Каким уравнением задается парабола. Алгоритм для построения параболы, если она задана в виде

Занятие 10 . Кривые второго порядка.

10.1. Эллипс. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, график.

10.2. Гипербола. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, асимптоты, график.

10.3. Парабола. Каноническое уравнение. Параметр параболы, график.

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, неявное задание которых имеет вид:

где
- заданные вещественные числа,
- координаты точек кривой. Наиболее важными линиями среди кривых второго порядка являются эллипс, гипербола, парабола.

10.1. Эллипс. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, график.

Определение эллипса. Эллипсом называется плоская кривая, у которой сумма расстояний от двух фиксированных точек
плоскости до любой точки

(т.е.). Точки
называются фокусами эллипса.

Каноническое уравнение эллипса :
. (2)

(или ось
) проходит через фокусы
, а начало координат – точка- находится в центре отрезка
(рис.1). Эллипс (2) симметричен относительно осей координат и начала координат (центра эллипса). Постоянные
,
называютсяполуосями эллипса .

Если эллипс задан уравнением (2), то фокусы эллипса находятся так.

1) Сначала определяем, где лежат фокусы: фокусы лежат на той координатной оси, на которой расположены бóльшие полуоси.

2) Затем вычисляется фокусное расстояние (расстояние от фокусов до начала координат).

При
фокусы лежат на оси
;
;
.

При
фокусы лежат на оси
;
;
.

Эксцентриситетом эллипса называется величина:(при
);(при
).

У эллипса всегда
. Эксцентриситет служит характеристикой сжатия эллипса.

Если эллипс (2) переместить так, что центр эллипса попадет в точку

,
, то уравнение полученного эллипса имеет вид

.

10.2. Гипербола. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, асимптоты, график.

Определение гиперболы. Гиперболой называется плоская кривая, у которой абсолютная величина разности расстояний от двух фиксированных точек
плоскости до любой точки
этой кривой есть постоянная величина, независящая от точки
(т.е.). Точки
называются фокусами гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы :
или
. (3)

Такое уравнение получается, если координатная ось
(или ось
) проходит через фокусы
, а начало координат – точка- находится в центре отрезка
. Гиперболы (3) симметричны относительно осей координат и начала координат. Постоянные
,
называютсяполуосями гиперболы .

Фокусы гиперболы находятся так.

У гиперболы
фокусы лежат на оси
:
(рис. 2.а).

У гиперболы
фокусы лежат на оси
:
(рис. 2.б)

Здесь - фокусное расстояние (расстояние от фокусов до начала координат). Оно вычисляется по формуле:
.

Эксцентриситетом гиперболы называется величина:

(для
);(для
).

У гиперболы всегда
.

Асимптотами гипербол (3) являются две прямые:
. Обе ветви гиперболы неограниченно приближаются к асимптотам с ростом.

Построение графика гиперболы следует проводить так: сначала по полуосям
строим вспомогательный прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат; затем через противоположные вершины этого прямоугольника проводим прямые, это – асимптоты гиперболы; наконец изображаем ветви гиперболы, они касаются середин соответствующих сторон вспомогательного прямоугольника и приближаются с ростомк асимптотам (рис. 2).

Если гиперболы (3) переместить так, что их центр попадет в точку
, а полуоси останутся параллельны осям
,
, то уравнение полученных гипербол запишутся в виде

,
.

10.3. Парабола. Каноническое уравнение. Параметр параболы, график.

Определение параболы. Параболой называется плоская кривая, у которой для любой точки
этой кривой расстояние от
до фиксированной точкиплоскости (называемой фокусом параболы) равно расстоянию от
до фиксированной прямой на плоскости (называемой директрисой параболы).

Каноническое уравнение параболы :
, (4)

где - постоянная, называемаяпараметром параболы.

Точка
параболы (4) называется вершиной параболы. Ось
является осью симметрии. Фокус параболы (4) находится в точке
, уравнение директрисы
. Графики параболы (4) со значениями
и
приведены на рис. 3.а и 3.б соответственно.

Уравнение
также определяет параболу на плоскости
, у которой по сравнению с параболой (4), оси
,
поменялись местами.

Если параболу (4) переместить так, что ее вершина попадет в точку
, а ось симметрии останется параллельна оси
, то уравнение полученной параболы имеют вид

.

Перейдем к примерам.

Пример 1 . Кривая второго порядка задана уравнением
. Дать название этой кривой. Найти ее фокусы и эксцентриситет. Изобразить кривую и ее фокусы на плоскости
.

Решение. Данная кривая является эллипсом с центром в точке
и полуосями
. В этом легко убедиться, если провести замену
. Это преобразование означает переход от заданной декартовой системы координат
к новой декартовой системе координат
, у которой оси
параллельны осям
,
. Это преобразование координат называется сдвигом системы
в точку. В новой системе координат
уравнение кривой преобразуется в каноническое уравнение эллипса
, его график приведен на рис. 4.

Найдем фокусы.
, поэтому фокусы
эллипса расположены на оси
.. В системе координат
:
. Т.к.
, в старой системе координат
фокусы имеют координаты.

Пример 2 . Дать название кривой второго порядкаи привести ее график.

Решение. Выделим полные квадраты по слагаемым, содержащим переменные и.

Теперь, уравнение кривой можно переписать так:

Следовательно, заданная кривая является эллипсом с центром в точке
и полуосями
. Полученные сведения позволяют нарисовать его график.

Пример 3 . Дать название и привести график линии
.

Решение. . Это – каноническое уравнение эллипса с центром в точке
и полуосями
.

Поскольку,
, делаем заключение: заданное уравнение определяет на плоскости
нижнюю половину эллипса (рис. 5).

Пример 4 . Дать название кривой второго порядка
. Найти ее фокусы, эксцентриситет. Привести график этой кривой.

- каноническое уравнение гиперболы с полуосями
.

Фокусное расстояние.

Знак "минус" стоит перед слагаемым с , поэтому фокусы
гиперболы лежат на оси
:. Ветви гиперболы располагаются над и под осью
.

- эксцентриситет гиперболы.

Асимптоты гиперболы: .

Построение графика этой гиперболы осуществляется в соответствии с изложенным выше порядком действий: строим вспомогательный прямоугольник, проводим асимптоты гиперболы, рисуем ветви гиперболы (см. рис.2.б).

Пример 5 . Выяснить вид кривой, заданной уравнением
и построить ее график.

- гипербола с центром в точке
и полуосями.

Т.к. , заключаем: заданное уравнение определяет ту часть гиперболы, которая лежит Справа от прямой
. Гиперболу лучше нарисовать во вспомогательной системе координат
, полученной из системы координат
сдвигом
, а затем жирной линией выделить нужную часть гиперболы

Пример 6 . Выяснить вид кривойи нарисовать ее график.

Решение. Выделим полный квадрат по слагаемым с переменной :

Перепишем уравнение кривой.

Это – уравнение параболы с вершиной в точке
. Преобразованием сдвигауравнение параболы приводится к каноническому виду
, из которого видно, что- параметр параболы. Фокуспараболы в системе
имеет координаты
,, а в системе
(согласно преобразованию сдвига). График параболы приведен на рис. 7.

Домашнее задание .

1. Нарисовать эллипсы, заданные уравнениями:
Найти их полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет и указать на графиках эллипсов места расположения их фокусов.

2. Нарисовать гиперболы, заданные уравнениями:
Найти их полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет и указать на графиках гипербол места расположения их фокусов. Написать уравнения асимптот данных гипербол.

3. Нарисовать параболы, заданные уравнениями:
. Найти их параметр, фокусное расстояние и указать на графиках парабол место расположения фокуса.

4. Уравнение
определяет часть кривой 2-го порядка. Найти каноническое уравнение этой кривой, записать ее название, построить ее график и выделить на нем ту часть кривой, которая отвечает исходному уравнению.

Как построить параболу? Существует несколько способов построения графика квадратичной функции. Каждый из них имеет свои плюсы и минусы. Рассмотрим два способа.

Начнём с построения графика квадратичной функции вида y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c.

Пример.

Построить график функции y=x²+2x-3.

Решение:

y=x²+2x-3 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

От вершины (-1;-4) строим график параболы y=x²(как от начала координат. Вместо (0;0) — вершина (-1;-4). От (-1;-4) идём вправо на 1 единицу и вверх на 1 единицу, затем влево на 1 и вверх на 1; далее: 2 — вправо, 4 — вверх, 2- влево, 4 — вверх; 3 — вправо, 9 — вверх, 3 — влево, 9 — вверх. Если этих 7 точек недостаточно, далее — 4 вправо, 16 — вверх и т. д.).

График квадратичной функции y= -x²+bx+c — парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика ищем координаты вершины и от неё строим параболу y= -x².

Пример.

Построить график функции y= -x²+2x+8.

Решение:

y= -x²+2x+8 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

От вершины строим параболу y= -x² (1 — вправо, 1- вниз; 1 — влево, 1 — вниз; 2 — вправо, 4 — вниз; 2 — влево, 4 — вниз и т. д.):

Этот способ позволяет построить параболу быстро и не вызывает затруднений, если вы умеете строить графики функций y=x² и y= -x². Недостаток: если координаты вершины — дробные числа, строить график не очень удобно. Если требуется знать точные значения точек пересечения графика с осью Ох, придется дополнительно решить уравнение x²+bx+c=0 (или —x²+bx+c=0), даже если эти точки непосредственно можно определить по рисунку.

Другой способ построения параболы — по точкам, то есть можно найти несколько точек графика и через них провести параболу (с учетом того, что прямая x=хₒ является её осью симметрии). Обычно для этого берут вершину параболы, точки пересечения графика с осями координат и 1-2 дополнительные точки.

Построить график функции y=x²+5x+4.

Решение:

y=x²+5x+4 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

то есть вершина параболы — точка (-2,5; -2,25).

Ищем . В точке пересечения с осью Ох y=0: x²+5x+4=0. Корни квадратного уравнения х1=-1, х2=-4, то есть получили две точки графике (-1; 0) и (-4; 0).

В точке пересечения графика с осью Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Получили точку (0; 4).

Для уточнения графика можно найти дополнительную точку. Возьмем х=1, тогда y=1²+5∙1+4=10, то есть еще одна точка графика — (1; 10). Отмечаем эти точки на координатной плоскости. С учетом симметрии параболы относительно прямой, проходящей через её вершину, отметим еще две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и проведем через них параболу:

Построить график функции y= -x²-3x.

Решение:

y= -x²-3x — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

Вершина (-1,5; 2,25) — первая точка параболы.

В точках пересечения графика с осью абсцисс y=0, то есть решаем уравнение -x²-3x=0. Его корни — х=0 и х=-3, то есть (0;0) и (-3; 0) — еще две точки графика. Точка (о; 0) является также точкой пересечения параболы с осью ординат.

При х=1 y=-1²-3∙1=-4, то есть (1; -4) — дополнительная точка для построения графика.

Построение параболы по точкам — более трудоёмкий, по сравнению с первым, способ. Если парабола не пересекает ось Oх, дополнительных точек потребуется больше.

Прежде чем продолжить построение графиков квадратичных функций вида y=ax²+bx+c, рассмотрим построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Графики функций вида y=x²+c также удобнее всего строить, используя одно из таких преобразований — параллельный перенос.

Рассмотрим на плоскости прямую и точку, не лежащую на этой прямой. И эллипс , и гипербола могут быть определены единым образом как геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до данной точки к расстоянию до данной прямой есть постоянная вели-

чина ε. При 0 1 - гипербола. Параметр ε является эксцентриситетом как эллипса, так и гиперболы . Из возможных положительных значений параметра ε одно, а именно ε = 1, оказывается незадействованным. Этому значению соответствует геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки и от данной прямой.

Определение 8.1. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки и от фиксированной прямой, называют параболой.

Фиксированную точку называют фокусом параболы , а прямую - директрисой параболы . При этом полагают, что эксцентриситет параболы равен единице.

Из геометрических соображений вытекает, что парабола симметрична относительно прямой, перпендикулярной директрисе и проходящей через фокус параболы. Эту прямую называют осью симметрии параболы или просто осью параболы . Парабола пересекается со своей осью симметрии в единственной точке. Эту точку называют вершиной параболы . Она расположена в середине отрезка, соединяющего фокус параболы с точкой пересечения ее оси с директрисой (рис. 8.3).

Уравнение параболы. Для вывода уравнения параболы выберем на плоскости начало координат в вершине параболы, в качестве оси абсцисс - ось параболы, положительное направление на которой задается положением фокуса (см. рис. 8.3). Эту систему координат называют канонической для рассматриваемой параболы, а соответствующие переменные - каноническими .

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через p. Его называют фокальным параметром параболы .

Тогда фокус имеет координаты F(p/2; 0), а директриса d описывается уравнением x = - p/2. Геометрическое место точек M(x; y), равноудаленных от точки F и от прямой d, задается уравнением

Возведем уравнение (8.2) в квадрат и приведем подобные. Получим уравнение

которое называют каноническим уравнением параболы .

Отметим, что возведение в квадрат в данном случае - эквивалентное преобразование урав-нения (8.2), так как обе части уравнения неотрицательны, как и выражение под радикалом.

Вид параболы. Если параболу у 2 = x, вид которой считаем известным, сжать с коэффициентом 1/(2р) вдоль оси абсцисс, то получится парабола общего вида, которая описывается уравнением (8.3).

Пример 8.2. Найдем координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, если она проходит через точку, канонические координаты которой (25; 10).

В канонических координатах уравнение параболы имеет вид у 2 = 2px. Поскольку точка (25; 10) находится на параболе, то 100 = 50p и поэтому p = 2. Следовательно, у 2 = 4x является каноническим уравнением параболы, x = - 1 - уравнением ее директрисы, а фокус находится в точке (1; 0).

Оптическое свойство параболы. Парабола имеет следующее оптическое свойство . Если в фокус параболы поместить источник света, то все световые лучи после отражения от параболы будут параллельны оси параболы (рис. 8.4). Оптическое свойство означает, что в любой точке M параболы нормальный вектор касательной составляет с фокальным радиусом MF и осью абсцисс одинаковые углы.

Введем прямоугольную систему координат, где . Пусть осьпроходит через фокусF параболы и перпендикулярен директрисе, а ось проходит посередине между фокусом и директрисой. Обозначим черезрасстояние между фокусом и директрисой. Тогдаа уравнение директрисы.

Число– называетсяфокальным параметромпараболы. Пусть – текущая точка параболы. Пусть– фокальный радиус точки гиперболы.–расстояние от точки до директрисы. Тогда(чертеж 27 .)

Чертеж 27.

По определению параболы . Следовательно,

Возведем уравнение в квадрат, получим:

(15)

где (15) каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси и проходящей через начало координат.

Исследование свойств параболы

1) Вершина параболы:

Уравнению (15) удовлетворяют числа и, следовательно, парабола проходит через начало координат.

2) Симметрия параболы:

Пусть принадлежит параболе, т.е.верное равенство. Точкасимметрична точкеотносительно оси, следовательно, парабола симметрична относительно оси абсцисс.

Эксцентриситет параболы:

Определение 4.2. Эксцентриситетом параболы называется число , равное единице.

Так как по определению параболы .

4) Касательная параболы:

Касательная к параболе в точке касания определяется уравнением

Где (чертеж 28. )

Чертеж 28.

Изображение параболы

Чертеж 29.

С использованием ЭСО- Mathcad:

чертеж 30 .)

Чертеж 30 .

a) Построение без использования ИКТ: Для построения параболы задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Отмечаем на оси ОХ фокус ,так как, проводимтакую, что, и директрису параболы. Выполняем построение окружности в точкеи радиусом равным расстоянию от прямойдо директрисы параболы. Окружность пересекает прямуюв точкахи. Строим параболу так, чтобы она проходила через начало координат и через точкии.(чертеж 31 .)

Чертеж 31.

b)С использованием ЭСО- Mathcad:

Полученное уравнение имеет вид: . Для построения линии второго порядка в программеMathcad приводим уравнение к виду: .(чертеж 32 .)

Чертеж 32.

Чтобы обобщить работу по теории линий второго порядка в элементарной математике и для удобства использования информации о линиях при решении задач, заключим все данные о линиях второго порядка в таблицу № 1.

Таблица №1.

Линии второго порядка в элементарной математике

Возможности использования ИКТ в изучении линий второго порядка

Процесс информатизации, охвативший сегодня все стороны жизни современного общества, имеет несколько приоритетных направлений, к которым, безусловно, следует отнести информатизацию образования. Она является первоосновой глобальной рационализации интеллектуальной деятельности человека за счет использования информационно-коммуникационных технологий (ИКТ).

Середина 90-х годов прошлого века и до сегодняшнего дня, характеризуется массовостью и доступностью персональных компьютеров в России, широким использованием телекоммуникаций, что позволяет внедрять разрабатываемые информационные технологии обучения в образовательный процесс, совершенствуя и модернизируя его, улучшая качество знаний, повышая мотивацию к обучению, максимально используя принцип индивидуализации обучения. Информационные технологии обучения являются необходимым инструментом на данном этапе информатизации образования.

Информационные технологии не только облегчают доступ к информации и открывают возможности вариативности учебной деятельности, ее индивидуализации и дифференциации, но и позволяют по-новому организовать взаимодействие всех субъектов обучения, построить образовательную систему, в которой ученик был бы активным и равноправным участником образовательной деятельности.

Формирование новых информационных технологий в рамках предметных уроков стимулируют потребность в создании новых программно-методических комплексов направленных на качественное повышение эффективности урока. Поэтому, для успешного и целенаправленного использования в учебном процессе средств информационных технологий, преподаватели должны знать общее описание принципов функционирования и дидактические возможности программно- прикладных средств, а затем, исходя из своего опыта и рекомендаций, "встраивать" их в учебный процесс.

Изучение математики в настоящее время сопряжено с целым рядом особенностей и трудностей развития школьного образования в нашей стране.

Появился так называемый кризис математического образования. Причины его состоят в следующем:

В изменении приоритетов в обществе и в науке, то есть в настоящее время идет рост приоритета гуманитарных наук;

В сокращении количества уроков математики в школе;

В оторванности содержания математического образования от жизни;

В малом воздействии на чувства и эмоции учащихся.

Сегодня остается открытым вопрос: «Как же наиболее эффективно использовать потенциальные возможности современных информационных и коммуникационных технологий при обучении школьников, в том числе, при обучении математике?».

Компьютер – отличный помощник в изучении такой темы, как “Квадратичная функция”, потому что, используя специальные программы можно строить графики различных функций, исследовать функцию, легко определить координаты точек пересечения, вычислить площади замкнутых фигур и т.д. Например, на уроке алгебры в 9-м классе, посвящённом преобразованию графика (растяжения, сжатия, переносы координатных осей) можно увидеть лишь застывший результат построения, а на экране монитора прослеживается вся динамика последовательных действий учителя и ученика.

Компьютер, как ни одно техническое средство, точно, наглядно и увлекательно открывает перед учеником идеальные математические модели, т.е. то, к чему должен стремиться ребенок в своих практических действиях.

Сколько трудностей приходится испытывать учителю математики для того, чтобы убедить учеников в том, что касательная к графику квадратичной функции в точке касания практически сливается с графиком функции. На компьютере этот факт продемонстрировать очень просто- достаточно сузить интервал по оси Ох и обнаружить, что в очень маленькой окрестности точки касания график функции и касательная совпадают. Все эти действия происходят на глазах у учеников. Этот пример дает толчок к активным размышлениям на уроке. Использование компьютера возможно как в ходе объяснения нового материала на уроке, так и на этапе контроля. При помощи этих программ, например «My Test», ученик самостоятельно может проверить свой уровень знаний по теории, выполнить теоретико-практические задания. Программы удобны своей универсальностью. Они могут быть использованы и для самоконтроля, и для контроля со стороны учителя.

Разумная интеграция математики и компьютерных технологий позволит богаче и глубже взглянуть на процесс решения задачи, ход осмысления математических закономерностей. Кроме того, компьютер поможет сформировать графическую, математическую и мыслительную культуру учеников, а также с помощью компьютера можно подготовить дидактические материалы: карточки, листы опроса, тесты и др. При этом давать возможность ребятам самостоятельно разрабатывать тесты по теме, в ходе чего развивается интерес и творческий подход.

Таким образом, есть необходимость в применении по возможности компьютера на уроках математики более широко, чем есть. Использование информационных технологий будет способствовать повышению качества знаний, расширит горизонты изучения квадратичной функции, а значит, поможет найти новые перспективы для поддержания интереса учащихся к предмету и к теме, а значит и к лучшему, более внимательному отношению к нему. Сегодня современные информационные технологии становятся важнейшим инструментом модернизации школы в целом – от управления до воспитания и обеспечения доступности образования.

Многие технические, экономические и социальные вопросы прогнозируются при помощи кривых. Наиболее используемым типом среди них является парабола, а точнее, ее половина. Важной составляющей любой параболической кривой является ее вершина, определение точных координат которой иногда играет ключевую роль не только в самом отображении протекания процесса, но и для последующих выводов. О том, как найти ее точные координаты, и пойдет речь в данной статье.

Вконтакте

Начало поиска

Перед тем как перейти к поиску координат вершины параболы, ознакомимся с самим определением и его свойствами. В классическом понимании параболой называется такое расположение точек, которые удалены на одинаковом расстоянии от конкретной точки (фокус, точка F), а также от прямой, которая не проходит через точку F. Рассмотрим данное определение более предметно на рисунке 1.

Рисунок 1. Классический вид параболы

На рисунке изображена классическая форма. Фокусом является точка F. Директрисой в данном случае будет считаться прямая оси Y (выделена красным цветом). Из определения можно удостовериться, что абсолютно любая точка кривой, не считая фокуса, имеет себе подобную с другой стороны, удаленную на таком же расстояние от оси симметрии, как и сама. Более того, расстояние от любой из точек на параболе равно расстоянию до директрисы . Забегая вперед, скажем, что центр функции не обязательно должен находиться в начале координат, а ветки могут быть направлены в разные стороны.

Парабола, как и любая другая функция, имеет свою запись в виде формулы:

В указанной формуле буква «s» обозначает параметр параболы, которая равна расстоянию от фокуса до директрисы. Также есть и другая форма записи, указано ГМТ, имеющая вид:

Такая формула используется при решении задач из области математического анализа и применяется чаще, чем традиционная (в силу удобства). В дальнейшем будем ориентироваться на вторую запись.

Это интересно! : доказательство

Расчет коэффициентов и основных точек параболы

К числу основных параметров принято относить расположение вершины на оси абсцисс, координаты вершины на оси ординат, параметр директрисы.

Численное значение координаты вершины на оси абсцисс

Если уравнение параболы задано в классическом виде (1), то значение абсциссы в искомой точке будет равняться половине значения параметра s (половине расстояния между директрисой и фокусом). В случае, если функция представлена в виде (2), то x нулевое рассчитывается по формуле:

Т.е., глядя на эту формулу, можно утверждать, что вершина будет находиться в правой половине относительно оси y в том случае, если один из параметров a или b будет меньше нуля.

Уравнение директрисы определяется следующим уравнением:

Значение вершины на оси ординат

Численное значение местонахождения вершины для формулы (2) на оси ординат можно найти по такой формуле:

Отсюда можно сделать вывод, что в случае если а<0, то вершина кривой будет находиться в верхней полуплоскости , в противном случае – в нижней. При этом точки параболы будут обладать теми же свойствами, что были упомянуты ранее.

Если дана классическая форма записи, то более рациональным будет вычисление значения расположения вершины на оси абсцисс, а через него и последующее значение ординаты. Отметим, что для формы записи (2), ось симметрии параболы, в классическом представлении, будет совпадать с осью ординат.

Важно! При решении заданий с использованием уравнения параболы прежде всего выделите основные значения, которые уже известны. Более того, нелишним будет, если будут определены недостающие параметры. Такой подход заранее даст большее «пространство для маневра» и более рациональное решение. На практике старайтесь использовать запись (2). Она более проста для восприятия (не придется «переворачивать координаты Декарта), к тому же подавляющее количество заданий приспособлено именно под такую форму записи.

Построение кривой параболического типа

Используя распространенную форму записи, перед тем как построить параболу, требуется найти ее вершину. Проще говоря, необходимо выполнить следующий алгоритм:

1. Найти координату вершину на оси X.
2. Найти координату расположения вершины на оси Y.
3. Подставляя разные значения зависимой переменной X, найти соответствующие значения Y и построить кривую.

Т.е. алгоритм не представляет собой ничего сложного, основной акцент делается на том, как найти вершину параболы. Дальнейший процесс построения можно считать механическим.

При условии, что даны три точки, координаты которых известны, прежде всего необходимо составить уравнение самой параболы, а потом повторить порядок действий, который был описан ранее. Т.к. в уравнении (2) присутствуют 3 коэффициента, то, используя координаты точек, вычислим каждое из них:

(5.1).

(5.2).

(5.3).

В формулах (5.1), (5.2), (5.3) применяются соответственно тех точек, которые известны (к примеру А (, B (, C (. Таким путем находим уравнение параболы по 3 точкам. С практической стороны такой подход не является самым «приятным», однако он дает четкий результат, на основе которого впоследствии строится сама кривая.

При построении параболы всегда должна присутствовать ось симметрии. Формула оси симметрии для записи (2) будет иметь такой вид:

Т.е. найти ось симметрии, которой симметричны все точки кривой, не составляет труда. Точнее, она равна первой координате вершины.

Наглядные примеры

Пример 1. Допустим, имеем уравнение параболы:

Требуется найти координаты вершины параболы, а также проверить, принадлежит ли точка D (10; 5) данной кривой.

Решение: Прежде всего проверим принадлежность упомянутой точки самой кривой

Откуда делаем вывод, что указанная точка не принадлежит заданной кривой. Найдем координаты вершины параболы. Из формул (4) и (5) получаем такую последовательность:

Получается, что координаты на вершине, в точке О, следующие (-1,25; -7,625). Это говорит о том, что наша парабола берет свое начало в 3-й четверти декартовой системы координат.

Пример 2. Найти вершину параболы, зная три точки, которые ей принадлежат: A (2;3), B (3;5), C (6;2). Используя формулы (5.1), (5.2), (5.3), найдем коэффициенты уравнения параболы. Получим следующее:

Используя полученные значения, получим следующие уравнение:

На рисунке заданная функция будет выглядеть следующим образом (рисунок 2):

Рисунок 2. График параболы, проходящий через 3 точки

Т.е. график параболы, который проходит по трем заданным точкам, будет иметь вершину в 1-й четверти. Однако ветки данной кривой направлены вниз, т.е. имеется смещение параболы от начала координат. Такое построение можно было предвидеть, обратив внимание на коэффициенты a, b, c.

В частности, если a<0, то ветки» будут направлены вниз. При a>1 кривая будет растянута, а если меньше 1 – сжата.

Константа c отвечает за «движение» кривой вдоль оси ординат. Если c>0, то парабола «ползет» вверх , в противном случае – вниз. Относительно коэффициента b, то определить степень влияния можно лишь изменив форму записи уравнения, приведя ее к следующему виду:

Если коэффициент b>0, то координаты вершины параболы будут смещены вправо на b единиц, если меньше – то на b единиц влево.

Важно! Использование приемов определения смещения параболы на координатной плоскости подчас помогает экономить время при решении задач либо узнать о возможном пересечении параболы с другой кривой еще до построения. Обычно смотрят только на коэффициент a, так как именно он дает четкий ответ на поставленный вопрос.

Полезное видео: как найти вершину параболы

Полезное видео: как легко составить уравнение параболы из графика

Вывод

Такой как алгебраический процесс, как определение вершин параболы, не является сложным, но при этом достаточно трудоемкий. На практике стараются использовать именно вторую форму записи с целью облегчения понимания графического решения и решения в целом. Поэтому настоятельно рекомендуем использовать именно такой подход, и если не помнить формулы координаты вершины, то хотя бы иметь шпаргалку.