Конспект урока «Решение логарифмических неравенств». 11 класс
Разработала и провела учитель первой категории Шайдулина Г.С.
Наш девиз: «Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий».
Многие физики шутят, что «Математика, царица наук, но служанка физики!» Также могут сказать химики, астрономы и даже музыканты. Действительно математика служит основой большинства наук и слова английского философа 16 века Роджера Бэкона « Тот, кто не знает математики не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить собственного невежества.» актуальны и в настоящее время
Тема нашего урока « Логарифмические неравенства».
Цель урока:
1) обобщить знания по теме
«Логарифмические неравенства»
2)рассмотреть типичные трудности, встречающиеся при решении логарифмических неравенств;
3) усилить практическую направленность данной темы для качественной подготовки к ЕГЭ.
Задачи:
Обучающие: повторение, обобщение и систематизация материала темы, контроль усвоения знаний и умений.
Развивающие: развитие математического и общего кругозора, мышления, речи, внимания и памяти.
Воспитательные: воспитание интереса к математики, активности, умения общаться, общей культуры.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектр, экран, карточки с заданиями, с формулами логарифмов.
Структура урока:
Организационный момент.
Повторение материала. Устная работа.
Историческая справка.
Работа над материалом.
Задания на дом.
Итог урока.
Логарифмическим неравенствам в вариантах ЕГЭ по математике посвящена задача C3 . Научиться решать задания C3 из ЕГЭ по математике должен каждый ученик, если он хочет сдать предстоящий экзамен на «хорошо» или «отлично».
Историческая справка.
Джону Неперу принадлежит сам термин «логарифм», который он перевел как «искусственное число». Джон Непер – шотландец. В 16 лет отправился на континент, где в течение пяти лет в различных университетах Европы изучал математику и другие науки. Затем он серьезно занимался астрономией и математикой. К идее логарифмических вычислений Непер пришел еще в 80-х годах XVI века, однако опубликовал свои таблицы только в 1614 году, после 25-летних вычислений. Они вышли под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц».
Начнем урок с устной разминки. Готовы?
Работа у доски.
Во время устной работы с классом двое учеников решают у доски примеры по карточкам.
1.Решите неравенство
2.Решите неравенство
(Учащиеся, выполнявшие задания у доски, комментируют свои решения, ссылаясь на соответствующий теоретический материал, а остальные вносят при необходимости корректировки.)
1) Укажите неверное равенство. Какое правило для этого надо использовать?
а) log 3 27 = 3
б) log 2 0,125 = – 3
а) log 0,5 0,5 = 1
а) lg 10000 = 5.
2)Сравните с нулем значения логарифма. Какое правило для этого надо использовать?
а) lg 7
б) log 0,4 3
в) log 6 0,2
д) log ⅓ 0,6
3) Я хочу вам предложить сыграть в морской бой. Я называю букву строки и номер столбца, а вы называете ответ и ищите соответствующую букву в таблице.
4) Какие из перечисленных логарифмических функций являются возрастающими, и какие убывающими. От чего это зависит?
5) Какова область определения логарифмической функции? Найдите область определения функции:
Разобрать решение на доске.
Как же решаются логарифмические неравенства?
На чем основано решение логарифмических неравенств?
На решение каких неравенств похоже?
(Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции, с учетом области определения логарифмической функции и общих свойств неравенств.)
Алгоритм решения логарифмических неравенств:
А) Найти область определения неравенства (подлогарифмическое выражение больше нуля).
Б) Представить (если возможно) левую и правую части неравенства в виде логарифмов по одному и тому же основанию.
В) Определить, возрастающей или убывающей является логарифмическая функция: если t>1, то возрастающая; если 01, то убывающая.
Г) Перейти к более простому неравенству (подлогарифмических выражений), учитывая, что знак неравенства сохранится, если функция возрастает, и изменится, если она убывает.
Проверка д.з.
1. log 8 (5х-10) < log 8 (14-х).
2. log 3 (х+2) + log 3 х =< 1.
3. log 0,5 (3х+1)< log 0,5 (2-х)
Учимся на чужих ошибках!!!
Кто первый найдет ошибку.
1.Найдите ошибку в решении неравенства:
а) log 8 (5х-10) < log 8 (14-х),
5 x -10 < 14- x ,
6 x < 24,
x < 4.
Ответ: х € (-∞; 4).
Ошибка: не учтена область определения неравенства.
Прокоментировать решение
Верное решение:
log 8 (5х-10)< log 8 (14-х)
2<
x
<4.
Ответ: х € (2;4).
2.Найдите ошибку в решении неравенства:
Ошибка: не учтена область определения исходного неравенства. Верное решение
Ответ: х .
3.Найдите ошибку в решении неравенства:
log
0,5
(3х+1)<
log
0,5
(2-х)
Ответ: х €
Ошибка: не учли основание логарифма.
Верное решение:
log
0,5
(3х+1)<
log
0,5
(2-х)
Ответ: х €
Анализируя варианты вступительных экзаменов по математике, можно заметить, что из теории логарифмов на экзаменах часто встречаются логарифмические неравенства, содержащие переменную под логарифмом и в основании логарифма.
Найдите ошибку в решении неравенства:
4
.
А как еще можно решить неравенство №4?
Кто решал другим методом?
Итак, ребята, подводных камней при решении логарифмических неравенств встречается много.
На что же мы должны обратить особое внимание при решении логарифмических неравенств? Как вы думаете?
Итак, что нужно для того, чтобы решать логарифмические уравнения и неравенства ?
Во-первых, внимание . Не допускайте ошибок в проводимых преобразованиях. Следите за тем, чтобы каждое ваше действие не расширяло и не сужало область допустимых значений неравенства, то есть не приводило ни к потере, ни к приобретению посторонних решений.
Во-вторых, умение мыслить логически . Составители ЕГЭ по математике заданиями C3 проверяют умение учащихся оперировать такими понятиями, как система неравенств (пересечение множеств), совокупность неравенств (объедение множеств), осуществлять отбор решений неравенства, руководствуясь его областью допустимых значений.
В-третьих, четкое знание свойств всех элементарных функций (степенных, рациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических), изучаемых в школьном курсе математики и понимание их смысла.
ВНИМАНИЕ!
1. ОДЗ исходного неравенства.
2 .Основание логарифма.
Решите уравнение:
Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:
Данный урок разработан в системе уроков итогового повторения в 11 классе с целью актуализировать знания и умения учащихся решать логарифмические уравнения и неравенства. Хотя учащимся понадобятся знания по данной теме при выполнении небольшого количества заданий, тем не менее имеет смысл посвятить повторению этого материала хотя бы один урок.
Скачать:
Предварительный просмотр:
УРОК ОБОБЩЕНИЯ И СИСТЕМАТИЗАЦИИ ЗНАНИЙ И СПОСОБОВ ДЕЙСТВИЙ В СОЧЕТАНИИ С ИХ КОМПЛЕКСНЫМ ПРИМЕНЕНИЕМ
В 11 КЛАССЕ ПО ТЕМЕ:
«РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ»
НА ФЕСТИВАЛЬ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИДЕЙ «ОТКРЫТЫЙ УРОК».
ПОДГОТОВИЛА:
КОНСТАНТИНОВА О.Н.
Тема урока: Решение логарифмических уравнений и неравенств
Класс: 11
Цели урока:
Образовательные: создать условия для повторения и обобщения знаний учащихся по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств», систематизировать способы деятельности учащихся по применению комплекса знаний и способов действий в измененной и новой ситуациях, подготовка к ЕГЭ.
Развивающие: развивать способности применять теоретические знания на практике, развивать навыки работы с тестовыми заданиями, логическое мышление, память, внимание, развивать навыки самоконтроля.
Воспитательные: воспитывать ответственное отношение к изучению математики, трудолюбие, взаимопомощь, волю и настойчивость в достижении поставленной цели.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний и способов действий в сочетании с их комплексным применением.
Оборудование урока: компьютер, проектор, экран.
Ход урока:
- Организация начала занятия.
Учащимся сообщается тема урока и цели, подчеркивается актуальность повторения данной темы для подготовки к ЕГЭ.
Учитель: Ребята, к сегодняшнему уроку я подобрала несколько высказываний известных философов – математиков и даже одного из полководцев. Думаю, что эти слова будут помогать нам в нашей с вами работе. Перед вами слова известного французского философа и математика Рене Декарта: «Недостаточно только иметь хороший разум, но главное - это хорошо применять его».
Наши знания должны работать и принести положительный результат на экзамене. Сегодня каждый из вас проведет диагностику своих знаний по данной теме, для этого у вас имеются диагностические карты, в которых вы оцените свои знания и возможности по каждому из разделов. В соответствии с этой оценкой на индивидуальных консультациях мы постараемся устранить имеющиеся пробелы.
Последуем совету Декарта и используем свои знания в устной работе.
II. Подготовка учащихся к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока:
а) актуализация опорных знаний
Учащиеся работают устно по упражнениям, представленным на экране с помощью проектора.
Давайте с вами ещё раз вспомним какие уравнения называются логарифмическими и заострим своё внимание на тех моментах, которые играют немаловажную роль при выполнении заданий.
- Является ли уравнение lg5+xlg6=3 логарифмическим?
- Существует ли хотя бы одно значение x , при котором верно равенство lg(x+3)=lgx+lg3
- Записать область определения логарифмического уравнения log a f(x)=log b g(x) в виде системы неравенств.
- Как решается уравнение, содержащее неизвестное и в основании, и в показателе степени, например x lg x = 10?
- Нужна ли проверка полученных корней при решении логарифмических уравнений, почему? Решить двумя способами уравнение
log 3 (x+6) + log 3 (x-2) = 2 (два человека на отворотах доски).
- Решите уравнения:
а) 2 x =3
б) 3 log 3 x =5
в) 7 log 7 x2 =36
г) lg(2x+1)=lgx
д) lgx 2 =0
е) lg(x+1)+lg(x-1)=lg3
ж) log 2 (x-4)=3
з) log 3 (x+5)=0
и) log 8 (x 2 -1)=1
к) lg(x-5) =-2
л) log 3 x=5log 3 2-2log 3 2
м) log 2 (log 3 x)=1
н) log π (log 3 (log 2 x))=0
7) Что такое логарифмические неравенства? На чем основано решение логарифмических неравенств?
8) Как решаются логарифмические неравенства вида
log
g(x)
f(x)>b, log
g(x)
f(x)
9) по вариантам решить неравенства (два человека на отворотах доски).
1 вариант.
log 0.3 (2x-4) >log 0.3 (x+1)
2 вариант.
lg (3x-7) ≤ lg(x+1)
4. Учащимся предлагается выполнить тест с последующей проверкой. Тест представлен на экране. После выполнения теста на экран выводится слайд с ответами.
Тест:
первый вариант второй вариант
1.Решить уравнение:
log 0.5 (x 2 -4x-1) = -2 log 0.5 (x 2 -3x+10) = -3
1) -1 и 5; 2) 5; 3) 5 и -1; 4) -1. 1) 1; 2) 1 и 2; 3) 2; 4)-1и 2.
2.Укажите промежуток, которому принадлежит
корень уравнения:
log 2 (7+v) - log 2 (1-v) = 2 log 5 (t+5) – log 5 (t-11) = 1
1) [-7 ; -4]; 2) [-4; -1] 3) [-1 ; 2]; 4) 1) (-5; 0); 2) (0; 3); 3) (3; 8); 4) (10; 16)
3. Решить неравенство:
Log 0.5 (2x+5) > -3 log 0.5 (2x-5)
1) Ø; 2) (-∞; 1,5); 3) (-2,5; 1,5); 4) (-2,5; +∞) 1) Ø; 2) (2,5; 4,5); 3) (4,5; +∞); 4) (-∞; 2,5)
4. Какое из предложенных чисел является решением неравенства:
log √3.5 (x 2 -0,5) √2.5 (x 2 -6,5) > 2
1) -1.9; 2) -√5; 3) 2.3; 4) 5 1) √5/2; 2) 2.7; 3) 3; 4) 3.2
После окончания работы учащиеся сдают тест на отдельных листочках, оставив при этом для проверки номера выбранных ответов. Далее учащимся предоставляется возможность проверить и оценить свою работу.
На экране следующий слайд:
Первый вариант 1 3 3 1
Второй вариант 2 4 3 4
Верно 4 задания - оценка «5»
3 задания - оценка «4»
2 задания - оценка «3»
Другие варианты - «нужно поработать»
III. Закрепление и применение знаний и способов действий.
После того, как вы справились с обязательным уровнем подготовки, предлагаю заняться более интересным делом (цитирую слова Р. Декарта) «Для того, чтобы совершенствовать ум, надо больше размышлять, чем заучивать».
Предлагаю вам поразмышлять над следующими заданиями в группах. Как говориться «одна голова хорошо, а две – лучше».
Каждое ваше правильное решение поможет раскрыть одно мудрое изречение. (Дети работают с карточками в группах по 3-4 человека). Представитель каждой группы дает объяснение решения для всего класса.
На доске постепенно высвечивается высказывание А.В. Суворова «Скорость нужна, а поспешность вредна».
Задания в группах:
1) Решить уравнение:
x log 6 x/6 = 36
2) Решить неравенство:
log 2 3-x (x+0.5)/(x (x-1)) ≤ 0
3) Вычислите абсциссу точки пересечения графиков функций:
y = log 0.3 (x 2 - x - 5) и y = log 0.3 (x/3).
б) учащимся предлагается выполнить дифференцированную самостоятельную работу с последующей проверкой.
I вариант
1.Решить уравнение
log 2 0.5 x -log 0.5 x=6
2. Решить неравенство
lg 2 x+5lgx+9>0
II вариант
1.Решить уравнение
3/(lgx – 2)+2/(lgx – 3)= -4
2. Решить неравенство
lg 2 x 2 +3lgx>1
III вариант
1.Решить уравнение
|1-log 1/9 x|+1 = |2- log 1/9 x|
2. Решить неравенство
log 4 2 x + log 4 √x > 1.5
Выполнив работу, учащиеся сдают ее на проверку. На экран выводятся ответы и краткое решение. Учащимся предлагается проверить и оценить свою работу.
I вариант
1. ОДЗ: x >0, обозначим log 0.5 x=y
Y 2 -y-6=0
y 1 = -2 y 2 = 3
x 1 = 4 x 2 = 1/8
Ответ: x 1 = 4 x 2 = 1/8
2. ОДЗ: x >0, обозначим lg x = y
y 2 +5y+9>0
y – любое
x >0
Ответ: x >0
II вариант
- ОДЗ: x >0, x ≠ 100, x ≠ 1000
lg x – 2 = y
3/y + 2/(y-1) = -4
4y 2 + y – 3 = 0, y ≠ 0, y ≠ 1
D = 49
y 1 = -1 y 2 = 3/4
x 1 = 10 x 2 = 100 4 √1000
Ответ: x 1 = 10 x 2 = 100 4 √1000
- ОДЗ: x >0
lg x = y
4y 2 + 3y – 1 = 0
D = 25
y 1 = -1 y 2 = 1/4
x 1 = 0,1 x 2 = 4 √10
Ответ: x Є (0; 0,1) U (4 √10; +∞)
III вариант
- ОДЗ: x >0
1 – log 1/9 x = y
| y |+1 = | 1+ y |
а) y
б) -1 ≤ y ≤ 0: -y + 1= 1 + y, y = 0
в) y >0: y + 1 = 1 + y, y >0
1 – log 1/9 x ≥ 0
log 1/9 x ≤ 1
x ≥ 1/9
Ответ: x ≥ 1/9
- ОДЗ: x >0
log 4 x = y
2y 2 + y – 3 > 0
D = 25
y 1 = -3/2 y 2 = 1
log 4 x 4 x > 1
Ответ: x Є (0; 1/8) U (4; +∞)
Учащимся предлагается выставить оценку за самостоятельную работу.
IV. Домашнее задание :
Составить тест по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств». Задания могут быть с выбором ответа или с кратким ответом.
V . Итоги урока. Рефлексия.
- Благодаря сегодняшнему уроку, я …
- Сегодняшний урок помог мне …
- Сегодня на уроке мне запомнилось …
- Сегодня на уроке мне больше всего понравилось …
- После сегодняшнего урока мне захотелось …
- Сегодня на уроке я узнал(а) …
- После сегодняшнего урока я буду знать …
- После сегодняшнего урока я хочу сказать …
- Сегодня на уроке я научился …
- Сегодняшний урок дал мне …
Ребята, вы выставили себе оценки за каждый этап урока. Найдите средний балл, это есть предварительный результат вашей работы на уроке.
Довольны ли вы собой, своей работой?
Поднимите, пожалуйста, руку те, чей средний балл «5» или «4». Это результат хороший.
Ребята, а с теми из вас, кто не доволен результатами своей работы по данной теме, у кого есть вопросы, мы с вами встречаемся на дополнительном занятии.
Благодарю вас за урок и до следующей встречи.
Приложения к уроку
Приложение № 1 – презентация
Приложение № 2 – диагностическая карта
Решите уравнения: а) 2 x =3 б) 3 log 3 x =5 в) 7 log 7 x2 =36 г) lg(2x+1)=lgx д) lgx 2 =0 е) lg(x+1)+lg(x-1)=lg3 ж) log 2 (x-4)=3 з) log 3 (x+5)=0 и) log 8 (x 2 -1)=1 к) lg(x-5) =-2 л) log 3 x=5log 3 2-2log 3 2 м) log 2 (log 3 x)=1 н) log π (log 3 (log 2 x))=0
Логарифмические неравенства Что такое логарифмические неравенства? На чем основано решение логарифмических неравенств? Как решаются логарифмические неравенства вида log g (x) f (x)> b , log g (x) f (x) log 0.3(x +1) 2 вариант. lg (3 x -7) ≤ lg (x +1)
первый вариант второй вариант 1.Решить уравнение: log 0.5 (x 2 -4x-1) = -2 log 0.5 (x 2 -3x+10) = -3 1) -1 и 5; 2) 5; 3) 5 и -1; 4) -1. 1) 1; 2) 1 и 2; 3) 2; 4) -1и 2. 2.Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения: log 2 (7+v) - log 2 (1-v) = 2 log 5 (t+5) – log 5 (t-11) = 1 1) [-7 ; -4]; 2) [-4; -1] 3) [-1 ; 2]; 4) 1) (-5; 0); 2) (0; 3); 3) (3; 8); 4) (10; 16) 3. Решить неравенство: log 0.5 (2 x +5) > -3 log 0.5 (2 x -5) 2 1) -1.9; 2) -√5; 3) 2.3; 4) 5 1) √5/2; 2) 2.7; 3) 3; 4) 3.2 Тест
Ответы к тесту Первый вариант 1 3 3 1 Второй вариант 2 4 3 4 Верно 4 задания - оценка «5» 3 задания - оценка «4» 2 задания - оценка «3» Другие варианты - «нужно поработать»
«Для того, чтобы совершенствовать ум, надо больше размышлять, чем заучивать» Р. Декарт
«Скорость нужна, а поспешность вредна» А.В. Суворов Задания в группах: 1) Решить уравнение: x log 6 x /6 = 36 2) Решить неравенство: log 2 3-x (x+0.5)/(x (x-1)) ≤ 0 3) Вычислите абсциссу точки пересечения графиков функций: y = log 0.3 (x 2 - x - 5) и y = log 0.3 (x/3).
Самостоятельная работа I вариант 1.Решить уравнение log 2 0.5 x - log 0.5 x =6 2. Решить неравенство lg 2 x+5lgx+9>0 II вариант 1.Решить уравнение 3/(lgx – 2)+2/(lgx – 3)= -4 2. Решить неравенство lg 2 x 2 + 3lgx > 1 III вариант 1.Решить уравнение |1- log 1/9 x |+1 = |2- log 1/9 x | 2. Решить неравенство log 4 2 x + log 4 √x > 1.5
Проверка самостоятельной работы. I вариант 1. ОДЗ: x >0, обозначим log 0.5 x = y y 2 - y -6=0 y 1 = -2 y 2 = 3 x 1 = 4 x 2 = 1/8 Ответ: x 1 = 4 x 2 = 1/8 2. ОДЗ: x >0, обозначим lg x = y y 2 +5 y +9>0 D 0 Ответ: x >0
Проверка самостоятельной работы. II вариант 1. ОДЗ: x >0, x ≠ 100 , x ≠ 100 0 lg x – 2 = y 3/ y + 2/(y -1) = -4 4 y 2 + y – 3 = 0, y ≠ 0, y ≠ 1 D = 49 y 1 = - 1 y 2 = 3/4 x 1 = 10 x 2 = 100 4√1000 Ответ: x 1 = 10 x 2 = 100 4√1000 2. ОДЗ: x >0 lg x = y 4 y 2 + 3 y – 1 = 0 D = 25 y 1 = -1 y 2 = 1/4 x 1 = 0,1 x 2 = 4√10 Ответ: x Є (0; 0,1) U (4√10; +∞)
Проверка самостоятельной работы. III вариант 1. ОДЗ: x >0 1 – log 1/9 x = y | y |+1 = | 1+ y | а) y 0: y + 1 = 1 + y, y >0 1 – log 1/9 x ≥ 0 log 1/9 x ≤ 1 x ≥ 1/9 Ответ: x ≥ 1/9 2. ОДЗ: x >0 log 4 x = y 2y 2 + y – 3 > 0 D = 25 y 1 = -3/2 y 2 = 1 log 4 x 1 x 4 Ответ: x Є (0; 1/8) U (4 ; +∞)
«Ошибка одного- урок другому» Д. Рей
Информация о домашнем задании Домашнее задание: составить тест по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств». Задания могут быть с выбором ответа или с кратким ответом.
Рефлексия деятельности Благодаря сегодняшнему уроку, я … Сегодняшний урок помог мне … Сегодня на уроке мне запомнилось … Сегодня на уроке мне больше всего понравилось … После сегодняшнего урока мне захотелось … Сегодня на уроке я узнал(а) … После сегодняшнего урока я буду знать … После сегодняшнего урока я хочу сказать … Сегодня на уроке я научился … Сегодняшний урок дал мне …
Слайд 1)
Цель урока:
- организовать деятельность обучающихся по восприятию, осмыслению, первичному запоминанию и закреплению знаний и способов действий;
- повторить свойства логарифмов;
- обеспечить в ходе урока усвоение нового материала по применению теоремы о логарифмических неравенствах при основании a логарифма для случаев: а)0 < a < 1, б) a > 1;
- создать условие для формирования интереса к математике через ознакомление с ролью математики в развитии человеческой цивилизации, в научно-техническом прогрессе.
Структура урока:
1. Организация начала урока.
2. Проверка домашнего задания.
3. Повторение.
4. Актуализация ведущих знаний и способов
действий.
5. Организация усвоения новых знаний и способов
действий.
6. Первичная проверка понимания, осмысления
и закрепления.
7. Домашнее задание.
8. Рефлексия. Итог урока.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
2. Проверка домашнего задания (Приложение , слайд 2)
3. Повторение (Приложение , слайд 4)
4. Актуализация ведущих знаний и способов действий
– На одном из предыдущих уроков у нас возникла ситуация, при которой мы не смогли решить показательное уравнение, что привело к введению нового математического понятия. Мы ввели определение логарифма, изучили свойства и рассмотрели график логарифмической функции. На предыдущих уроках решали логарифмические уравнения с помощью теоремы и свойств логарифмов. Применяя свойства логарифмической функции, мы смогли решить простейшие неравенства. Но описание свойств окружающего нас мира не ограничивается простейшими неравенствами. Как же поступить в том случае, когда мы получим неравенства, с которыми не справиться с имеющимся объемом знаний? Ответ на этот вопрос мы получим на этом и последующих уроках.
5. Организация усвоения новых знаний и способов действий (Приложение , слайды 5-12).
1) Тема, цель урока.
2) (Приложение , слайд 5)
Определение логарифмического неравенства: логарифмическими неравенствами называют неравенства вида и неравенства, сводящиеся к этому виду.
3) (Приложение , слайд 6)
Для решения неравенства проведем следующие рассуждения:
Получаем 2 случая: a
> 1 и 0 < a
< 1.
Если a
>1, то неравенство log a t
> 0 имеет место тогда и только тогда, когда t > 1,
значит , т.е. f
(x
)
> g
(x
)
(учли, что g
(x
)
> 0).
Если 0 < a
< 1, то неравенство log a t
> 0, имеет место тогда и только тогда, когда 0 <
t
< 1, значит ,
т.е. f
(x
) < g
(x
) (учли, что g
(x
)
> 0 и f
(x
) > 0).
(Приложение , слайд 7)
Получаем теорему: если f
(x
) > 0 и g
(x
)
> 0),
то логарифмическое неравенство log a
f
(x
) > log a g
(x
)
равносильно неравенству того же смысла f
(x
)
> g
(x
) при a
> 1
логарифмическое неравенство log a f
(x
)
> log a g
(x
) равносильно
неравенству противоположного смысла f
(x
)
< g
(x
),
если 0 < a
< 1.
4) На практике при решении неравенства переходят к равносильной системе неравенств (Приложение , слайд 8):
5) Пример 1 (Приложение , слайд 9)
Из третьего неравенства следует, что первое неравенство лишнее.
Из третьего неравенства следует, что второе неравенство лишнее.
Пример 2 (Приложение , слайд 10)
Если выполняется второе неравенство, то выполняется и первое (если A > 16, то тем более А > 0). Значит, 16 + 4x – x 2 > 16, x 2 – 4 < 0, x (x – 4) < 0,
Областное государственное автономное
профессиональное общеобразовательное учреждение
«Ютановский агромеханический техникум
имени Евграфа Петровича Ковалевского»
Методическая разработка
урока по математике:
Решение логарифмических
уравнений и неравенств
Выполнила:
преподаватель математики
Тарановская В.П.
2016 год
Тема урока: Решение логарифмических уравнений и неравенств
Цель урока: повторить понятие и свойства логарифма; изучить способы решения логарифмических уравнений и закрепить их при выполнении упражнений.
Задачи:
Обучающие: повторить определение и основные свойства логарифмов, уметь применять их в вычислении логарифмов, в решении логарифмических уравнений;
Развивающие: формировать умение решать логарифмические уравнения;
Воспитательные: воспитывать настойчивость, самостоятельность; прививать интерес к предмету
Тип урока: урок изучения нового материала.
Пед. технологии: информационно-коммуникационные, коллективная система обучения – вариационная пара, разноуровневое обучение.
Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, экран.
Структура и ход урока:
Организационный момент.
Проверка готовности обучающихся и кабинета к занятию. Объявление темы.
Устная работа.
Закрепление понятия логарифма, повторение его основных свойств и свойств логарифмической функции:
1. Разминка по теории :
1. Дайте определение логарифма.
2. От любого ли числа можно найти логарифм?
3. Какое число может стоять в основании логарифма?
4. Функция y =log 0,8 x является возрастающей или убывающей? Почему?
5. Какие значения может принимать логарифмическая функция?
6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?
7. Назовите основные свойства логарифмов.
8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать?
2. Работа по карточка :
3. Фронтальный опрос класса (сопровождается слайдами презентации)
Вычислить:
| l оg 3 √3 log 7 1 log 5 (1 / 625) log 2 11 - log 2 44 | log 8 14 + log 8 32/7 log 3 5 ∙ log 5 3 5 log 5 49 8 l о g 8 5 - 1 25 – log 5 10 |
4. Сравнить числа :
log ½ е и log ½ π;
log 2 √5/2 и log 2 √3/2.
5. Выяснить знак выражения log 0,8 3 · log 6 2/3
Изучение нового материала:
Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.
Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение .
Способы решения логарифмических уравнений:
Решение уравнений на основании определения логарифма
Метод потенцирования
Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества
Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию
Группа делиться на микрогруппы по 4 человека. Каждый из четырех членов группы выбирает один из способов решения, разбирается с ним (при затруднении можно обратиться к преподавателю), проводит взаимообучение с остальными тремя товарищами. Далее вместе прорешивают четыре примера, ответы проверяются у преподавателя.
Решение уравнений на основании определения логарифма.
Имеет решение .
На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:
по данным основаниям и числу определяется логарифм,
по данному логарифму и основанию определяется число,
по данному числу и логарифму определяется основание.
| Пример 1 | Пример 2 | Пример 3 |
| Ответ: 7 | Ответ: 8 | Ответ: 3 |
Метод потенцирования.
Под потенцированием
понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т.е. 
, то , при условии, что .
Пример:
Решите уравнение 
| Неверно Ответ : решений нет. |
|
Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества.
Пример:
Решите уравнение 
|
– не принадлежит ОДЗ – принадлежит ОДЗ Ответ : х =2 |
|
Папка содержит опорные конспекты к уроку, лист самоконтроля, технологическую карту урока, самоанализ урока, презентацию к уроку. Урок был показан на районном семинаре учителей математики и получил высокую оценку.
«1. Опорный конспект - Виды неравенств и их решение»
Опорный конспект №1 «Виды неравенств и их решение»
| Вид неравенства | Решение |
| Линейные |
|
| Квадратичные
| Графический метод: 1.Находим корни уравнения 2.Строим на координатной прямой модель параболы ( a 0, ветви вверх; а 3.Записываем промежутки в ответ. |
| Рациональные f(x) 0, f(x) где f(x) – рациональное выражение. Частные случаи:
{n – чётное, знаки не меняются} | Метод интервалов: 1) Представить левую часть неравенства в виде функции у = f(x). 2) Найти область определения функции (при которой эта функция имеет смысл). 3) Найти корни функции (нули функции). 4) Определить интервалы знакопостоянства. 5) Определить знак функции на каждом интервале. 6) Выписать значения х, при которых неравенство верно. |
| 1)
| 
|
|
|
|
| Иррациональные с чётной степенью
|
|
| Иррациональные с нечётной степенью
|
|
| Показательные
  |
|
| Логарифмические
|  |
| Тригонометрические
:
| При решении используют тригонометрическую окружность или график соответствующей функции |
| С модулем: 1) |x | a 2) |x |a | 1) -a 2) |
{
в знаменателе – выколотые точки}
Просмотр содержимого документа
«4. Опорный конспект -Логарифмы »
Опорный конспект №4
Определение:
Логарифмом положительного числа b по положительному и не равному единице основанию а называется показатель степени, в который нужно возвести число а , чтобы получить b .
О
сновные логарифмические тождества:
Логарифмическая функция: , где
Просмотр содержимого документа
«Технологическая карта»
Технологическая карта урока
| Мелехина Галина Васильевна , учитель математики МАОУ «Платошинская средняя школа». |
||
| Предмет | Математика |
|
| Класс | 11 (профильная группа) |
|
| Тип урока | Урок повторения, систематизации и дополнения знаний. |
|
| Форма урока | Урок-практикум с элементами исследования. |
|
| Формы организации учебной деятельности | Фронтальная, коллективная, парная. |
|
| Техническое обеспечение | Компьютер, проектор, презентация. |
|
| Методы обучения | Частично-поисковый, рефлексивный. |
|
| Тема | Решение логарифмических неравенств. Метод рационализации. |
|
| Цели | Образовательные : закрепление и систематизация знаний о логарифмических неравенствах. Развивающие: формирование у учащихся навыков решения логарифмических неравенств различными методами, применение знаний при решении заданий С3 ЕГЭ, развитие умений нахождения рационального способа решения, формирование УУД. Воспитательные: воспитание уверенности, культуры устной и письменной речи, ответственности, интереса к предмету. |
|
| Литература | Алгебра и начала математического анализа. 11класс. В 2 ч. Ч.1.Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов – М. : Мнемозина, 2008.-287с. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Математика. ЕГЭ 2011(типовые задания С3).Методы решения неравенств с одной переменной. Лысенко Ф.Ф., Кулобухова С.Ю. Математика. Неравенства (профильный уровень), тренажёр. – Ростов-на-Дону: Легион, 2015г. Мастер-класс по теме «Неравенства», ЕГЭ-студия Анны Малковой (г.Москва). |
|
| Планируемые результаты |
||
| Предметные умения : 1.Знание различных методов решения логарифмических неравенств: Сведение неравенств к равносильной системе или совокупности систем; Расщепление неравенств; Метод интервалов; Введение новой переменной; Метод рационализации. | Личностные УУД: Самоопределение; определять правила работы в парах; Применять волевую саморегуляцию (мобилизация на решение проблемы); - Регулятивные УУД: Определять и формулировать цель деятельности на уроке; Проговаривать последовательность действий на уроке; работать по плану, инструкции; Высказывать свое предположение на основе учебного материала; Осуществлять самоконтроль и взаимоконтроль; Уметь самостоятельно контролировать своё время и управлять им. Познавательные УУД: Находить ответы на вопросы поставленные учителем; Проводить анализ учебного материала; Проводить, сравнение, классификацию, указывая на основания классификации; Создавать и преобразовывать модели и схемы для решения неравенств; Находить рациональные методы решения. Коммуникативные УУД: Слушать и понимать речь других; - умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли; Владеть монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка. |
|
Дидактические задачи этапов урока
| Этапы урока | Время | Дидактические задачи |
| Организационный момент | Обеспечение комфортных условий для работы на уроке: создание благоприятной психологической атмосферы, настрой на совместную работу. |
|
| Постановка учебных целей, формулировка темы урока | Обеспечение мотивации для принятия обучающимися цели учебно-познавательной деятельности. Создание условий для формулировки цели урока и постановки учебных задач. |
|
| Повторение теоретической базы | Обеспечение восприятия, осмысления и запоминания знаний, связей и отношений в объекте изучения. |
|
| Актуализация опорных знаний | Активизация соответствующих мыслительных операций и познавательных процессов. |
|
| Практикум по решению неравенств | Систематизация умений применять различные методы решения неравенства, построение алгоритма решения. |
|
| Исследование | Постановка проблемы, осмысление, вывод нового знания. |
|
| Первичное закрепление | Первичный контроль усвоения нового знания, коррекция усвоения. |
|
| Рефлексия учебной деятельности | Анализ и оценка успешности достижения цели; выявление качества и уровня овладения знаниями. |
|
| Итог урока | Постановка учебной задачи для домашнего задания. |
Технология изучения
| Этапы урока | Формируемые умения | Деятельность учителя | Деятельность учащихся |
| Организационный момент | Личностные УУД: самоопределение | Девиз: «Секрет успеха - в мелочах» Вопрос: Какого успеха хотели бы вы добиться и от каких мелочей он будет зависеть? (сл. №1) | Учащиеся отвечают на вопрос. |
| Постановка учебных целей, формулировка темы урока | Регулятивные УУД: уметь определять и формулировать цель деятельности на уроке. Коммуникативные УУД: четко и ясно излагать свои мысли. | Анализ домашнего задания. Какие виды неравенств вызвали наибольшие затруднения? Назовите причины. Как справиться с проблемой? Остановимся сегодня на неравенствах, содержащих логарифмические выражения. Опираясь на наш девиз, сформулируйте тему и цель урока. Учитель, если нужно, корректирует ответы учащихся. Запишите число и тему урока в тетради. | Учащиеся отвечают на вопросы. Учащиеся предлагают свои варианты и проговаривают тему и цели урока. Тема: «Решение логарифмических неравенств». Цели: распределять время; правильно оформлять работу; выработать волевую саморегуляцию (умение мобилизировать себя на решение проблемы) |
| Повторение теоретической базы | Регулятивные УУД: адекватно самостоятельно оценивать правильность выполнения действий; уметь самостоятельно контролировать своё время и управлять им. | Учитель предлагает вспомнить: основные виды неравенств и способы их решения (опорный конспект №1); равносильные преобразования при решении неравенств (ОК №2); методы решения неравенств (ОК №3); понятие логарифма, логарифмическую функцию (ОК №4). | Учащиеся индивидуально работают с опорными конспектами: Заполняют лист самоконтроля (блок «Теоретическая база»). Время выполнения – 4 мин. |
| Актуализация опорных знаний | Регулятивные УУД: Контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона; Коррекция - внесение необходимых дополнений и корректив в план и способ действия в случае расхождения эталона, реального действия и его результата. | (сл. №4 - 6) Учитель предлагает выполнить задания для закрепления теоретического материала: Преобразуйте выражения, используя свойства логарифмов:
Представьте число в виде логарифма с основанием 2: а) 4 б) 0 в) - 5 Вычислите выражения:
Х существует логарифм:
| Учащиеся индивидуально выполняют задания в тетради с последующей самопроверкой (сл. №4-6). Заполняют лист самоконтроля (блок «Повторение»). Время выполнения – 8 мин. |
| Практикум по решению неравенств | Познавательные УУД: создавать и преобразовывать модели и схемы для решения задач; строить логическое рассуждение. осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий. Коммуникативные УУД: аргументировать свою точку зрения; использовать адекватные языковые средства для отображения своих чувств, мыслей, мотивов и потребностей; умение выражать мысли, в письменной и устной форме. работать в парах - устанавливать рабочие отношения, эффективно сотрудничать и способствовать формированиювыраженной устойчивой учебно-познавательной мотивации и интереса к учению. Предметные результаты: Решение логарифмических неравенств методом равносильного перехода, расщепления неравенств, методом интервалов, введения новой переменно. | Вторая цель урока: вспомнить методы решения логарифмических неравенств. З - Запишите модель решения простого логарифмического неравенства: Р Задание: Вам предстоит решить 5 неравенств разными методами. От чего зависит успех решения неравенства? Успех решения зависит от того, видим ли мы план решения. Я предлагаю каждой паре выбрать одно неравенство и составить (устно) план решения этого неравенства, а потом озвучить его так, чтобы остальные справились с этим неравенством самостоятельно. На слайде есть подсказки. Время составления плана – 1 минута. Решите неравенства самостоятельно.
Время выполнения – 10 мин. П
| Устно отвечают на вопрос. Записывают в тетрадь модель. Работа в парах Отвечают на вопрос. Учащиеся в группах обсуждают и составляют план решения одного неравенства. Рассказывают план решения. Решают неравенства самостоятельно предложенным способом. Задают вопросы учителю (если возникли). Самопроверка (сравнение с образцом на слайде). Заполняют лист самоконтроля (блок «Практикум по решению неравенств»). |
| Исследование | Логические универсальные действия : Анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, и несущественных); Синтез - составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов; Выбор оснований и критериев для сравнения, классификации объектов; Подведение под понятие, выведение следствий; Установление причинно-следственных связей; Построение логической цепи рассуждений; Доказательство; Выдвижение гипотез и их обоснование. | Вернёмся к домашнему заданию, неравенство №14 у вас вызвало затруднение? Давайте попробуем вместе составить план решения этого неравенства. (сл. № 14) Есть другой способ, который позволяет освободиться от логарифма в неравенстве. Он называется – метод рационализации. Этот метод основан на серии теорем, сегодня мы познакомимся с одной из них. Теорема на слайде. Докажем теорему. (сл №15) - | Учащиеся вместе с учителем обговаривают план решения неравенства. Учащиеся записывают теорему в тетрадь. Вместе с учителем обсуждают доказательство теоремы, делают записи в тетради. Учащиеся формулируют вывод:
|
| Первичное закрепление | Предметные результаты: Решение логарифмических неравенств методом рационализации; анализ и сравнение методов решения; закрепление знаний во внешней речи и знаковой форме. | Задания для закрепления: Решите неравенства новым рациональным методом.
Время выполнения 8 мин. | Учащиеся решают уравнения методом рационализации и проверяют решения по образцу, корректируют решения. З |
| Рефлексия учебной деятельности | Коммуникативные УУД: уметь устно выражать свои мысли. ЛичностныеУУД: устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом. Регулятивные УУД: выделять и осознавать то, что уже усвоено и что нужно еще усвоить. | Учитель предлагает учащимся оценить свою работу на уроке: Подсчитайте количество + на листе самоконтроля. | Учащиеся отвечают на вопросы и задают интересующие вопросы по данному уроку учителю. Учащиеся выставляют отметки в дневники. |
| Итог урока | Какие цели урока выполнили? Какие дальнейшие планы? -
| Учащиеся анализируют цели урока. Проговаривают план дальнейших действий. Записывают домашнее задание. |
адание:
дополните предложение:
абота в парах
роверка:
сл. № 9 – 13.
сделайте вывод,
для чего мы доказали эту теорему?
аполняют лист самоконтроля (блок «Первичное закрепление метода рационализации»).
Запишите домашнее задание: решите неравенства новым методом.
Просмотр содержимого документа
«2. Опорный конспект - Равносильные преобразования»
Определение: два неравенства с одной переменной называются равносильными, если их решения совпадают.
Равносильные преобразования:
f (x ) g (x ), если а 1;
f (x ) g (x ), если 0 а
f (x ) g (x ), если а 1;
f (x ) g (x ), если 0 а
положительное при всех Х из ОДЗ неравенства, сохранив при этом знак неравенства, то получится неравенство f (x )h (x ) g (x )h (x ), равносильное данному;
если обе части неравенства f (x ) g (x ) умножить на выражение h (x ), отрицательное при всех Х из ОДЗ неравенства, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство f (x )h (x ) g (x )h (x ), равносильное данному;
если обе части неравенства f (x ) g (x ) возвести в одну и ту же нечётную степень
если обе части неравенства f (x ) g (x ) неотрицательны на ОДХ, то после возведения обеих частей в одну и ту же чётную степень n , сохранив при этом знак неравенства, то получится неравенство f n (x ) g n (x ), равносильное данному;
показательное неравенство a f (x ) a g (x ) равносильно неравенству:
логарифмическое неравенство log a f (x ) log a g (x ), где f (x ) 0 и g (x ) 0, равносильно неравенству:
Совокупность неравенств
Решение совокупности: объединение решений всех неравенств в совокупности.
Система неравенств
Решение системы: пересечение решений всех неравенств в системе.
Просмотр содержимого документа
«3. Опорный конспект - Методы решения неравенств»
Опорный конспект №3
«Методы решения неравенств»
Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем
Неравенства, содержащие Неравенства, содержащие
иррациональные выражения выражения с модулем
Неравенства, содержащие показательные выражения (потенцирование)
Неравенства, содержащие логарифмические выражения (логарифмирование)
Метод расщепление неравенств
Метод замены
Обобщённый метод интервалов
Будем рассматривать неравенства вида f
(x
) 0, где f
(x
) - логарифмическая, показательная, иррациональная или тригонометрическая функция. Наши действия будут такими:
1) Находим область определения f
(x
) 2) Находим нули f(x)
3) Определяем знаки на ОДЗ (которая разделена на промежутки нулями функции), подставляя удобные значения, принадлежащие каждому промежутку. 4) Записываем ответ, указывая объединение промежутков (из ОДЗ), на которых f
(x
) имеет соответствующий знак.
Просмотр содержимого документа
«Лист самоконтроля»
Лист самоконтроля
Ф.И. _________________________________________
| Задание | Отметка (+) |
| Теоретическая база |
|
| Опорный конспект №2 «Равносильность неравенств» | |
| Опорный конспект №3 «Методы решения неравенств» | |
| Опорный конспект №4 «Понятие логарифма. Логарифмическая функция» | |
| Повторение |
|
| Вычисление логарифмов. | |
|
|
|
| Неравенство №1 | |
| Неравенство №2 | |
| Неравенство №3 | |
| Неравенство №4 | |
| Неравенство №5 | Самоанализ урока |
1 функция __________, знак неравенства _______ при 0 монотонность логарифмической функции возрастает не меняем убывает меняем" width="640"
0 метод интервалов расщепление неравенства другой способ метод интервалов расщепление неравенства другой способ к основанию 5 в левую часть разность квадратов другой способ – метод интервалов расщепление неравенства другой способ – метод рационализации метод рационализации Теорема: выражения log а b и (b – 1)(а – 1) имеют одинаковые знаки на ОДЗ логарифма" width="640"
