/Н2) = 6/11.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Рассмотрим событие А - это или Н1А, или Н2А. События Н1А и Н2А - несовместные попарно, так как события Н1 и Н2 - несовместны. События Н1 и А, Н2 и А - зависимые.

1. Вышеизложенное позволяет применить для определения вероятности события А и ответа на 1-й вопрос формулу полной вероятности (3.1)

Р(А) = Р(Н1) Р(А/Н1) + Р(Н2) Р(А/Н2)= = 6/10 · 7/11 + 4/10 · 6/11 = 0,6.

Это же решение можно оформить в виде табл. 3.6.

Таблица 3.6

Вероятность того, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, окажется черным,

составляет 0,6.

2. Во 2-й части задачи предполагается, что событие А уже произошло, т. е. шар, извлеченный из 2-й урны, оказался черным. Требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность 2-й гипотезы, т. е. необходимо определить вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю был переложен белый шар при условии, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, оказался черным:

Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой Байеса (3.2)

Мы можем получить тот же результат с помощью табл. 3.7.

Таблица 3.7

Вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю был переложен белый шар при условии, что шар,

извлеченный из 2-й урны после перекладывания, оказался черным, составляет 0,3636.

Ответ. а) 0,6; б) 0,3636.

Задачи к теме 3

1. Директор компании имеет 2 списка с фамилиями претендентов на работу. В 1-м списке - фамилии 6 женщин и 3 мужчин. Во 2-м списке оказались 4 женщины и 7 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из 1-го списка во 2-й. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из 2-го списка. Если предположить, что эта фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из 1-го списка была перенесена фамилия женщины?

2. Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок будет продан в течение ближайших 6 месяцев с вероятностью 0,9, если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться. Если же экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок составит 0,5. Экономист, консультирующий агента, полагает, что с вероятностью, равной 0,7, экономическая ситуация в регионе в течение следующих 6 месяцев будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение ближайших 6 месяцев?

3. Судоходная компания организует средиземноморские круизы в течение летнего времени и проводит несколько круизов в сезон. Поскольку в этом виде бизнеса очень высокая конкуренция, то важно, чтобы все каюты зафрахтованного под круизы корабля были полностью заняты туристами, тогда

компания получит прибыль. Эксперт по туризму, нанятый компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон в течение сезона, будет равна 0,92, если доллар не подорожает по отношению к рублю, и с вероятностью - 0,75, если доллар подорожает. По оценкам экономистов, вероятность того, что в течение сезона доллар подорожает по отношению к рублю, равна

0,23. Чему равна вероятность того, что билеты на все круизы будут проданы?

4. В корпорации обсуждается маркетинг нового продукта, выпускаемого на рынок. Исполнительный директор корпорации желал бы, чтобы новый товар превосходил по своим характеристикам соответствующие товары конкурирующих фирм. Основываясь на предварительных оценках экспертов, он определяет вероятность того, что новый товар более высокого качества по сравнению с аналогичными в 0,5, такого же качества - в 0,3, хуже по качеству - в 0,2. Опрос рынка показал, что новый товар конкурентоспособен. Из предыдущего опыта проведения опросов следует, что если товар действительно конкурентоспособный, то предсказание такого же вывода имеет вероятность, равную 0,7. Если товар такой же, как и аналогичные, то вероятность того, что опрос укажет на его превосходство, равна 0,4. И если товар более низкого качества, то вероятность того, что опрос укажет на его конкурентоспособность, равна 0,2. С учетом результата опроса оцените вероятность того, что товар действительно более высокого качества и, следовательно, обладает более высокой конкурентоспособностью, чем аналогичные.

5. Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее время ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 80%. Консультационная фирма, занимающаяся прогнозом рыночной ситуации, подтвердила предположение о росте спроса. Положительные прогнозы консультационной фирмы сбываются с вероятностью 95%, а отрицательные - с вероятностью 99%. Какова вероятность того, что рост спроса действительно произойдет?

6. Исследователь рынка заинтересован в проведении интервью с супружескими парами для выяснения их предпочтений к некоторым видам товаров. Он приходит по выбранному адресу, попадает в трехквартирный дом и по надписям на почтовых ящиках выясняет, что в 1-й квартире живут 2 мужчин, во 2-й - супружеская пара, в 3-й - 2 женщины. Когда исследователь поднимается по лестнице, то выясняется, что на дверях квартир нет никаких указателей. Исследователь звонит в случайно выбранную дверь и на его звонок выходит женщина. Предположим, что если бы он позвонил в дверь квартиры, где живут 2 мужчин, то к двери мог подойти только мужчина; если бы он позвонил в дверь квартиры, где живут только женщины, то к двери подошла бы только женщина; если бы он позвонил в дверь супружеской пары, то мужчина или женщина имели бы равные шансы подойти к двери. Имея эту информацию, оцените вероятность того, что исследователь выбрал нужную ему дверь.

7. Среди студентов института - 30% первокурсники, 35% студентов учатся на 2-м курсе, на 3-м и 4- м курсе их 20% и 15% соответственно. По данным деканатов известно, что на первом курсе 20% студентов сдали сессию только на отличные оценки, на 2-м - 30%, на 3-м - 35%, на 4-м - 40% отличников. Наудачу вызванный студент оказался отличником. Чему равна вероятность того, что он (или она) - третьекурсник?

8. Отдел менеджмента одного из супермаркетов разрабатывает новую кредитную политику с целью снижения числа тех покупателей, которые, получая кредит, не выполняют своих платежных обязательств. Менеджер по кредитам предлагает в будущем отказывать в кредитной поддержке тем покупателям, которые на 2 недели и более задерживают очередной взнос, тем более что примерно 90% таких покупателей задерживают платежи, по крайней мере, на 2 месяца.

Дополнительные исследования показали, что 2% всех покупателей товаров в кредит не только задерживают очередной взнос, но и вообще не выполняют своих обязательств, а 45% тех, кто уже имеют 2-месячную задолженность по кредиту, уплатил очередной взнос в данный момент. Учитывая все это, найти вероятность того, что покупатель, имеющий 2-месячную задолженность, в действительности не выполнит своих платежных обязательств по кредиту. Проанализировав полученные вероятности, критически оцените новую кредитную политику, разработанную отделом менеджмента.

9. Из числа авиалиний некоторого аэропорта 60% - местные, 30% - по СНГ и 10% -

международные. Среди пассажиров местных авиалиний 50% путешествуют по делам, связанным с бизнесом, на линиях СНГ таких пассажиров 60%, на международных - 90%. Из прибывших в аэропорт пассажиров случайно выбирается 1. Чему равна вероятность того, что он: а) бизнесмен; б) прибыл из стран СНГ по делам бизнеса; в) прилетел местным рейсом по делам бизнеса; г) прибывший международным рейсом бизнесмен?

10. Нефтеразведочная экспедиция проводит исследования для определения вероятности наличия нефти на месте предполагаемого бурения скважины. Исходя из результатов предыдущих исследований, нефтеразведчики считают, что вероятность наличия нефти на проверяемом участке равна 0,4. На завершающем этапе разведки проводится сейсмический тест, который имеет определенную степень надежности: если на проверяемом участке есть нефть, то тест укажет на ее наличие в 85% случаев; если нефти нет, то в 10% случаев тест может ошибочно указать на это. Сейсмический тест указал на присутствие нефти. Чему равна вероятность того, что запасы нефти на данном участке существуют реально?

11. Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае - в 0,25. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта?

12. Транснациональная компания обсуждает возможности инвестиций в некоторое государство с неустойчивой политической ситуацией. Менеджеры компании считают, что успех предполагаемых инвестиций зависит, в частности, и от политического климата в стране, в которую предполагается вливание инвестиционных средств. Менеджеры оценивают вероятность успеха (в терминах годового дохода от субсидий в течение 1-го года работы) в 0,55, если преобладающая политическая ситуация будет благоприятной; в 0,30, если политическая ситуация будет нейтральной; в 0,10, если политическая ситуация в течение года будет неблагоприятной. Менеджеры компании также полагают, что вероятности благоприятной, нейтральной и неблагоприятной политических ситуаций соответственно равны: 0,60, 0,20 и 0,20. Чему равна вероятность успеха инвестиций?

13. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую»,

«посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15; 0,70 и

0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,60,

когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,30, когда ситуация «посредственная», и с вероятностью

0,10, когда ситуация «плохая». Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния возрос.

Чему равна вероятность того, что экономика страны на подъеме?

14. При слиянии акционерного капитала 2 фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью, равной 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха будет равна 0,30. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,70. Чему равна вероятность успеха сделки?

15. На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0,950. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0,02. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,004. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность реальной аварийной ситуации?

16. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса - 0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

17. Перед тем, как начать маркетинг нового товара по всей стране, компании-производители часто

проверяют спрос на него по отзывам случайно выбранных потенциальных покупателей. Методы проведения выборочных процедур уже проверены и имеют определенную степень надежности. Для определенного товара известно, что вероятность его возможного успеха на рынке составит 0,75, если товар действительно удачный, и 0,15, если он неудачен. Из прошлого опыта известно, что новый товар может иметь успех на рынке с вероятностью 0,60. Если новый товар прошел выборочную проверку, и ее результаты указали на возможный его успех, то чему равна вероятность того, что это действительно так?

18. 2 автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность 1-го автомата вдвое больше производительности 2-го. 1-й автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а 2-й - 84% деталей отличного качества. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена: а)

1-м автоматом; б) 2-м автоматом.

19. Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70% женщин позитивно реагируют на изучаемый круг ситуаций, в то время как 40% мужчин реагируют на них негативно. 15 женщин и 5 мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предлагаемым ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнял мужчина?

20. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,67. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода, равна 0,35. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?

БАЙЕСА

Часто мы начинаем анализ вероятностей имея предварительные, априорные значения вероятностей интересующих нас событий. Затем из источников информации, таких как выборка, отчет, опыт и т.д. мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас событий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей.

Последовательность процесса переоценки вероятностей можно схематично изобразить так:

Априорные Новая информация из Байесовский Апостериорные

вероятности каких-либо источников анализ вероятности

Пусть событие А может осуществиться лишь вместе с одним из событий Н 1 , Н 2 , Н 3 , ..., Н n , образующих полную группу. Пусть известны вероятности P(H 1), P(H 2),…P(H i),…P(H n). Так как события H i образуют полную группу, то . Так же известны и условные вероятности события А: P(A/H 1), P(A/H 2), …P(A/H i)…, P(A/H n), i=1, 2, …, n. Так как заранее неизвестно с каким из событий H i произойдет событие А, то события H i называют гипотезами.

Необходимо определить вероятность события А и переоценить вероятности событий Hi с учетом полной информации о событии А.

Вероятность события А определяется как:

(3.1)

Эта вероятность называется полной вероятностью .

Если событие А может наступить только вместе с одним из событий Н1, Н2, Н3, ..., Нn, образующих полную группу несовместных событий и называемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Н1, Н2, ..., Нn на соответствующую условную вероятность события А.

Условные вероятности гипотез вычисляются по формуле:

или (3.2)

Это - формулы Байеса, (по имени английского математика Т.Байеса, опубликовавшего их в 1764 году) выражение в знаменателе - формула полной вероятности.

Пример 3.1. Предприятие, производящее компьютеры, получает одинаковые ЧИПы от двух поставщиков. Первый поставляет 65% ЧИПов, второй 35%. Известно, что качество поставляемых ЧИПов разное. Основываясь на предыдущих данных о рейтингах качества, составлена следующая таблица:

Предприятие осуществляет гарантийный ремонт компьютеров. Имея данные о числе компьютеров, поступающих на гарантийный ремонт в связи с неисправностью ЧИПов, переоцените вероятности того, что возвращенный для ремонта компьютер, укомплектован ЧИПом от поставщика 1, поставщика 2.

Решение задач с использованием формул полной вероятности и Байеса удобнее оформлять в виде таблицы следующего вида:

Шаг 1. В первой колонке перечисляем события, которые задают априорную информацию в контексте решаемой проблемы.

Соб. Н 1 - ЧИП от первого поставщика;

Соб. Н 2 - ЧИП от второго поставщика.

Это - гипотезы и они образуют полную группу независимых и несовместных событий.

Во второй колонке записываем вероятности этих событий:

Р(Н 1) = 0,65, а Р(Н 2) = 0,35

В третьей колонке определим условные вероятности события А - «ЧИП бракованный» для каждой из гипотез.

Шаг 2. В колонке 4 находим вероятности для событий «ЧИП от первого поставщика и он бракованный» и «ЧИП от второго поставщика и он бракованный». Они определяются по правилу умножения вероятностей путем перемножения значений колонок 2 и 3. Поскольку сформулированные события являются результатом пересечения двух событий: А и Hi, то их называют совместными вероятностями, то есть

Шаг 3. Суммируем вероятности в колонке 4 для того, чтобы найти вероятность события А. В нашем примере 0,0130 - вероятность поставки некачественного ЧИПа от поставщика1, 0,0175 - вероятность поставки некачественного ЧИПа от поставщика 2. Поскольку, как мы уже сказали выше, ЧИПы поступают только от двух поставщиков, то сумма вероятностей 0,0130 и 0,0175 показывает, что 0,0305 есть вероятность бракованного ЧИПа в общей поставке, по формуле (3.1):

= 0,0130 + 0,0175 = 0,0305

Шаг 4. В колонке 5 вычисляем апостериорные вероятности, используя формулу (3.2)

Заметим, что совместные вероятности находятся в строках колонки 4, а вероятность события А как сумма колонки 4.

Пример 3.2. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году равна 0,75, если экономика страны будет на подъёме; и эта же вероятность равна 0,30, если экономика страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъёма в будущем году равна 0,80. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году ?

Решение. Определим события:

А - “акции компании поднимутся в цене в будущем году”.

Событие А - “акции компании поднимутся в цене в будущем году” - может произойти только вместе с одной из гипотез:

Н 1 - экономика страны будет на подъёме и

Н 2 - экономика страны не будет успешно развиваться.

По условию известны вероятности гипотез:

P(H 1) = 0,8; P(H 2) = 0,2

и условные вероятности события А:

P(A/H 1) = 0,75; P(A/H 2) = 0,3.

Вышеизложенное позволяет применить для определения искомой вероятности события А формулу полной вероятности:

P(A)=P(H 1)× P(A/H 1) + P(H 2)× P(A/H 2) = 0,8 × 0,75 + 0,2 × 0,3 = 0,66.

Оформим решение в рабочей таблице:

Ответ. Вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году,

составляет 0,66.

Пример 3.3. Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,7, в период умеренного экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,4 и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,2. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста 0,3, умеренного экономического роста 0,5 и низкого роста - 0,2. Предположим, что доллар дорожает в течение текущего периода. Чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста?

Решение . Определим события:

А - “доллар дорожает”. Оно может произойти только вместе с одной из гипотез:

Н 1 - “активный экономический рост”;

Н 2 - “умеренный экономический рост”;

Н 3 - “низкий экономический рост”.

По условию известны доопытные (априорные) вероятности гипотез и условные вероятности события А:

Р(Н 1) = 0,3; Р(Н 2) = 0,5; Р(Н 3) = 0,2;

Р(А/Н 1) = 0,7; Р(А/Н 2) = 0,4 и Р(А/Н 3) = 0,2.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Событие А - это (или Н 1 × А или Н 2 × А или Н 3 × А). События Н 1 × А, Н 2 × А и Н 3 × А - несовместные попарно, так как события Н 1 , Н 2 и Н 3 - несовместны.

События Н 1 и А, Н 2 и А, Н 3 и А - зависимые.

По условию требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность первой гипотезы, т.е. необходимо найти вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает (событие А уже произошло), то есть Р(Н 1 /А) - ?

Используя формулу Байеса (3.2) и подставляя заданные значения вероятностей, имеем:

Ответ. Вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает, составляет 0,467.

Для более наглядного восприятия решения нашей задачи мы можем также построить дерево решений:

		Совместные
Априорные	Условные	вероятности
вероятности	вероятности	(как произведение)
	P(A/H 1) = 0,7	P(H 1 A) = 0,3× 0,7 = 0,21
Р(Н 1) = 0,3
	P( /H 1) = 0,3	P(H 1 ) = 0,3× 0,3 = 0,09
Р(Н 2) = 0,5	P(A/H 2) = 0,4	P(H 2 A) = 0,5× 0,4 = 0,20
	P( /H 2) = 0,6	P(H 2 ) = 0,5× 0,6 = 0,30
	P(A/H 3) = 0,2	P(H 3 A) = 0,2 × 0,2 = 0,04
Р(Н 3) = 0,2
	P( /H 3) = 0,8	P(H 3 ) = 0,2× 0,8 = 0,16

Ответ. Вероятность активного экономического роста при условии, что доллар подорожает,

P(H i /A) =0,467

Пример 3.3. В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны во вторую наудачу переложен один шар.

1. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывания, окажется черным ?

2. Предположим, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывания, оказался черным. Какова тогда вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар ?

Решение. Определим события:

А - “шар, извлеченный из второй урны - черный”. Оно может произойти только вместе с одной из гипотез:

Н 1 - “из 1-й урны во 2-ю урну переложили черный шар” и

Н 2 - “из 1-й урны во 2-ю урну переложили белый шар”.

Используя классическое определение вероятностей, определим вероятности гипотез:

P(H 1) = 6/10; P(H 2) = 4/10.

и условные вероятности события А.

После перекладывания во второй урне окажется 11 шаров. Если из первой урны во вторую переложили черный шар, то во второй урне окажется 7 черных и 4 белых шаров.

Тогда P(A/H 1) = 7/11.

Если из первой урны во вторую переложили белый шар, то во второй урне окажется 6 черных и 5 белых шаров.

Тогда P(A/H 2) = 6/11.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Рассмотрим событие А - это (или Н 1 А или Н 2 А). События Н 1 А и Н 2 А - несовместные попарно, так как события Н 1 и Н 2 - несовместны.

События Н 1 и А, Н 2 и А - зависимые.

1. Вышеизложенное позволяет применить для определения вероятности события А и ответа на первый вопрос формулу полной вероятности (3.1):

P(A)=P(H 1)P(A/H 1) + P(H 2)P(A/H 2)=6/10 7/11 + 4/106/11 = 0,6.

Это же решение можно оформить в рабочей таблице:

Ответ. Вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывания, окажется черным составляет 0,6.

2. Во второй части задачи предполагается, что событие А уже произошло, т.е. шар, извлеченный из второй урны, оказался черным. Требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность второй гипотезы, т.е. необходимо найти вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар при условии, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывания, оказался черным.

Р(Н 2 /А) - ?

Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой Байеса (3.2):

Мы можем получить тот же результат при помощи таблицы:

Ответ. Вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар при условии, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывания, оказался черным, составляет 0,3636.

Задачи к теме 3

1. Руководство компании выяснило, что в среднем 85% сотрудников, отправленных на стажировку по применению новых информационных технологий, успешно завершают курс обучения. В дальнейшем из них 60% активно применяют в работе полученные знания. Среди тех сотрудников, которые не смогли успешно завершить обучение новые информационные технологии успешно применяют лишь 10%. Если случайно выбранный сотрудник компании активно применяет новые информационные технологии, то какова вероятность того, что он успешно прошел стажировку?

2. Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок будет продан в течение ближайших шести месяцев с вероятностью 0,85, если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться. Если же экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок составит 0,4. Экономист, консультирующий агента полагает, что с вероятностью, равной 0,6, экономическая ситуация в регионе в течение следующих шести месяцев будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение ближайших шести месяцев?

3. Судоходная компания организует средиземноморские круизы в течение летнего времени и проводит несколько круизов в сезон. Поскольку в этом виде бизнеса очень высокая конкуренция, то важно, чтобы все каюты зафрахтованного под круизы корабля были полностью заняты туристами, тогда компания получит прибыль. Эксперт по туризму, нанятый компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон в течение сезона, равна 0,87, если доллар не подорожает по отношению к рублю, и с вероятностью - 0,64, если доллар подорожает. По оценкам экономистов, вероятность того, что в течение сезона доллар подорожает по отношению к рублю, равна 0,1. Чему равна вероятность того, что билеты на все круизы будут проданы?

4. Исследованиями маркетологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на рекламу средств бытовой химии. Результаты исследований показали, что 64% женщин позитивно реагируют на такую рекламу, считая что она дает полезную информацию о новинках в этой сфере, в то время как 48% мужчин реагируют на подобную рекламу негативно. 12 женщин и 8 мужчин заполнили анкету, в которой оценили новую рекламу средств бытовой химии. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что её заполняла женщина?

5. Компьютерная фирма разработала программу автоматизации учета в кафе и ресторанах. Рекламные материалы были разосланы в крупнейшие кафе и рестораны города, которые составляют 70% от общего числа предприятий питания города. Закупили программу 40% кафе и ресторанов, которые получили рекламные материалы и 15% не получавших ее. Какова вероятность того, что случайно выбранное кафе, заказало новую программу автоматизации учета?

6. Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,55; в противном случае - в 0,35. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,30. Чему равна вероятность заключения контракта?

7. Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее время ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 0,72. Консультационная фирма, занимающаяся прогнозом рыночной ситуации, подтвердила предположение о росте спроса. Положительные прогнозы консультационной фирмы сбываются с вероятностью 0,93, а отрицательные - с вероятностью 0,96. Какова вероятность того, что рост спроса действительно произойдет?

8. Из числа авиалиний некоторого аэропорта 70% - местные, 20% - по СНГ и 10% - в дальнее зарубежье. Среди пассажиров местных авиалиний 60% путешествуют по делам, связанным с бизнесом, на линиях СНГ таких пассажиров 50%, на международных - 90%. Из прибывших в аэропорт пассажиров случайно выбирается один. Чему равна вероятность того, что он бизнесмен?

9. Аудитор осуществляет проверку фирмы. В ходе работы у него накопилось 2 стопы бухгалтерских документов. В первой стопе содержит из 67 документов7 содержат ошибки, а во второй стопе из 45 документов 4 документа с ошибками. Случайно был переложен один документ из первой стопы во вторую. Какова вероятность того, что документ, извлеченный из второй стопы, содержит ошибку?

10. Компьютерная фирма продает мониторы 4 марок. При этом известно, что мониторы Sony составляют 24% от продаж, Panasonic-28%, LG – 16%, Samsung-32%. Вероятность неполадок в первый год работы для мониторов Sony составляет 0,01, Panasonic-0,02, LG – 0,03, Samsung-0,02. Какова вероятность неполадок в первый год работы случайно выбранного монитора?

11. При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью равной 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха равна 0,3. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,7. Чему равна вероятность успеха сделки?

12. На АЭС установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0,999. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0,002. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,004. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность того, что это случилось в условиях реальной аварийной ситуации?

13. Нефтеразведочная экспедиция проводит исследования для определения вероятности наличия нефти на месте предполагаемого бурения скважины. Исходя из результатов предыдущих исследований, нефтеразведчики считают, что вероятность наличия нефти на проверяемом участке, равна 0,55. На завершающем этапе разведки проводится сейсмический тест, который имеет определенную степень надежности: если на проверяемом участке есть нефть, то тест укажет на нее в 92% случаев; если нефти нет, то в 14% случаев тест может ошибочно указать на ее наличие. Сейсмический тест указал на присутствие нефти. Чему равна вероятность того, что запасы нефти на этом участке существуют реально?

14. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,58. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара 0,32. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода 0,24. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?

15. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,06, а в период экономического кризиса - 0,23. Предположим, вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,79. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

16. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на “хорошую”, “посредственную” и “плохую” и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,25, 0,60 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,7, когда ситуация “хорошая”; с вероятностью 0,2, когда ситуация “посредственная”, и с вероятностью 0,1, когда ситуация “плохая”. Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния возрос. Чему равна вероятность того, что экономика страны на подъеме?

17. Керамическая плитка одной марки, цвета и размера выпускается двумя цехами завода: первый цех выпускает 60% плитки, а второй 40%. Причем известно, что 8% продукции первого цеха имеют дефекты, тогда как этот же показатель для второго цеха равен 5%. Случайно взятая плитка имеет дефект. Чему равна вероятность того, что она выпущена первым цехом?

18. Опрос показал, что из 26 студентов, обучающихся в первой группе 18 ростовчан, а остальные живут в других городах, во второй группе 17 студентов-ростовчан, а остальные 10 живут в других городах. Из второй группы в первую был переведен один студент. После перевода один студент первой группы был вызван в деканат и оказалось, что это студент ростовчанин. Какова вероятность того, что из второй группы в первую был переведен студент-ростовчанин?

19. Страховая компания делит, водителей, заключивших договор автокаско на следующие группы риска: 1 группа – низкий риск; 2 группа - средний; 3 группа – высокий риск. Среди клиентов страховой компании 25% - первой группы; 65% - второй группы; 10% - третьей группы. Вероятность того, что страховое событие произойдет и страховая компания будет вынуждена выплатить страховое возмещение для первой группы риска оценивается как 0,1; для второй группы – 0,2; для третьей – 0,3. Какова вероятность того, что случайно выбранный клиент, получивший страховое возмещение, относится к группе среднего риска?

20. Работа сотрудников торгового зала супермаркета организована в две смены. В первой смене работают 5 мужчин и 7 женщин, во второй смене – 9 мужчин и 10 женщин. Из второй смены в первую был переведен один сотрудник. Клиент супермаркета пригласил сотрудника торгового зала для консультации. Консультировал клиента сотрудник – мужчина. Какова вероятность того, что из второй смены в первую была переведена женщина?

Похожая информация.

Часто мы начинаем анализ вероятностей, имея предварительные, априорные значения вероятностей интересующих нас событий. Затем из источников информации, таких как выборка, отчет, опыт и т.д. мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас событий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей.

Пусть событие А может произойти лишь вместе с одним из событий В 1 , В 2 , В 3 ,…,В n , образующих полную группу. Пусть известны вероятности Р(В 1), Р(В 2), Р(В 3),…,Р(В n) . Так как события В i образуют полную группу, то . Так же известны и условные вероятности события А: Р(А/B 1), Р(А/B 2),…, Р(А/B i),…, Р(А/B n). Так как заранее неизвестно с каким из событий В i произойдет событие А , то события В i называют гипотезами.

Необходимо определить вероятность события А и переоценить вероятности событий В i с учетом полной информации о событии А .

Вероятность события А определяется как:

. (5.1)

Эта вероятность называется полной вероятностью.

Если событие А может наступить только с одним из событий В 1 , В 2 , В 3 ,…,В n , образующих полную группу несовместных событий, называемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий В 1 , В 2 , В 3 ,…,В n , на соответствующую условную вероятность события А.

Условные вероятности гипотез вычисляются по формуле:

Это - формулы Байеса, (по имени английского математика Т. Байеса, опубликовавшего их в 1764 году), где в знаменателе P(A)- полная вероятность.

Пример 1. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году равна 0,75, если экономика страны будет на подъеме; и эта же вероятность равна 0,30, если экономика страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъема в будущем году равна 0,80. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году?

Решение. Определим события: А – «акции компании поднимутся в цене в будущем году». Событие А –« акции компании поднимутся в цене в будущем году»- может произойти только вместе с одной из гипотез: B 1 –экономика страны будет на подъеме и B 2 –экономика страны не будет успешно развиваться.

По условию известны вероятности гипотез: P(B 1)= 0,8; P(B 2)= 0,2

и условные вероятности события А: P(А/B 1)= 0,75; P(А/B 2)= 0,3.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Рассмотрим событие А – это (или B 1 А или B 2 А ). События B 1 А и B 2 А – B 1 и B 2 – несовместны.

События B 1 и А, B 2 и А – зависимые.

Вышеизложенное позволяет применить для определения искомой вероятности события А формулу полной вероятности:

Ответ: 0,66.

Пример 2. Экономист полагает, что в течении периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,7; в период умеренного экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,4; и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,2. В течении любого периода времени вероятность активного экономического роста роста 0,3, умеренного экономического роста равна 0,5 и низкого роста равна 0,2. Предположим, что доллар дорожает в течение текущего периода. Чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста?

Решение. Определим события: А – «доллар дорожает». Оно может произойти только вместе с одной из гипотез: B 1 –«активный экономический рост»; B 2 –«умеренный экономический рост»; B 3 –«низкий экономический рост».

По условию известны доопытные (априорные) вероятности гипотез и условные вероятности события А :

P(B 1)= 0,3; P(B 2)= 0,5; P(B 3)= 0,2.

P(А/B 1)= 0,7; P(А/B 2)= 0,4; P(А/B 3)= 0,2.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. 1.Событие А – это (или B 1 А, или B 2 А, или B 3 А ). События B 1 А и B 2 А и B 3 А – несовместные попарно, так как события B 1 , B 2 и B 3 – несовместны.События B 1 и А, B 2 и А,А и B 2 – зависимые.По условию требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность первой гипотезы, т.е. необходимо найти вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает (событие А уже произошло), то есть P(B 1 /А)-?

Используя формулу Байеса (5.2) и подставляя заданные значения вероятностей, имеем:

Сегодня поговорим про FXCN - ETF-фонд акций китайских компаний.

Напомним, что главное в любом ETF-фонде - это его наполнение. Покупая акции фонда, мы как бы покупаем портфель ценных бумаг, входящих в состав активов фонда. Состав портфеля определяется индексом, составленным независимым профессиональным участником - провайдером индекса. Подробнее об индексах и устройстве ETF-фондов - в .

При этом в 2013 году Китай обошел США по объему экспорта товаров и услуг:

(Данные World Bank )

По прогнозу Всемирного Банка, в ближайшие годы Китай ждут более высокий темп роста ВВП, чем Россию или США:

(Данные World Bank )

Все это делает Китай интересным рынком для инвестиций, как с точки зрения темпов экономического роста, так и с точки зрения диверсификации.

Это значит, что в китайские акции вкладывать менее рискованно, чем в российские, но более рискованно, чем в американские. На графике выше видно, что график индекса российского рынка «болтает» сильнее всего. Китай - поменьше. И американский рынок на фоне соседей почти похож на медленно, но верно растущую прямую.

Дивиденды, налоги и комиссия фонда

Дивиденды, которые фонд получает по акциям китайских компаний, реинвестируются. То есть на сумму полученных дивидендов фонд покупает для вас дополнительные акции в пропорциях согласно индексу MSCI China.

При продаже акций фонда через российского брокера с физических лиц удерживается НДФЛ в размере 13% с положительной разницы между ценой покупки и ценой продажи. Это значит, что пока вы не продаете акции фонда, налог не удерживается. Чтобы не платить НДФЛ при продаже, акции фонда можно купить на индивидуальный инвестиционный счет, предоставляющий налоговый вычет.

Комиссия в фонде FXCN составляет 0,9% годовых. Вы не платите её отдельно и никогда с ней напрямую не сталкиваетесь. Комиссия взимается фондом из активов и лишь «притормаживает» рост чистых активов фонда.

Цена акции

Портфель из акций 152 китайских компаний - это общее имущество фонда FXCN. Поделив стоимость активов на число выпущенных акций, получаем стоимость одной акции фонда FXCN. Как правило цена акции на бирже и стоимость активов в расчете на одну акцию находятся очень близко.

Несмотря на то, имущество фонда оценивается в долларах, для удобства инвесторов акции фонда FXCN можно покупать и продавать на Московской бирже за рубли наравне с акциями Сбербанка или Газпрома. Еще можно купить в долларах -для этого нужно приобретать или через внебиржевую сделку, или в режиме переговорных сделок (РПС).

По состоянию на 18 июля 2017 года расчетная стоимость одной акции FXCN составляла 37,3657 доллара. Средневзвешенная цена сделок с акциями фонда на Московской бирже за 18 июля составила 2 220 рублей.

Как купить

Для покупки и продажи акций фонда FXCN вы можете обратиться в любой банк или в финансовую компанию, оказывающие брокерские услуги.

Ожидаемая доходность и стандартное отклонение. Этот пример позволит вам на практике рассчитать показатели, которые мы можем ожидать от инвестиционного портфеля. Даны два вида акций и три состояния экономики:

Рассчитайте стандартное отклонение и ожидаемую доходность для каждого типа акций.

Риск портфеля и доходность. Вернемся к примеру 11.1 и предположим, что всего вы имеете $20000. Если вы вложите $6000 в акции A , а остальное в B , какими будут ожидаемая доходность и стандартное отклонение вашего портфеля?

Риск и доходность. Предположим, что вы рассматриваете следующую ситуацию:

Если ставка, свободная от риска, составляет 8%, правильно ли оценены данные ценные бумаги? Какой должна была бы быть ставка, свободная от риска, если ценные бумаги оценить правильно?

CAPM . Предположим, что ставка, свободная от риска, составляет 8%. Ожидаемая доходность на рынке составляет 14%. Если конкретный вид актива имеет (3 = 0,6, то какова ожидаемая доходность этого актива, основываясь на CAPM ? Если другой актив имеет ожидаемую доходность 20%, то какой должен быть (3 коэффициент?

Ответы

Ожидаемые доходности рассчитываются как произведение возможных доходностей на их вероятности:

E(R A ) = 0,1 х (-0,2) + 0,6 х (0,1) + 0,3 х (0,7) = 25% E(RB) = 0,1 х (0,3) + 0,6 х (0,2) + 0,3 х (0,5) = 30%

Непостоянство рассчитывается как сумма произведений квадратов отклонения ожидаемых доходностей на их вероятности:

Од = 0,1 х (-0,2 - 0,25)2 + 0,6 х (0,1 - 0,25)2 + 0,3 х (0,7 - 0,25)2 = = 0,1 х (-0,45)2 + 0,6 х (-0,15)2 + 0,3 х (0,45)2 = = 0,1 х 0,2025 + 0,6 х 0,0225 + 0,3 х 0,2025 = 0,0945

а2, = 0,1 х (0,3 - 0,3)2 + 0,6 х (0,2 - 0,3)2 + 0,3 х (0,5 - 0,3)2 =

0,1 х (0,0)2 + 0,6 х (-0,1)2 + 0,3 х (0,2)2 =

0,1 х 0,0 + 0,6 х 0,01 + 0,3 х 0,04 = 0,0180 Стандартные отклонения равны: аА = УО,0945 =30,74% aB = VO,0180 = 13,42%

Вес каждого типа акций в портфеле составляет: $6000/20000 = 0,3 и $14000/20000 = 0,7. Тогда ожидаемая доходность портфеля составит:

Щ/У = 0,3 х E(RA) + 0,7 х E(RB) = 0,3 х 25% + 0,7 х 30% = 28,50%

Тогда доходность портфеля составляет

E(R p ) = 0,1 х (0,15) + 0,6 х (0,17) - 0 3 х (0,56) = 28,50%.

Это тот же самый результат, что мы получили ранее.

Рассчитаем непостоянство портфеля

Ор = 0,1 х (0,15 - 0,285)2 + 0,6 х (0,17 - 0,285)2 + 0,3 х (0,56 - 0,285)2 = 0,03245

Тогда стандартное отклонение есть корень квадратный из 0,03245 и равно 18,01%

Если мы рассчитаем коэффициент награды за риск для ценных бумаг каждой компании, мы в результате получим (19% - 8%)/1,6 = 6,875% для Cooley и 6,67% для Моуег По отношению к Cooley ожидаемая доходность Моуег слишком низкая, поэтому ее цены слишком высокие

Если ценные бумаги обеих компаний оценены правильно, то они должны предлагать одинаковый коэффициент награды за риск Таким образом, мы можем составить уравнение

(19% - Rj)/],6 = (16% - Rf)/l,2

Произведя небольшие алгебраические преобразования, мы получим /?у= 7%

(19% - Rf) = (16% - ЯД 1,6/1 ,2) 19% - 16% х (4/3) = Rf - Rf x (4/3) йу=7%

Так как рыночная ожидаемая доходность составляет 14%, то рыночная премия риска соответственно (14% - 8%) = 6% (ставка, свободная от риска, равна 8%) Первый вид ценных бумаг имеет Р = 0,6, значит ожидаемая доходность составляет 8% + 0,6x6%= 11,6%

Для второго вида премия риска составляет 20% - 8% = 12% Так как это ровно в два раза превышает рыночную премию риска, то и р коэффициент должен быть точно равен 2 Мы можем проверить это используя теорию CAPM

20% = 8% + х р Р, = 12%/6% = 2,0

Вопросы и задачи

Ожидаемые доходности портфеля. Если портфель имеет положительные инвестиции в каждый вид актива, может ли ожидаемая доходность такого портфеля быть больше, чем доходность каждого актива в этом портфеле? Меньше? Если у вас положительный ответ на один или оба вопроса, пожалуйста приведите пример, чтобы аргументировать ваше решение.

Непостоянство индивидуального актива и диверсификация. Правда или нет: наиболее важной характеристикой при определении ожидаемой доходности хорошо диверсифицированного портфеля являются непостоянства индивидуальных активов портфеля. Объясните.

Риск портфеля. Если портфель имеет положительные инвестиции в каждый вид актива, может ли стандартное отклонение такого портфеля быть меньше, чем стандартное отклонение каждого актива в этом портфеле? Что вы можете сказать о b такого портфеля?

Доходности портфеля. Используя информацию предыдущей главы об истории рынка ценных бумаг, определите, какой была доходность портфеля, который былодинаково распределен между обыкновенными акциями и долгосрочными правительственными облигациями? Который одинаково распределен между малыми акциями и векселями Казначейства?

CAPM . Используя CAPM , докажите, что коэффициент премии риска двух активов равен их коэффициентам р.

Доходности портфеля и отклонения. Имея следующую информацию о портфеле, состоящем из трех видов ценных бумаг, определите:

Если вы инвестировали по 30% в A и B , 40% в C , какой будет ожидаемая доходность портфеля? Непостоянство? Стандартное отклонение?

Если ожидаемый уровень доходности T-bill составляет 5,25%, то какой будет премия риска портфеля?

Если ожидаемый уровень инфляции составляет 5%, то какова реальная ожидаемая доходность портфеля? Какова реальная премия риска портфеля?

Анализ портфеля. Вы хотите создать портфель с таким же уровнем риска, что и фондовый рынок в целом. У вас есть $200000. Имея нижеприведенную информацию, заполните недостающие позиции:

Анализ портфеля. Вы имеете $100000 для инвестиций либо в ценные бумаги типа D , либо в F, либо в актив, свободный от риска. Вы должны вложить все ваши деньги. Ваша цель – создание портфеля с ожидаемой доходностью 10% и только с 60% риска, по сравнению с остальным рынком. Если D имеет ожидаемую доходность 20% и Р = 1,50, F имеет ожидаемую доходность 15% и Р = 1,15, ставка, свободная от риска составляет 5%, то сколько денег вы вложите в F?

Систематический риск против несистематического. Вы имеете следующую информацию:

Рыночная премия риска составляет 8% и ставка, свободная от риска, равна 6%. Какой вид ценных бумаг имеет наибольший систематический риск? Какой вид имеет наибольший несистематический риск? Какой вид ценных бумаг наиболее рискованный? Объясните.

Вопросы повышенной сложности

Коэффициенты b. Может ли рискованный актив иметь b = 0? Объясните. Используя модель CAPM , какой будет ожидаемая доходность такого актива? Может ли рискованный актив иметь отрицательный b коэффициент? Что предсказывает CAPM об уровне ожидаемой доходности для такого актива? Можете ли вы пояснить свой ответ?

Линия состояния фондового рынка (SML ). Предположим, что вы рассматриваете следующую ситуацию:

Допустим, что эти ценные бумаги правильно оценены. Основываясь на CAPM , определите, какой будет ожидаемая рыночная доходность? Какова ставка, свободная от риска?

Экзамен CFA – экзамен на получение сертификата финансового аналитика, который выдается специалистам в области инвестиций в США.