Луч и угол измерение углов. Точка, линия, прямая, луч, отрезок, ломанная

Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

точка A, точка B, точка C

точка 1, точка 2, точка 3

Можно нарисовать на листке бумаги три точки "А" и предложить ребёнку провести линию через две точки "А". Но как понять через какие? A A A

Линия — это множество точек. У неё измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет

Обозначается строчными (маленькими) латинскими буквами

линия a, линия b, линия c

Линия может быть

1. замкнутой, если её начало и конец находятся в одной точке,
2. разомкнутой, если её начало и конец не соединены

замкнутые линии

разомкнутые линии

1. самопересекающейся
2. без самопересечений

самопересекающиеся линии

линии без самопересечений

1. прямой
2. ломанной
3. кривой

прямые линии

ломанные линии

кривые линии

Прямая линия — это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны

Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны

Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой

прямая линия a

прямая линия AB

Прямые могут быть

1. пересекающимися, если имеют общую точку. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
   • перпендикулярными, если пересекаются под прямым углом (90°).
2. параллельными, если не пересекаются, не имеют общей точки.

параллельные линии

пересекающиеся линии

перпендикулярные линии

Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону

У луча света на картинке начальной точкой является солнце

солнышко

Точка разделяет прямую на две части — два луча A A

Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается луч, а вторая — точка, лежащая на луче

луч a

луч AB

Лучи совпадают, если

1. расположены на одной и той же прямой,
2. начинаются в одной точке,
3. направлены в одну сторону

лучи AB и AC совпадают

лучи CB и CA совпадают

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину. Длина отрезка — это расстояние между его начальной и конечной точками

Через одну точку можно провести любое число линий, в том числе прямых

Через две точки — неограниченное количество кривых, но только одну прямую

кривые линии, проходящие через две точки

прямая линия AB

От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина — наикратчайшее расстояние между двумя точками. ✂ B A ✂

Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается отрезок, а вторая — точка, которой заканчивается отрезок

отрезок AB

Задача: где прямая , луч , отрезок , кривая ?

Ломанная линия — это линия, состоящая из последовательно соединённых отрезков не под углом 180°

Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких

Звенья ломаной (похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.

Вершины ломаной (похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.

Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.

ломанная линия ABCDE

вершина ломанной A, вершина ломанной B, вершина ломанной C, вершина ломанной D, вершина ломанной E

звено ломанной AB, звено ломанной BC, звено ломанной CD, звено ломанной DE

звено AB и звено BC являются смежными

звено BC и звено CD являются смежными

звено CD и звено DE являются смежными

Длина ломанной — это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: какая ломанная длиннее , а у какой больше вершин ? У первой линии все звенья одинаковой длины, а именно по 13см. У второй линии все звенья одинаковой длины, а именно по 49см. У третьей линии все звенья одинаковой длины, а именно по 41см.

Многоугольник — это замкнутая ломанная линия

Стороны многоугольника (помогут запомнить выражения: "пойти на все четыре стороны", "бежать в сторону дома", "с какой стороны стола сядешь?") — это звенья ломанной. Смежные стороны многоугольника — это смежные звенья ломанной.

Вершины многоугольника — это вершины ломанной. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника.

Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.

замкнутая ломанная линия, не имеющая самопересечения, ABCDEF

многоугольник ABCDEF

вершина многоугольника A, вершина многоугольника B, вершина многоугольника C, вершина многоугольника D, вершина многоугольника E, вершина многоугольника F

вершина A и вершина B являются соседними

вершина B и вершина C являются соседними

вершина C и вершина D являются соседними

вершина D и вершина E являются соседними

вершина E и вершина F являются соседними

вершина F и вершина A являются соседними

сторона многоугольника AB, сторона многоугольника BC, сторона многоугольника CD, сторона многоугольника DE, сторона многоугольника EF

сторона AB и сторона BC являются смежными

сторона BC и сторона CD являются смежными

сторона CD и сторона DE являются смежными

сторона DE и сторона EF являются смежными

сторона EF и сторона FA являются смежными

Периметр многоугольника — это длина ломанной: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т.д.

Урок 14

Луч. Числовой луч. Угол. Виды углов. Построение прямого угла с помощью циркуля и линейки

Цели : Распознавание и изображение геометрических фигур: точки, прямой, прямого угла. Измерение длины отрезка и построение отрезка заданной длины Построение прямого угла на клетчатой бумаге

Планируемые результаты :

Знать понятия «луч», «числовой луч». Уметь распознать геометрические фигуры и изображать их на бумаге с разлиновкой в клетку, чертить луч и числовой луч Знать понятие «угол», виды углов. Уметь распознавать геометрические фигуры и изображать их на бумаге с разлиновкой в клетку, строить прямой угол.

Ход урока

1. Орг.момент

2. Актуализация знаний

Проверка дом.задания

3. Работа по теме урока:

На этом уроке мы рассмотрим луч и числовой луч. Вначале мы вспомним понятия «прямая», «отрезок» и «луч», рассмотрим их отличия. Введем понятие числового луча, познакомимся с историей его возникновения и решим ряд примеров.

Рассмотрите первый рисунок (рис. 1) и скажите, в чем отличия луча от прямой и отрезка.

Рис. 1. Отрезок, луч и прямая

Решение : 1. Прямая может быть продолжена сколько угодно в обе стороны – бесконечная линия, которая не имеет концов или границ.

2. Отрезок – часть прямой, которая ограничена с двух сторон. Так, на рисунке 1 отрезок – это .

3. Часть прямой, ограниченной точкой с одной стороны, – луч . На чертеже (рис. 1) изображён луч с началом в точке . Луч может быть продолжен по прямой только в одну сторону.

Рассмотрим луч с началом в точке (рис. 2). Отложим на нём равные отрезки – единичные отрезки . Единичные отрезки могут быть равны любому значению: одна клетка, один сантиметр, три сантиметра. Главное, чтобы каждый следующий единичный отрезок был равен предыдущему. Если мы пронумеруем эти отрезки цифрами, получим числовой луч .

Рис. 2. Числовой луч

С помощью числового луча можно изобразить любое число, потому что он бесконечен. Также очень легко сравнивать числа: чем правее точка от начала луча, тем с большим числом мы столкнулись.

Угол. Виды углов. Построение прямого угла с помощью циркуля и линейки

Луч – это часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой. На рисунке можно увидеть луч с началом в точке и луч с началом в точке (рис. 1).

Рис. 1. Лучи

Фигура, образованная двумя лучами с одним и тем же началом, называется углом. Лучи, образующие угол, называются сторонами угла , а их общее начало – вершиной угла (рис. 2).

Рис. 2. Углы

Угол может быть назван одной заглавной латинской буквой по его вершине. На рис. 2 можно увидеть угол и угол . Но углы можно обозначить и другим способом.

Угол многоугольника обозначают тремя заглавными буквами. Называть угол начинают с буквы, стоящей у одной стороны, затем называют букву у вершины, а заканчивают буквой у другой стороны. Например, в треугольнике , угол с вершиной является угол (рис. 3) или в обратном порядке – .

В треугольнике угол с вершиной – это угол или .

Рис. 3. Углы в треугольнике

Необходимо помнить, что в середине названия угла должна стоять та буква, которой обозначена вершина угла.

Иногда угол обозначают малой буквой или цифрой, ставя их внутри угла (рис. 4). Между сторонами угла проводят для ясности дужку.

Рис. 4. Обозначение угла буквой или цифрой

Рис. 5. Виды углов

Существуют различные виды углов.

1. Если стороны угла лежат на одной прямой, то такой угол называют развернутым. На рис. 6 угол М – развернутый (уместно сравнение с развернутым веером).

Рис. 6. Развернутый угол

2. Прямым углом называют тот угол, который составляет половину развернутого угла (рис. 7). Например, прямой угол можно получить путем складывания бумаги (если лист сложить дважды).

Рис. 7. Прямой угол

Для удобства определения, прямой угол или нет, есть особый инструмент – прямоугольный треугольник, у которого один из углов – прямой (рис. 8).

Рис. 8. Прямоугольный треугольник и его применение

3. Непрямые углы делятся на тупые и острые.

Угол, который меньше прямого, – это острый угол (рис. 9).

Рис. 9. Острый угол
Угол, который больше прямого, но меньше развернутого угла, – это тупой угол (рис. 10).

Рис. 10. Тупой угол

Найдите на чертеже прямые, тупые и острые углы (рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к заданию

В нахождении решения нам поможет инструмент – прямоугольный треугольник, который будет приложен к каждой из вершин треугольника путем совмещения одной из сторон. Если он будет совпадать с углом, то этот угол прямой. Если угол будет меньше прямого угла инструмента, то этот угол острый. А если же угол больше прямого угла инструмента – то это тупой угол.

Прямые углы:

Тупые углы:

Острые углы: , , ,

Объяснение нового материала

Вот мы и добрались до страны Геометрии. А встречает нас королева этой страны Точка. Без нее нельзя построить ни одной фигуры.

Жила – была Точка. Она была очень любопытная и хотела все знать. Увидит Точка незнакомую линию и непременно спросит:

Как эта линия называется, длинная она или короткая?

Подумала однажды Точка: «Как же я буду все знать, если сижу все время на одном месте. Отправлюсь – ка я в путешествие». Сказано – сделано. Вышла Точка на прямую линию и пошла по этой линии.

Шла, шла, долго шла. Устала. И говорит Точка: «Долго я еще буду идти по этой линии?»

Ребята! Скоро ли конец у прямой линии?

Вы говорите, что у прямой нет конца? Тогда я поверну назад, наверно я пошла не в ту сторону.

Ребята! Сможет ли Точка найти конец у прямой линии?

Конечно, не сможет, у прямой линии нет конца.

Без конца и края

Линия прямая!

Хоть сто лет по ней идти

Не найти конца пути.

Но Точка об этом не знала. Шла она, устала, опечалилась. Стала Точка на прямой и решила позвать на помощь ножницы. Тут откуда ни возьмись, появились ножницы и щелкнули перед самым носом Точки. И разрезали прямую.

Ура! - закричала Точка. - Вот и конец получился! Зато теперь есть два, не знаю, как назвать…

О новой фигуре разносится весть:
Конца в ней пусть нет,
Зато начало есть.
И солнце, тихонько взойдя из-за туч,
Сказало: «Друзья, назовём его – луч!»

Они мне нравятся! – закричала Точка. Они похожи на солнечные лучики.

Геометрическая фигура – луч может иметь разное направление. Главное помнить, что начало луча – точка. Давайте назовем эту точку буквой А.

Луч ограничен с одной стороны и может быть продолжен по прямой только в одну сторону как угодно далеко.

Давайте вместе построим луч. Какие инструменты нам понадобятся?

Конечно, помогут нам построить луч линейка и карандаш.
С чего начнём построение луча?

Правильно, поставим точку.
Все построения и измерения начинаются с нуля. Совместим точку с отметкой «0» на линейке. Проведём прямую линию. Длину и направление выберите сами.
Мы тоже построили луч. Согласны ли вы со мной?(На экране – числовой луч.)
Да, это тоже луч, но называется он числовым. Почему?
Для чего нужны числа на луче? Сейчас будем учиться пользоваться числовым лучом, будем считать, вычислять.
Разделите свой числовой луч на равные отрезки, поставьте точки.
Точки обозначьте цифрами по порядку. Какой цифрой обозначим самую первую точку – начало отсчета?

Правильно, начнем отсчет с нуля. Что из школьных принадлежностей напоминает нам числовой луч?

Молодцы, ребята. Он похож на линейку.

На числовом луче можно изобразить любое число, обозначив его точкой, так как луч бесконечен.

С помощью числового луча числа легко сравнивать: чем правее точка от начала луча, тем большему числу она соответствует, чем левее тем – меньшему.

Скажите, ребята, в какую сторону по числовому лучу нужно двигаться, чтобы найти все числа, которые меньше десяти?

Правильно, влево. А чтобы найти все числа больше десяти?

Да, нужно двигаться вправо от числа десять.

А теперь поставьте точку А и проведите из этой точки два луча АВ и АС.

Мы получили новую геометрическую фигуру. Она называтся - угол. Точка А – вершина угла. Каждый угол имеет название. Оно может состоять из одной буквы – вершины угла, или из трех букв, которыми обозначены лучи, при этом в середине должна стоять буква вершины угла. Читается так: угол А или угол АВС

От вершины по лучу

Словно с горки покачу.

Только луч теперь – она.

И зовётся «сторона».

Мы видим, что лучи теперь являются сторонами угла. Это стороны АВ и АС. Помним, что луч начинается с точки.

Различают несколько видов углов: прямой, острый и тупой. Такой угол, как на угольнике, называется прямым. На рисунке это угол К. Угол, который меньше прямого угла, называют острым углом.На рисунке, это угол В.

Угол, который больше прямого угла, называют тупым углом.Это угол С.

Для того чтобы правильно определить вид угла, мы с вами будем пользоваться угольником.

Возьмите линейки и карандаши.

Начертите с помощью угольника прямой угол, назовите его М.

Теперь попробуйте начертить острый угол, который меньше прямого угла. Назовите его Т.

А теперь начертите тупой угол, который больше прямого. Назовите его N.

А что делать, если нет угольника, а надо начертить прямой угол на нелинованной бумаге? Это можно сделать с помощью линейки и циркуля. Давай попробуем сделать это вместе.

Чтобы правильно пользоваться острыми инструментами, нужно помнить

правила безопасности:

Нельзя подносить циркуль к лицу, на конце есть игла, можно уколоться.

Нельзя передавать циркуль иглой вперёд, можно уколоть своего товарища.

На рабочем столе должен быть порядок.

А теперь, когда вы знаете правила безопасности, чертим прямую линию

на ней поставьте две точки А и В
проведите две окружности, чтобы точки
А и В стали центрами окружностей
точки пересечения окружностей
обозначьте буквами С и D
через полученные точки С и D
проведите прямую линию
точку пересечения двух прямых
линий обозначьте буквой О

Назовите углы, которые получились.

Давайте вместе их прочитаем угол СОВ, угол

ВОD, угол АОС и угол АОD

Определение понятия луча базируется на двух основных понятиях геометрии: точке и прямой. Возьмем произвольную прямую и выберем на ней произвольную точку. Такая точка будет разделять эту прямую две части (рис. 1).

Определение 1

Лучем будет называться часть прямой, которая ограничена какой-либо точкой на этой прямой, но только с одной стороны.

Определение 2

Точка, которой ограничен луч в рамках определения 1 называется началом этого луча.

Замечание 1

отметим, что угол, который получался на рисунке 1 называется развернутым.

Луч будем обозначать двумя точками: началом его и другой любой произвольной точки на нем. Отметим, что здесь, в обозначении, важен порядок обозначения этих точек. На первом месте всегда ставим именно начало луча (рис. 2)

Понятие луча связано со следующей аксиомой геометрии:

Аксиома 1: Любая произвольная точка на прямой будет делить ее на два луча, причем любые произвольные точки одно и того же из них будут лежать с одной стороны от этой точки, а две точки из разных лучей – по разные стороны от этой точки.

С понятием луча и отрезка также связана следующая аксиома.

Аксиома 2: От начала любого луча может быть отложен отрезок , который равен заведомо данному отрезку, причем такой отрезок будет единственен.

Угол

Пусть нам даны два произвольных луча. Наложим их начала друг на друга. Тогда

Определение 3

Углом будем называть два луча, которые имеют одно и тоже начало.

Определение 4

Точка, которая является началом лучей в рамках определения 3, называется вершиной этого угла.

Угол будем обозначать следующими тремя её точками: вершиной, точкой на одном из лучей и точкой на другом луче, причем вершина угла записывается в середине его обозначения (рис. 3).

С понятием луча и угла также связана следующая аксиома.

Аксиома 3: От любого произвольного луча может быть отложен угол в определенную полуплоскость, который равен заведомо данному углу, причем такой угол будет единственен.

Сравнение углов

Рассмотрим два произвольных угла. Очевидно, что они могут быть либо равными, либо неравными.

Итак, для сравнения выбранных нами углов (обозначим их угол 1 и угол 2) наложим вершину угла 1 на вершину угла 2, так, чтобы, по одному из лучей этих углов наложились друг на друга, а другие два были по одну сторону от этих лучей. После такого наложения возможны два следующих случая:

Величина угла

Помимо сравнения одних углов с другими также часто необходимо измерение углов. Измерить угол означает найти его величину. Для этого необходимо выбрать какой-то «эталонный» угол, который мы будем принимать за единицу. Чаще всего таким углом является угол, который равен $\frac{1}{180}$ части развернутого угла. Такую величину называют градусом. После выбора такого угла мы проводим с ним сравнение углов, величину которого нужно найти.

Самым простым способом измерения величины углов является измерение с помощью транспортира.

Пример 1

Найти величину следующего угла:

Используем транспортир:

Ответ: $30^0$.

После определения величины углов у нас появляется второй способ для сравнения углов. Если при одном и том же выборе единицы измерения угол 1 и угол 2 будут иметь одинаковую величину, то такие углы будут называться равными. Если же, без ограничения общности, угол 1 будет иметь величину по числовому значению меньше величины угла 2, то угол 1 будет меньше угла 2.

Луч и угол - основные сведения.

Луч идет из одной точки в бесконечность (и называется, например, «исходящим и точки A»).

Луч в геометрии - это аналогия со световым лучом в реальной жизни.

Из одной точки может исходить множество лучей.

Каждый луч называют, либо маленькими латинскими буквами: a, b, c, d,…, либо по начальной точке и любой другой точке на этом луче, например: AK

Это два луча (стороны угла ), которые выходят из одной точки (вершины угла ). В углу, как правило ставят дугу, которая обозначает угол.

Угол можно:

Обозначить точками: ∠AOB

Обозначить прямыми: ∠ab

Фактически прямая, только В - вершина, DC и DA - лучи.

Любой угол делит плоскость на 2 части : внутреннюю и внешнюю . У развернутого угла любую плоскость можно считать внутренней и внешней.

Внутреннюю часть угла можно разделить на 2 новых угла, проведя во внутренней части новый луч.

Если луч делит угол на два равных угла, то этот луч называется биссектрисой . Для запоминания используется стишок: "биссектриса - это такая крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам".

Логично, что каждая точка биссектрисы, равноудалена от прямых угла .

Обратите внимание, как на рисунке ниже обозначены углы - они нарисованы одинаковыми дугами, что означает на чертежах равенство данных углов.