С грамматической точки зрения, высказывание – это повествовательное предложение.

Сложные предложения строятся из выражений, обозначающих некоторые понятия, и логических связок. Слова и обороты НЕ, И, ИЛИ, ЕСЛИ … ТО, ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, СУЩЕСТВУЕТ, ВСЕ и некоторые другие называются логическими связками (операторами) и обозначают логические операции, с помощью которых из одних предложений строятся другие.

Предложения без логических связок являются элементарными, их нельзя расчленить на части так, чтобы при этом каждая из частей была также предложением. Элементарные высказывания называются также высказываниями (суждениями). В высказываниях содержится информация о предметах, явлениях, процессах.

Элементарное высказывание состоит из субъекта (логического подлежащего) – того, о чем идет речь в высказывании, и предиката (логического сказуемого) – того, что утверждается или отрицается в высказывании о субъекте.

Таким образом, высказывание – это форма мышления, в которой утверждается или отрицается логическая связь между понятиями, выступающими в качестве субъекта и предиката данного высказывания. Соответствие или несоответствие этой связи реальности делает высказывание (суждение) истинным или ложным.

Логическая связь между субъектом и предикатом высказывания выражается обычно в виде связки ЕСТЬ или НЕ ЕСТЬ, хотя в самом предложении эта связка может отсутствовать, а лишь подразумеваться. При этом субъект высказывания может выражаться не обязательно только подлежащим в предложении, так же как и предикат – не только сказуемым (это могут быть и другие члены предложения). Что считать в предложении субъектом, а что предикатом высказывания определяется логическимударением. Логическое ударение связано со смыслом, содержащимся в предложении для говорящего или слушающего.

По форме высказывания делятся на простые (имеющие логическую форму «S есть P » или «S не есть P », где S – субъект, P – предикат) и сложные (грамматически выражающиеся сложными предложениями).

Пример простого высказывания: «Все медведи любят мед», сложного – «Некоторые медведи любят мед и молодые побеги бамбука».

Простые высказывания позволяют выразить следующие типы высказываний:

· атрибутивные высказывания – выражают принадлежность или не принадлежность свойства объекту или классу (например, Земля есть планета);

· высказывания об отношениях– говорят о наличии отношения между объектами (например, 3<5 );

· высказывания существования (экзистенциональные высказывания)– говорят о существовании или не существовании объекта или явления.

Операции на множестве высказываний.

Из элементарных высказываний можно составлять сложные высказывания с помощью логических операций. Элементарные высказывания, входящие в состав сложного высказывания, связываются логическими операторами не по смысловому описанию, а только по их истинностным значениям. Следовательно, сложные высказывания являются функциями от входящих в них элементарных высказываний. Все операции в логике высказываний описываются только таблицей истинности.

К операциям на множестве высказываний относятся:

· Отрицание. Для него таблица истинности:

В естественном языке она чаще всего интерпретируется союзом «и».

· Дизъюнкция двух элементарных высказываний истинна тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из элементарных высказываний. Ее иногда называется логическим сложением или логическим максимумом. Таблица истинности дизъюнкции выглядит так:

· Операция «исключающего или» задается следующей таблицей истинности, она истинна, когда истинен только один из операндов. Эту операцию еще называют строгой дизъюнкцией или логическим неравенством.

В таком виде часто формулируются математические теоремы. Если теорема сформулирована как-нибудь иначе, то ее можно перефразировать в указанном виде, не теряя её сущности.

§ 4. Выражение логических связок (логических постоянных) в естественном языке

В мышлении мы оперируем не только простыми, но и слож­ными суждениями, образуемыми из простых посредством логи­ческих связок (или операций) - конъюнкции, дизъюнкции, имп­ликации, эквиваленции, отрицания, которые также называются логическими константами, или логическими постоянными. Про­анализируем, каким образом перечисленные логические связки выражаются в естественном (русском) языке.

Конъюнкция (знак «л») выражается союзами «и», «а», «но», «да», «хотя», «который», «зато», «однако», «не только..., но и» и др. В логике высказываний знак « л » соединяет простые выска­зывания, образуя из них сложные. В естественном языке союз «и» и другие слова, соответствующие конъюнкции, могут соединять существительные, глаголы, наречия, прилагательные и другие части речи. Например, «В корзине у деда лежали подберезовики и маслята» (ab), «Интересная и красиво оформленная книга лежит на столе». Последнее высказывание нельзя разбить на два простых, соединенных конъюнкцией: «Интересная книга лежит на толе» и «Красиво оформленная книга лежит на столе», - так как создается впечатление, что на столе лежат две книги, а не одна.

В логике высказываний действует закон коммутативности конъюнкции (ab)(ba). В естественном русском языке такого закона нет, так как действует фактор времени. Там, где учитывается последовательность во времени, употребление союза «и» некоммутативно. Поэтому не будут эквивалентными, например, такие два высказывания: 1) «Прицепили паровоз, и поезд тро­нулся» и 2) «Поезд тронулся, и прицепили паровоз».

В естественном языке конъюнкция может быть выражена не только словами, но и знаками препинания: запятой, точкой с запятой, тире. Например, «Сверкнула молния, загремел гром, пошел дождь».

О выражении конъюнкции средствами естественного языка пишет С. Клини в своей книге «Математическая логика». В раз­деле «Анализ рассуждений» он приводит (не исчерпывающий) список выражений естественного языка, которые могут быть заменены символами « Л » или «&». Формула А ^ В в естествен­ном языке может выражаться так:

«Не только А , но и В. Как А, так и В.

В, хотя и Л. А вместе с В.

В, несмотря на А. А , в то время как В» 7 .

Придумать примеры всех этих структур предоставляем чита­телю.

В естественном (русском) языке дизъюнкция (обозначенная ab и ab) выражается союзами: «или», «либо», «то ли... то ли» и др. Например, «Вечером я пойду в кино или в библиотеку»; «Это животное принадлежит либо к позвоночным, либо к беспоз­воночным»; «Доклад будет то ли по произведениям Л. Н. Тол­стого, то ли по произведениям Ф. М. Достоевского».

Для обоих видов дизъюнкции действует закон коммутативно­сти: (ab(ba) и (ab)(ba). В естественном языке эта эквивалентность сохраняется. Например, суждение «Я куплю ма­сло или хлеб» эквивалентно суждению «Я куплю хлеб или масло». С. Клини показывает, какими разнообразными способами могут быть выражены в естественном языке импликация (AB) и эквиваленция (A ~B ).

(Буквами А и В обозначены переменные высказыва­ния.)

Приведем логические схемы и соответствующие им примеры, иллюстрирующие разнообразные способы выражения имплика­ции А -> В (где А - антецедент, В - ковсеквент).

1. Если А, то В.

Если поставщики вовремя доставят детали, то завод выпол­нит свой производственный план.

2. Коль скоро А, то В.

Коль скоро приложенные силы снимаются, то сжатая пружина возвращается к своей первоначальной форме.

3. Когда А, имеет место В.

Когда наступает плохая погода, имеет место повышение числа сердечно-сосудистых заболеваний у людей.

4. Для В достаточно А.

Для того чтобы газы расширились, достаточно их нагреть.

5. Для А необходимо В.

Для сохранения мира на Земле необходимо объединить усилия всех государств в борьбе за мир.

6. А, только если В.

Студенты этого курса не приходили на субботник, только если они были больны.

7. В. если А.

Я разрешу тебе пойти погулять, если ты выполнишь все домашние задания.

Приведем логические схемы и соответствующие им примеры разнообразных способов выражения эквиваленции.

1. А, если и только если В.

Иванов не закончит свои эксперименты к сроку, если и только если ему не помогут сотрудники.

2. Если А, то В, и наоборот.

Если студент сдал все экзамены и практику на «отлично», то он получает диплом с отличием, и наоборот.

3. А, если В, и В, если А.

Многоугольник является вписанным в круг, если его вершины лежат на окружности, и вершины многоугольника лежат на окру­жности, если этот многоугольник является вписанным в круг.

4. Для А необходимо и достаточно В.

Для того чтобы число без остатка делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр этого числа делилась без остатка на 3.

5. А равносильно В (иногда).

То, что площадь правильного многоугольника равна произ­ведению полупериметра на апофему, равносильно тому, что пло­щадь правильного многоугольника равна произведению периме­тра на половину апофемы.

6. А тогда и только тогда, когда В.

Фирма будет согласна принять предложение о покупке товара тогда и только тогда, когда будет снижена цена этого товара на 15%.

Из приведенных выше схем и соответствующих им высказы­ваний с конкретным разнообразным содержанием становится ясно, насколько многогранны в естественном языке (в частности, в русском) средства выражения импликации, эквиваленции и дру­гих логических связок (логических терминов). Это можно сказать и о других естественных языках 9 .

Импликация (ab) не совсем соответствует по смыслу союзу «если... то» естественного языка, так как в ней может отсут­ствовать содержательная связь между суждениями а и b . В логике высказываний законом является формула:(ab)(ab).

Но в естественном языке дело обстоит иначе. Иногда союз «если, то» выражает не импликацию, а конъюнкцию. Например, «Если вче­ра было пасмурно, то сегодня ярко светит солнце». Это сложное суждение выражается формулой ab. Кроме логических связок для выражения общих и частных суждений в логике используются квантор общности и квантор существования. Запись с квантором общности VP() обычно читается так: «Все х (из некоторой области объектов) обладают свойством Р », а запись с квантором существования ЗхР (х ) чита­ется так: «Существуют такие х (в данной области), которые обладают свойством Р». Например, 3x(x>100) читается как «Существуют такие х, которые больше 100», где под х подразумева­ются числа. Квантор общности выражается словами: «все», «вся­кий», «каждый», «ни один» и др. Квантор существования выража­ется словами: «некоторые», «существуют», «большинство», «ме­ньшинство», «только некоторые», «иногда», «тот, который», «не все», «многие», «немало», «немногие», «много», «почти все» и др.

С. Клини пишет о том, что, переводя выражения обычного языка с помощью табличных пропозициональных связок, мы лишаемся некоторых оттенков смысла, но зато выигрываем в то­чности 10 .

В практике математических и иных рассуждений имеются понятия «необходимое условие» и «достаточное условие». Условие называется необходимым, если оно вытекает из заключения (след­ствия). Условие называется достаточным, если из него вытекает заключение (следствие). В импликации а -> b переменная а является основанием. Она называется антецедентом. Переменная b - след­ствием (заключением). Она называется консеквентом.

Учащимся на уроках математики предлагаются задачи типа 1-4, требующие в каждом из следующих предложений вместо многоточия поставить слова: «необходимо» или «достаточно», либо «необходимо и достаточно»:

1. Для того чтобы сумма двух целых чисел была четным числом... чтобы каждое слагаемое было четным.

2. Для того чтобы число делилось на 15 ... чтобы оно дели­лось на 5.

3. Для того чтобы произведение (х - 3) (х +2) (х - 5) было рав­но 0, ... чтобы х = 3.

4. Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником... чтобы все его углы были равны 11 .

Сложным называют суждение, содержащее логические связки и состоящее из нескольких простых суждений.

В дальнейшем простые суждения мы будем рассматривать как некие неделимые атомы, как элементы, из соединения которых возникают сложные структуры. Простые суждения будем обозначать отдельными латинскими буквами: a, b, c, d, … Каждая такая буква представляет некоторое простое суждение. Откуда это видно? Отвлекаясь от сложной внутренней структуры простого суждения, от его количества и качества, забыв о том, что в нем имеется субъект и предикат, мы удерживаем лишь одно свойство суждения – то, что оно может быть истинным или ложным. Все остальное нас здесь не интересует. И когда мы говорим, что буква «a» представляет суждение, а не понятие, не число, не функцию, мы имеем в виду только одно: это «a» представляет истину или ложь. Если под «a» мы подразумеваем суждение «Кенгуру живут в Австралии», мы подразумеваем истину; если же под «а» мы подразумеваем суждение «Кенгуру живут в Сибири», мы подразумеваем ложь. Таким образом, наши буквы «a», «b», «c» и т.д. – это переменные, вместо которых могут подставляться истина или ложь.

Логические связки представляют собой формальные аналоги союзов нашего родного естественного языка. Как сложные предложения строятся из простых с помощью союзов «однако», «так как», «или» и т.п., так и сложные суждения образуются из простых с помощью логических связок. Здесь ощущается гораздо большая связь мысли с языком, поэтому в дальнейшем мы вместо слова «суждение», обозначающего чистую мысль, часто будем использовать слово «высказывание», обозначающее мысль в ее языковом выражении. Итак, давайте познакомимся с наиболее употребительными логическими связками.

Отрицание. В естественном языке ему соответствует выражение «Неверно, что…». Отрицание обычно обозначается знаком «¬», стоящим перед буквой, представляющей некоторое суждение: «¬а» читается «Неверно, что а». Пример: «Неверно, что Земля – шар».

Следует обратить внимание на одно тонкое обстоятельство. Выше мы говорили о простых отрицательных суждениях. Как их отличить от сложных суждений с отрицанием? Логика различает два вида отрицания – внутреннее и внешнее. Когда отрицание стоит внутри простого суждения перед связкой «есть», то в этом случае мы имеем дело с простым отрицательным суждением, например: «Земля не шар». Если же отрицание внешним образом присоединяется к суждению, например: «Неверно, что Земля – шар», то такое отрицание рассматривается как логическая связка, преобразующая простое суждение в сложное.

Конъюнкция. В естественном языке этой связке соответствуют союзы «и», «а», «но», «однако» и т.п. Чаще всего конъюнкция обозначается значком «&». Сейчас этот значок часто встречается в названиях различных фирм и предприятий. Суждение с такой связкой называется конъюнктивным, или просто конъюнкцией, и выглядит следующим образом:

a & b. Пример: «В корзине у деда лежали подберезовики и маслята». Это сложное суждение представляет собой конъюнкцию двух простых суждений: – «В корзине у деда лежали подберезовики» и «В корзине у деда лежали маслята».

Дизъюнкция. В естественном языке этой связке соответствует союз «или». Обычно она обозначается знаком «v». Суждение с такой связкой называется дизъюнктивным, или просто дизъюнкцией, и выглядит следующим образом: a v b.

Союз «или» в естественном языке употребляется в двух разных смыслах: нестрогое «или» – когда члены дизъюнкции не исключают друг друга, т.е. могут быть одновременно истинными, и строгое «или» (часто заменяется парой союзов «либо…, либо…») – когда члены дизъюнкции исключают друг друга. В соответствии с этим различают и два вида дизъюнкции – строгую и нестрогую.

Импликация. В естественном языке ей соответствует союз «если… то». Она обозначается знаком «->». Суждение с такой связкой называется импликативным, или просто импликацией, и выглядит следующим образом: a -> b. Пример: «Если по проводнику проходит электрический ток, то проводник нагревается». Первый член импликации называется антецедентом, или основанием; второй – консеквентом, или следствием. В повседневном языке союз «если… то» обычно соединяет предложения, которые выражают причинно-следственную связь явлений, причем первое предложение фиксирует причину, а второе – следствие. Отсюда и названия членов импликации.

Представление высказываний естественного языка в символическом виде с помощью указанных выше обозначений означает их формализацию, которая во многих случаях оказывается полезной.

4) Прекрасный остров лежал в теплом океане. И все бы хорошо, да повадились на этом острове устраиваться на жительство чужестранцы. Едут и едут со всех концов света, уж коренных жителей стеснять стали. Дабы воспрепятствовать нашествию чужестранцев, правитель острова издал указ: «Всякий приезжий, желающий поселиться на нашем благословенном острове, обязан высказать какое-нибудь суждение. Если суждение окажется истинным, чужестранца следует расстрелять; если же суждение окажется ложным, его следует повесить». Боишься – тогда молчи и поворачивай восвояси!

Спрашивается: какое нужно высказать суждение, чтобы остаться в живых и все-таки поселиться на острове?

Сложные суждения – это суждения, образованные из простых с помощью логических связок.

Связь между элементами сложного суждения осуществляется с помощью логических союзов (логических связок).

Логические связки:

Главная их особенность в том, что логические союзы однозначны, тогда как грамматические союзы имеют множество смыслов и оттенков.

1. КОНЪЮНКЦИЯ (от лат. сonjunctio– союз, связь).

Знак: ˄ или &

и », «а », «но », «да », «хотя », «который », «зато », «однако », «при этом » и т.п.

Суждение «Она любит яблочный сок и зелёный чай » является конъюнкцией (связью) двух простых суждений: «она любит яблочный сок » и «она любит зелёный чай ».

а ˄ b или а & b

2. ДИЗЪЮНКЦИЯ (от лат.disjunctio– разобщение).

Знак: ˅

В русском языке конъюнкции соответствуют союзы: «или », «либо », «то ли… то ли ».

Суждение «Мы пойдём в кино или в парк » является дизъюнкцией двух простых суждений: «мы пойдём в кино» или «мы пойдём в парк» . Данная связка не является строгой, то есть не предполагает только один выбор, так как мы можем пойти и в кино, и погулять в парке.

Запись этого суждения с помощью логических связок будет выглядеть: а ˅ b

3.Строгаядизъюнкция

Знак: .

Союз «или» может употребляться в строгом смысле – когда члены дизъюнкции исключают друг друга.

Запись этого суждения с помощью логических связок будет выглядеть:

4. ИМПЛИКАЦИЯ (от лат.implico– тесно связываю)

Знак: → .

В языке аналоги этой связки союзы: «если…, то »; «когда…, тогда »; «коль скоро…, то » и т.п.

Обычно с помощью импликации выражаются причинно-следственные отношения типа: «Если выглянет Солнце, то станет тепло ».a → b . Первый элемент импликации называетсяоснованием (антецедентом), второй –следствием (консеквентом).

5. ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (от позднелат.aequivalens– равнозначный; равноценный)

Знак: ↔ или ≡ .

В языке аналоги этой связки союзы: «если и только если »; «тогда и только тогда, когда… »; «лишь при условии, что…, то ».

Суждение: «Только тогда ребёнок получит конфету, когда доест весь суп » является эквиваленцией.

Запись этого суждения с помощью логической связки будет выглядеть: a ↔ b илиa ≡ b

6 .ОТРИЦАНИЕ

Знак: ~ или ¬ . ставятся перед суждением ~а или ¬а ; или черта, которая ставится над суждением

В языке отрицание выражается союзами и словами: «не », «неверно » и т.п.

Суждение: «Не заводится машина » записывается как~а

Суждение: «Любит или не любит » содержит строгую дизъюнкцию и отрицание.

Упражнения: Запишите суждения в виде логической формы с помощью логических связок.

Самопроверка: Запишите суждения в виде логической формы с помощью логических связок

Для самопроверки выделите столбец «формула» и измените цвет шрифта

Сформулируем основные правила образования новых предложений из исходных с помощью основных связок и союзов обычного разговорного языка. Одних только правил русского языка бывает недостаточно, так как иногда в одно и то же предложение, сформулированное на русском языке, мы вкладываем разный смысл. Для примера рассмотрим оборот речи «Если, то», с помощью которого сформулируем два предложения:

• 1) «Если Миша сдаст экзамен на отлично, то пойдет на дискотеку».
• 2) «Если Миша не сдаст экзамен на отлично, то на дискотеку не пойдет».

Вопрос: в этих предложениях говорится об одном и том же или существует ситуация, когда одно из предложений является верным, а другое ложным? Другими словами, спрашивается, равносильны ли эти предложения.

До тех пор, пока мы четко нс определим правила построения подобного рода фраз, на вопрос ответить однозначно нельзя. С одной стороны, формулируя первое предложение, мы часто подразумеваем и второе предложение. Однако посмотрим на эти предложения с другой стороны.

Вначале запишем схемы предложений. Для этого предложение «Миша сдаст экзамен на отлично» обозначим буквой А , а предложение «Миша пойдет на дискотеку» - буквой В. Тогда данные предложения схематично можно записать так:

I) «Если А , то В», 2) «Если не А , то не В».

Теперь подставим вместо А и В другие предюжения. Вместо А возьмем: «Стол сделан из дуба», вместо В «Стол является деревянным». Тогда получим другую пару предложений:

• 1) «Если стол дубовый, то он деревянный»,
• 2) «Если стол не дубовый, то он не деревянный».

Так как эти предложения построены по тем же схемам, что первые два, значит, равносильность первой пары предложений должна означать равносильность второй пары. Однако первое предложение в обыденной речи, очевидно, является верным высказыванием, так как дуб - это дерево, а второе предложение по общепринятому смыслу ложно, так как стол может быть сделан из другого дерева, например из сосны.

Таким образом, в общем случае предложения, построенные по схемам «Если А , то В» и «Если не А, то не В », нельзя считать логически одинаковыми.

Итак, для того чтобы исключить двусмысленность при конструкции предложений, нужны четкие правила, позволяющие определять истинность или ложность получаемого предложения в зависимости от истинности или ложности исходных предложений А и В.

Придадим союзам «и», «или», а также схемам «если, то», «тогда и только тогда», «неверно, что» однозначный логический смысл.

Пусть буквы А и В обозначают произвольные предложения. Начнем с простых ситуаций.

1. Знак отрицания ~| (-i) или. Выражение ~li (-Л, А ) читается: «не А» или «неверно, что А».

Значения предложения ~А определим таблицей, из которой видно, что предложение ~л истинно в точности тогда, когда исходное предложение А ложно:

При формулировке простых по структуре предложений частицу «не» иногда можно «проносить вовнутрь» предложения. Например, предложение

«Неверно, что число V6 целое» можно сформулировать так: «Число л/6 не целое». Также предложение «Неверно, что прямые а и b пересекаются» формулируют: «Прямые а и b нс псрссскаются».

Часто объект, который не обладает каким-то свойством, называют термином с частицей «не». Например, целое число, не являющееся четным, называется нечетным. Поэтому одинаково правильно говорить «Целое число нечетное» и «Целое число не является четным». Но без оговорки, что число целое, мы имеем разные по смыслу предложения. Например, «Число 0,2 не является четным» - истина, а предложение «Число 0,2 нечетное» - ложь.

Рассмотрим словосочетание «нечетная функция». Здесь мы имеем самостоятельный термин и слово «нечетная» нельзя писать и произносить раздельно, то есть предложение «Функция является нечетной» не является отрицанием предложения «Функция является четной». Действительно, существует пример функции, при котором оба предложения ложны. Например, функция )т=х+ не является четной и не является нечетной (постарайтесь объяснить это).

2. Знак конъюнкции л. Выражение ЛлВ читается: «А и В». Иногда конъюнкция обозначается знаком &.

Значения предложения АлВ в зависимости от составляющих его предложений А и В определены таблицей:

Таким образом, предложение АлВ истинно только в одном случае, когда оба предложения А и В истинны. В остальных случаях это предложение ложно. При формулировке предложения АлВ вместо союза «и» можно использовать другие союзы, имеющие тот же логический смысл одновременного выполнения каждого из предложений: «а», «но».

Пример 1.3.1. Предложение «Число 111 нс делится на 2, но делится на 3» - символически можно записать 1АлВ, где А = «111 делится на 2», В = « 111 делится на 3».

3. Знак дизъюнкции v. Выражения AvB читается: «А или В».

Значения предложения AvB определены таблицей:

Из таблицы видно, что предложение «А или В» истинно в тех случаях, когда хотя бы одно из предложений А или В истинно, а в случае, когда оба предложения А и В ложны, предложение AvB принимает ложное значение.

Иногда из содержания предложений А и В вытекает, что предложения не могут быть одновременно истинны. В этом случае предложение формулируют с помощью союза «либо». Например, предложение «Число либо положительное, либо отрицательное» также имеет вид «А или В », но вместе с тем имеет такой подтекст, что одновременно и положительным, и отрицательным число быть не может.

Сформулированные выше правила, по всей видимости, вопросов не вызывают. Перейдем к рассмотренной в начале пункта схеме «Если А, то В».

4. Знак импликации -Выражение А->В читается: «Если А, то В». Иногда для обозначения этой связки используется другое обозначение стрелки =>, а также знак z>. Наряду с фразой «Если А , то В» используют другие, аналогичные ей: «В тогда, когда А », «А только тогда, когда В».

Мотивируем определение значений предложения А->В. Основная трудность, которая здесь возникает, состоит в присвоении значения предложению Л-»# для тех случаев, когда А ложно. Чтобы разумно определить значения, вспомним рассмотренное выше верное предложение: «Если стол дубовый, то он деревянный». Здесь А = «Стол дубовый», В = «Стол деревянный». Пусть стол сделан из сосны. Тогда А ложно, В истинно. Пусть стол будет железным. Тогда А ложно и В ложно. В обоих случаях предложение А ложно, а получаемое предложение «Если А , то В» истинно. При этом оба эти случая реально возможны. Конечно, возможен случай, когда мы имеем дубовый стол, тогда Aw В одновременно истинны. А вот примера истинного предложения А->В, когда А=и> В=л , не существует.

Таким образом, случаи, когда А=и , В=и, или А=л у В=и , или А=л , В=л, должны определять истинное предложение И лишь один случай, при

котором А=и , В-л, означает, что предложение А->В ложно.

Итак, в математической логике значения предложения Т-задаются приведенной таблицей:

В дальнейшем всюду фраза «Если А , то В» будет пониматься именно так. Здесь предложение А называется посылкой , или условием , а В - заключением.

Пример 13.2. Родители пообещали своему сыну Пете: если он успешно окончит университет, они купят ему машину. Известно, что сын университет не окончил, а машину ему родители все-таки купили. Можно ли утверждать, что слова родителей были ложью?

Чтобы ответить на вопрос, рассмотрим предложения: А = «Сын оканчивает университет», В = «Ему покупают машину». При этом А=л, В=и. Обещание родителей имеет вид А^>В. По определению это предложение при заданных значениях А и В верно (третья строка таблицы). Поэтому с точки зрения логики слова родителей верны. А вот если бы их сын окончил институт, а машину ему не купили, в этом случае (и ни в каком другом) обещание было бы не выполнено.

Теперь рассмотрим еще одну логическую связку, которую часто имеют в виду, когда говорят слова «если, то». Например, если в условиях примера 1.3.2 родители предполагали, что в случае, если их сын Петя нс окончит институт, они не купят ему машину, правильно было бы сказать: «Машина будет куплена в том и только в том случае, если Петя окончит институт».

5. Знак эквиваленции или. Выражение А читается: «А тогда и только тогда, когда В». Возможны другие формулировки: «А в том и только в том случае, если В », «А в точности тогда, когда В» и т. п.

Значения предложения АВ задаются таблицей:

В случаях, когда А и В принимают одинаковые значения, предложение АВ верно, в остальных случаях предложение ложно.

Нетрудно заметить, что фраза «А тогда и только тогда, когда В» состоит из двух фраз: «А тогда, когда В» и «А только тогда, когда В». Первое предложение записывается В->А, а второе А^>В. Эти два предложения одновременно истинны в двух случаях: А=и, В=и , а также А=л, В=л.

Итак, мы определили пять знаков: л (конъюнкция), v (дизъюнкция), -> (импликация), (эквиваленция), 1 (отрицание), которые называют

логическими сеялками. Эти знаки позволяют из данных предложений А и В получать новые предложения. При этом значение (истины или лжи) нового предложения однозначно определяется значениями предложений А и В. Правило получения нового предложения из исходных предложений называется логической операцией. Таким образом, каждая из логических связок определяет логическую операцию, которая имеет такое же название что и соответствующая ей связка.

Рассмотренные операции можно использовать и для высказываний, и для предикатов. Например, соединив два одноместных предиката «Число,т больше 3» и «Число х отрицательное» знаком дизъюнкции, получим одноместный предикат: «Число х больше 3 или огри нательное». Единственно, для того чтобы соединить два предиката логической связкой, нужно, чтобы была задана некоторая общая область D допустимых объектов, которые можно подставлять в данные предикаты вместо переменных.

Определим еще две логические связки, называемые кваитора.ми, которые позволяют из одноместных предикатов получать высказывания. Термин «квантор» в переводе с латинского языка означает «сколько». Поэтому эти знаки используются для ответа на вопрос о том, сколько объектов удовлетворяют предложению А у - все или хотя бы один.

Возьмем произвольный предикат, у которого выделим переменную, от которой зависит его значение. Обозначим его А(х).

6. Квантор общности V. Данный знак происходит от английского слова АН и является сокращением следующих слов: «вес», «каждый», «всякий», «любой».

Выражение Vj&4(y) означает, что предикат А(х) выполняется для всех допустимых объектов х. Читается: «Для всех икс а от икс».

7. Квантор существования 3. Данный знак происходит от английского слова Exist и является сокращением следующих слов: «существует», «найдется», «хотя бы один», «некоторый».

Выражение Зх4(*) означает, что предикат А(х) выполняется хотя бы для одного из допустимых объектов.v. Читается: «Существует икс а от икс».

Пример 1.3.3. Пусть переменная х обозначает студента вуза. Рассмотрим предложение А(х) = «Студент л: имеет машину». Тогда VxA(x) означает, что все студенты вузов имеют машину. Это ложное высказывание. Предложение ЭхА(х) означает, что некоторые студенты имеют машину, что является верным утверждением.

Таким образом, изначально мы имели предикат, значение которого зависело от значения переменной дг. После выполнения операций были получены именно высказывания, значения которых уже нс зависят от переменной х.

Пусть имеется формула Л(х), содержащая свободную переменную х. Тогда утверждение о том, что формула А(х) является тождественно истинной, кратко запишется Vj&4(jc).

Операция получения предложения с помощью кванторов называется квантификацией. При использовании выражений УхА(х) и 3хА(х) также говорят: «На переменную х навесили квантор» или «Переменную х связали квантором».

Заметим, что кванторные операции применимы не только к одноместным предикатам. Если будет дан двуместный предикат А{ху), то можно связать переменную л - квантором и образовать предложение /хА(ху), истинность которого будет зависеть уже только от одной переменной у, и мы будем иметь одноместный предикат. В этой записи переменная х называется связанной квантором , а переменная у - свободной. В общем случае, применив кванторную операцию к любой из переменных /7-местного предиката, в итоге получим (н-1)-местный предикат.

Кванторами можно связать любое количество переменных. Если имеем двуместный предикат А(ху), то формально можно получить 8 высказываний.

связав каждую переменную каким-то квантором: VjcfyA(xy), VyVxA(xy), Vx3уА(ху), 3yVxA(ху), 3xVyA(xy), /уЭхА(ху), ЗхЗуА(ху), ЗуЗхА(ху). Некоторые предложения имеют один и тот же смысл, например первое и второе (предикат А должен принимать истинное значение для любых значений * и у), а также седьмое и восьмое. Остальные выражения в общем случае дают разные по истинности высказывания.

Пример 1.3.4. Пусть в классе всего два мальчика - Петя и Коля. Для самостоятельного решения были заданы три задачи, обозначим их числами 1, 2, 3. Петя решил задачи 1 и 2, а Коля - одну задачу с номером 3. Введем предикат А(ху), который означает, что мальчик * решил задачу у. Здесь переменная х обозначает имя мальчика, а переменная у - номер задачи. Рассмотрим следующие высказывания.

Vx3yA(xy) = «Каждый мальчик решил хотя бы одну задачу» - истинное высказывание, так как и Петя решил две задачи, и Коля решил по крайней мерс одну задачу.

• 3_yVx4(.*,y) = «Найдется задача, которую решили все мальчики класса» - ложь, так как такой задачи нет (и 1-ю и 2-ю задачи решил только Петя, а 3-ю - только Коля).
• 3xVyA(x,y) = «Хотя бы один мальчик решил все задачи» - ложное утверждение.

V_yEx,4(;c,y) = «Каждая задача решена хотя бы одним учеником» - истина, так задача с номером 1 решена Петей, задача с номером 2 также решена Петей, а задача 3 решена Колей.

Из рассмотренного примера можно сделать вывод: порядок записи кванторов влияет на логический смысл предложения. Поэтому четкая формулировка предложения должна однозначно предполагать, в каком порядке идут кванторы общности и существования.

Упражнение. Самостоятельно проанализируйте значения высказываний из примера 1.3.4 в предположении, что Петя решил задачи с номерами 2 и 3.

В общем случае из предиката А(х) можно получить два высказывания - /хА(х) и 3x4(x). Однако очень часто записанная формула А{х) понимается именно как высказывание Vx4(.x), хотя квантор общности при записи или формулировке опускают. Например, записав д- 2 >0, имеют в виду, что квадрат любого действительного числа неотрицателен. Полная запись высказывания такова: Улг(дг?0). Запись (4х + 6у):2, где*, у - целые числа, предполагает, что указанная сумма всегда делится на 2, то есть четна. Чтобы это подчеркнуть, следует записать V*Vy((4.x + 6jy):2).

Определенные в двух последних пунктах математические знаки и знаки логических связок составляют алфавит математического языка.