Одними из классических определений понятия «функция» считаются определения на базе соответствий. Приведем ряд таких определений.
Определение 1
Зависимость, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, называется функцией .
Определение 2
Пусть даны два непустых множества $X$ и $Y$. Соответствие $f$, которое каждому $x\in X$ сопоставляет один и только один $y\in Y$ Называется функцией ($f:X → Y$).
Определение 3
Пусть $M$ и $N$ - два произвольных числовых множества. Говорят, что на $M$ определена функция $f$, принимающая значения из $N$, если каждому элементу $x\in X$ поставлен в соответствие один и только один элемент из $N$.
Следующее определение дается через понятие переменной величины. Переменной величиной называется величина, которая в данном исследовании принимает различные числовые значения.
Определение 4
Пусть $M$ - множество значений переменной величины $x$. Тогда, сели каждому значению $x\in M$ соответствует одно определенное значение другой переменной величины $y$ есть функция величины $x$, определенной на множестве $M$.
Определение 5
Пусть $X$ и $Y$ - некоторые числовые множества. Функцией называется множество $f$ упорядоченных пар чисел $(x,\ y)$ таких, что $x\in X$, $y\in Y$ и каждое $x$ входит в одну и только одну пару этого множества, а каждое $y$ входит, по крайней мере, в одну пару .
Определение 6
Всякое множество $f=\{\left(x,\ y\right)\}$ упорядоченных пар $\left(x,\ y\right)$ таких, что для любых пар $\left(x",\ y"\right)\in f$ и $\left(x"",\ y""\right)\in f$ из условия $y"≠ y""$ следует, что $x"≠x""$ называется функцией или отображением .
Определение 7
Функция $f:X → Y$ - это множество $f$ упорядоченных пар $\left(x,\ y\right)\in X\times Y$, таких, что для любого элемента $x\in X$ существует единственный элемент $y\in Y$ такой, что $\left(x,\ y\right)\in f$, то есть функция -- кортеж объектов $\left(f,\ X,\ Y\right)$.
В этих определениях
$x$ - независимая переменная.
$y$ - зависимая переменная.
Все возможные значения переменной $x$ называется областью определения функции , а все возможные значения переменной $y$ называется областью значения функции.
Аналитический способ задания функции
Для этого способа нам понадобится понятие аналитического выражения.
Определение 8
Аналитическим выражением называется произведение всех возможных математических операций над какими-либо числами и переменными.
Аналитическим способом задания функции и является её задание с помощью аналитического выражения.
Пример 1
$y=x^2+7x-3$, $y=\frac{x+5}{x+2}$, $y=cos5x$.
Плюсы:
- С помощью формул мы можем определить значение функции для любого определенного значения переменной $x$;
- Функции, заданные таким способом можно изучать с помощью аппарата математического анализа.
Минусы:
- Малая наглядность.
- Иногда приходится производить очень громоздкие вычисления.
Табличный способ задания функции
Данный способ задания состоит в том, что для нескольких значений независимой переменной выписываются значения зависимой переменной. Все это вносится в таблицу.
Пример 2
Рисунок 1.
Плюс: Для любого значения независимой переменной $x$, которая внесена в таблицу, сразу узнается соответствующее значение функции $y$.
Минусы:
- Чаще всего, нет полного задания функции;
- Малая наглядность.
Задать функцию означает установить правило (закон) с помощью которого по данным значениям независимой переменной находим соответствующие им значения функции. Рассмотрим различные способы задания функции.
Эта запись определяет температуру Т как функцию от времени t:T=f(t). Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения функции сразу, без дополнительных изменений или вычислений. Недостатки: определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента; не дает наглядного изображения характера изменения функции с изменением аргумента.
2. Графический способ. Графиком функцииy=f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Это может быть некоторая кривая, в частности прямая, множество точек на плоскости.
Преимущество – наглядность, недостаток – нет возможности точно определить значения аргумента. В технике и физике часто он является единственно доступным способом задания функции, например, при пользовании самопишущими приборами, которые автоматически записывают изменение одной величины относительно другой (барограф, термограф и др.).
3. Аналитический способ. По этому способу функция задается аналитически, с помощью формулы. Такой способ дает возможность по каждому численному значению аргумента х найти соответствующее ему численное значение функции у точно или с некоторой точностью.
При аналитическом способе функция может быть задана и несколькими разными формулами. Например, функция
задана
в области определения [-
,
15] с помощью трех формул.
Если
зависимость между х и у задана
формулой, разрешенной относительно у,
т.е. имеет вид у = f(x)
, то говорят, что функция от х задана в
явном виде, например,.
Если же значения х и у связаны некоторым
уравнением видаF(x,y)
= 0, т.е. формула не разрешена относительно
у, то говорят, что функция задана неявно.
Например,.
Заметим, что не всякую неявную функцию
можно представить в виде у =f(x),
наоборот, любую явную функцию всегда
можно представить в виде неявной:
.
Еще одна разновидность аналитического
задания функции – параметрическое,
когда аргумент х и функция у являются
функциями третьей величины – параметраt:
,
где
,
Т – некоторый промежуток. Такой способ
широко применяется в механике, в
геометрии.
Аналитический способ является самым распространенным способом задания функции. Компактность, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа, возможность вычисления значений функции при любых значениях аргумента – его основные преимущества.
4. Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами. Например, функция Е(х) – целая часть числа х, функция Дирихле, функция Римана,n!,r(n) – число делителей натурального числаn.
5. Полуграфический способ. Здесь значения функции представляются в виде отрезков, а значения аргумента – в виде чисел, проставленных на концах отрезков, указывающих значения функции. Так, например, в термометре есть шкала с равными делениями, у которых проставлены числа. Эти числа являются значениями аргумента (температуры). Они стоят на том месте, которое определяет графическое удлинение столбца ртути (значения функции) в связи с ее объемным расширением в результате температурных изменений.
>>Математика: Способы задания функции
Способы задания функции
Приводя в предыдущем параграфе различные примеры функций, мы несколько обеднили само понятие функции .
Ведь задать функцию - это значит указать правило, которое позволяет по произвольно выбранному значению х из Б(0 вычислить соответствующее значение у. Чаще всего это правило связано с формулой или с несколькими формулами - такой способ задания функции обычно называют аналитическим. Все функции, рассмотренные в § 7, были заданы аналитически. Между тем есть другие способы задания функции, о них и пойдет речь в настоящем параграфе.
Если функция была задана аналитически и нам удалось построить график функции, то мы фактически перешли от аналитического способа задания функции к графическому. Обратный же переход удается осуществить далеко не всегда. Как правило, это довольно трудная, но интересная задача.
Не всякая линия на координатной плоскости может рассматриваться как график некоторой функции. Например, окружность , заданная уравнением х 2 + у 2 - 9 (рис. 51), не является графиком функции, поскольку любая прямая х = а, где | а | <3, пересекает эту линию в д в у х точках (а для задания функции таких точек должно быть не более одной, т.е. прямая х = а должна пересекать линию F только в одной точке либо вообще не должна ее пересекать).
В то же время если эту окружность разрезать на две части - верхнюю полуокружность (рис. 52) и нижнюю полуокружность (рис. 53), - то каждую из полуокружностей можно считать графиком некоторой функции, причем в обоих случаях несложно от графического способа задания функции перейти к аналитическому.
Из уравнения х 2 + у 2 = 9 находим у 2 = 9 - х 2 и далее 
Графиком функции является верхняя полуокружность окружности х 2 + у 2 =9 (рис. 52), а графиком функции является нижняя полуокружность окружности х 2 + у 2 = 9 (рис. 53).
Этот пример позволяет обратить внимание на одно существенное обстоятельство. Посмотрите на график функции (рис. 52). Сразу ясно, что D(f) = [-3, 3]. А если бы речь шла об отыскании области определения аналитически заданной функции Тогда пришлось бы, как мы это делали в § 7, тратить время и силы на решение неравенства Потому-то обычно и стараются работать одновременно и с аналитическим, и с графическим способами задания функций. Впрочем, за два года изучения курса алгебры в школе вы к этому уже привыкли.
Кроме аналитического и графического, на практике применяют табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, в которой указаны значения функции (иногда точные, иногда приближенные) для конечного множества значений аргумента. Примерами табличного задания функции могут служить таблицы квадратов чисел, кубов чисел, квадратных корней и т.д.
Во многих случаях табличное задание функции является удобным. Оно позволяет найти значение функции для имеющихся в таблице значений аргумента без всяких вычислений.
Аналитический, графический, табличный - наитабличный, более простые, а потому наиболее популярные словесный задания функции, для наших нужд этих способов вполне достаточно. На самом деле в математике имеется довольно много различных способов задания функции, но мы познакомим вас еще только с одним способом, который используется в весьма своеобразных ситуациях. Речь идет о словесном способе, когда правило задания функции описывается словами. Приведем примеры.
Пример 1.
Функция у = f(х) задана на множестве всех неотрицательных чисел с помощью следующего правила: каждому числу х > 0 ставится в соответствие первый знак после запятой в десятичной записи числа х. Если, скажем, х = 2,534, то f(х) = 5 (первый знак после запятой - цифра 5); если х = 13,002, то f(х) = 0; если то, записав в виде бесконечной десятичной дроби 0,6666..., находим f(х) = 6. А чему равно значение f(15)? Оно равно 0, так как 15 = 15,000... , и мы видим, что первый десятичный знак после запятой есть 0 (вообще-то верно и равенство 15 = 14,999... , но математики договорились не рассматривать бесконечные периодические десятичные дроби с периодом 9).
Любое неотрицательное число х можно записать в виде десятичной дроби (конечной или бесконечной), а потому для каждого значения х можно найти определенное значение первого знака после запятой, так что мы можем говорить о функции, хотя и несколько необычной. У этой функции 
Пример 2.
Функция у = f(х) задана на множестве всех действительных чисел с помощью следующего правила: каждому числу х ставится в соответствие наибольшее из всех целых чисел, которые не превосходят х. Иными словами, функция у = f(х) определяется следующими условиями:
а) f(х) - целое число;
б) f(х) < х (поскольку f(х) не превосходит х);
в) f(х) + 1 > х (поскольку f(х) - наибольшее целое число, не превосходящее х, значит, f(х) + 1 уже больше, чем г). Если, скажем, х = 2,534, то f(х) = 2, поскольку, во-первых, 2 - целое число, во-вторых, 2 < 2,534 и, в-третьих, следующее целое число 3 уже больше, чем 2,534. Если х = 47, то /(х) = 47, поскольку, во-первых, 47 - целое число, во-вторых, 47< 47 (точнее, 47 = 47) и, в-третьих, следующее за числом 47 целое число 48 уже больше, чем 47. А чему равно значение f(-0,(23))? Оно равно -1. Проверяйте: -1 - наибольшее из всех целых чисел, которые не превосходят числа -0,232323....
У этой функции (множество целых чисел).
Функцию, о которой шла речь в примере 2, называют целой частью числа; для целой части числа х используют обозначение [х]. Например, = 2, = 47, [-0,(23)] = -1. Очень своеобразно выглядит график функции у = [х] (рис. 54).
Функции могут быть заданы самыми различными способами. Однако, наиболее часто встречаются следующие три способа задания функций: аналитический, табличный и графический.
Аналитический способ задания функции. При аналитическом способе задания функция определяется с помощью аналитического выражения, т. е. с помощью формулы, указывающей, какие действия надо совершить над значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение функции.
В п. 2 и 3 мы уже встречались с функциями, заданными с помощью формул, т. е. аналитически. При этом в п. 2 для функции область определения ) была установлена, исходя из геометрических соображений, а для функции область задания была указана в условии. В п. 3 для функции область определения также задавалась по условию. Однако очень часто функция задается только с помощью аналитического выражения (формулы), без каких-либо дополнительных условий. В таких случаях под областью определения функции мы будем понимать совокупность всех тех значений аргумента, для которых это выражение имеет смысл и приводит к действительным значениям функции.
Пример 1. Найти область определения функции
Решение. Функция задана только формулой, ее область определения не указана и никаких дополнительных условий нет. Поэтому под областью определения этой функции мы должны понимать совокупность всех тех значений аргумента для которых выражение имеет действительные значения. Для этого должно быть . Решая это неравенство, приходим к заключению, что областью определения данной функции является сегмент [-1.1].
Пример 2. Найти область определения функции .
Решение. Область определения, очевидно, состоит из двух бесконечных интервалов , так как выражение не и имеет смысла при а при всех остальных значениях определено.
Читатель теперь сам легко увидит, что для функции областью определения будет вся числовая ось, а для функции - бесконечный интервал
Следует обратить внимание на то, что нельзя отождествлять функцию и формулу, с помощью которой задается эта функция. Посредством одной и той же формулы можно задать различные функции. В самом деле, в п. 2 мы рассматривали функцию с областью определения в п. 3 строился график для функции с областью определения . И, наконец, только что мы рассмотрели функцию, заданную только формулой без каких-либо дополнительных условий. Областью определения этой функции является вся числовая ось. Эти три функции различны между собой, так как они имеют разные области определения. Но задаются они с помощью одной и той же формулы.
Возможен и обратный случай, когда одна функция на различных участках ее области определения задается различными формулами. Например, рассмотрим функцию у, определенную для всех неотрицательных значений следующим образом: при при т. е.
Эта функция определена двумя аналитическими выражениями, действующими на различных участках ее области определения. График данной функции изображен на рис. 18.
Табличный способ задания функции. При табличном задании функции составляется таблица, в которой указывается ряд значений аргумента и соответствующих значений функции. Широко известны логарифмические таблицы, таблицы значений тригонометрических функций и многие другие. Довольно часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных непосредственно из опыта. В нижеследующей таблице приведены полученные из опыта удельные сопротивления меди (в см - сантиметрах) при различных температурах t (в градусах):
Графический способ задания функции. При графическом задании дается график функции, и ее значения, соответствующие тем или иным значениям аргумента, непосредственно находятся из этого графика. Во многих случаях такие графики чертятся с помощью самопишущих приборов.
Различные способы задания функции Аналитический, графический, табличный – наиболее простые, а потому наиболее популярные способы задания функции, для наших нужд этих способов вполне достаточно. Аналитическийграфическийтабличный На самом деле в математике имеется довольно много различных способов задания функции и один из них – словесный, который используется в весьма своеобразных ситуациях.
Словесный способ задания функции Функция может быть задана и словесно, т. е. описательно. Например, так называемая функция Дирихле задается следующим образом: функция у равна 0 для всех рациональных и 1 для всех иррациональных значений аргумента х. Такая функция не может быть задана таблицей, так как она определяется на всей числовой оси и множество значений ее аргумента бесконечно. Графически данная функция также не может быть задана. Аналитическое выражение для этой функции было, все же найдено, но оно так сложно, что не имеет практического значения. Словесный же способ дает краткое и ясное ее определение.
Пример 1 Функция y = f (x) задана на множестве всех неотрицательных чисел с помощью следующего правила: каждому числу х 0 ставится в соответствии первый знак после запятой в десятичной записи числа x. Если, скажем, х = 2,534, то f(х) = 5 (первый знак после запятой – цифра 5); если х = 13,002, то f(х) = 0; если х = 2/3, то, записав 2/3 в виде бесконечной десятичной дроби 0,6666…, находим f(x) = 6. А чему равно значение f(15)? Оно равно 0, так как 15 = 15,000…, и мы видим, что первый десятичный знак после запятой есть 0 (вообще – то верно равенство 15 = 14,999…, но математики договорились не рассматривать бесконечные периодические десятичные дроби с периодом 9).
Любое неотрицательное число х можно записать в виде десятичной дроби (конечной или бесконечной), а потому для каждого значения х можно найти определенное число значений первого знака после запятой, так что мы можем говорить о функции, хотя и несколько необычной. D (f) = . = 2 [" title="Функцию, которая определяется условиями: f (x) – целое число; f (x) x;x; f + 1 > x,x, целой частью числа называют целой частью числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество целых чисел) Для целой части числа х используют обозначение [ x ]. = 2 [" class="link_thumb"> 7 Функцию, которая определяется условиями: f (x) – целое число; f (x) x;x; f + 1 > x,x, целой частью числа называют целой частью числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество целых чисел) Для целой части числа х используют обозначение [ x ]. = 2 = 47 [ - 0,23] = - 1 x,x, целой частью числа называют целой частью числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество целых чисел) Для целой части числа х используют обозначение [ x ]. = 2 ["> x,x, целой частью числа называют целой частью числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество целых чисел) Для целой части числа х используют обозначение [ x ]. = 2 = 47 [ - 0,23] = - 1"> x,x, целой частью числа называют целой частью числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество целых чисел) Для целой части числа х используют обозначение [ x ]. = 2 [" title="Функцию, которая определяется условиями: f (x) – целое число; f (x) x;x; f + 1 > x,x, целой частью числа называют целой частью числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество целых чисел) Для целой части числа х используют обозначение [ x ]. = 2 ["> title="Функцию, которая определяется условиями: f (x) – целое число; f (x) x;x; f + 1 > x,x, целой частью числа называют целой частью числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество целых чисел) Для целой части числа х используют обозначение [ x ]. = 2 [">
Из всех указанных способов задания функции наибольшие возможности для применения аппарата математического анализа дает аналитический способ, а н нн наибольшей наглядностью обладает г гг графический. Вот почему математический анализ основывается на глубоком синтезе аналитических и геометрических методов. Исследование функций, заданных аналитически, проводится гораздо легче и становится наглядным, если параллельно рассматривать и графики этих функций.
Х у=х
Великий математик - Дирихле В профессор Берлинского, с 1855 Гёттингенского университетов. Основные труды по теории чисел и математическому анализу. В области математического анализа Дирихле впервые точно сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда, установил признак сходимости ряда (т.н. признак Дирихле, 1862), дал (1829) строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье функции, имеющей конечное число максимумов и минимумов. Значительные работы Дирихле посвящены механике и математической физике (принцип Дирихле в теории гармонической функции). Дирихле Петер Густав Лежён () Немецкий математик, иностранный чл.-корр. Петербургской АН (с), член Лондонского королевского общества (1855), Парижской АН (1854), Берлинской АН. Дирихле доказал теорему о существовании бесконечно большого числа простых чисел во всякой арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой - числа взаимно простые и изучал (1837) закон распределения простых чисел в арифметических прогрессиях, в связи с чем ввел функциональные ряды особого вида (т.н. ряды Дирихле).
