Туннельный эффект - удивительное явление, совершенно невозможное с позиций классической физики. Но в загадочном и таинственном квантовом мире действуют несколько иные законы взаимодействия материи и энергии. Туннельный эффект представляет собой процесс преодоления некоего потенциального барьера при том условии, что ее энергия меньше высоты преграды. Это явление имеет исключительно квантовую природу и полностью противоречит всем законам и догмам классической механики. Тем удивительнее мир, в котором мы живем.
Понять, что же такое квантовый туннельный эффект, лучше всего можно на примере мяча для гольфа, запущенного с некоторой силой в лунку. В любую единицу времени полная энергия мяча находится в противодействии с потенциальной силой гравитации. Если предположить, что его уступает силе гравитации, то указанный предмет не сможет самостоятельно покинуть лунку. Но это в соответствии с законами классической физики. Чтобы преодолеть край ямки и продолжить свой путь, ему обязательно понадобится дополнительный кинетический импульс. Так вещал великий Ньютон.
В квантовом мире дело обстоит несколько иначе. А теперь допустим, что в лунке оказалась квантовая частица. В таком случае речь уже будет идти не о реальном физическом углублении в земле, а о том, что физики условно называют «потенциальной ямой». У такой величины есть и аналог физического борта - энергетический барьер. Здесь ситуация меняется самым кардинальным образом. Чтобы состоялся так называемый квантовый переход и частица оказалась за пределами барьера, необходимо уже другое условие.
Если напряженность внешнего энергетического поля меньше частицы, тогда у нее есть реальный шанс независимо от его высоты. Даже если у нее недостаточно кинетической энергии в понимании ньютоновской физики. Это и есть тот самый туннельный эффект. Работает он следующим образом. свойственно описание любой частицы не с помощью каких-то физических величин, а посредством волновой функции, связанной с вероятностью расположения частицы в определенной точке пространства в каждую конкретную единицу времени.
При столкновении частицы с неким барьером с помощью уравнения Шредингера можно просчитать вероятность преодоления этой преграды. Так как барьер не только энергетически поглощает но и гасит ее по экспоненте. Иначе говоря, в квантовом мире не существует непреодолимых преград, а есть только дополнительные условия, при которых частица может оказаться за пределами этих барьеров. Различные препятствия, конечно, мешают движению частиц, но отнюдь не являются твердыми непроницаемыми границами. Условно выражаясь, это некое пограничье двух миров - физического и энергетического.
Туннельный эффект имеет свой аналог в ядерной физике - автоионизацию атома в мощном электрическом поле. Примерами проявления туннелирования изобилует и физика твердого тела. Сюда можно отнести автоэлектронную эмиссию, миграцию а также эффекты, которые возникают на контакте двух сверхпроводников, разделенных тонкой диэлектрической пленкой. Исключительную роль играет туннелирование в реализации многочисленных химических процессов в условиях низких и криогенных температур.
Может ли мяч пролететь сквозь стенку, да так, чтобы и стенка осталась стоять на месте неразрушенной, и энергия мяча при этом не изменилась? Конечно, нет, напрашивается ответ, в жизни такого не бывает. Для того чтобы пролететь сквозь стенку, мяч должен иметь достаточный запас энергии и проломить ее. Точно так же, если нужно, чтобы мяч, находящийся в ложбинке, перекатился через горку, необходимо сообщить ему запас энергии, достаточный для преодоления потенциального барьера - разности потенциальных энергий мяча на вершине и в ложбинке. Тела, движение которых описывается законами классической механики, преодолевают потенциальный барьер только тогда, когда они обладают полной энергией, большей, чем величина максимальной потенциальной энергии.
А как обстоит дело в микромире? Микрочастицы подчиняются законам квантовой механики. Они не двигаются по определенным траекториям, а «размазаны» в пространстве, подобно волне. Эти волновые свойства микрочастиц приводят к неожиданным явлениям, и среди них едва ли не самое удивительное - туннельный эффект.
Оказывается, что в микромире «стенка» может остаться на месте, а электрон как ни в чем не бывало пролетает сквозь нее.
Микрочастицы преодолевают потенциальный барьер, даже если их энергия меньше, чем его высота.
Потенциальный барьер в микромире часто создают электрические силы, и впервые с этим явлением столкнулись при облучении атомных ядер заряженными частицами. Положительно заряженной частице, например протону, невыгодно приближаться к ядру, так как, по закону, между протоном и ядром действуют силы отталкивания. Поэтому для того, чтобы приблизить протон к ядру, надо совершить работу; график потенциальной энергии имеет вид, показанный на рис. 1. Правда, достаточно протону вплотную подойти к ядру (на расстоянии см), как тут же вступают в действие мощные ядерные силы притяжения (сильное взаимодействие) и он захватывается ядром. Но ведь надо сначала подойти, преодолеть потенциальный барьер.
И вот оказалось, что протон это делать умеет, даже когда его энергия Е меньше высоты барьера . Как всегда в квантовой механике, при этом нельзя сказать с достоверностью, что протон проникнет в ядро. Но имеется определенная вероятность такого туннельного прохождения потенциального барьера. Эта вероятность тем больше, чем меньше разность энергии и чем меньше масса частицы (причем зависимость вероятности от величины и очень резкая - экспоненциальная).
Основываясь на идее туннелирования, Д. Кокрофт и Э. Уолтон в 1932 г. в Кавендишской лаборатории открыли искусственное расщепление ядер. Они построили первый ускоритель, и хотя энергия ускоренных протонов была недостаточна для преодоления потенциального барьера, все же протоны благодаря туннельному эффекту проникали в ядро и вызывали ядерную реакцию. Туннельный эффект также объяснил явление альфа-распада.
Туннельный эффект нашел важное применение в физике твердого тела и в электронике.
Представьте себе, что на стеклянную пластинку (подложку) нанесли пленку металла (обычно ее получают, напыляя металл в вакууме). Затем ее окислили, создав на поверхности слой диэлектрика (окисла) толщиной всего в несколько десятков ангстрем. И снова покрыли пленкой металла. В результате получится так называемый «сэндвич» (в буквальном смысле этим английским словом называют два куска хлеба, например, с сыром между ними), или, иначе говоря, туннельный контакт.
Могут ли электроны переходить из одной металлической пленки в другую? Казалось бы, нет - им мешает слой диэлектрика. На рис. 2 приведен график зависимости потенциальной энергии электрона от координаты. В металле электрон движется свободно, и его потенциальная энергия равна нулю. Для выхода в диэлектрик надо совершить работу выхода , которая больше, чем кинетическая (а следовательно, и полная) энергия электрона .
Поэтому электроны в металлических пленках разделяет потенциальный барьер, высота которого равна .
Если бы электроны подчинялись законам классической механики, то такой барьер для них был бы непреодолим. Но вследствие туннельного эффекта с некоторой вероятностью электроны могут проникать через диэлектрик из одной металлической пленки в другую. Поэтому тонкая пленка диэлектрика оказывается проницаемой для электронов - через нее может течь так называемый туннельный ток. Однако суммарный туннельный ток равен нулю: сколько электронов переходит из нижней металлической пленки в верхнюю, столько же в среднем переходит, наоборот, из верхней пленки в нижнюю.
Как же сделать туннельный ток отличным от нуля? Для этого надо нарушить симметрию, например подсоединить металлические пленки к источнику с напряжением U. Тогда пленки будут играть роль обкладок конденсатора, а в слое диэлектрика возникнет электрическое поле. В этом случае электронам из верхней пленки преодолеть барьер легче, чем электронам из нижней пленки. В результате даже при малых напряжениях источника возникает туннельный ток. Туннельные контакты позволяют исследовать свойства электронов в металлах, а также используются в электронике.
ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ
(туннелирование)
- квантовый переход системы через область движения, запрещённую классич. механикой.
Типичный пример такого процесса- прохождение частицы через потенциальный
барьер
, когда её энергия
меньше высоты барьера. Импульс частицы р
в этом случае, определяемый
из соотношения 
где U(x)
- потенц. энергия частицы (т
- масса), был бы в области
внутри барьера,
мнимой величиной. В квантовой механике
благодаря неопределённостей
соотношению
между импульсом и координатой подбарьерное движение оказывается
возможным. Волновая ф-ция частицы в этой области экспоненциально затухает, и
в квазиклассич. случае (см. Квазиклассическое приближение
)её амплитуда
в точке выхода из-под барьера мала.
Одна из постановок задач
о прохождении потенц. барьера соответствует случаю, когда на барьер падает стационарный
поток частиц и требуется найти величину прошедшего потока. Для таких задач вводится
коэф. прозрачности барьера (коэф. туннельного перехода) D
, равный отношению
интенсивностей прошедшего и падающего потоков. Из обратимости по времени следует,
что коэф. прозрачности для переходов в "прямом" и обратном направлениях
одинаковы. В одномерном случае коэф. прозрачности может быть записан в виде
интегрирование проводится
по классически недоступной области, х
1,2 - точки поворота,
определяемые из условия
В точках поворота в пределе классич. механики импульс частицы обращается в нуль.
Коэф. D
0 требует для своего определения точного решения
кван-тово-механич. задачи.
При выполнении условия
квазиклассичности
на всём протяжении барьера,
за исключением непосредств. окрестностей точек поворота x
1,2
коэф. D
0 слабо отличается от единицы. Существ. отличие
D
0 от единицы может быть, напр., в тех случаях, когда
кривая потенц. энергии с одной из сторон барьера идёт настолько круто, что квазиклассич.
приближение там неприменимо, или когда энергия близка к высоте барьера (т. е.
выражение, стоящее в экспоненте, мало). Для прямоугольного барьера высотой U
о
и шириной а
коэф. прозрачности определяется ф-лой
где
Основание барьера соответствует
нулевой энергии. В
квазиклассич. случае D
мал по сравнению с единицей.
Др. постановка задачи о
прохождении частицы через барьер состоит в следующем. Пусть частица в нач. момент
времени находится в состоянии, близком к т. н. стационарному состоянию, к-рое
получилось бы при непроницаемом барьере (напр., при барьере, приподнятом вдали
от потенциальной ямы
на высоту, большую энергии вылетающей частицы).
Такое состояние наз. квазистационарным. Аналогично стационарным состояниям зависимость
волновой ф-ции частицы от времени даётся в этом случае множителем 
В качестве энергии здесь фигурирует комплексная величина Е
, мнимая часть
к-рой определяет вероятность распада квазистационарного состояния в единицу
времени за счёт Т. э.:
В квазиклассич. приближении
вероятность, даваемая ф-лой (3), содержит экспоненц. множитель того же типа,
что и в-ф-ле (1). В случае сферически симметричного потенц. барьера вероятность
распада квазистационарного состояния с орбит. l
определяется
ф-лой
Здесь r
1,2 -радиальные
точки поворота, подынтегральное выражение в к-рых равно нулю. Множитель w 0
зависит от характера движения в классически разрешённой части потенциала,
напр. он пропорц. классич. частоте частицы между стенками барьера.
Т. э. позволяет понять
механизм a-распада тяжёлых ядер. Между-частицей
и дочерним ядром действует элек-тростатич. отталкивание, определяемое ф-лой
На малых
расстояниях порядка размера а
ядра таковы, что эфф. потенциал
можно считать отрицательным: 
В результате вероятность а
-распада даётся соотношением
Здесь
-энергия вылетающей a-частицы.
Т. э. обусловливает возможность
протекания термоядерных реакций на Солнце и звёздах при темп-ре в десятки и
сотни млн. градусов (см. Эволюция звёзд
),а также в земных условиях в
виде термоядерных взрывов или УТС.
В симметричном потенциале,
состоящем из двух одинаковых ям, разделённых слабопроницаемым барьером, Т. э.
приводит к состояний в ямах, что приводит к слабому двойному расщеплению
дискретных уровней энергии (т. н. инверсионное расщепление; см. Молекулярные
спектры)
. Для бесконечного периодичного в пространстве набора ям каждый
уровень превращается в зону энергий. Таков механизм образования узких электронных
энергетич. зон в кристаллах с сильной связью электронов с узлами решётки.
Если к полупроводниковому
кристаллу приложено элек-трич. поле, то зоны разрешённых энергий электронов
становятся наклонными в пространстве. Тем самым уровень пост. энергии электрона
пересекает все зоны. В этих условиях становится возможным переход электрона
из одной энергетич. зоны в другую за счёт Т. э. Классически недоступной областью
при этом является зона запрещённых энергий. Это явление наз. пробоем Зинера.
Квазиклассич. приближение отвечает здесь малой величине напряжённости электрич.
поля. В этом пределе вероятность пробоя Зинера определяется в осн. экспонентой,
в показателе к-рой стоит большая отрицат. величина, пропорциональная отношению
ширины запрещённой энергетич. зоны к энергии, набираемой электроном в приложенном
поле на расстоянии, равном размеру элементарной ячейки.
Похожий эффект проявляется
в туннельных диодах
, в к-рых зоны наклонены благодаря полупроводникам
р
- и n
-типа по обе стороны от границы их соприкосновения. Туннелирование
осуществляется благодаря тому, что в зоне, куда переходит носитель , имеется
конечная плотность незанятых состояний.
Благодаря Т. э. возможен
электрич. ток между двумя металлами, разделёнными тонкой диэлектрич. перегородкой.
Эти металлы могут находиться как в нормальном, так и в сверхпроводящем состоянии.
В последнем случае может иметь место Джозефсона эффект
.
Т. э. обязаны такие явления,
происходящие в сильных электрич. полях, как автоионизация атомов (см. Ионизация
полем
)и автоэлектронная эмиссия
из металлов. В обоих случаях электрич.
поле образует барьер конечной прозрачности. Чем сильнее электрич. поле, тем
прозрачнее барьер и тем сильнее электронный ток из металла. На этом принципе
основан сканирующий туннельный микроскоп
- прибор,
измеряющий туннельный ток из разных точек исследуемой поверхности и дающий информацию
о характере её неоднородности.
Т. э. возможен не только
в квантовых системах, состоящих из одной частицы. Так, напр., низкотемпературное
движение в кристаллах может быть связано с туннелированием конечной
части дислокации, состоящей из многих частиц. В такого рода задачах линейную
дислокацию можно представить как упругую струну, лежащую первоначально вдоль
оси у
в одном из локальных минимумов потенциала V(x, у)
. Этот
потенциал не зависит от у
, а его рельеф вдоль оси х
представляет
собой последовательность локальных минимумов, каждый из к-рых находится ниже
другого на величину, зависящую от приложенного к кристаллу механич. .
Движение дислокации под действием этого напряжения сводится к туннелированию
в соседний минимум определ. отрезка дислокации с последующим подтягиванием туда
оставшейся её части. Такого же рода туннельный механизм может отвечать за движение
волн зарядовой плотности
в Пайерлса (см. Пайерлса переход
).
Для расчётов эффектов туннелирования
таких многоразмерных квантовых систем удобно использовать квазиклассич. представление
волновой ф-ции в виде
где S
-классич. действие системы. Для Т. э. существенна мнимая часть S
, определяющая затухание волновой ф-ции в классически недоступной области.
Для её вычисления используется метод комплексных траекторий.
Квантовая частица, преодолевающая
потенц. барьер, может быть связана с термостатом. В классич. механике это соответствует
движению с трением. Тем самым, для описания туннелирования необходимо привлечение
теории, получившей назв. диссипативной . Такого рода соображения
необходимо использовать для объяснения конечного времени жизни токовых состояний
контактов Джозефсона. В этом случае происходит туннелирование эфф. квантовой
частицы через барьер, а роль термостата играют нормальные электроны.
Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика, 4 изд., М., 1989; Займан Дж., Принципы теории твердого тела, пер. с англ., 2 изд., М., 1974; Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М., Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике, 2 изд., М., 1971; Туннельные явления в твердых телах, пер. с англ., М., 1973; Лихарев К. К., Введение в динамику джозефсоновских переходов, М., 1985. Б. И. Ивлев .
Имеется вероятность, что квантовая частица проникнет за барьер, который непреодолим для классической элементарной частицы.
Представьте шарик, катающийся внутри сферической ямки, вырытой в земле. В любой момент времени энергия шарика распределена между его кинетической энергией и потенциальной энергией силы тяжести в пропорции, зависящей от того, насколько высоко шарик находится относительно дна ямки (согласно первому началу термодинамики). При достижении шариком борта ямки возможны два варианта развития событий. Если его совокупная энергия превышает потенциальную энергию гравитационного поля, определяемую высотой точки нахождения шарика, он выпрыгнет из ямки. Если же совокупная энергия шарика меньше потенциальной энергии силы тяжести на уровне борта лунки, шарик покатится вниз, обратно в ямку, в сторону противоположного борта; в тот момент, когда потенциальная энергия будет равна совокупной энергии шарика, он остановится и покатится назад. Во втором случае шарик никогда не выкатится из ямки, если не придать ему дополнительную кинетическую энергию — например, подтолкнув. Согласно законам механики Ньютона , шарик никогда не покинет ямку без придания ему дополнительного импульса, если у него недостаточно собственной энергии для того, чтобы выкатиться за борт.
А теперь представьте, что борта ямы возвышаются над поверхностью земли (наподобие лунных кратеров). Если шарику удастся перевалить за приподнятый борт такой ямы, он покатится дальше. Важно помнить, что в ньютоновском мире шарика и ямки сам факт, что, перевалив за борт ямки, шарик покатится дальше, не имеет смысла, если у шарика недостаточно кинетической энергии для достижения верхнего края. Если он не достигнет края, он из ямы просто не выберется и, соответственно, ни при каких условиях, ни с какой скоростью и никуда не покатится дальше, на какой бы высоте над поверхностью снаружи ни находился край борта.
В мире квантовой механики дело обстоит иначе. Представим себе, что в чем-то вроде такой ямы находится квантовая частица. В этом случае речь идет уже не о реальной физической яме, а об условной ситуации, когда частице требуется определенный запас энергии, необходимый для преодоления барьера, мешающего ей вырваться наружу из того, что физики условились называть «потенциальной ямой» . У этой ямы есть и энергетической аналог борта — так называемый «потенциальный барьер» . Так вот, если снаружи от потенциального барьера уровень напряженности энергетического поля ниже, чем энергия, которой обладает частица, у нее имеется шанс оказаться «за бортом», даже если реальной кинетической энергии этой частицы недостаточно, чтобы «перевалить» через край борта в ньютоновском понимании. Этот механизм прохождения частицы через потенциальный барьер и назвали квантовым туннельным эффектом.
Работает он так: в квантовой механике частица описывается через волновую функцию, которая связана с вероятностью местонахождения частицы в данном месте в данный момент времени. Если частица сталкивается с потенциальным барьером, уравнение Шрёдингера позволяет рассчитать вероятность проникновения частицы через него, поскольку волновая функция не просто энергетически поглощается барьером, но очень быстро гасится — по экспоненте. Иными словами, потенциальный барьер в мире квантовой механики размыт. Он, конечно, препятствует движению частицы, но не является твердой, непроницаемой границей, как это имеет место в классической механике Ньютона.
Если барьер достаточно низок или если суммарная энергия частицы близка к пороговой, волновая функция, хотя и убывает стремительно при приближении частицы к краю барьера, оставляет ей шанс преодолеть его. То есть имеется определенная вероятность, что частица будет обнаружена по другую сторону потенциального барьера — в мире механики Ньютона это было бы невозможно. А раз уж частица перевалила через край барьера (пусть он имеет форму лунного кратера), она свободно покатится вниз по его внешнему склону прочь от ямы, из которой выбралась.
Квантовый туннельный переход можно рассматривать как своего рода «утечку» или «просачивание» частицы через потенциальный барьер, после чего частица движется прочь от барьера. В природе достаточно примеров такого рода явлений, равно как и в современных технологиях. Возьмем типичный радиоактивный распад : тяжелое ядро излучает альфа-частицу, состоящую из двух протонов и двух нейтронов. С одной стороны, можно представить себе этот процесс таким образом, что тяжелое ядро удерживает внутри себя альфа-частицу посредством сил внутриядерной связи, подобно тому как шарик удерживался в ямке в нашем примере. Однако даже если у альфа-частицы недостаточно свободной энергии для преодоления барьера внутриядерных связей, всё равно имеется вероятность ее отрыва от ядра. И, наблюдая спонтанное альфа-излучение, мы получаем экспериментальное подтверждение реальности туннельного эффекта.
Другой важный пример туннельного эффекта — процесс термоядерного синтеза, питающий энергией звезды (см. Эволюция звезд). Один из этапов термоядерного синтеза — столкновение двух ядер дейтерия (по одному протону и одному нейтрону в каждом), в результате чего образуется ядро гелия-3 (два протона и один нейтрон) и испускается один нейтрон. Согласно закону Кулона , между двумя частицами с одинаковым зарядом (в данном случае протонами, входящими в состав ядер дейтерия) действует мощнейшая сила взаимного отталкивания — то есть налицо мощнейший потенциальный барьер. В мире по Ньютону ядра дейтерия попросту не могли бы сблизиться на достаточное расстояние и синтезировать ядро гелия. Однако в недрах звезд температура и давление столь высоки, что энергия ядер приближается к порогу их синтеза (в нашем смысле, ядра находятся почти на краю барьера), в результате чего начинает действовать туннельный эффект, происходит термоядерный синтез — и звезды светят.
Наконец, туннельный эффект уже на практике применяется в технологии электронных микроскопов. Действие этого инструмента основано на том, что металлическое острие щупа приближается к исследуемой поверхности на сверхмалое расстояние. При этом потенциальный барьер не дает электронам из атомов металла перетечь на исследуемую поверхность. При перемещении щупа на предельно близком расстоянии вдоль исследуемой поверхности он как бы перебирает атом за атомом. Когда щуп оказывается в непосредственной близости от атомов, барьер ниже, чем когда щуп проходит в промежутках между ними. Соответственно, когда прибор «нащупывает» атом, ток возрастает за счет усиления утечки электронов в результате туннельного эффекта, а в промежутках между атомами ток падает. Это позволяет подробнейшим образом исследовать атомные структуры поверхностей, буквально «картографируя» их. Кстати, электронные микроскопы как раз и дают окончательное подтверждение атомарной теории строения материи.
Самым ярким представителем квантовых размерных эффектов является туннельный эффект – чисто квантовое явление, сыгравшее важную роль в развитии современной электронике и приборостроении. Феномен туннелирования был открыт в 1927 г. нашим соотечественником Г. А. Гамов, который впервые получил решения уравнения Шрёдингера, описывающие возможность преодоления частицей потенциального барьера, даже если её энергия меньше высоты барьера. Найденные решения помогли понять многие экспериментальные данные, которые невозможно было понять в рамках представлений классической физики.
Впервые в физике туннельный эффект был использован для объяснения радиоактивного - распада атомных ядер, например:
Дело в том, что - частица – ядро атома гелия - не имеет достаточной энергии для того, чтобы покинуть нестабильное ядро. На этом пути - частице необходимо преодолеть огромный (28 МэВ), но достаточно узкий (10 -12 см – радиус ядра) потенциальный барьер. Советский учёный Г. Гамов (1927) показал, что распад атомного ядра в таком случае становится возможным именно за счёт тунелирования переноса - частицы. Благодаря туннельному эффекту происходит также холодная эмиссия электронов из металлов и многие другие явления. Многие считают, что за грандиозность результатов его работ, ставших основополагающими для многих наук, Г.А. Гамов должен был быть удостоен нескольких Нобелевских премий. Лишь спустя тридцать лет после открытия Г. А. Гамова появились первые приборы на основе туннельного эффекта – туннельные диоды, транзисторы, датчики, термометры для измерения сверхнизких температур, и, наконец, сканирующие туннельные микроскопы, положившие начало современным исследованиям наноструктур. Туннельный эффект представляет собой процесс преодоления микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия (остающаяся при туннелированный неизменной) меньше высоты барьера. Туннельный эффект – явление исключительно квантовой природы, которое не возможно было объяснить в рамках классических представлений. Аналогом туннельного эффекта в волновой оптике может служить проникновение световой волны внутрь отражающей среды (на расстояния порядка длины световой волны) в условиях, когда с точки зрения геометрической оптики, происходит полное внутреннее отражение. В общем случае, туннельный эффект представляет собой процесс преодоления микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия (остающаяся при туннелировании неизменной) меньше высоты барьера. В классической механике движение происходит при условии, что полная энергия частицы больше, чем её потенциальная энергия , т.е. имеет место неравенство:
Поскольку полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий:
и кинетическая энергия больше нуля , то соответственно разность полной и потенциальной энергий, также будет больше нуля:
и таким образом будет выполняться условие вида:
Необходимо отметить, что задача о движении частицы в потенциальном ящике удовлетворяет данному условию, поскольку внутри ящика потенциальная энергия равна нулю . Однако в квантовой механике движение возможно и при условии, когда полная энергия меньше потенциальной . Такие задачи объединяют общим названием – потенциальные барьеры. Рассмотрим потенциальный барьер прямоугольной формы. Пусть в области I значение потенциала равно нулю, . В области II значение потенциальной энергии равно определяется высотой барьера и таким образом . В области III значение потенциальной энергии равно нулю, . Обозначим волновые функции для областей: для области I, для области II и для области III. В данной задаче нас будет интересовать случай, когда полная энергия частицы меньше высоты потенциального барьера , т.е. при условии что .
Рис.8. Прохождение частицы через потенциальный барьер
Для каждой из трёх областей запишем уравнение Шрёдингера, приведём его к стандартному виду и опишем его общие решения. Рассмотрим движение частицы в области I. Обозначим волновую функцию частицы в этом случае . Как и в случае свободного движения частицы, соответствующее уравнение Шрёдингера запишется в виде:
откуда следует, что:
общее решение уравнения Шрёдингера для области I, может быть записано в виде:
первую часть функции можно интерпретировать как падающую на потенциальный барьер волну (движение частицы слева направо в области I). Коэффициенты и называют амплитудами соответственно падающей и отражённой волны. Они определяют вероятность прохождения волны через потенциальный барьер, а также вероятность её отражения от барьера. Поскольку коэффициенты разложения в выражении для волновой функции связаны с интенсивностью пучка частиц движущихся к барьеру или отражённых от него, тогда соответственно принимая амплитуду падающей волны , будем иметь:
Рассмотрим теперь движение частицы в области II. В условиях данной задачи, физический интерес для нас будет представлять случай, когда полная энергия частицы меньше высоты потенциального барьера, что отвечает выполнению условия вида:
поскольку для области II:
т.е. значения потенциальной энергии частицы определяется высотой барьера – размером области:
тогда уравнение Шрёдингера для области II будет иметь вид:
откуда следует, что:
