ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ – символы логических языков, используемые для образования сложных высказываний (формул) из элементарных. Логическими связками называют также соответствующие этим символам союзы естественного языка. Обычно используются такие логические связки, как конъюнкция (союз «и», символические обозначения: &, ∧ и точка в виде знака умножения, которые часто опускают, записывая конъюнкцию А и В как AB), дизъюнкция (нестрогий союз «или», обозначается как «∨»), импликация («если..., то», обозначается с помощью знака «⊃» и различного рода стрелок), отрицание («неверно, что...», обозначается: , ~ или чертой над отрицаемым выражением). Из перечисленных отрицание является одноместной (унарной) связкой. Другие являются двухместными (бинарными). В принципе логические связки могут быть сколь угодно местными, но на практике более, чем бинарные, используются очень редко. В классической логике (Логика, Логика высказываний) любые многоместные логические связки выразимы через перечисленные. Некоторый практический смысл дает использование тернарной логической связки, называемой условной дизъюнкцией, связывающей три высказывания А, В и С и означающей, что «А в случае В, и С в случае не-B» или формально: (B⊃A)&(B⊃C) (Сидоренко Е.А. Пропозициональное исчисление с условной дизъюнкцией. – В кн.: Методы логического анализа. М., 1977).
Классическая логика рассматривает логические связки экстенсионально (игнорируя содержательный смысл связываемых ими высказываний) как функции истинности, определяемые истинностными значениями связываемых ими высказываний. При двух имеющих место в этой логике истинностных значениях 1 (истинно) и 0 (ложно) высказывания А и В могут иметь четыре возможных набора упорядоченных истинностных значений: <1,1>, <1,0>, <0,1>, <0,0>. Пропозициональная истинностная функция ставит в соответствие каждому перечисленному набору одно из значений истинности – 1 или 0. Всего таких функций 16. Конъюнкция приписывает выражению А&В значение 1 только в случае, когда как А, так и В истинны, т.е. оба имеют значение 1, в остальных случаях значение А&В равно 0. Дизъюнкция Α ∨ В, напротив, ложна только в одном случае, когда ложны как А, так и В. Импликация А ⊃ В является ложной только при истинном (антецеденте) А и ложном (консеквенте) В. В остальных случаях А ⊃ В принимает значение 1. Из четырех одноместных функций интерес представляет только отрицание, меняющее значение высказывания на противоположное: когда А – истинно, A – ложно, и наоборот. Все другие унарные и бинарные классические функции могут быть выражены через представленные. Когда принятая в соответствующей семантике система логических связок позволяет дать определение всех остальных, ее называют функционально полной. К полным системам в классической логике относятся, в частности, конъюнкция и отрицание; дизъюнкция и отрицание; импликация и отрицание. Конъюнкция и дизъюнкция определимы друг через друга за счет эквивалентностей (А&В)≡(А∨В) и (A∨B)≡(А&B), именуемых законами де Моргана, а также: (Α⊃Β)≡(Α∨В), (А&В)≡(А⊃B), (Α∨В)≡((А⊃В)⊃A). Любая эквивалентность вида A ≡ В имеет силу только тогда, когда общезначима (всегда истинна) конъюнкция (А⊃В)&(В⊃A).
Функции антидизъюнкция и антиконъюнкция, определимые соответственно как (А∨В) и (А&В), также представляют каждая в отдельности функционально полную систему связок. Это последнее обстоятельство было известно уже Ч.Пирсу (неопубликованная при его жизни работа 1880 г.) и было переоткрыто X.Шеффером (H.M.Sheffer). Используя антидизъюнкцию как единственную логическую связку, Шеффер в 1913 построил полное исчисление высказываний. Антидизъюнкцию обозначают А∣В и называют штрихом Шеффера, читая данное выражение, как «не-A и не-B». Ж.Нико (J. G.P.Nicod) употребил то же обозначение для антиконъюнкции («Неверно, что одновременно А и B») и с помощью только этой связки в 1917 сформулировал полное исчисление высказываний с одной (всего!) аксиомой и одним правилом вывода. Т.о., штрихом Шеффера называют по сути саму вертикальную черту, которая у разных авторов может обозначать как антидизъюнкцию, так и антиконъюнкцию.
Экстенсиональность логических связок придает им однозначность, упрощает проблему построения логических исчислений, дает возможность решать для последних метатеоретические проблемы непротиворечивости, разрешимости, полноты (см. Металогика). Однако в некоторых случаях истинностно-функциональная трактовка связок приводит к значительному несоответствию с тем, как они понимаются в естественном языке. Так, указанная истинностная интерпретация импликации вынуждает признавать верными предложения вида «Если А, то B» даже в том случае, когда между высказываниями А и В (и, соответственно, событиями, о которых в них идет речь) нет никакой реальной связи. Достаточно, чтобы А было ложным или В – истинным. Поэтому из двух предложений: «Если А, то В» и «Если В, то А», по крайней мере одно приходится признавать верным, что плохо сообразуется с обычным употреблением условной связки. Импликацию в данном случае специально называют «материальной», отличая ее тем самым от условного союза, предполагающего, что между антецедентом и консеквентом истинного условного высказывания имеется действительная связь. При этом материальная импликация может прекрасно использоваться во многих контекстах, напр., математических, когда при этом не забывают о ее специфических особенностях. В некоторых случаях, однако, именно контекст не позволяет трактовать условный союз как материальную импликацию, предполагая взаимосвязь высказываний. Для анализа таких контекстов приходится строить специальные неклассические логики, напр., релевантные (см. Релевантная логика), в язык которых вместо материальной импликации (или наряду с ней) вводятся другие импликации, которые понимаются интенсионально (содержательно) и верность которых не может быть обоснована истинностно-функционально. Интенсионально могут трактоваться также другие логические связки.
Е.А. Сидоренко
Новая философская энциклопедия. В четырех томах. / Ин-т философии РАН. Научно-ред. совет: В.С. Степин, А.А. Гусейнов, Г.Ю. Семигин. М., Мысль, 2010, т. II, Е – М, с. 439-440.
Литература:
Чёрч А. Введение в математическую логику, т. 1. М., 1960;
Карри Х. Основания математической логики. М., 1969.
Определение. Под высказыванием принято понимать языковое предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно в данный момент времени.
Высказывания чаще всего обозначают маленькими латинскими буквами a, b, c, х1, х2, …
В логике высказываний интересуются не содержанием, а истинностью или ложностью высказываний. Истинностные значения – истина и ложь – будем обозначать И и Л соответственно. Множество {И, Л} называется множеством истинностных значений.
Определение. Высказывание называют простым (элементарным), если оно рассматривается как некое неделимое целое (аналогично элементу множества). Сложным (составным) называется высказывание, составленное из простых с помощью логических связок.
В естественном языке роль связок при составлении сложных предложений из простых играют следующие грамматические средства: союзы «и», «или», «не»; слова «если …, то», «либо … либо», «тогда и только тогда, когда» и др. В логике высказываний логические связки, используемые для составления сложных высказываний, обязаны быть определены точно. Рассмотрим логические связки (операции) над высказываниями, при которых истинностные значения составных высказываний определяются только истинностными значениями составляющих высказываний, а не их смыслом.
В дальнейшем значению «истина» будем ставить в соответствие 1 , а «ложь» - 0 . Каждой логической операции ставится в соответствие таблица истинности . Таблица истинности выражает значения истинности высказываний в зависимости от значений элементарных высказываний. В дальнейшем буден использовать таблицу истинности для установления истинностных значений сложных высказываний при данных значениях входящих в него элементарных высказываний.
Тогда - «Не верно, что Степан любит танцевать».
| № набора | a | b | aЩb |
Определение. Конъюнкцией двух высказываний является новое высказывание, которое истинно только тогда, когда оба исходных высказывания истинны (табл. 4).
ГРАФЫ. ОПЕРАЦИИ НАД ГРАФАМИ.
МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ.
Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.
Матрицей A=A mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов .
Элементы матрицы a ij , у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ .
Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a 11 , a 22 ,..., a nn .
Равенство матриц.
A=B , если порядки матриц A и B одинаковы и a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)
Действия над матрицами.
1. Сложение матриц - поэлементная операция
2. Вычитание матриц - поэлементная операция
3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция
4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)
§ 4. Выражение логических связок (логических постоянных) в естественном языке
В мышлении мы оперируем не только простыми, но и сложными суждениями, образуемыми из простых посредством логических связок (или операций) - конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции, отрицания, которые также называются логическими константами, или логическими постоянными. Проанализируем, каким образом перечисленные логические связки выражаются в естественном (русском) языке.
Конъюнкция (знак «л») выражается союзами «и», «а», «но», «да», «хотя», «который», «зато», «однако», «не только..., но и» и др. В логике высказываний знак « л » соединяет простые высказывания, образуя из них сложные. В естественном языке союз «и» и другие слова, соответствующие конъюнкции, могут соединять существительные, глаголы, наречия, прилагательные и другие части речи. Например, «В корзине у деда лежали подберезовики и маслята» (ab), «Интересная и красиво оформленная книга лежит на столе». Последнее высказывание нельзя разбить на два простых, соединенных конъюнкцией: «Интересная книга лежит на толе» и «Красиво оформленная книга лежит на столе», - так как создается впечатление, что на столе лежат две книги, а не одна.
В логике высказываний действует закон коммутативности конъюнкции (ab)(ba). В естественном русском языке такого закона нет, так как действует фактор времени. Там, где учитывается последовательность во времени, употребление союза «и» некоммутативно. Поэтому не будут эквивалентными, например, такие два высказывания: 1) «Прицепили паровоз, и поезд тронулся» и 2) «Поезд тронулся, и прицепили паровоз».
В естественном языке конъюнкция может быть выражена не только словами, но и знаками препинания: запятой, точкой с запятой, тире. Например, «Сверкнула молния, загремел гром, пошел дождь».
О выражении конъюнкции средствами естественного языка пишет С. Клини в своей книге «Математическая логика». В разделе «Анализ рассуждений» он приводит (не исчерпывающий) список выражений естественного языка, которые могут быть заменены символами « Л » или «&». Формула А ^ В в естественном языке может выражаться так:
«Не только А , но и В. Как А, так и В.
В, хотя и Л. А вместе с В.
В, несмотря на А. А , в то время как В» 7 .
Придумать примеры всех этих структур предоставляем читателю.
В естественном (русском) языке дизъюнкция (обозначенная ab и ab) выражается союзами: «или», «либо», «то ли... то ли» и др. Например, «Вечером я пойду в кино или в библиотеку»; «Это животное принадлежит либо к позвоночным, либо к беспозвоночным»; «Доклад будет то ли по произведениям Л. Н. Толстого, то ли по произведениям Ф. М. Достоевского».
Для обоих видов дизъюнкции действует закон коммутативности: (ab(ba) и (ab)(ba). В естественном языке эта эквивалентность сохраняется. Например, суждение «Я куплю масло или хлеб» эквивалентно суждению «Я куплю хлеб или масло». С. Клини показывает, какими разнообразными способами могут быть выражены в естественном языке импликация (AB) и эквиваленция (A ~B ).
(Буквами А и В обозначены переменные высказывания.)
Приведем логические схемы и соответствующие им примеры, иллюстрирующие разнообразные способы выражения импликации А -> В (где А - антецедент, В - ковсеквент).
1. Если А, то В.
Если поставщики вовремя доставят детали, то завод выполнит свой производственный план.
2. Коль скоро А, то В.
Коль скоро приложенные силы снимаются, то сжатая пружина возвращается к своей первоначальной форме.
3. Когда А, имеет место В.
Когда наступает плохая погода, имеет место повышение числа сердечно-сосудистых заболеваний у людей.
4. Для В достаточно А.
Для того чтобы газы расширились, достаточно их нагреть.
5. Для А необходимо В.
Для сохранения мира на Земле необходимо объединить усилия всех государств в борьбе за мир.
6. А, только если В.
Студенты этого курса не приходили на субботник, только если они были больны.
7. В. если А.
Я разрешу тебе пойти погулять, если ты выполнишь все домашние задания.
Приведем логические схемы и соответствующие им примеры разнообразных способов выражения эквиваленции.
1. А, если и только если В.
Иванов не закончит свои эксперименты к сроку, если и только если ему не помогут сотрудники.
2. Если А, то В, и наоборот.
Если студент сдал все экзамены и практику на «отлично», то он получает диплом с отличием, и наоборот.
3. А, если В, и В, если А.
Многоугольник является вписанным в круг, если его вершины лежат на окружности, и вершины многоугольника лежат на окружности, если этот многоугольник является вписанным в круг.
4. Для А необходимо и достаточно В.
Для того чтобы число без остатка делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр этого числа делилась без остатка на 3.
5. А равносильно В (иногда).
То, что площадь правильного многоугольника равна произведению полупериметра на апофему, равносильно тому, что площадь правильного многоугольника равна произведению периметра на половину апофемы.
6. А тогда и только тогда, когда В.
Фирма будет согласна принять предложение о покупке товара тогда и только тогда, когда будет снижена цена этого товара на 15%.
Из приведенных выше схем и соответствующих им высказываний с конкретным разнообразным содержанием становится ясно, насколько многогранны в естественном языке (в частности, в русском) средства выражения импликации, эквиваленции и других логических связок (логических терминов). Это можно сказать и о других естественных языках 9 .
Импликация (ab) не совсем соответствует по смыслу союзу «если... то» естественного языка, так как в ней может отсутствовать содержательная связь между суждениями а и b . В логике высказываний законом является формула:(ab)(ab).
Но в естественном языке дело обстоит иначе. Иногда союз «если, то» выражает не импликацию, а конъюнкцию. Например, «Если вчера было пасмурно, то сегодня ярко светит солнце». Это сложное суждение выражается формулой ab. Кроме логических связок для выражения общих и частных суждений в логике используются квантор общности и квантор существования. Запись с квантором общности VP() обычно читается так: «Все х (из некоторой области объектов) обладают свойством Р », а запись с квантором существования ЗхР (х ) читается так: «Существуют такие х (в данной области), которые обладают свойством Р». Например, 3x(x>100) читается как «Существуют такие х, которые больше 100», где под х подразумеваются числа. Квантор общности выражается словами: «все», «всякий», «каждый», «ни один» и др. Квантор существования выражается словами: «некоторые», «существуют», «большинство», «меньшинство», «только некоторые», «иногда», «тот, который», «не все», «многие», «немало», «немногие», «много», «почти все» и др.
С. Клини пишет о том, что, переводя выражения обычного языка с помощью табличных пропозициональных связок, мы лишаемся некоторых оттенков смысла, но зато выигрываем в точности 10 .
В практике математических и иных рассуждений имеются понятия «необходимое условие» и «достаточное условие». Условие называется необходимым, если оно вытекает из заключения (следствия). Условие называется достаточным, если из него вытекает заключение (следствие). В импликации а -> b переменная а является основанием. Она называется антецедентом. Переменная b - следствием (заключением). Она называется консеквентом.
Учащимся на уроках математики предлагаются задачи типа 1-4, требующие в каждом из следующих предложений вместо многоточия поставить слова: «необходимо» или «достаточно», либо «необходимо и достаточно»:
1. Для того чтобы сумма двух целых чисел была четным числом... чтобы каждое слагаемое было четным.
2. Для того чтобы число делилось на 15 ... чтобы оно делилось на 5.
3. Для того чтобы произведение (х - 3) (х +2) (х - 5) было равно 0, ... чтобы х = 3.
4. Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником... чтобы все его углы были равны 11 .
Сформулируем основные правила образования новых предложений из исходных с помощью основных связок и союзов обычного разговорного языка. Одних только правил русского языка бывает недостаточно, так как иногда в одно и то же предложение, сформулированное на русском языке, мы вкладываем разный смысл. Для примера рассмотрим оборот речи «Если, то», с помощью которого сформулируем два предложения:
- 1) «Если Миша сдаст экзамен на отлично, то пойдет на дискотеку».
- 2) «Если Миша не сдаст экзамен на отлично, то на дискотеку не пойдет».
Вопрос: в этих предложениях говорится об одном и том же или существует ситуация, когда одно из предложений является верным, а другое ложным? Другими словами, спрашивается, равносильны ли эти предложения.
До тех пор, пока мы четко нс определим правила построения подобного рода фраз, на вопрос ответить однозначно нельзя. С одной стороны, формулируя первое предложение, мы часто подразумеваем и второе предложение. Однако посмотрим на эти предложения с другой стороны.
Вначале запишем схемы предложений. Для этого предложение «Миша сдаст экзамен на отлично» обозначим буквой А , а предложение «Миша пойдет на дискотеку» - буквой В. Тогда данные предложения схематично можно записать так:
I) «Если А , то В», 2) «Если не А , то не В».
Теперь подставим вместо А и В другие предюжения. Вместо А возьмем: «Стол сделан из дуба», вместо В «Стол является деревянным». Тогда получим другую пару предложений:
- 1) «Если стол дубовый, то он деревянный»,
- 2) «Если стол не дубовый, то он не деревянный».
Так как эти предложения построены по тем же схемам, что первые два, значит, равносильность первой пары предложений должна означать равносильность второй пары. Однако первое предложение в обыденной речи, очевидно, является верным высказыванием, так как дуб - это дерево, а второе предложение по общепринятому смыслу ложно, так как стол может быть сделан из другого дерева, например из сосны.
Таким образом, в общем случае предложения, построенные по схемам «Если А , то В» и «Если не А, то не В », нельзя считать логически одинаковыми.
Итак, для того чтобы исключить двусмысленность при конструкции предложений, нужны четкие правила, позволяющие определять истинность или ложность получаемого предложения в зависимости от истинности или ложности исходных предложений А и В.
Придадим союзам «и», «или», а также схемам «если, то», «тогда и только тогда», «неверно, что» однозначный логический смысл.
Пусть буквы А и В обозначают произвольные предложения. Начнем с простых ситуаций.
1. Знак отрицания ~| (-i) или. Выражение ~li (-Л, А ) читается: «не А» или «неверно, что А».
Значения предложения ~А определим таблицей, из которой видно, что предложение ~л истинно в точности тогда, когда исходное предложение А ложно:
При формулировке простых по структуре предложений частицу «не» иногда можно «проносить вовнутрь» предложения. Например, предложение
«Неверно, что число V6 целое» можно сформулировать так: «Число л/6 не целое». Также предложение «Неверно, что прямые а и b пересекаются» формулируют: «Прямые а и b нс псрссскаются».
Часто объект, который не обладает каким-то свойством, называют термином с частицей «не». Например, целое число, не являющееся четным, называется нечетным. Поэтому одинаково правильно говорить «Целое число нечетное» и «Целое число не является четным». Но без оговорки, что число целое, мы имеем разные по смыслу предложения. Например, «Число 0,2 не является четным» - истина, а предложение «Число 0,2 нечетное» - ложь.
Рассмотрим словосочетание «нечетная функция». Здесь мы имеем самостоятельный термин и слово «нечетная» нельзя писать и произносить раздельно, то есть предложение «Функция является нечетной» не является отрицанием предложения «Функция является четной». Действительно, существует пример функции, при котором оба предложения ложны. Например, функция )т=х+ не является четной и не является нечетной (постарайтесь объяснить это).
2. Знак конъюнкции л. Выражение ЛлВ читается: «А и В». Иногда конъюнкция обозначается знаком &.
Значения предложения АлВ в зависимости от составляющих его предложений А и В определены таблицей:
Таким образом, предложение АлВ истинно только в одном случае, когда оба предложения А и В истинны. В остальных случаях это предложение ложно. При формулировке предложения АлВ вместо союза «и» можно использовать другие союзы, имеющие тот же логический смысл одновременного выполнения каждого из предложений: «а», «но».
Пример 1.3.1. Предложение «Число 111 нс делится на 2, но делится на 3» - символически можно записать 1АлВ, где А = «111 делится на 2», В = « 111 делится на 3».
3. Знак дизъюнкции v. Выражения AvB читается: «А или В».
Значения предложения AvB определены таблицей:
Из таблицы видно, что предложение «А или В» истинно в тех случаях, когда хотя бы одно из предложений А или В истинно, а в случае, когда оба предложения А и В ложны, предложение AvB принимает ложное значение.
Иногда из содержания предложений А и В вытекает, что предложения не могут быть одновременно истинны. В этом случае предложение формулируют с помощью союза «либо». Например, предложение «Число либо положительное, либо отрицательное» также имеет вид «А или В », но вместе с тем имеет такой подтекст, что одновременно и положительным, и отрицательным число быть не может.
Сформулированные выше правила, по всей видимости, вопросов не вызывают. Перейдем к рассмотренной в начале пункта схеме «Если А, то В».
4. Знак импликации -Выражение А->В читается: «Если А, то В». Иногда для обозначения этой связки используется другое обозначение стрелки =>, а также знак z>. Наряду с фразой «Если А , то В» используют другие, аналогичные ей: «В тогда, когда А », «А только тогда, когда В».
Мотивируем определение значений предложения А->В. Основная трудность, которая здесь возникает, состоит в присвоении значения предложению Л-»# для тех случаев, когда А ложно. Чтобы разумно определить значения, вспомним рассмотренное выше верное предложение: «Если стол дубовый, то он деревянный». Здесь А = «Стол дубовый», В = «Стол деревянный». Пусть стол сделан из сосны. Тогда А ложно, В истинно. Пусть стол будет железным. Тогда А ложно и В ложно. В обоих случаях предложение А ложно, а получаемое предложение «Если А , то В» истинно. При этом оба эти случая реально возможны. Конечно, возможен случай, когда мы имеем дубовый стол, тогда Aw В одновременно истинны. А вот примера истинного предложения А->В, когда А=и> В=л , не существует.
Таким образом, случаи, когда А=и , В=и, или А=л у В=и , или А=л , В=л, должны определять истинное предложение И лишь один случай, при
котором А=и , В-л, означает, что предложение А->В ложно.
Итак, в математической логике значения предложения Т-задаются приведенной таблицей:
В дальнейшем всюду фраза «Если А , то В» будет пониматься именно так. Здесь предложение А называется посылкой , или условием , а В - заключением.
Пример 13.2. Родители пообещали своему сыну Пете: если он успешно окончит университет, они купят ему машину. Известно, что сын университет не окончил, а машину ему родители все-таки купили. Можно ли утверждать, что слова родителей были ложью?
Чтобы ответить на вопрос, рассмотрим предложения: А = «Сын оканчивает университет», В = «Ему покупают машину». При этом А=л, В=и. Обещание родителей имеет вид А^>В. По определению это предложение при заданных значениях А и В верно (третья строка таблицы). Поэтому с точки зрения логики слова родителей верны. А вот если бы их сын окончил институт, а машину ему не купили, в этом случае (и ни в каком другом) обещание было бы не выполнено.
Теперь рассмотрим еще одну логическую связку, которую часто имеют в виду, когда говорят слова «если, то». Например, если в условиях примера 1.3.2 родители предполагали, что в случае, если их сын Петя нс окончит институт, они не купят ему машину, правильно было бы сказать: «Машина будет куплена в том и только в том случае, если Петя окончит институт».
5. Знак эквиваленции или. Выражение А читается: «А тогда и только тогда, когда В». Возможны другие формулировки: «А в том и только в том случае, если В », «А в точности тогда, когда В» и т. п.
Значения предложения АВ задаются таблицей:
В случаях, когда А и В принимают одинаковые значения, предложение АВ верно, в остальных случаях предложение ложно.
Нетрудно заметить, что фраза «А тогда и только тогда, когда В» состоит из двух фраз: «А тогда, когда В» и «А только тогда, когда В». Первое предложение записывается В->А, а второе А^>В. Эти два предложения одновременно истинны в двух случаях: А=и, В=и , а также А=л, В=л.
Итак, мы определили пять знаков: л (конъюнкция), v (дизъюнкция), -> (импликация), (эквиваленция), 1 (отрицание), которые называют
логическими сеялками. Эти знаки позволяют из данных предложений А и В получать новые предложения. При этом значение (истины или лжи) нового предложения однозначно определяется значениями предложений А и В. Правило получения нового предложения из исходных предложений называется логической операцией. Таким образом, каждая из логических связок определяет логическую операцию, которая имеет такое же название что и соответствующая ей связка.
Рассмотренные операции можно использовать и для высказываний, и для предикатов. Например, соединив два одноместных предиката «Число,т больше 3» и «Число х отрицательное» знаком дизъюнкции, получим одноместный предикат: «Число х больше 3 или огри нательное». Единственно, для того чтобы соединить два предиката логической связкой, нужно, чтобы была задана некоторая общая область D допустимых объектов, которые можно подставлять в данные предикаты вместо переменных.
Определим еще две логические связки, называемые кваитора.ми, которые позволяют из одноместных предикатов получать высказывания. Термин «квантор» в переводе с латинского языка означает «сколько». Поэтому эти знаки используются для ответа на вопрос о том, сколько объектов удовлетворяют предложению А у - все или хотя бы один.
Возьмем произвольный предикат, у которого выделим переменную, от которой зависит его значение. Обозначим его А(х).
6. Квантор общности V. Данный знак происходит от английского слова АН и является сокращением следующих слов: «вес», «каждый», «всякий», «любой».
Выражение Vj&4(y) означает, что предикат А(х) выполняется для всех допустимых объектов х. Читается: «Для всех икс а от икс».
7. Квантор существования 3. Данный знак происходит от английского слова Exist и является сокращением следующих слов: «существует», «найдется», «хотя бы один», «некоторый».
Выражение Зх4(*) означает, что предикат А(х) выполняется хотя бы для одного из допустимых объектов.v. Читается: «Существует икс а от икс».
Пример 1.3.3. Пусть переменная х обозначает студента вуза. Рассмотрим предложение А(х) = «Студент л: имеет машину». Тогда VxA(x) означает, что все студенты вузов имеют машину. Это ложное высказывание. Предложение ЭхА(х) означает, что некоторые студенты имеют машину, что является верным утверждением.
Таким образом, изначально мы имели предикат, значение которого зависело от значения переменной дг. После выполнения операций были получены именно высказывания, значения которых уже нс зависят от переменной х.
Пусть имеется формула Л(х), содержащая свободную переменную х. Тогда утверждение о том, что формула А(х) является тождественно истинной, кратко запишется Vj&4(jc).
Операция получения предложения с помощью кванторов называется квантификацией. При использовании выражений УхА(х) и 3хА(х) также говорят: «На переменную х навесили квантор» или «Переменную х связали квантором».
Заметим, что кванторные операции применимы не только к одноместным предикатам. Если будет дан двуместный предикат А{ху), то можно связать переменную л - квантором и образовать предложение /хА(ху), истинность которого будет зависеть уже только от одной переменной у, и мы будем иметь одноместный предикат. В этой записи переменная х называется связанной квантором , а переменная у - свободной. В общем случае, применив кванторную операцию к любой из переменных /7-местного предиката, в итоге получим (н-1)-местный предикат.
Кванторами можно связать любое количество переменных. Если имеем двуместный предикат А(ху), то формально можно получить 8 высказываний.
связав каждую переменную каким-то квантором: VjcfyA(xy), VyVxA(xy), Vx3уА(ху), 3yVxA(ху), 3xVyA(xy), /уЭхА(ху), ЗхЗуА(ху), ЗуЗхА(ху). Некоторые предложения имеют один и тот же смысл, например первое и второе (предикат А должен принимать истинное значение для любых значений * и у), а также седьмое и восьмое. Остальные выражения в общем случае дают разные по истинности высказывания.
Пример 1.3.4. Пусть в классе всего два мальчика - Петя и Коля. Для самостоятельного решения были заданы три задачи, обозначим их числами 1, 2, 3. Петя решил задачи 1 и 2, а Коля - одну задачу с номером 3. Введем предикат А(ху), который означает, что мальчик * решил задачу у. Здесь переменная х обозначает имя мальчика, а переменная у - номер задачи. Рассмотрим следующие высказывания.
Vx3yA(xy) = «Каждый мальчик решил хотя бы одну задачу» - истинное высказывание, так как и Петя решил две задачи, и Коля решил по крайней мерс одну задачу.
- 3_yVx4(.*,y) = «Найдется задача, которую решили все мальчики класса» - ложь, так как такой задачи нет (и 1-ю и 2-ю задачи решил только Петя, а 3-ю - только Коля).
- 3xVyA(x,y) = «Хотя бы один мальчик решил все задачи» - ложное утверждение.
V_yEx,4(;c,y) = «Каждая задача решена хотя бы одним учеником» - истина, так задача с номером 1 решена Петей, задача с номером 2 также решена Петей, а задача 3 решена Колей.
Из рассмотренного примера можно сделать вывод: порядок записи кванторов влияет на логический смысл предложения. Поэтому четкая формулировка предложения должна однозначно предполагать, в каком порядке идут кванторы общности и существования.
Упражнение. Самостоятельно проанализируйте значения высказываний из примера 1.3.4 в предположении, что Петя решил задачи с номерами 2 и 3.
В общем случае из предиката А(х) можно получить два высказывания - /хА(х) и 3x4(x). Однако очень часто записанная формула А{х) понимается именно как высказывание Vx4(.x), хотя квантор общности при записи или формулировке опускают. Например, записав д- 2 >0, имеют в виду, что квадрат любого действительного числа неотрицателен. Полная запись высказывания такова: Улг(дг?0). Запись (4х + 6у):2, где*, у - целые числа, предполагает, что указанная сумма всегда делится на 2, то есть четна. Чтобы это подчеркнуть, следует записать V*Vy((4.x + 6jy):2).
Определенные в двух последних пунктах математические знаки и знаки логических связок составляют алфавит математического языка.
Сложным называют суждение, содержащее логические связки и состоящее из нескольких простых суждений.
В дальнейшем простые суждения мы будем рассматривать как некие неделимые атомы, как элементы, из соединения которых возникают сложные структуры. Простые суждения будем обозначать отдельными латинскими буквами: a, b, c, d, … Каждая такая буква представляет некоторое простое суждение. Откуда это видно? Отвлекаясь от сложной внутренней структуры простого суждения, от его количества и качества, забыв о том, что в нем имеется субъект и предикат, мы удерживаем лишь одно свойство суждения – то, что оно может быть истинным или ложным. Все остальное нас здесь не интересует. И когда мы говорим, что буква «a» представляет суждение, а не понятие, не число, не функцию, мы имеем в виду только одно: это «a» представляет истину или ложь. Если под «a» мы подразумеваем суждение «Кенгуру живут в Австралии», мы подразумеваем истину; если же под «а» мы подразумеваем суждение «Кенгуру живут в Сибири», мы подразумеваем ложь. Таким образом, наши буквы «a», «b», «c» и т.д. – это переменные, вместо которых могут подставляться истина или ложь.
Логические связки представляют собой формальные аналоги союзов нашего родного естественного языка. Как сложные предложения строятся из простых с помощью союзов «однако», «так как», «или» и т.п., так и сложные суждения образуются из простых с помощью логических связок. Здесь ощущается гораздо большая связь мысли с языком, поэтому в дальнейшем мы вместо слова «суждение», обозначающего чистую мысль, часто будем использовать слово «высказывание», обозначающее мысль в ее языковом выражении. Итак, давайте познакомимся с наиболее употребительными логическими связками.
Отрицание. В естественном языке ему соответствует выражение «Неверно, что…». Отрицание обычно обозначается знаком «¬», стоящим перед буквой, представляющей некоторое суждение: «¬а» читается «Неверно, что а». Пример: «Неверно, что Земля – шар».
Следует обратить внимание на одно тонкое обстоятельство. Выше мы говорили о простых отрицательных суждениях. Как их отличить от сложных суждений с отрицанием? Логика различает два вида отрицания – внутреннее и внешнее. Когда отрицание стоит внутри простого суждения перед связкой «есть», то в этом случае мы имеем дело с простым отрицательным суждением, например: «Земля не шар». Если же отрицание внешним образом присоединяется к суждению, например: «Неверно, что Земля – шар», то такое отрицание рассматривается как логическая связка, преобразующая простое суждение в сложное.
Конъюнкция. В естественном языке этой связке соответствуют союзы «и», «а», «но», «однако» и т.п. Чаще всего конъюнкция обозначается значком «&». Сейчас этот значок часто встречается в названиях различных фирм и предприятий. Суждение с такой связкой называется конъюнктивным, или просто конъюнкцией, и выглядит следующим образом:
a & b. Пример: «В корзине у деда лежали подберезовики и маслята». Это сложное суждение представляет собой конъюнкцию двух простых суждений: – «В корзине у деда лежали подберезовики» и «В корзине у деда лежали маслята».
Дизъюнкция. В естественном языке этой связке соответствует союз «или». Обычно она обозначается знаком «v». Суждение с такой связкой называется дизъюнктивным, или просто дизъюнкцией, и выглядит следующим образом: a v b.
Союз «или» в естественном языке употребляется в двух разных смыслах: нестрогое «или» – когда члены дизъюнкции не исключают друг друга, т.е. могут быть одновременно истинными, и строгое «или» (часто заменяется парой союзов «либо…, либо…») – когда члены дизъюнкции исключают друг друга. В соответствии с этим различают и два вида дизъюнкции – строгую и нестрогую.
Импликация. В естественном языке ей соответствует союз «если… то». Она обозначается знаком «->». Суждение с такой связкой называется импликативным, или просто импликацией, и выглядит следующим образом: a -> b. Пример: «Если по проводнику проходит электрический ток, то проводник нагревается». Первый член импликации называется антецедентом, или основанием; второй – консеквентом, или следствием. В повседневном языке союз «если… то» обычно соединяет предложения, которые выражают причинно-следственную связь явлений, причем первое предложение фиксирует причину, а второе – следствие. Отсюда и названия членов импликации.
Представление высказываний естественного языка в символическом виде с помощью указанных выше обозначений означает их формализацию, которая во многих случаях оказывается полезной.
4) Прекрасный остров лежал в теплом океане. И все бы хорошо, да повадились на этом острове устраиваться на жительство чужестранцы. Едут и едут со всех концов света, уж коренных жителей стеснять стали. Дабы воспрепятствовать нашествию чужестранцев, правитель острова издал указ: «Всякий приезжий, желающий поселиться на нашем благословенном острове, обязан высказать какое-нибудь суждение. Если суждение окажется истинным, чужестранца следует расстрелять; если же суждение окажется ложным, его следует повесить». Боишься – тогда молчи и поворачивай восвояси!
Спрашивается: какое нужно высказать суждение, чтобы остаться в живых и все-таки поселиться на острове?
| |
