Критическая точка (математика). Математическая точка объёмна

Понятие критической точки допускает обобщение на случай дифференцируемых отображений , и на случай дифференцируемых отображений произвольных многообразий f: N n → M m {\displaystyle f:N^{n}\to M^{m}} . В этом случае определение критической точки состоит в том, что ранг матрицы Якоби отображения f {\displaystyle f} в ней меньше максимально возможного значения, равного .

Критические точки функций и отображений играют важную роль в таких областях математики, как дифференциальные уравнения , вариационное исчисление , теория устойчивости , а также в механике и физике. Исследование критических точек гладких отображений составляет один из главных вопросов теории катастроф . Понятие критической точки обобщается также на случай функционалов , определенных на бесконечномерных функциональных пространствах. Поиск критических точек таких функционалов является важной частью вариационного исчисления . Критические точки функционалов (которые, в свою очередь, являются функциями) называются экстремалями .

Формальное определение

Критической (или особой или стационарной ) точкой непрерывно дифференцируемого отображения f: R n → R m {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} называется такая точка , в которой дифференциал этого отображения f ∗ = ∂ f ∂ x {\displaystyle f_{*}={\frac {\partial f}{\partial x}}} является вырожденным линейным преобразованием соответствующих касательных пространств T x 0 R n {\displaystyle T_{x_{0}}\mathbb {R} ^{n}} и T f (x 0) R m {\displaystyle T_{f(x_{0})}\mathbb {R} ^{m}} , то есть размерность образа преобразования f ∗ (x 0) {\displaystyle f_{*}(x_{0})} меньше min { n , m } {\displaystyle \min\{n,m\}} . В координатной записи при n = m {\displaystyle n=m} это означает что якобиан - определитель матрицы Якоби отображения f {\displaystyle f} , составленной из всех частных производных ∂ f j ∂ x i {\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}} - обращается в точке в нуль . Пространства и R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} в этом определении могут быть заменены на многообразия N n {\displaystyle N^{n}} и M m {\displaystyle M^{m}} таких же размерностей.

Теорема Сарда

Значение отображения в критической точке называется его критическим значением . Согласно теореме Сарда , множество критических значений любого достаточно гладкого отображения f: R n → R m {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} имеет нулевую меру Лебега (хотя критических точек при этом может быть сколько угодно, например, для тождественного отображения любая точка является критической).

Отображения постоянного ранга

Если в окрестности точки x 0 ∈ R n {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}} ранг непрерывно дифференцируемого отображения f: R n → R m {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} равен одному и тому же числу r {\displaystyle r} , то в окрестности этой точки x 0 {\displaystyle x_{0}} существуют локальные координаты с центром в x 0 {\displaystyle x_{0}} , а в окрестности её образа - точки y 0 = f (x 0) {\displaystyle y_{0}=f(x_{0})} - существуют локальные координаты (y 1 , … , y m) {\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{m})} с центром в f {\displaystyle f} задается соотношениями :

Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. {\displaystyle y_{1}=x_{1},\ \ldots ,\ y_{r}=x_{r},\ y_{r+1}=0,\ \ldots ,\ y_{m}=0.}

В частности, если r = n = m {\displaystyle r=n=m} , то существуют локальные координаты (x 1 , … , x n) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})} с центром в x 0 {\displaystyle x_{0}} и локальные координаты (y 1 , … , y n) {\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})} с центром в y 0 {\displaystyle y_{0}} , такие, что в них отображение f {\displaystyle f} является тождественным.

Случай m = 1

В случае данное определение означает, что градиент ∇ f = (f x 1 ′ , … , f x n ′) {\displaystyle \nabla f=(f"_{x_{1}},\ldots ,f"_{x_{n}})} в данной точке обращается в нуль.

Предположим, что функция f: R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } имеет класс гладкости не ниже C 3 {\displaystyle C^{3}} . Критическая точка функции f называется невырожденной , если в ней гессиан | ∂ 2 f ∂ x 2 | {\displaystyle {\Bigl |}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}{\Bigr |}} отличен от нуля. В окрестности невырожденной критической точки существуют координаты, в которых функция f имеет квадратичную нормальную форму (лемма Морса) .

Естественным обобщение леммы Морса для вырожденных критических точек является теорема Тужрона: в окрестности вырожденной критической точки функции f , дифференцируемой бесконечное число раз () конечной кратности μ {\displaystyle \mu } существует система координат, в которой гладкая функция имеет вид многочлена степени μ + 1 {\displaystyle \mu +1} (в качестве P μ + 1 (x) {\displaystyle P_{\mu +1}(x)} можно взять многочлен Тейлора функции f (x) {\displaystyle f(x)} в точке в исходных координатах) .

При m = 1 {\displaystyle m=1} имеет смысл вопрос о максимуме и минимуме функции. Согласно известному утверждению математического анализа, непрерывно дифференцируемая функция f {\displaystyle f} , определенная во всем пространстве R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} или в его открытом подмножестве, может достигать локального максимума (минимума) только в критических точках, причем если точка невырождена, то матрица (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j) , {\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}{\Bigr)}={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}{\Bigr)},} i , j = 1 , … , n , {\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,} в ней должна быть отрицательно (положительно) определённой . Последнее является также достаточным условием локального максимума (соответственно, минимума) .

Случай n = m = 2

В случае n=m=2 мы имеем отображение f плоскости на плоскость (или двумерного многообразия на другое двумерное многообразие). Предположим, что отображение f дифференцируемо бесконечное число раз ( C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} ). В этом случае типичные критические точки отображения f суть те, в которых определитель матрицы Якоби равен нулю, но её ранг равен 1, и следовательно, дифференциал отображения f в таких точках имеет одномерное ядро . Вторым условием типичности является то, что в окрестности рассматриваемой точки на плоскости-прообразе множество критических точек образует регулярную кривую S , и почти во всех точках кривой S ядро ker f ∗ {\displaystyle \ker \,f_{*}} не касается S , а точки, где это не так, изолированы и в них касание имеет первый порядок. Критические точки первого типа называются точками складки , а второго типа - точками сборки . Складки и сборки являются единственными типами особенностей отображений плоскости на плоскость, устойчивыми относительно малых возмущений: при малом возмущении точки складки и сборки лишь немного перемещаются вместе с деформацией кривой S , но не исчезают, не вырождаются и не рассыпаются на другие особенности.

То́чка - абстрактный объект в пространстве, не имеющий никаких измеримых характеристик (нульмерный объект). Точка является одним из фундаментальных понятий в математике.

Точка в евклидовой геометрии

Евклид определил точку как «объект, не имеющий частей». В современной аксиоматике евклидовой геометрии точка является первичным понятием, задаваемым лишь перечнем его свойств - аксиомами.

В выбранной системе координат любую точку двумерного евклидова пространства можно представить как упорядоченную пару (x ; y ) действительных чисел. Аналогично, точку n -мерного евклидова пространства (а также векторного или аффинного пространства) можно представить как кортеж (a 1 , a 2 , … , a n ) из n чисел.

Ссылки

• Point (англ.) на сайте PlanetMath.
• Weisstein, Eric W. Point (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

точка это:

Узор из точек. | Точка от укола. | Город на карте указан маленькой точкой и о наличии объездной дороги остаётся только догадываться.

2. Точка - это что-то очень маленькое, плохо видимое из-за удалённости или по другим причинам.

Точка на горизонте. | Когда шар приблизился к горизонту в западной части неба, он стал медленно уменьшаться в размерах, пока не превратился в точку.

3. Точка - знак препинания, который ставится в конце предложения или при сокращении слов.

Поставить точку. | Не забудьте поставить точку в конце предложения

4. В математике, геометрии и физике точка - это единица, имеющая положение в пространстве, граница отрезка линии.

Математическая точка.

5. Точкой называют определённое место в пространстве, на местности или на поверхности чего-либо.

Точка размещения. | Болевая точка.

6. Точкой называют место, где расположено или осуществляется что-либо, определённый узел в системе или сети каких-либо пунктов.

Каждая торговая точка должна иметь свою вывеску.

7. Точкой называют предел развития чего-либо, определённый уровень или момент в развитии.

Наивысшая точка. | Точка в развитии. | Состояние дел достигло критической точки. | Это высшая точка проявления духовной силы человека.

8. Точкой называют температурный предел при котором наступает превращение вещества из одного агрегатного состояния в другое.

Точка кипения. | Точка замерзания. | Точка плавления. | Чем больше высота, тем ниже точка кипения воды.

9. Точкой с запятой (;) называют знак препинания, употребляемый для разделения распространенных, более самостоятельных частей сложносочиненного предложения.

В английском языке используются практически те же самые знаки препинания, что и в русском: точка, запятая, точка с запятой, тире, апостроф, скобки, многоточие, вопросительный и восклицательный знаки, дефис.

10. Когда говорят о точке зрения , имеют в виду чьё-либо мнение об определённой проблеме, взгляд на вещи.

Менее популярна теперь другая точка зрения, ранее почти общепризнанная. | Эту точку зрения в наше время не разделяет никто.

11. Если о людях говорят, что у них есть точки соприкосновения , значит, у них есть общие интересы.

Возможно, нам удастся найти точки соприкосновения.

12. Если о чём-то говорится точка в точку , имеется в виду абсолютно точное соответствие.

Точка в точку в том месте, где было указано, стояла кофейного цвета машина.

13. Если о каком-то человеке говорят, что он дошёл до точки , значит, он достиг крайнего предела в проявлении каких-то отрицательных качеств.

Мы дошли до точки! Так больше жить нельзя! | Не скажешь ведь ему, что спецслужбы дошли до точки под его мудрым руководством.

14. Если кто-то ставит точку в каком-то деле, значит, он прекращает его.

Тогда он вернулся из эмиграции на родину, в Рос сию, в Советский Союз, и этим поставил точку под всеми своими исканиями и раздумьями.

15. Если кто-то ставит точки над «и» (или над i ), значит, он доводит дело до логического конца, не оставляет ничего недосказанного.

Давайте расставим все точки над i. Я ничего не знал о вашей самодеятельности.

16. Если кто-то бьёт в одну точку , значит, он сосредоточил все силы на достижении одной цели.

Оттого-то его изображения так отчётливы; он всегда бьёт в одну точку, никогда не увлекаясь второстепенными подробностями. | Он очень хорошо понимает, какова задача его бизнеса, и целенаправленно бьёт в одну точку.

17. Если кто-то попал в точку , значит, он сказал или сделал именно то, что нужно, угадал.

Первое же письмо, которое пришло на очередной тур конкурса, приятно удивило редакцию - в одном из перечисленных вариантов наш читатель сразу же попал в точку!

Точечный массаж.

Толковый словарь русского языка Дмитриева. Д. В. Дмитриев. 2003.

Точка

То́чка может означать:

• Точка - абстрактный объект в пространстве, не имеющий никаких измеримых характеристик, кроме координат.
• Точка - диакритический знак, который может ставиться над, под или в середине буквы.
• Точка - единица измерения расстояния в русской и английской системах мер.
• Точка - одно из представлений десятичного разделителя.
• Точка (сетевые технологии) - обозначение корневого домена в иерархии доменов глобальной сети.
• Точка - сеть магазинов электроники и развлечений
• Точка - альбом группы «Ленинград»
• Точка - российский кинофильм 2006 года по одноимённой повести Григория Ряжского
• Точка - второй студийный альбом рэп-исполнителя Стена.
• Точка - дивизионный ракетный комплекс.
• Точка - Красноярский молодёжно-субкультурный журнал.
• Точка - клуб и концертная площадка в Москве.
• Точка - один из символов азбуки Морзе.
• Точка - место несения боевого дежурства.
• Точка (обработка) - процесс механической обработки, вытачивания, заострения.
• ТОЧКА - Информационно-аналитическая программа на НТВ.
• тОчка - рок группа из города Норильска основаная в 2012 году.

Топоним

Казахстан

• Точка - до 1992 г. название аула Баяш Утепов в Уланском районе Восточно-Казахстанской области.

Россия

• Точка - деревня в Шекснинском районе Вологодской области.
• Точка - деревня в Волотовском районе Новгородской области.
• Точка - село в Лопатинском районе Пензенской области.

Вы можете дать определение таких понятий, как точка и прямая?

В наших школах и вузах этих определений не было, хотя они ключевые на мой взгляд (не знаю как с этим в других странах) . Мы можем дать этим понятиям определение, "удачные и неудачные" и рассмотреть есть ли в этом польза для развития мышления.

Wrestler

Странно, а нам определение точки давали. Это абстрактный объект (условность), расположенный в пространстве, который не имеет размеров. Это первое, что нам вбили в голову еще в школе - у точки нет мерностей, это "нульмерный" объект. Условное понятие, как и все в геометрии.

С прямой еще сложнее. В первую очередь это линия. Во вторую очередь это множество точек, расположенных в пространстве определенным образом. В самом простом определении это линия, заданная двумя точками, через которые она проходит.

Медив

Точка это какой то абстрактный объект. Точка имеет координаты, но не имеет массы и размеров. В геометрии все начинается именно с точки это начало всех остальных фигур.(в письменности кстати тоже, без точки не будет и начала слова). Прямая линия это расстояние между двумя точками.

Леонид кутний

Определение можно дать чему угодно и как угодно. Но есть вопрос:будет ли это определение "работать" в конкретной науке? Исходя из того что имеем, нет смысла давать определение точки, прямой и плоскости. Мне очень понравились замечания Артура.Хочу добавить, что точка имеет много свойств: не имеет длины, ширины, высоты, не имеет массы и веса и т.д.Но главное свойство точки - это то, что она чётко указывает местоположение предмета, объекта на плоскости, в пространстве. Вот зачем нужна нам точка!Но, умный читатель скажет, что тогда за точку можно принять книгу, стул, часы и другую вещь. Абсолютно верно! Поэтому и нет смысла давать определение точки. С уважением, Л.А.Кутний

Прямая - одно из основных понятий геометрии.

Точка - знак препинания при письме во многих языках.

Ещё, точка - один из символов азбуки Морзе

Так то много определений:D

Определения точки, прямой, плоскости были даны мною ещё в конце 80-х начала 90-х годов 20 века. даю ссылку:

https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP

В 328 страничном объёме описывается совершенно в новом аспекте познавательная сущность этих понятий, которые объясняются на основе реального физического мировоззрения и ощущения Я есть, значит "Я" существую, так же как существует и сама Вселенная к которой я принадлежу.

Всё написанное в данном произведении подтверждается знанием человечества о природе и её свойствах давно открытых и ещё только исследуемых на данный момент времени. Математика стала столь сложной в понимании и в осмыслении её для применения её абстрактных образов на практике технологических прорывов. Раскрыв Основания, которые являются первоосновами, можно объяснить даже ученику начальной школы причины заложенные в основу существования Вселенной. Читайте и приблизитесь ближе к Истине. Дерзайте, перед Вами открывается в новом свете Мир в котором мы существуем.

Существует ли определение понятия "точка" в математике, геометрии.

Mikhail levin

"неопределяемое понятие" - это определение?

Вообще-то именно неопределенность понятий и дает возможность применять математику к разным объектам.

Математик может даже сказать "под точкой я буду понимать евклидову плоскость, под плоскостью - евклидову точку" - проверить все аксиомы и получить новую геометрию или новые теоремы.

Дело в том, что, чтобы дать определение термину А, надо использовать термин Б. Чтобы определить Б, нужен термин В. И так далее до бесконечности. И чтобы спастись от этой бесконечности, приходится часть терминов принимать без определений и на них строить определения прочих. ©

Григорий пивень

В математике Пивень Григория Точка- это часть пространства, которая абстрактно (зеркально) принимается как минимальный отрезок длины, равный 1, который используется для измерения других частей пространства. А потому масштаб точки выбирает человек для удобства, для производительного процесса измерения: 1мм, 1см, 1м, 1км, 1а. е., 1 св. год. и т. д.

МКООУСТ САНАТОРНАЯ ШКОЛА - ИНТЕРНАТ

Точка и геометрические фигуры.

Исследовательская работа по математике.

Выполнил: Васильев Анатолий ученик 3 класса

Руководитель работы:

Дубовая Наталья Леонидовна,

Учитель начальных классов.

г.Томмот, 2013г.

1. Краткая аннотация. ......................................................................2
2. Аннотация. ....................................................................................3
3. Научная статья. .............................................................................6
4. Вывод.............................................................................................7

Список литературы.

Краткая аннотация.

В работе рассматриваются точка и геометрические фигуры: линия, лучь, отрезок, угол, треугольник, четырехугольник, круг и окружность, а так же роль точки в составе и построении этих фигур.

Аннотация.

Цель исследования: выяснить, что подразумевается под понятиями точка и из чего состоят геометрические фигуры: прямая, луч, угол, четырёхугольник, треугольник, окружность.

Объект исследования: точка и определения геометрических фигур: прямая, лучь, угол, четырёхугольник, треугольник, круг.

Предмет исследования: точка и геометрические фигуры: прямая, лучь, угол, четырёхугольник, треугольник, круг.

Гипотеза исследования: точка – единственная геометрическая фигура, а все остальные состоящие из множества точек.

Задачи исследования:

1. изучить материалы по теме: «Точка и геометрические фигуры: прямая, луч, угол, четырёхугольник, треугольник, круг.»;
2. найти определения точки, прямой, четырёхугольника, треугольника, угла, луча, круга;
3. представить свой анализ и размышления по данной теме;
4. представить презентацию, основанную на этой исследовательской работе.

Методы исследования: изучение литературы, работа со словарями, анализ исследования, вывод.

Научная статья.

Математика возникла в глубокой древности из практических потребностей людей. По поводу древности математики никто спорить не будет, а вот о том, что же побудило людей ею заниматься, существует и другое мнение. Согласно ему, математика так же как поэзия, живопись, музыка, театр и вообще - искусство, была вызвана к жизни духовными потребностями человека, его, быть может, не до конца осознанным еще, стремлением к познанию и красоте.

Задумывались ли вы когда-нибудь над тем, что такое точка и из чего состоят геометрические фигуры?

На первый взгляд все здесь ясно: точка - это точка, прямая - это прямая, что тут может быть непонятного? Ну, а все-таки, как это растолковать кому-нибудь, кто совсем этого не знает и, кроме того, понимает все очень буквально? Так ли уж это просто? Оказывается, вовсе нет!

На уроках труда, когда мы изучали технику изонити, у меня возникло предположение,что все геометрические фигуры состоят из точек. Именно этой теме я решил посвятить свою исследовательскую работу.

«Я знаю, что я ничего не знаю», - говорил Сократ, и пытался с помощью диалога с собеседником выяснить, что же именно он знает. Поэтому я и решила сначала выяснить, что же я знаю о геометрических фигурах.

Итак, просмотрим определения геометрических фигур обозначенных темой моей исследовательской работы.

1. Точка - это метка, след от прикосновения, укола чем- либо острым; маленькое круглое пятнышко, крапинка; что- либо очень маленькое, еле видимое. Точка-это основная геометрическая фигура

1. Линия- это множество точек. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим. Прямая - есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам. Термин «линия» возник от латинского linum-«лен, льняная нить».

_________________________________________________

1. Луч -это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки.

1. Отрезок -это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными её точками.

1. Угол- это фигура, которая состоит из точки-вершины угла и двух различных полупрямых, сходящих из этой точки, сторон угла.

1. Четырёхугольник – это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков.

1. Треугольник - фигура, составленная из трех точек, не лежащих на одной прямой, соединенных отрезками.

1. Круг -

Окружность –это фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Замкнутая линия вокруг круга.

ВЫВОД.

Понятия точки и прямой встречаются в нашей жизни везде и повсеместно. Например, если заглянуть в русский язык, то точка – это знак препинания (.), отделяющий законченное предложение. Также в русском языке встречаются такие знаки препинания как, точка с запятой, двоеточие, многоточие.

В физике, точка – определенное значение величины.

В географии, точку рассматривают как определенное место в пространстве.

В биологии - это точка роста растений.

В химии – точка замерзания, точка кипения, точка плавления.

В музыке, точка - знак, являющийся одним из основных элементов нотного письма.

В математике, точка - это основная геометрическая фигура; место пересечения двух прямых, граница отрезка линии, начало луча и т.д.

Для построения любой фигуры, нам необходима точка. Если отталкиваться от определения прямой линии, ЛИНИЯ- ЭТО МНОЖЕСТВО ТОЧЕК , а из определений, мы знаем, что любая фигура строится с помощью точки и линии, следовательно все фигуры состоят из точек.

В нашей жизни точка - это значок от укола, мелкая крапинка.

Моя исследовательская работа позволяет сделать вывод, что точка единственная геометрическая фигура. Все начинается с точки и ею же и заканчивается, и ещё не известно началом какого открытия она послужит.

Литература:

1 .Аксенова М.Д. Энциклопедия для детей. Т.11. - Математика, М.: Аванта+, 1999. Стр.575.

2 .Атанасян Л.С., геометрия,7-9: учебник для общеобразовательных учреждений/ 12-е изд. - М.:Просвещение, 2002. Стр. 5, 146, 177,178.

3. Атанасян Л.С., геометрия,10-11: учебник для общеобразовательных учреждений/15-е изд., доп. - М.:Просвещение, 2006. Стр.5-7.

4 .Виноградов И.М., математическая энциклопедия/М.:Советская энциклопедия. Стр.410, 722.

5 .Евгеньева А.П. Словарь русского языка. - М.:Просвещение, 1984.

6 .Кабардин О.Ф. Физика: справочные материалы. - М.:Просвещение,1991.

7 .Крамер Г. Математические методы статистики, перевод с англ., 2 изд., М., 1975.

8 .Лапатухин М.С. Школьный толковый словарь русского языка. - М.:Просвещение,1981.

9 .Прохоров А.М. Большой энциклопедический словарь. - М.:Просвещение,1998.

10. Прохоров Ю.В. Математический энциклопедический словарь. - М.:Просвещение,1998.

11 .Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. - М.:Педагогика,1985,стр.69.

12 .Шарыгин И.Ф. Наглядная геометрия. - М.:Просвещение,1995.

Разобравшись с тем, что такое единицы измерения и размерность, мы можем теперь перейти собственно к измерениям. В школьной математике используются два измерительных прибора - (1) линейка для измерения расстояний и (2) транспортир для измерения углов.

Точка

Расстояние всегда меряется между какими-либо двумя точками. С практической точки зрения, точка представляет собой маленькое пятнышко, которое остается на бумаге, если ткнуть в нее карандашом или ручкой. Другой, более предпочтительный способ задать точку, - это нарисовать крестик двумя тонкими линиями, в результате чего задается точка их пересечения. На чертежах в книгах точка часто изображается в виде маленького черного кружочка. Но это всё - лишь приблизительные наглядные изображения, а в строгом математическом смысле, точка - это воображаемый объект, размер которого по всем направлениям равен нулю. Для математиков весь мир состоит из точек. Точки находятся везде. Когда мы тыкаем ручкой в бумагу или рисуем крестик, мы не создаем новую точку, а лишь ставим метку на уже существующую, для того чтобы привлечь к ней чье-либо внимание. Если не оговорено противное, то подразумевается, что точки неподвижны и не меняют своего взаимного расположения. Но несложно вообразить и движущуюся точку, которая перемещается с места на место, как бы сливаясь то с одной неподвижной точкой, то с другой.

Прямая

Приставив линейку к двум точкам, мы можем провести через них прямую линию, и притом единственным образом . Воображаемая математическая прямая , проведенная по воображаемой идеальной линейке, обладает нулевой толщиной и простирается в обе стороны до бесконечности. На реальном чертеже эта воображаемая конструкция принимает вид:

Собственно говоря, в этом рисунке всё неправильно. Толщина линии здесь явно больше нуля, и никак не скажешь, чтобы линия простиралась до бесконечности. Тем не менее подобные неправильные рисунки очень полезны в качестве опоры для воображения, и мы будем ими постоянно пользоваться. Для того чтобы было удобнее отличать одну точку от другой, их обычно помечают заглавными буквами латинского алфавита. На этом рисунке, например, точки обозначены буквами A и B . Прямая, проходящая через точки A и B , автоматически получает название «прямая A B ». Для краткости допустимо также обозначение (A B ), где опущено слово «прямая» и добавлены круглые скобки. Прямые также можно обозначать строчными буквами. На рисунке, приведенном выше, прямая A B обозначена буквой n .

Помимо точек A и B на прямой n имеется огромное число других точек, каждую из которых можно представить как пересечение с еще какой-то прямой. Через одну и ту же точку можно провести много разных прямых.

Если мы знаем, что на прямой имеются несовпадающие точки A , B , C и D , то ее с полным правом можно обозначить не только как (AB ), но и как (AC ), (BD ), (CD ) и т.п.

Отрезок. Длина отрезка. Расстояние между точками

Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется отрезком . Эти ограничивающие точки также принадлежат отрезку и называются его концами . Отрезок, концы которого приходятся на точки A и B , обозначается как «отрезок A B » или, несколько короче, [A B ].

Всякий отрезок характеризуется длиной - числом (возможно, дробным) «шагов», которые надо сделать вдоль отрезка, чтобы попасть из одного конца в другой. При этом длина самого «шага» является строго фиксированной величиной, которая принимается за единицу измерения. Длины отрезков, нарисованных на листе бумаги, удобнее всего измерять в сантиметрах . Если концы отрезка приходятся на точки A и B , то его длина обозначается как |A B |.

Под расстоянием между двумя точками понимается длина соединяющего их отрезка. Фактически, однако, проводить отрезок для измерения расстояния не требуется - достаточно приставить к обоим точкам линейку (на которой заранее нанесены следы от «шагов»). Поскольку в математике точка - это вымышленный объект, то ничто не мешает нам пользоваться в своем воображении идеальной линейкой, которая измеряет расстояние с абсолютной точностью. Не следует, однако, забывать, что реальная линейка, приложенная к пятнышкам или центрам крестиков на бумаге, позволяет устанавливать расстояние лишь приблизительно - с точностью до одного миллиметра. Расстояние всегда неотрицательно.

Положение точки на прямой

Пусть нам дана некоторая прямая. Отметим на ней произвольную точку и обозначим ее буквой O . Поставим рядом с ней число 0. Какое-то одно из двух возможных направлений вдоль прямой назовем «положительным», а противоположное ему - «отрицательным». Обычно за положительное принимается направление слева направо или снизу вверх, но это необязательно. Отметим положительное направление стрелочкой, как показано на рисунке:

Теперь для любой точки, расположенной на прямой, мы можем определить ее положение . Положение точки A задается величиной, которая может быть отрицательной, равной нулю или положительной. Ее абсолютное значение равно расстоянию между точками O и A (то есть длине отрезка O A ), а знак определяется тем, в каком направлении от точки O надо двигаться, чтобы попасть в точку A . Если двигаться надо в положительном направлении, то и знак положительный. Если в отрицательном, то и знак отрицательный. Вместо слова «положение» часто используют также слово «координата ».

Иррациональные и действительные (вещественные) числа

Когда мы имеем дело с реальным чертежом и определяем положение реальной точки на реальной проямой с помощью школьной линейки, у нас получается значение, округленное с точностью до одного миллиметра. Иначе говоря, результатом оказывается величина, взятая из следующего ряда:

0 мм , 1 мм , −1 мм , 2 мм , −2 мм , 3 мм , −3 мм и т.д.

Результат никак не может быть равен, например, 1/3 см , потому что, как мы знаем, одна треть санитиметра представима в виде бесконечной периодической дроби

0,333333333... см ,

которая после округления должна стать равной 0,3 см .

Иное дело, когда мы манипулируем в воображении идеальными математическими объектами.

Во-первых, в этом случае запросто можно отбрасывать единицы измерения и оперировать исключительно безразмерными величинами. Тогда мы приходим к геометрической конструкции, с которой мы познакомились, когда проходили рациональные числа, и которую мы назвали числовой прямой :

Поскольку слово «прямая» в геометрии и без того сильно «нагружено», эту же конструкцию часто называют числовой осью или просто осью .

Во-вторых, мы вполне можем себе представить, что координата точки задается какой-нибудь периодической десятичной дробью, вроде

Более того, мы можем вообразить бесконечную непериодическую дробь - такую, например, как

1 ,01 001 0001 00001 000001 0000001 ...

1 ,23 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819 2021 ...

Подобные воображаемые числа, представимые в виде бесконечных непериодических десятичных дробей, называются иррациональными . Иррациональные числа вместе с уже знакомыми нам рациональными числами образуют так называемые действительные числа. Вместо слова «действительные» употребимо также слово «вещественные ». Любое мыслимое положение точки на прямой может быть выражено действительным числом. И наборот, если нам дано какое-то действительное число x , мы всегда можем представить себе точку X , положение которой задается числом x .

Смещение

Пусть a - координата точки A , а b - координата точки B . Тогда величина

v = b − a

является смещением , которое переводит точку A в точку B . Это становится особенно очевидно, если предыдущее равенство переписать в виде

b = a + v .

Иногда вместо слова «смещение» используют слово «вектор ». Несложно видеть, что положение x произвольной точки X - это не что иное, как смещение, переводящее точку O (с координатой, равной нулю) в точку X :

x = 0 + x .

Смещения можно складывать между собой, а также вычитать друг из друга. Так, если смещение (b − a ) переводит точку A в точку B , а смещение (c − b ) точку B в точку C , тогда смещение

(b − a ) + (c − b ) = c − a

переводит точку A в точку C .

Примечание. По логике вещей, тут следовало бы уточнить, как надлежит складывать и вычитать иррациональные числа, поскольку смещение вполне может оказаться иррациональным. Разумеется, математики позаботились о том, чтобы выработать соответствующие формальные процедуры, но на практике мы этим заниматься не будем, так как для решения практических задач всегда достаточно приближенных вычислений с округленными величинами. Мы сейчас просто примем на веру, что понятия «сложение» и «вычитание» - а также «умножение» и «деление» - корректно определены для любых двух действительных чисел (с той, впрочем, оговоркой, что делить на ноль нельзя).

Тут, пожалуй, будет уместно отметить тонкое различие между понятиями «смещение» и «расстояние». Расстояние всегда неотрицательно. Оно фактически представляет собой смещение, взятое по абсолютной величине. Так, если смещение

v = b − a

переводит точку A в точку B , тогда расстояние s между точками A и B равно

s = |v| = |b − a|.

Это равенство остается справедливым независимо от того, которое из двух чисел больше - a или b .

Плоскость

В практическом смысле, плоскость - это лист бумаги, на котором мы чертим наши геометрические чертежи. Воображаемая математическая плоскость отличается от листа бумаги тем, что она имеет нулевую толщину и неограниченную поверхность, которая простирается в разные стороны до бесконечности. Кроме того, в отличие от листа бумаги, математическая плоскость является асолютно жесткой: она никогда не гнется и не мнется - даже если ее оторвать от письменного стола и расположить в пространстве каким угодно образом.

Расположение плоскости в пространстве однозначно задается тремя точками (если только они не лежат на какой-нибудь одной прямой). Чтобы это нагляднее себе представить, давайте нарисуем три произвольные точки, O , A и B , и проведем через них две прямые OA и OB , как показано на рисунке:

«Натянуть» в воображении плоскость на две пересекающиеся прямые уже несколько проще, чем «опереть» ее на три точки. Но для еще большей наглядности проделаем еще кое-какие дополнительные построения. Давайте возьмем наугад пару точек: одну в любом месте на прямой OA , а другую - в любом месте на прямой OB . Проведем через эту пару точек новую прямую. Далее, подобным же образом выберем другую пару точек и проведем через них еще одну прямую. Повторив эту процедуру много раз, мы получим что-то вроде паутины:

Наложить плоскость на такую конструкцию уже совсем просто - тем более что эту воображаемую паутину можно сделать настолько густой, что она покроет собой всю плоскость без пробелов.

Заметим, что если взять на плоскости пару несовпадающих точек и провести через них прямую, то эта прямая обязательно будет лежать в той же самой плоскости.

Конспект

Точка (A , B , и т.п.): воображаемый объект, размер которого по всем направлениям равен нулю.

Прямая (n , m или (AB )): бесконечно тонкая линия; проводится через две точки (A и B ) по линейке однозначным образом; простирается в обе стороны до бесконечности.

Отрезок ([AB ]): часть прямой, ограниченная двумя точками (A и B ) - концами отрезка, которые также считаются принадлежащими отрезку.

Длина отрезка (|AB |): (дробное) число сантиметров (или же другой единицы измерения), укладывающихся между концами (A и B ).

Расстояние между двумя точками : длина отрезка с концами в этих точках.

Положение точки на прямой (координата ): расстояние от точки до некоторого заранее выбранного центра (также лежащего на прямой) с приписанным знаком «плюс» или «минус» в зависимости от того, по какую сторону от центра точка расположена.

Положение точки на прямой задается действительным (вещественным ) числом , а именно - десятичной дробью, которая может быть либо (1) конечной или бесконечной периодической (рациональные числа ), либо (2) бесконечной непериодической (иррациональные числа ).

Смещение , переводящее точку A (с координатой a ) в точку B (с координатой b ): v = b − a .

Расстояние равно смещению, взятому по абсолютной величине: |AB | = |b − a |.

Плоскость : бесконечно тонкий лист бумаги, простирающийся разные стороны до бесконечности; однозначно задается тремя точками, не лежащими на одной прямой.