Функциональная зависимость и корреляция . Еще Гиппократ в VI в. до н. э. обратил внимание на наличие связи между телосложением и темпераментом людей, между строением тела и предрасположенностью к тем или иным заболеваниям. Определенные виды подобной связи выявлены также в животном и растительном мире. Так, существует зависимость между телосложением и продуктивностью у сельскохозяйственных животных; известна связь между качеством семян и урожайностью культурных растений и т.д. Что же касается подобных зависимостей в экологии, то существуют зависимости между содержанием тяжелых металлов в почве и снежном покрове от их концентрации в атмосферном воздухе и т.п. Поэтому естественно стремление использовать эту закономерность в интересах человека, придать ей более или менее точное количественное выражение.
Как известно, для описания связей между переменными величинами применяют математические понятие функции f , которая ставит в соответствие каждому определенному значению независимой переменной x определенное значение зависимой переменной y , т.е. . Такого рода однозначные зависимости между переменными величинамиx и y называют функциональными . Однако такого рода связи в природных объектах встречаются далеко не всегда. Поэтому зависимость между биологическими, а также и экологическими признаками имеет не функциональный, а статистический характер, когда в массе однородных индивидов определенному значению одного признака, рассматриваемого в качестве аргумента, соответствует не одно и то же числовое значение, а целая гамма распределяющихся в вариационный ряд числовых значений другого признака, рассматриваемого в качестве зависимой переменной, или функции. Такого рода зависимость между переменными величинами называется корреляционной или корреляцией..
Функциональные связи легко обнаружить и измерить на единичных и групповых объектах, однако этого нельзя проделать с корреляционными связями, которые можно изучать только на групповых объектах методами математической статистики. Корреляционная связь между признаками бывает линейной и нелинейной, положительной и отрицательной. Задача корреляционного анализа сводится к установлению направления и формы связи между варьирующими признаками, измерению ее тесноты и, наконец, к проверке достоверности выборочных показателей корреляции.
Зависимость между переменными X и Y можно выразить аналитически (с помощью формул и уравнений) и графически (как геометрическое место точек в системе прямоугольных координат). График корреляционной зависимости строят по уравнению функции или, которая называетсярегрессией . Здесь и– средние арифметические, найденные при условии, чтоX или Y примут некоторые значения x или y . Эти средние называются условными .
11.1. Параметрические показатели связи
Коэффициент корреляции . Сопряженность между переменными величинами x и y можно установить, сопоставляя числовые значения одной из них с соответствующими значениями другой. Если при увеличении одной переменной увеличивается другая, это указывает на положительную связь между этими величинами, и наоборот, когда увеличение одной переменной сопровождается уменьшением значения другой, это указывает на отрицательную связь .
Для характеристики связи, ее направления и степени сопряженности переменных применяют следующие показатели:
линейной зависимость – коэффициент корреляции ;
нелинейный – корреляционной отношение .
Для определения эмпирического коэффициента корреляции используют следующую формулу:
. (1)
Здесь s x и s y – средние квадратические отклонения.
Коэффициент корреляции можно вычислить, не прибегая к расчету средних квадратических отклонений, что упрощает вычислительную работу, по следующей аналогичной формуле:
. (2)
Коэффициент корреляции – безразмерное число, лежащее в пределах от –1 до +1. При независимом варьировании признаков, когда связь между ними полностью отсутствует, . Чем сильнее сопряженность между признаками, тем выше значение коэффициента корреляции. Следовательно, приэтот показатель характеризует не только наличие, но и степень сопряженности между признаками. При положительной или прямой связи, когда большим значениям одного признака соответствуют большие же значения другого, коэффициент корреляции имеет положительный знак и находится в пределах от 0 до +1, при отрицательной или обратной связи, когда большим значениям одного признака соответствуют меньшие значения другого, коэффициент корреляции сопровождается отрицательным знаком и находится в пределах от 0 до –1.
Коэффициент корреляции нашел широкое применение в практике, но он не является универсальным показателем корреляционных связей, так как способен характеризовать только линейные связи, т.е. выражаемые уравнением линейной регрессии (см. тему 12). При наличии нелинейной зависимости между варьирующими признаками применяют другие показатели связи, рассмотренных ниже.
Вычисление коэффициента корреляции . Это вычисление производят разными способами и по-разному в зависимости от числа наблюдений (объема выборки). Рассмотрим отдельно специфику вычисления коэффициента корреляции при наличии малочисленных выборок и выборок большого объема.
Малые выборки . При наличии малочисленных выборок коэффициент корреляции вычисляют непосредственно по значениям сопряженных признаков, без предварительной группировки выборочных данных в вариационные ряды. Для этого служат приведенные выше формулы (1) и (2). Более удобными, особенно при наличии многозначных и дробных чисел, которыми выражаются отклонения вариант х i и y i от средних и, служат следующие рабочие формулы:
где ;
;
Здесь x i и y i – парные варианты сопряженных признаков x и y ; и –средние арифметические;– разность между парными вариантами сопряженных признаковx и y ; n – общее число парных наблюдений, или объем выборочной совокупности.
Эмпирический коэффициент корреляции, как и любой другой выборочный показатель, служит оценкой своего генерального параметра ρ и как величина случайная сопровождается ошибкой:
Отношение выборочного коэффициента корреляции к своей ошибке служит критерием для проверки нулевой гипотезы – предположения о том, что в генеральной совокупности этот параметр равен нулю, т.е. . Нулевую гипотезу отвергают на принятом уровне значимостиα , если
Значения критических точек t st для разных уровней значимости α и чисел степеней свободы приведены в табл.1 Приложений.
Установлено, что при обработке малочисленных выборок (особенно когда n < 30 ) расчет коэффициента корреляции по формулам (1) – (3) дает несколько заниженные оценки генерального параметра ρ , т.е. необходимо внести следующую поправку:
z-преобразование Фишера . Правильное применение коэффициента корреляции предполагает нормальное распределение двумерной совокупности сопряженных значений случайных величин x и y . Из математической статистики известно, что при наличии значительной корреляции между переменными величинами, т.е. когда R xy > 0,5 выборочное распределение коэффициента корреляции для большего числа малых выборок, взятых из нормально распределяющейся генеральной совокупности, значительно отклоняются от нормальной кривой.
Учитывая это обстоятельство, Р. Фишер нашел более точный способ оценки генерального параметра по значению выборочного коэффициента корреляции. Этот способ сводится к замене R xy преобразованной величиной z, которая связана с эмпирическим коэффициентом корреляции, следующим образом:
Распределение величины z является почти неизменным по форме, так как мало зависит от объема выборки и от значения коэффициента корреляции в генеральной совокупности, и приближается к нормальному распределению.
Критерием достоверности показателя z является следующее отношение:
Нулевая гипотеза отвергается на принятом уровне значимости α и числе степеней свободы . Значения критических точекt st приведены в табл.1 Приложений.
Применение z-преобразования позволяет с большей уверенностью оценивать статистическую значимость выборочного коэффициента корреляции, а также и разность между эмпирическими коэффициентами , когда в этом возникает необходимость.
Минимальный объем выборки для точной оценки коэффициента корреляции. Можно рассчитать объем выборки для заданного значения коэффициента корреляции, который был бы достаточен для опровержения нулевой гипотезы (если корреляция между признаками Y и X действительно существует). Для этого служит следующая формула:
где n – искомый объем выборки; t – величина, заданная по принятому уровню значимости (лучше для α = 1%); z – преобразованный эмпирический коэффициент корреляции.
Большие выборки . При наличии многочисленных исходных данных их приходится группировать в вариационные ряды и, построив корреляционную решетку, разность по ее клеткам (ячейкам) общие частоты сопряженных рядов. Корреляционная решетка образуется пересечением строк и столбцов, число которых равно числу групп или классов коррелируемых рядов. Классы располагаются в верхней строке и в первой (слева) столбце корреляционной таблицы, а общие частоты, обозначаемые символом f xy , – в клетках корреляционной решетки, составляющей основную часть корреляционной таблицы.
Классы, помещенные в верхней строке таблицы, обычно располагаются слева направо в возрастающем порядке, а в первом столбце таблицы – сверху вниз в убывающем порядке. При таком расположении классов вариационных рядов их общие частоты (при наличии положительной связи между признаками Y и X ) будут распределяться по клеткам решетки в виде эллипса по диагонали от нижнего левого угла к верхнему правому углу решетки или (при наличии отрицательной связи между признаками) в направлении от верхнего левого угла к нижнему правому углу решетки. Если же частоты f xy распределяются по клеткам корреляционной решетки более или менее равномерно, не образуя фигуры эллипса, это будет указывать на отсутствие корреляции между признаками.
Распределение частот f xy по клеткам корреляционной решетки дает лишь общее представление о наличии или отсутствии связи между признаками. Судить о тесноте или менее точно лишь по значению и знаку коэффициента корреляции . При вычислении коэффициента корреляции с предварительной группировки выборочных данных в интервальные вариационные ряды не следует брать слишком широкие классовые интервалы. Грубая группировка гораздо сильнее сказывается на значении коэффициента корреляции, чем это имеет место при вычислении средних величин и показателей вариации.
Напомним, что величина классового интервала определяется по формуле
где x max , x min – максимальная и минимальная варианты совокупности; К – число классов, на которые следует разбить вариацию признака. Опыт показал, что в области корреляционного анализа величину К можно поставить в зависимость от объема выборки примерно следующим образом (табл.1).
Таблица 1
Объем выборки |
Значение К |
50 ≥ n > 30 | |
100 ≥ n > 50 | |
200 ≥ n > 100 | |
300 ≥ n > 200 |
Как и другие статистические характеристики, вычисляемые с предварительной группировкой исходных данных в вариационные ряды, коэффициент корреляции определяют разными способами, дающими совершенно идентичные результаты.
Способ произведений . Коэффициент корреляции можно вычислить используя основные формулы (1) или (2), внеся в них поправку на повторяемость вариант в димерной совокупности. При этом, упрощая символику, отклонения вариант от их средних обозначим через а , т.е. и. Тогда формула (2) с учетом повторяемости отклонений примет следующее выражение:
Достоверность этого показателя оценивается с помощью критерия Стьюдента, который представляет отношение выборочного коэффициента корреляции к своей ошибке, определяемой по формуле
Отсюда и если эта величина превышает стандартное значение критерия Стьюдентаt st для степени свободы и уровне значимостиα (см. Таблицу 2 Приложений), то нулевую гипотезу отвергают.
Способ условных средних . При вычислении коэффициента корреляции отклонения вариант (“классов”) можно находить не только от средних арифметических и, но и от условных средних А х и A y . При этом способе в числитель формулы (2) вносят поправку и формула приобретает следующий вид:
где f xy – частоты классов одного и другого рядов распределения; и, т.е. отклонения классов от условных средних, отнесенные к величине классовых интерваловλ ; n – общее число парных наблюдений, или объем выборки; и– условные моменты первого порядка, гдеf x – частоты ряда Х , а f y – частоты ряда Y ; s x и s y – средние квадратические отклонения рядов X и Y , вычисляемые по формуле .
Способ условных средних имеет преимущество перед способом произведений, так как позволяет избегать операции с дробными числами и придавать один и тот же (положительный) знак отклонениям a x и a y , что упрощает технику вычислительной работы, особенно при наличии многозначных чисел.
Оценка разности между коэффициентами корреляции . При сравнении коэффициентов корреляции двух независимых выборок нулевая гипотеза сводится к предположению о том, что в генеральной совокупности разница между этими показателями равна нулю. Иными словами, следует исходить из предположения, что разница, наблюдаемая между сравниваемыми эмпирическими коэффициентами корреляции, возникла случайно.
Для проверки нулевой гипотезы служит t-критерий Стьюдента, т.е. отношение разности между эмпирическими коэффициентами корреляции R 1 и R 2 к своей статистической ошибке, определяемой по формуле:
где s R1 и s R2 – ошибки сравниваемых коэффициентов корреляции.
Нулевая гипотеза опровергается при условии, что для принятого уровне значимостиα и числе степеней свободы .
Известно, что более точную оценку достоверности коэффициента корреляции получают при переводе R xy в число z . Не является исключением и оценка разности между выборочными коэффициентами корреляции R 1 и R 2 , особенно в тех случаях, когда последние вычислены на выборках сравнительно небольшого объема (n < 100 ) и по своему абсолютному значению значительно превышают 0,50.
Разность оценивают с помощью t-критерия Стьюдента, который строят по отношению этой разности к своей ошибке, вычисляемой по формуле
Нулевую гипотезу отвергают, если дляи принятого уровня значимостиα.
Корреляционное отношение . Для измерения нелинейной зависимости между переменными x и y используют показатель, который называют корреляционным отношением , который описывает связь двусторонне. Конструкция корреляционного отношения предполагает сопоставление двух видов вариации: изменчивости отдельных наблюдений по отношению к частным средним и вариации самих частных средних по сравнению с общей средней величиной. Чем меньшую часть составит первый компонент по отношению ко второму, тем теснота связи окажется большей. В пределе, когда никакой вариации отдельных значений признака возле частных средних не будет наблюдаться, теснота связи окажется предельно большой. Аналогичным образом, при отсутствии изменчивости частных средних теснота связи окажется минимальной. Так как это соотношение вариации может быть рассмотрено для каждого из двух признаков, получается два показателя тесноты связи – h yx и h xy . Корреляционное отношение является величиной относительной и может принимать значения от 0 до 1. При этом коэффициенты корреляционного отношения обычно не равны друг другу, т.е. . Равенство между этими показателями осуществимо только при строго линейной зависимости между признаками. Корреляционное отношение является универсальным показателем: оно позволяет характеризировать любую форму корреляционной связи – и линейную, и нелинейную.
Коэффициенты корреляционного отношения h yx и h xy определяют рассмотренными выше способами, т.е. способом произведений и способом условных средних.
В статье рассматриваются определения корреляции,корреляционного анализа и коэффициента корреляции. Дается определение корреляционной связи и ее основных характеристик.
- Корреляционно-регрессионный анализ в исследовании факторов рождаемости
- Оценка факторов рождаемости в Республике Башкортостан
Исследователей нередко интересует, как связаны между собой две или большее количество переменных в одной или нескольких изучаемых выборках. Например, такая связь может наблюдаться между погрешностью аппаратной обработки экспериментальных данных и величиной скачков сетевого напряжения. Другим примером может служить связь между пропускной способностью канала передачи данных и соотношением сигнал/шум.
В 1886 году английский естествоиспытатель Френсис Гальтон для обозначения характера подобного рода взаимодействий ввёл термин «корреляция». Позже его ученик Карл Пирсон разработал математическую формулу, позволяющую дать количественную оценку корреляционным связям признаков.
Зависимости между величинами (факторами, признаками) разделяют на два вида: функциональную и статистическую.
При функциональных зависимостях каждому значению одной переменной величины соответствует определенное значение другой переменной. Кроме того, функциональная связь двух факторов возможна только при условии, что вторая величина зависит только от первой и не зависит ни от каких других величин. В случае зависимости величины от множества факторов, функциональная связь возможна, если первая величина не зависит ни от каких других факторов, кроме входящих в указанное множество.
При статистической зависимости изменение одной из величин влечёт изменение распределения других величин, которые с определенными вероятностями принимают некоторые значения.
Значительно больший интерес представляет другой частный случай статистической зависимости, когда существует взаимосвязь значений одних случайных величин со средним значением других, при той особенности, что в каждом отдельном случае любая из взаимосвязанных величин может принимать различные значения.
Такого рода зависимость между переменными величинами называется корреляционной, или корреляцией.
Корреляционный анализ - метод, позволяющий обнаружить зависимость между несколькими случайными величинами.
Корреляционный анализ решает две основные задачи:
- Первая задача заключается в определении формы связи, т.е. в установлении математической формы, в которой выражается данная связь. Это очень важно, так как от правильного выбора формы связи зависит конечный результат изучения взаимосвязи между признаками.
- Вторая задача состоит в измерении тесноты, т.е. меры связи между признаками с целью установить степень влияния данного фактора на результат. Она решается математически путем определения параметров корреляционного уравнения.
Затем проводятся оценка и анализ полученных результатов при помощи специальных показателей корреляционного метода (коэффициентов детерминации, линейной и множественной корреляции и т.д.), а также проверка существенности связи между изучаемыми признаками.
Методами корреляционного анализа решаются следующие задачи:
- Взаимосвязь. Есть ли взаимосвязь между параметрами?
- Прогнозирование. Если известно поведение одного параметра, то можно предсказать поведение другого параметра, коррелирующего с первым.
- Классификация и идентификация объектов. Корреляционный анализ помогает подобрать набор независимых признаков для классификации.
Корреляция - статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). Суть ее заключается в том, что при изменении значения одной переменной происходит закономерное изменение (уменьшению или увеличению) другой переменной.
Для определения наличия взаимосвязи между двумя свойствами используется коэффициент корреляции.
Коэффициент корреляции р для генеральной совокупности, как правило, неизвестен, поэтому он оценивается по экспериментальным данным, представляющим собой выборку объема n пар значений (x i , y i), полученную при совместном измерении двух признаков Х и Y. Коэффициент корреляции, определяемый по выборочным данным, называется выборочным коэффициентом корреляции (или просто коэффициентом корреляции). Его принято обозначать символом r.
К основным свойствам коэффициента корреляции относятся:
- Коэффициенты корреляции способны характеризовать только линейные связи, т.е. такие, которые выражаются уравнением линейной функции. При наличии нелинейной зависимости между варьирующими признаками следует использовать другие показатели связи.
- Значения коэффициентов корреляции – это отвлеченные числа, лежащее в пределах от -1 до +1, т.е. -1 < r < 1.
- При независимом варьировании признаков, когда связь между ними отсутствует, r = 0 .
- При положительной, или прямой, связи, когда с увеличением значений одного признака возрастают значения другого, коэффициент корреляции приобретает положительный (+) знак и находится в пределах от 0 до +1, т.е. 0 < r < 1.
- При отрицательной, или обратной, связи, когда с увеличением значений одного признака соответственно уменьшаются значения другого, коэффициент корреляции сопровождается отрицательным (–) знаком и находится в пределах от 0 до –1, т.е. -1 < r <0.
- Чем сильнее связь между признаками, тем ближе величина коэффициента корреляции к ô1ô. Если r = ± 1, то корреляционная связь переходит в функциональную, т.е. каждому значению признака Х будет соответствовать одно или несколько строго определенных значений признака Y.
- Только по величине коэффициентов корреляции нельзя судить о достоверности корреляционной связи между признаками. Этот параметр зависит от числа степеней свободы k = n –2, где: n – число коррелируемых пар показателей Х и Y. Чем больше n, тем выше достоверность связи при одном и том же значении коэффициента корреляции.
Рассчитывается коэффициент корреляции по следующей формуле:
где x - значение факторного признака; y - значение результативного признака; n - число пар данных.
Корреляция изучается на основании экспериментальных данных, представляющих собой измеренные значения x i ,y i двух признаков x,y. Если экспериментальных данных сравнительно немного, то двумерное эмпирическое распределение представляется в виде двойного ряда значений x i ,y i . При этом корреляционную зависимость между признаками можно описывать разными способами. Соответствие между аргументом и функцией может быть задано таблицей, формулой, графиком и т. д.
Когда исследуется корреляция между количественными признаками, значения которых можно точно измерить в единицах метрических шкал, то очень часто принимается модель двумерной нормально распределенной генеральной совокупности. Такая модель отображает зависимость между переменными величинами x и y графически в виде геометрического места точек в системе прямоугольных координат. Эта графическая зависимость называется диаграммой рассеивания или корреляционным полем.
Данная модель двумерного нормального распределения (корреляционное поле) позволяет дать наглядную графическую интерпретацию коэффициента корреляции, т.к. распределение в совокупности зависит от пяти параметров:
- математических ожиданий E[x], E[y] величин x,y;
- стандартных отклонений px, py случайных величин x,y ;
- коэффициента корреляции p , который является мерой связи между случайными величинами, х и у. Приведем примеры корреляционных полей.
Если р = 0, то значения x i ,y i , полученные из двумерной нормальной совокупности, располагаются на графике в пределах области, ограниченной окружностью. В этом случае между случайными величинами x и y отсутствует корреляция, и они называются некоррелированными. Для двумерного нормального распределения некоррелированность означает одновременно и независимость случайных величин x и y.
Если р = 1 или р = -1, то говорят о полной корреляции, то есть между случайными величинами x и y существует линейная функциональная зависимость.
При р = 1 значения x i ,y i определяют точки, лежащие на прямой линии, имеющей положительный наклон (с увеличением x i значения y i также увеличиваются).
В промежуточных случаях, когда -1< p <1, определяемые значениями x i ,y i точки попадают в область, ограниченную некоторым эллипсом, причём при p>0 имеет место положительная корреляция (с увеличением x значения y в целом имеют тенденцию к возрастанию), при p<0 корреляция отрицательная. Чем ближе p к ±1, тем уже эллипс и тем теснее точки, определяемые экспериментальными значениями, группируются около прямой линии.
Здесь же следует обратить внимание на то, что линия, вдоль которой группируются точки, может быть не только прямой, а иметь любую другую форму: парабола, гипербола и т. д. В этих случаях рассматривают нелинейную корреляцию.
Корреляционную зависимость между признаками можно описывать разными способами, в частности, любая форма связи может быть выражена уравнением общего вида y=f(x), где признак y – зависимая переменная, или функция от независимой переменной x, называемой аргументом.
Таким образом, визуальный анализ корреляционного поля помогает определить не только наличие статистической связи (линейной или нелинейной) между исследуемыми признаками, но и ее тесноту и форму.
При изучении корреляционной связи важным направлением анализа является оценка степени тесноты связи. Понятие степени тесноты связи между двумя признаками возникает вследствие того, что в действительности на изменение результативного признака влияет множество факторов. При этом влияние одного из факторов может выражаться более заметно и четко, чем влияние других факторов. С изменением условий роль решающего фактора может перейти к другому признаку.
При статистическом изучении взаимосвязей, как правило, учитываются только основные факторы. Также с учетом степени тесноты связи оценивается необходимость более подробного изучения конкретной данной связи и значение практического ее использования.
В общем, знание количественной оценки тесноты корреляционной связи позволяет решить следующую группу вопросов:
- необходимость глубокого изучения данной связи между признаками и целесообразность ее практического применения;
- степень различий в проявлении связи в конкретных условиях (сопоставление оценки тесноты связи для различных условий);
- выявление главных и второстепенных факторов в данных конкретных условиях путём последовательного рассмотрения и сравнения признака с различными факторами.
Показатели тесноты связи должны удовлетворять ряду основных требований:
- величина показателя тесноты связи должна быть равна или близка к нулю, если связь между изучаемыми признаками (процессами, явлениями) отсутствует;
- при наличии между изучаемыми признаками функциональной связи величина показателя тесноты связи должна быть равна единице;
- при наличии между признаками корреляционной связи абсолютное значение показателя тесноты связи должно выражаться правильной дробью, которая по величине тем больше, чем теснее связь между изучаемыми признаками (стремится к единице).
Корреляционная зависимость определяется различными параметрами, среди которых наибольшее распространение получили парные показатели, характеризующие взаимосвязь двух случайных величин: коэффициент ковариации (корреляционный момент) и линейный коэффициент корреляции (коэффициент корреляции Пирсона).
Сила связи определяется абсолютным значением показателя тесноты связи и не зависит от направления связи.
В зависимости от абсолютного значения коэффициента корреляции p корреляционные связи между признаками по силе делятся следующим образом:
- сильная, или тесная (при p >0,70);
- средняя (при 0,50< p <0,69);
- умеренная (при 0,30< p <0,49);
- слабая (при 0,20< p <0,29);
- очень слабая (при p <0,19).
По форме корреляционная связь может быть линейной или нелинейной.
Линейной может быть, например, связь между уровнем подготовки студента и оценками итоговой аттестации. Пример нелинейной связи - уровень мотивации и эффективность выполнения поставленной задачи. (При повышении мотивации эффективность выполнения задачи сначала возрастает, затем, при определённом уровне мотивации, достигается максимальная эффективность; но дальнейшему повышению мотивации сопутствует уже снижение эффективности.)
По направлению корреляционная связь может быть положительной (прямой) и отрицательной (обратной).
При положительной линейной корреляции более высоким значениям одного признака соответствуют более высокие значения другого, а более низким значениям одного признака - более низкие значения другого. При отрицательной корреляции соотношения обратные.
Знак коэффициента корреляции зависит от направления корреляционной связи: при положительной корреляции коэффициент корреляции имеет положительный знак, при отрицательной корреляции - отрицательный знак.
Список литературы
- Аблеева, А. М. Формирование фонда оценочных средств в условиях ФГОС [Текст] / А. М. Аблеева, Г. А. Салимова // Актуальные проблемы преподавания социально-гуманитарных, естественно - научных и технических дисциплин в условиях модернизации высшей школы: материалы международной научно-методической конференции, 4-5 апреля 2014 г. / Башкирский ГАУ, Факультет информационных технологий и управления. - Уфа, 2014. - С. 11-14.
- Ганиева, А.М. Статистический анализ занятости и безработицы [Текст] / А.М. Ганиева, Т.Н. Лубова // Актуальные вопросы экономико-статистического исследования и информационных технологий: сб. науч. ст.: посвящается к 40-летию создания кафедры "Статистики и информационных систем в экономике" / Башкирский ГАУ. - Уфа, 2011. - С. 315-316.
- Исмагилов, Р. Р. Творческая группа - эффективная форма организации научных исследований в высшей школе [Текст] / Р. Р. Исмагилов, М. Х. Уразлин, Д. Р. Исламгулов // Научно-технический и научно-образовательный комплексы региона: проблемы и перспективы развития: материалы научно-практической конференции / Академия наук РБ, УГАТУ. - Уфа, 1999. - С. 105-106.
- Исламгулов, Д.Р. Компетентностный подход в обучении: оценка качества образования [Текст] / Д.Р. Исламгулов, Т.Н. Лубова, И.Р. Исламгулова // Современный научный вестник. – 2015. – Т. 7. - № 1. – С. 62-69.
- Исламгулов, Д. Р. Научно-исследовательская работа студентов - важнейший элемент подготовки специалистов в аграрном вузе [Текст] / Д. Р. Исламгулов // Проблемы практической подготовки студентов в вузе на современном этапе и пути их решения: сб. материалов науч.-метод. конф., 24 апреля 2007 года / Башкирский ГАУ. - Уфа, 2007. - С. 20-22.
- Лубова, Т.Н. Основа реализации федерального государственного образовательного стандарта – компетентностный подход [Текст] / Т.Н. Лубова, Д.Р. Исламгулов, И.Р. Исламгулова// БЪДЕЩИТЕ ИЗСЛЕДОВАНИЯ – 2016: Материали за XII Международна научна практична конференция, 15-22 февруари 2016. – София: Бял ГРАД-БГ ООД, 2016. – Том 4 Педагогически науки. – C. 80-85.
- Лубова, Т.Н. Новые образовательные стандарты: особенности реализации [Текст] / Т.Н. Лубова, Д.Р. Исламгулов // Современный научный вестник. – 2015. – Т. 7. - № 1. – С. 79-84.
- Лубова, Т.Н. Организация самостоятельной работы обучающихся [Текст] / Т.Н. Лубова, Д.Р. Исламгулов // Реализация образовательных программ высшего образования в рамках ФГОС ВО: материалы Всероссийской научно-методической конференции в рамках выездного совещания НМС по природообустройству и водопользованию Федерального УМО в системе ВО. / Башкирский ГАУ. - Уфа, 2016. - С. 214-219.
- Лубова, Т.Н. Основа реализации федерального государственного образовательного стандарта – компетентностный подход [Текст] / Т.Н. Лубова, Д.Р. Исламгулов, И.Р. Исламгулова // Современный научный вестник. – 2015. – Т. 7. - № 1. – С. 85-93.
- Саубанова, Л.М. Уровень демографической нагрузки [Текст] / Л.М. Саубанова, Т.Н. Лубова // Актуальные вопросы экономико-статистического исследования и информационных технологий: сб. науч. ст.: посвящается к 40-летию создания кафедры "Статистики и информационных систем в экономике" / Башкирский ГАУ. - Уфа, 2011. - С. 321-322.
- Фахруллина, А.Р. Статистический анализ инфляции в России [Текст] / А.Р. Фахруллина, Т.Н. Лубова // Актуальные вопросы экономико-статистического исследования и информационных технологий: сб. науч. ст.: посвящается к 40-летию создания кафедры "Статистики и информационных систем в экономике" / Башкирский ГАУ. - Уфа, 2011. - С. 323-324.
- Фархутдинова, А.Т. Рынок труда в Республике Башкортостан в 2012 году [Электронный ресурс] / А.Т. Фархутдинова, Т.Н. Лубова // Студенческий научный форум. Материалы V Международной студенческой электронной научной конференции: электронная научная конференция (электронный сборник). Российская академия естествознания. 2013.
Математические методы анализа и прогнозирования
Корреляционный анализ
Введение
2. Регрессионный анализ
3. Факторный анализ
4. Кластерный анализ
5. Анализ динамики и прогнозирования социально-правовых процессов
Заключение
Между социально-экономическими явлениями и процессами возможны два вида зависимости: функциональная и стохастическая. При или иных параметров, характеризующих различные явления. Примеры такого рода зависимостей в социальной среде практически не встречаются.
При стохастической (вероятностной) зависимости конкретному значению зависимой переменной соответствует набор значений объясняющей переменной. Это связано, прежде всего, с тем, что на зависимую переменную оказывает влияние ряд неучтенных факторов. Кроме того, сказываются ошибки измерения переменных: вследствие случайного разброса значений их значения могут быть указаны лишь с определенной вероятностью.
В социально-экономической сфере приходится сталкиваться со многими явлениями, имеющими вероятностную природу. Так, число совершенных и раскрытых преступлений за фиксированный отрезок времени, число дорожно-транспортных происшествий в каком-либо регионе за определенное время - все это случайные величины.
Для изучения стохастических взаимосвязей существуют специальные методы, в частности корреляционный анализ ("корреляция" соотношение, связь между имеющимися явлениями и процессами).
Корреляционный анализ - это использование в определенной последовательности совокупности статистических методов обработки информации, позволяющее исследовать взаимосвязи между различными признаками.
Задачей корреляционного анализа как метода математической статистики является установление формы и направления связи, а также измерение тесноты этой связи между изучаемыми случайными признаками.
В статистике величина линейной зависимости между двумя признаками измеряется посредством простого (выборочного) коэффициента корреляции . Величина линейной зависимости одной переменной от нескольких других измеряется коэффициентом множественной ми после устранение части линейной зависимости, обусловленной связью этих переменных с другими переменными.
По форме корреляционные связи могут быть линейными (прямолинейными) и нелинейными (криволинейными), а по направлению
Прямая связь свидетельствует о том, что с увеличением (уменьшением) значений одного признака увеличиваются (уменьшаются) значения другого признака. При обратной связи увеличение (уменьшение) значений одного признака ведет к уменьшению (увеличению) значений другого признака.
Главная задача корреляционного анализа - измерение тесноты связи - решается путем вычисления различных коэффициентов корреляции и проверки их значимости.
Коэффициент корреляции может принимать значения при прямой связи от 0 до +1, а при обратной от -1 до 0. При коэффициентах, близких к 0, считается, что статистическая линейная связь между признаками отсутствует; при абсолютных значениях коэффициентов, меньших 0,3, - связь слабая; при значениях 0,3...0,5 связь умеренная; при 0,5...0,7 - связь значительная; при 0,7...0,9 - связь сильная; если значения коэффициентов больше 0,9, то связь считается очень сильной; если коэффициенты равны +1 или -1, то говорится о функциональной связи (что практически не встречается в статистических исследованиях).
Однако такая упрощенная оценка силы связи не всегда корректна, так как степень уверенности в наличии статистической связи зависит от объема исследуемой совокупности. Чем меньше объем совокупности, тем большим должно быть значение коэффициента корреляции для принятия гипотезы о существовании зависимости между признаками. С целью количественного измерения степени уверенности в существовании линейной статистической связи между признаками введены понятия уровня значимости и пороговых (критических) значений коэффициента корреляции.
Проверка значимости полученного коэффициента корреляции состоит в сравнении расчетного значения с критическим. При данном числе измерений и задаваемом уровне значимости находится критическое значение, которое сравнивается с расчетным. Если расчетное больше критического, то связь значима, если меньше, то связь или отсутствует (а такое значение коэффициента корреляции объясняется случайными отклонениями), или выборка мала для ее выявления.
Для определения существования и величины линейной зависимости между двумя переменными X и Y необходимо осуществить две процедуры. Первая заключается в графическом отображении точек [{Xi,Yi},i=1,n] на плоскость . Полученный график называется допустимости предположения о линейной зависимости между переменными. Если такое предположение допустимо, то необходимо выразить в количественном виде величину линейной связи. Для этого используется выборочный коэффициент корреляции:
где n - количество измерений, Xi,Yi - i-е значения, X,Y - средние значения, sx, sy - среднеквадратические отклонения переменных X и Y соответственно.
В теории статистического анализа корреляционная связь определяется как линейная зависимость в условиях нормальности распределения анализируемых переменных. Поэтому для корректного применения корреляционных методов необходимо обосновать близость распределения переменных к нормальному и формы связи к линейной. В противном случае необходимо применять более сложные приемы анализа или другие коэффициенты связи.
Достаточно простой в вычислительном отношении способ проверки нормальности эмпирического распределения состоит в оценке следующего отношения:
,
где C - среднее абсолютное отклонение, s - среднеквадратическое отклонение.
Если указанное неравенство выполняется, то можно говорить о нормальности эмпирических распределений и корректности применения коэффициента корреляции как меры линейной статистической связи между переменными.
В общем случае на уровень преступности влияет множество факторных признаков. К ним относятся социально-экономические, географические и климатические, демографические и др., а также признаки, характеризующие силы и средства, степень организованности органа внутренних дел.
Однако даже при наличии сильной статистически значимой связи между двумя переменными нельзя быть полностью уверенным в их причинно-следственной обусловленности, так как могут существовать другие причины (факторы), определяющие их совместную статистическую взаимосвязь. Статистические выводы должны быть всегда обоснованы надежной теоретической концепцией.
В то же время отсутствие статистически значимой связи не говорит об отсутствии причинно-следственных отношений, а заставляет искать другие пути и средства ее выявления, если содержательная концепция и практический опыт указывают на ее возможное существование.
Корреляционный анализ является одним из наиболее широко используемых статистических методов, в частности и в рамках политической науки. При своей относительной простоте он может быть весьма полезен как для тестирования имеющихся гипотез, так и в поисковом исследовании, когда предположения о связях и взаимозависимостях только формируются.
Умение работать с данной статистической техникой важно и в силу того, что она используется как составная часть более сложных, комплексных методов, в том числе факторного анализа, некоторых версий кластер-анализа и др.
Целью корреляционного анализа является измерение статистической взаимозависимости между двумя или более переменными. В случае, если исследуется связь двух переменных, корреляционный анализ будет парным; если число переменных более двух - множественным.
Следует подчеркнуть, что переменные в корреляционном анализе как бы «равноправны» - они не делятся на зависимые и независимые (объясняемые и объясняющие). Мы рассматриваем именно взаимозависимость (взаимосвязь) переменных, а не влияние одной из них на другую.
Понятие «корреляционный анализ» фактически объединяет несколько методов анализа статистической связи. В фокусе нашего внимания будет находиться наиболее распространенный из них - метод Пирсона (Pearson) . Его применение ограничено следующими условиями:
Переменные должны быть измерены, как минимум, на интервальном уровне;
Связь между переменными должна носить линейный характер, т.е. фиксироваться прямой линией. При наличии нелинейной связи корреляционный анализ Пирсона, скорее всего, не даст ее адекватного отображения;
Коэффициент Пирсона вычисляется по следующей формуле: ,
где Xj и у/ - значения двух переменных, х и у - их средние значения, sx и sy - их стандартные отклонения; п - количество пар значений.
Анализируемые переменные должны быть распределены нормально (или, во всяком случае, приближаться к нормальному распределению).
Корреляционный анализ фиксирует две характеристики статистической взаимосвязи между переменными:
Направленность связи. Как уже говорилось, по направленности связь бывает прямая (положительная) и обратная (отрицательная);
Интенсивность (плотность, теснота) связи. Эта характеристика определяет наши возможности по предсказанию значений одной переменной на основании значений другой.
Чтобы более наглядно представить себе особенности корреляционного анализа, обратимся к примеру из сферы исследования электоральных процессов. Предположим, мы проводим сравнительный анализ электората двух политических партий либеральной ориентации - Союза правых сил и «Яблока». Наша задача - понять, существует ли общность электората СПС и «Яблока» в территориальном разрезе и насколько она значима. Для этого мы можем, например, взять данные электоральной статистики, характеризующие уровень поддержки этих партий, в разрезе данных избирательных комиссий субъектов Федерации. Проще говоря, мы смотрим на проценты, полученные СПС и «Яблоком» по регионам России. Ниже приводятся данные по выборам депутатов Государственной думы 1999 г. (количество регионов 88, поскольку выборы в Чеченской Республике не проводились).
Случай | Переменные (%) | |
«Яблоко» | СПС | |
Республика Адыгея | 4,63 | 3,92 |
Республика Алтай | 3,38 | 5,40 |
Республика Башкортостан | 3,95 | 6,04 |
Республика Бурятия | 3,14 | 8,36 |
Республика Дагестан | 0,39 | 1,22 |
Республика Ингушетия | 2,89 | 0,38 |
Кабардино-Балкарская Республика | 1,38 | 1,30 |
Республика Калмыкия | 3,07 | 3,80 |
Карачаево-Черкесская Республика | 4,17 | 2,94 |
Республика Карелия | 9,66 | 10,25 |
Республика Коми | 8,91 | 9,95 |
Республика Марий Эл | 4,68 | bgcolor=white>7.24|
И т.д. (всего 88 случаев) |
Таким образом, у нас есть две переменные - «поддержка СПС в 1999 г.» и «поддержка "Яблока" в 1999 г.», простейшим образом операционализированные через процент голосов, поданных за эти партии, от числа избирателей, принявших участие в голосовании на федеральных парламентских выборах 1999 г. В качестве случаев выступают соответствующие данные, обобщенные на уровне регионов РФ.
Далее, в нашем распоряжении есть методический прием, который является одним из основных в статистике, - геометрическое представление. Геометрическим представлением называют представление случая как точки в условном пространстве, формируемом «осями» - переменными. В нашем примере мы можем представить каждый регион как точку в двухмерном пространстве голосований за правые партии. Ось Сформирует признак «поддержка СПС», ось Г- «поддержка "Яблока"» (или наоборот; для корреляционного анализа это неважно в силу неразличения зависимых и независимых переменных). «Координатами» региона будут: по оси X- значение переменной «поддержка СПС» (процент, набранный в регионе данной партией); по оси Г- значение переменной «поддержка "Яблока"». Так, Республика Адыгея будет иметь координаты (3,92; 4,63), Республика Алтай - (3,38; 5,4) и т.д. Осуществив геометрическое представление всех случаев, мы получаем диаграмму рассеяния, или корреляционное поле.
Даже сугубо визуальный анализ диаграммы рассеяния наводит на мысль, что совокупность точек можно расположить вдоль некоторой условной прямой, называемой линией регрессии. Математически линия регрессии строится методом наименьших квадратов (высчитывается такое положение линии, при котором сумма квадратов расстояний от наблюдаемых точек до прямой является минимальной).
Интенсивность связи будет зависеть от того, насколько тесно точки (случаи) расположены вдоль линии регрессии. В коэффициенте корреляции (обозначается г), который и является числовым результатом корреляционного анализа, плотность колеблется от 0 до 1. При этом чем ближе значение коэффициента к 1, тем плотнее связь; чем ближе значение к 0, тем связь слабее. Так, при г= 1 связь приобретает характер функциональной - все точки «ложатся» на одну прямую. При г = 0, фиксирующем полное отсутствие связи, построение линии регрессии становится невозможным. В нашем примере г = 0,62, что свидетельствует о наличии значимой статистической связи (подробнее об интерпретации коэффициента корреляции см. ниже).
Тип связи определяется наклоном линии регрессии. В коэффициенте корреляции существует всего два значения типа связи: обратная (знак «-») и прямая (отсутствие знака, так как знак « + » традиционно не записывается). В нашем примере связь прямая. Соответственно, итоговый результат анализа 0,62.
Сегодня коэффициент корреляции Пирсона можно легко подсчитать с помощью всех компьютерных пакетов программ статистического анализа (SPSS, Statistica, NCSS и др.) и даже в широко распространенной программе Excel (надстройка «анализ данных»). Настоятельно рекомендуем пользоваться профессиональными пакетами, так как они позволяют визуально оценить корреляционное поле.
Почему важна визуальная оценка геометрического представления данных? Во-первых, мы должны убедиться, что связь линейна по форме, а здесь самый простой и эффективный метод - именно зрительная оценка. Напомним, что в случае ярко выраженной нелинейности связи вычисление коэффициента корреляции окажется бесполезным. Во-вторых, визуальная оценка позволяет найти в данных выбросы, т.е. нетипичные, резко выделяющиеся случаи.
Вернемся к нашему примеру с двумя партиями. Внимательно глядя на диаграмму рассеяния, мы замечаем по меньшей мере один нетипичный случай, лежащий явно в стороне от «общей магистрали», тенденции связи переменных. Это точка, представляющая данные по Самарской области. Хотя и в меньшей степени, но тоже нетипично положение Томской, Нижегородской областей и Санкт- Петербурга.
Можно скорректировать данные анализа, удалив сильно отклоняющиеся наблюдения, т.е. произведя «чистку выбросов». В силу специфики вычисления линии регрессии, связанной с подсчетом суммы квадратов расстояний, даже единичный выброс может существенно исказить общую картину.
Удалив только один из 88 случаев - Самарскую область, - мы получим значение коэффициента корреляции, отличное от полученного ранее: 0,73 по сравнению с 0,62. Плотность связи усилилась более чем на 0,1 - это весьма и весьма существенно. Избавившись отточек, соответствующих Санкт-Петербургу, Томской и Нижегородской областям, получим еще более высокую плотность: 0,77.
Впрочем, чисткой выбросов не следует увлекаться: сокращая количество случаев, мы понижаем общий уровень статистического доверия к полученным результатам. К сожалению, общепринятых критериев определения выбросов не существует, и здесь многое зависит от добросовестности исследователя. Лучший способ - содержательно понять, с чем связано наличие «выброса». Так, в нашем примере нетипичное положение Самарской области в признаковом пространстве связано с тем, что в 1999 г. одним из активных лидеров правых был глава региона К. Титов. Соответственно, высокий результат СПС в регионе был обусловлен не только поддержкой партии как таковой, но и поддержкой губернатора.
Возвратимся к нашему исследованию. Мы выяснили, что голосование за СПС и «Яблоко» довольно плотно коррелирует между собой на массиве данных, взятых в территориальном разрезе. Логично предположить, что в основе этой связи лежит некий фактор или комплекс факторов, который мы пока непосредственно не учитывали. Исследуя данные электоральной статистики разного уровня, нетрудно заметить, что обе партии демонстрируют лучшие результаты в городах и худшие - в сельских районах. Мы можем выдвинуть гипотезу, что одним из факторов, опосредующих связь между переменными, является уровень урбанизации территорий. Этот признак проще всего операционализировать через переменную «доля сельского населения» или «доля городского населения». Такая статистика существует по каждому субъекту Федерации.
Теперь в наших исходных данных появляется третья переменная - пусть это будет «доля сельского населения».
Чисто технически мы можем вычислять каждый парный коэффициент корреляции отдельно, но удобнее сразу получить матрицу интеркорреляций (матрицу парных корреляций). Матрица обладает диагональной симметрией. В нашем случае она будет выглядеть следующим образом:
Мы получили статистически значимые коэффициенты корреляции, подтверждающие выдвинутую нами гипотезу. Так, доля городского населения оказалась отрицательно связанной как с поддержкой СПС (г= -0,61), так и с поддержкой «Яблока» (г= -0,55). Можно заметить, что переменная «поддержка СПС» более чувствительна к фактору урбанизации по сравнению с переменной «поддержка "Яблока"».
Следует отметить, что после чистки выбросов (см. диаграммы рассеяния) связь была бы еще плотнее. Так, после удаления двух выбросов (Самарская области и Усть-Ордынский Бурятский АО) плотности коэффициента для СПС увеличивается до -0,65.
В этом примере мы уже начинаем мыслить в категориях влияния одной переменной на другую. Строго говоря, и это отмечено выше, корреляционный анализ не различает зависимых и независимых переменных, фиксируя лишь их взаимную статистическую связь. В то же время содержательно мы понимаем, что именно принадлежность избирателей к городскому или сельскому населению влияет на их электоральный выбор, а никак не наоборот.
Интерпретация интенсивности связи
Мы подошли к проблеме интерпретации интенсивности связи на основе значения коэффициента корреляции Пирсона.
Определенного жесткого правила здесь не существует; скорее речь идет о совокупном опыте, накопленном в процессе статистических исследований. Традиционной можно считать следующую схему интерпретации данного коэффициента:
Необходимо отметить, что подобный вариант интерпретации плотности коэффициента корреляции применим в науках, в гораздо большей степени опирающихся на количественные данные, нежели наука политическая (например, в экономике). В эмпирических исследованиях политики довольно редко можно обнаружить г > 0,7; коэффициент же со значением 0,9 - случай просто уникальный. Это связано прежде всего с особенностями мотивации политического поведения - сложной, многофакторной, нередко иррациональной. Ясно, что такое сложное явление, как голосование за определенную политическую партию, не может целиком подчиняться одному или даже двум факторам. Поэтому применительно к политическим исследованиям предлагаем несколько смягченную схему интерпретации:
0,4 > г> 0,3 - слабая корреляция;
0,6 > г> 0,4 - средняя корреляция;
Г> 0,7 - сильная корреляция.
Существует еще одна полезная процедура, позволяющая оценить значимость коэффициента корреляции в процессе вычисления коэффициента детерминации, который представляет собой г, возведенный в квадрат (г 2). Смысл процедуры состоит в том, что при возведении в квадрат низкие коэффициенты потеряют «в весе»
гораздо сильнее, чем высокие. Так, 0,9 2 = 0,81 (значение снижается всего на 0,09); 0,5 2= 0,25 (здесь мы теряем уже половину значения); 0,3 2 = 0,09 (более чем трехкратная «потеря веса»). Когда речь идет о переменных, которые мы можем содержательно интерпретировать как «определяющие» и «определяемые», значение г2 будет показывать долю случаев, которые объясняет определяющая переменная.
В нашем примере коэффициент корреляции между переменными «поддержка СПС» и «доля сельского населения» после чистки выбросов составил -0,65. Коэффициент детерминации составляет соответственно -0,65 2 = 0,42. Несколько упрощая реальное положение дел, мы можем утверждать, что фактор урбанизации объясняет примерно 40% вариации переменной «голосование за СПС» по регионам России в 1999 г.
1991 | 1993 | 1995 | 19961 | 1999 | 2000 | 2003 | 2004 | |
1991 | 1 | |||||||
1993 | 0,83 | 1 | ||||||
1995 | 0,52 | 0,66 | 1 | |||||
1996 | 0,43 | 0,47 | 0,76 | і | ||||
1999 | 0,14 | 0,26 | 0,61 | 0,56 | 1 | |||
2000 | 0,13 | 0,15 | 0,34 | 0,47 | 0,74 | 1 | ||
2003 | 0,04 | 0,13 | 0,36 | 0,38 | 0,81 | 0,75 | 1 | |
2004 | 0,04 | 0,10 | 0,11 | 0,21 | 0,55 | 0,66 | 0,73 | 1 |
Отметим, что внутри каждого электорального цикла плотность корреляции превышает 0,7 (1991-1993: г= 0,83; 1995-1996: г= 0,76; 1999 - 2000: г = 0,74; 2003 - 2004: г= 0,73). На максимальной временной дистанции - между президентскими и парламентскими выборами 1991 - 1993 и 2003 - 2004 гг. - связи нет никакой, коэффициенты не превышают 0,1. В то же время затухание связи во времени происходит медленно. Так, обращает на себя внимание наличие связи, хоть и неплотной, между уровнем электоральной активности на парламентских выборах 1995 и 2003 гг. (г= 0,36). Тот факт, что определенная преемственность обнаруживается на протяжении восьми лет, в течение которых происходит серьезнейшее «переформатирование» политического режима и системы федеративных отношений, свидетельствует о высокой устойчивости распределения уровня явки по российским регионам. Таким образом, мы имеем основания считать уровень активности/абсентеизма одной из составляющих электоральной культуры территорий.
Другие коэффициенты корреляции
Как было отмечено, коэффициент корреляции Пирсона является наиболее распространенным критерием связи интервальных и нормально распределенных переменных. Но что делать, если мы имеем переменные, существенно отклоняющиеся от нормального распределения? Или переменные не интервальные, но при этом являются метрическими (порядковые переменные с большим числом категорий)?
гораздо сильнее, чем высокие. Так, 0,9 2= 0,81 (значение снижается всего на 0,09); 0,5 2= 0,25 (здесь мы теряем уже половину значения); 0,3 2= 0,09 (более чем трехкратная «потеря веса»). Когда речь идет о переменных, которые мы можем содержательно интерпретировать как «определяющие» и «определяемые», значение г2 будет показывать долю случаев, которые объясняет определяющая переменная.
В нашем примере коэффициент корреляции между переменными «поддержка СПС» и «доля сельского населения» после чистки выбросов составил -0,65. Коэффициент детерминации составляет соответственно -0,65 2= 0,42. Несколько упрощая реальное положение дел, мы можем утверждать, что фактор урбанизации объясняет примерно 40% вариации переменной «голосование за СПС» по регионам России в 1999 г.
Использование корреляционного анализа для выявления динамики связи переменных во времени
Корреляционный анализ можно использовать не только для обнаружения связи между переменными, но и для оценки изменения этой связи во времени. Так, при изучении проблемы электоральной активности в регионах России необходимо было убедиться в том, что уровень активности избирателей является некой стабильной характеристикой электоральной культуры российских территорий. Имеются в виду, разумеется, не абсолютные показатели, которые существенно колеблются от выборов к выборам. Речь идет об устойчивости различий в уровне активности избирателей различных регионов России.
Устойчивость пропорционального распределения явки по субъектам Федерации достаточно просто проверяется методом корреляционного анализа. Приводимая ниже матрица парных корреляций электоральной активности на федеральных выборах 1991 - 2004 гг. довольно четко демонстрирует существующую тенденцию. Статистическая связь наиболее сильна внутри одного электорального цикла (1991-1993; 1995-1996; 1999-2000; 2003-2004), между двумя близкими по времени циклами она несколько слабеет, а по мере удаления электоральных циклов стремится к затуханию.
Основные понятия корреляционного анализа
Выделяют несколько видов связи между переменными:
Корреляционная зависимость предполагает взаимную согласованность изменений переменных величин, а также то, что эти изменения можно измерить однократно или многократно (в данном случае говорят о плотности связи переменных, но не о причинно-следственных связях); например, в современном российском обществе чем выше возраст, тем ниже социальный статус человека; отдельные проявления геронтократии эту закономерность не нарушают.
Функциональное воздействие предполагает, что изменения независимой переменной сопровождаются все более ускоряющимися изменениями зависимой переменной (причинно-следственные связи фиксируют влияние независимой переменной на зависимую); например, чем более радикальными политическими взглядами обладает человек, тем в большей степени он не приемлет существующий политический режим; в то же время нельзя утверждать, что чем в большей степени человек негативно оценивает власть, тем более радикальными взглядами он обладает.
Функциональная зависимость - связь переменных, означающая, что изменение одной переменной оказывает воздействие на изменение другой, которая в свою очередь воздействует на первую переменную, т.е. это связи взаимодействия; например, информированность человека о политике напрямую связана с интересом к ней; чем больше человек политикой интересуется, тем больше в ней разбирается.
Связь может быть нелинейной и немонотонной.
Каким бы в итоге ни оказался тип связи между переменными, необходимо убедиться в ее наличии в принципе. Корреляционный анализ применяется для выяснения взаимодействия и тенденций изменения характеристик изучаемого явления.
Первоначальной стадией его развития считается период 1870- 1880-х годов, а автором понятия «коэффициент корреляции» - Фрэнсис Гальтон. Наиболее серьезные разработки в области корреляционного анализа на рубеже XIX-XX вв. выполнил Карл Пирсон. Традиционно кбрреляционный анализ используется для проверки гипотезы о статистической зависимости двух или нескольких переменных. В качестве вспомогательного средства анализ корреляций можно использовать при проверке пригодности экспериментальных гипотез и для включения переменных в факторный и регрессионный анализ. Корреляционный анализ осуществляется с помощью сравнения и сопоставления рядов распределения, построенных на основании группировок по различным признакам.
Корреляция - наличие статистической взаимосвязи признаков, когда каждому определенному значению одного признака X соответствует определенное значение У (или комплекс значений К-ряда распределения). Корреляционный анализ выясняет функциональную зависимость между переменными величинами, которая характеризуется тем, что каждому значению одной из них соответствует вполне опреде- тенпое значение другой. Однако корреляционный анализ не предполагает выявления каузальных связей, поэтому при интерпретации ре- 1ультатов формулировки типа «переменная х влияет на переменную у» или «переменная х зависит от переменной у» недопустимы.
Различают парную и множественную корреляции. Парная корреляция характеризует тип, форму и плотность связи между двумя признаками, множественная - между несколькими.
Корреляционная зависимость возникает чаще всего там, где одно явление находится под воздействием большого числа факторов, действующих с разной силой, поэтому существуют специальные меры корреляционной связи, называемые коэффициентами корреляции. Коэффициенты (в статистике их общее количество исчисляется десятками) показывают степень взаимосвязи явлений (плотность корреляционной связи, иногда исследователи говорят об интенсивности связи) и характер этой связи (направленность ). Связь может быть прямой и обратной. Например, чем старше избиратель, тем более активно он участвует в выборах. Чем выше уровень доходов людей, тем в меньшей степени они склонны участвовать в выборах в качестве избирателей (обратная связь). Чем выше коэффициент корреляции между двумя переменными, тем точнее можно предсказать значения одной из них по значениям другой. Характер связи также определяется в категориях «монотонная » (направление изменения одной переменной не меняется при изменении второй переменной) и «немонотонная » связь. Помимо оценки плотности и направленности связи необходимо учитывать надежность (достоверность ) связи.
Корреляционный анализ последовательно решает три практические задачи:
определение корреляционного поля и составление корреляционной (в данном случае это комбинированная) таблицы;
вычисление выборочных корреляционных отношений или коэффициентов корреляции;
проверка статистической гипотезы значимости связи.
Коэффициент корреляции не содержит информации о том, является ли данная связь между ними причинно-следственной или сопутствующей (порожденной общей причиной). Этот вопрос исследователь должен решать самостоятельно на основе содержательных представлений о структуре, динамике изучаемых социальных объектов, корреляций между изучаемыми признаками, использовать иные способы статистического анализа (регрессионный, факторный, дискриминантный, путевой и т.д.). Но величина коэффициента позволяет оценить плотность связи как меньшую (незначимую) или большую. По знаку коэффициента корреляции для порядковых рядов мы можем сказать, является ли эта связь прямой или обратной (для номинальных рядов знак коэффициента не несет смысловой нагрузки).
Для установления корреляционной связи между двумя признаками необходимо доказать, что все другие переменные не оказывают воздействия на отношения двух переменных, являющихся предметом изучения. В противном случае возникает ситуация ложной корреляции. Секрет возникновения ложной корреляции заключается в том, что у двух явлений, связь которых формально подкрепляется наличием статистической связи, есть общая причина, в равной степени влияющая на каждое из них.
Корреляционному анализу предшествует стадия расчета статистики х 2 - Но на основании полученного значения статистики х 2 мы ничего не можем сказать о плотности связи анализируемых переменных. Цля решения такой задачи необходимо обратиться к коэффициентам корреляционной связи.
Традиционным для выполнения корреляционного анализа является обращение к коэффициенту корреляции Пирсона (Pearson) Р (в литературе он обозначается и через г).
Если при описании политического объекта определяется лишь наличие или отсутствие признака или если изучается связь между альтернативными признаками, то корреляционные таблицы (таблицы сопряженного признака) - 4-клеточные. В этом случае применяются коэффициент Юла(О) и коэффициент контингенции (ф). Они основаны на принципе совместного появления событий (значений признаков у объекта исследования) и пригодны для анализа любых признаков (метрических, порядковых и даже номинальных).
В случае если номинальные шкалы имеют большее число значений, чем два, то для определения зависимости между признаками пользуются коэффициентами сопряженности Пирсона (Р ), Чупрова (7) и Крамера (К). При этом определенное значение имеет размерность таблицы с на к, в которой отображены значения двух признаков. Коэффициенты Чупрова и Крамера считаются более «строгими», чем коэффициент сопряженности Пирсона. Но поскольку вычисления в них строятся с учетом статистики х 2 , то все связанные с ней ограничения распространяются и на эти коэффициенты.
Множественный коэффициент корреляции (IV), который иногда называют коэффициентом конкордации, применяется для оценки согласованности двух или нескольких рядов ранжированных значений переменных.
Вариантов расчета коэффициентов корреляции между признаками в статистическом пакете SPSS два.