Луч угол виды углов. Точка, линия, прямая, луч, отрезок, ломанная

Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

точка A, точка B, точка C

точка 1, точка 2, точка 3

Можно нарисовать на листке бумаги три точки "А" и предложить ребёнку провести линию через две точки "А". Но как понять через какие? A A A

Линия — это множество точек. У неё измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет

Обозначается строчными (маленькими) латинскими буквами

линия a, линия b, линия c

Линия может быть

1. замкнутой, если её начало и конец находятся в одной точке,
2. разомкнутой, если её начало и конец не соединены

замкнутые линии

разомкнутые линии

1. самопересекающейся
2. без самопересечений

самопересекающиеся линии

линии без самопересечений

1. прямой
2. ломанной
3. кривой

прямые линии

ломанные линии

кривые линии

Прямая линия — это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны

Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны

Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой

прямая линия a

прямая линия AB

Прямые могут быть

1. пересекающимися, если имеют общую точку. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
   • перпендикулярными, если пересекаются под прямым углом (90°).
2. параллельными, если не пересекаются, не имеют общей точки.

параллельные линии

пересекающиеся линии

перпендикулярные линии

Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону

У луча света на картинке начальной точкой является солнце

солнышко

Точка разделяет прямую на две части — два луча A A

Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается луч, а вторая — точка, лежащая на луче

луч a

луч AB

Лучи совпадают, если

1. расположены на одной и той же прямой,
2. начинаются в одной точке,
3. направлены в одну сторону

лучи AB и AC совпадают

лучи CB и CA совпадают

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину. Длина отрезка — это расстояние между его начальной и конечной точками

Через одну точку можно провести любое число линий, в том числе прямых

Через две точки — неограниченное количество кривых, но только одну прямую

кривые линии, проходящие через две точки

прямая линия AB

От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина — наикратчайшее расстояние между двумя точками. ✂ B A ✂

Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается отрезок, а вторая — точка, которой заканчивается отрезок

отрезок AB

Задача: где прямая , луч , отрезок , кривая ?

Ломанная линия — это линия, состоящая из последовательно соединённых отрезков не под углом 180°

Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких

Звенья ломаной (похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.

Вершины ломаной (похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.

Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.

ломанная линия ABCDE

вершина ломанной A, вершина ломанной B, вершина ломанной C, вершина ломанной D, вершина ломанной E

звено ломанной AB, звено ломанной BC, звено ломанной CD, звено ломанной DE

звено AB и звено BC являются смежными

звено BC и звено CD являются смежными

звено CD и звено DE являются смежными

Длина ломанной — это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: какая ломанная длиннее , а у какой больше вершин ? У первой линии все звенья одинаковой длины, а именно по 13см. У второй линии все звенья одинаковой длины, а именно по 49см. У третьей линии все звенья одинаковой длины, а именно по 41см.

Многоугольник — это замкнутая ломанная линия

Стороны многоугольника (помогут запомнить выражения: "пойти на все четыре стороны", "бежать в сторону дома", "с какой стороны стола сядешь?") — это звенья ломанной. Смежные стороны многоугольника — это смежные звенья ломанной.

Вершины многоугольника — это вершины ломанной. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника.

Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.

замкнутая ломанная линия, не имеющая самопересечения, ABCDEF

многоугольник ABCDEF

вершина многоугольника A, вершина многоугольника B, вершина многоугольника C, вершина многоугольника D, вершина многоугольника E, вершина многоугольника F

вершина A и вершина B являются соседними

вершина B и вершина C являются соседними

вершина C и вершина D являются соседними

вершина D и вершина E являются соседними

вершина E и вершина F являются соседними

вершина F и вершина A являются соседними

сторона многоугольника AB, сторона многоугольника BC, сторона многоугольника CD, сторона многоугольника DE, сторона многоугольника EF

сторона AB и сторона BC являются смежными

сторона BC и сторона CD являются смежными

сторона CD и сторона DE являются смежными

сторона DE и сторона EF являются смежными

сторона EF и сторона FA являются смежными

Периметр многоугольника — это длина ломанной: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т.д.

Цели урока:

• расширить и углубить знания о луче и угле; показать различные обозначения этих геометрических фигур; учить распознавать их на рисунке; ввести понятие развернутого угла и понятие внутренней и внешней области;
• развивать внимание, логическое мышление, математическую речь;
• воспитать настойчивость и упорство.

Тип урока : изучение нового материала

Оборудование : интерактивная доска Smart Board, компьютер, малка

Ход урока

I . Оргмомент .

В геометрии нет царских путей. Евклид

А сейчас узнаем определение угла, но прежде скажите: из каких геометрических фигур состоит угол? (из точки и 2-х лучей )

Определение . Угол - это геометрическая фигура, которая состоит из точки и 2-х лучей, исходящих из этой точки.

1. Как называется точка, из которой исходят данные лучи? (вершиной угла )
2. Как она обозначается на рисунке? (буквой О )
3. Как называются лучи, исходящие из одной точки? (сторонами утла )
4. Назовите стороны угла (ОА, ОВ )
5. Как обозначается угол изображенный на рисунке?

Запишите.

Обратите внимание, буква, обозначающая вершину угла, записывается в середине.

Появляется с углами и показывается еще два способа обозначения угла.

Вывод:

• Какая фигура называется углом?
• Объясните, что такое вершина и стороны угла
• Вы знаете различные виды углов.
• Назовите их (острые, прямые, тупые).

А сейчас выясним, какой угол называется развернутым.

(Берется малка.) Это какой угол? (острый, прямой, тупой), а вот это какой, я же развернула, как он называется? (развернутый )

Развернутый угол - это угол, стороны которого образуют прямую .

На рисунке вы видите развернутые углы.

Приложение 1 , слайд 8.

Его можно записать так ∠ pg, как показано в учебнике, а можно и так ∠ АВС

Какой из изображенных на рисунке углов является развернутым? Запишите (∠ АDE).

Приложение 1 , слайд 9.

У любого угла есть внутренние и внешние области.

Самостоятельно, работая с учебником (страница 9) ответьте на вопросы:

1. Какая область называется внутренней, а какая внешней?
2. Покажите, какая область является внутренней? А какая внешней?

Приложение 1 , слайд 10.

Скажите мне, как называется часть плоскости, заключенная между двумя лучами с общей вершиной. (Угол ).

Правильно, это второе определение угла.

I Х. Закрепление.

По рисунку самостоятельно у себя в тетради запишите точки принадлежащие:

• Внутренней области
• Внешней области
• Сторонам угла

Приложение 1 , слайд 11.

Некоторые ученики выполнили так, но они допустили ошибку. Найдите её.

1. E,F,C
2. O,A,B

Правильно выполнил тот, кто выполнил работу так:

1. E,F,C
2. O,A,B,C

А сейчас мы выполним тест (диск Уроки геометрии Кирилла и Мефодия. 7 класс)

Открытый урок по математике во 2 классе

тема «Угол. Виды углов»

8. Цель урока: создать условия для создания и осмысления детьми новой информации.

9.Задачи: образовательная: познакомить учащихся с видами углов, их признаками; ввести понятия «угол», «виды углов»; научить построению различных видов углов с помощью линейки и треугольника использовать в практических заданиях при построении углов полученные знания;

развивающая: развивать познавательный интерес к математике. Формировать первичные геометрические навыки, навыки речевой культуры, мыслительных процессов; развивать образное воображение, творческое мышление;

воспитательная: воспитывать нравственные качества личности и эстетические чувства, аккуратность, самостоятельность.

10. Тип урока : урок открытия новых знаний

11. Средства обучения : мультимедийный проектор, компьютер, презентацию к уроку, линейка, треугольник.. Цветная бумага, карандаши, рабочая тетрадь., учебник

12. Методы обучения : проблемный, частично-поисковый, исследовательский.

13. Форма : парная, групповая и индивидуальная

Продолжительность занятия : 35 мин

Краткое описание . Урок открытия новых знаний. Ребята отправляются в увлекательное путешествие в страну «Геометринск», где познакомятся с углами, видами углов. Вместе с любимыми героями смешариками научатся строить и различать виды углов.

Тема: «Угол. Виды углов».

Ход урока.

Орг. момент. - Сегодня мы, ребята, побываем в удивительной стране - Геометрии.

И прекрасна, и сильна

Геометрия - страна!

Начинается урок,

Он пойдет ребятам впрок

Постарайтесь всё понять -

Тему новую узнать.

Актуализация знаний.

«Математический словарь».

Бывает на карте и в конце предложения. (Точка)

Линия. Состоящая из нескольких звеньев - это..(ломаная)

Прямая. ограниченная с 2х сторон. (Отрезок)

Прямая, ограниченная с одной стороны. (Луч)

Инструмент для построения отрезков. (Линейка)

СЛАЙД 3

Какие бывают линии? (прямые, кривые, (замкнутые, незамкнутые)

3. Постановка учебной задачи.

СЛАЙД 4 Назовём геометрические фигуры

Какие новые фигуры встретились вам? Какие учебные задачи поставим?

4.Знакомство с новыми геометрическими фигурами.

Сегодня на уроке мы узнаем, какие бывают углы (проблемный вопрос), научимся их не только узнавать, но и строить.

Где можно встретить углы в окружающем нас мире?

С помощью каких учебных принадлежностей (находящихся на ваших столах) можно сложить угол? (ручки, карандаши)

СЛАЙД 5 Что такое угол? Как он получается?

(Два луча исходящие из одной точки, называются углом)

Давайте с вами начертим в тетради угол. Для этого поставим точку и проведем из точки два луча. Лучи - это стороны угла. Точка, из которой проведены лучи, - вершина угла, обозначают заглавными буквами А, О, В и т.д.

Подумала точка и сделала это,

0. И вот получился у нас угол

Красивый, веселый, две стенки имеет

И в той точке игривый, смешной хохолок

СЛАЙД 6 Кто из зверят начертил угол? Почему?

5.Практическая работа. (Наглядная геометрия)

Сложи большой лист бумаги. Вот так. (учитель показывает)

У вас получился… (кто знает?) прямой угол. Сравните полученные углы. Как это можно сделать? (способом наложения др на др). Так какие углы называются равными?

Давайте вывод свой сравним с выводом учебника (с.99)

(Углы называют равными, если при наложении углов друг на друга их стороны совпадают)

Найдите в классе прямые углы. А теперь давайте построим в тетради этот угол

ФИЗ минутка

Встали. Руки в стороны поднимем. Посмотрите на меня и друг на друга. Какую фигуру вам это напоминает? А теперь руки вверх… возьмитесь за руки. Что у вас получилось? Подойдите ближе друг к другу….. А теперь отойдите друг от друга. Что у вас получилось? Одинаковые углы или нет?

6. Знакомство с видами углов.

Помощником у нас будет прямой угол (угольник). Попробуйте построить в тетрадях эти углы. А смешарики подскажут нам план построения углов. СЛАЙДЫ 7-11

7.Первичное закрепление. - А как узнать, какой нарисован угол - прямой, тупой или острый? (Нужно сравнить его с прямым углом, н-р, приложив угольник.)

СЛАЙД 12

Угол вот такой у взрослых

Называется прямым.

Если угол у же - острым,

Если шире. То - тупым.

Как происходит ср-е? (Надо совместить с вершиной данного угла вершину прямого угла. Если меньше прямого - острый; если больше - тупой.)

1) Работа в группах. Карточка (Приложение1)

Проверка 1 группа -острые (1, 7, 10); 2 группа-тупые (2, 3, 8, 9); 3 группа-прямые (4. 5, 6)

2) Включение в систему знаний, повторений и закреплений (ситуация успеха)

Работа в рабочей тетради №23, 24, 25, стр. 16

СЛАЙД 13 Подведем итог нашего занятия

СЛАЙД 14 д\з №303 с 100

СЛАЙД 15 Рефлексия

На уроке я узнал … (Я не знал, а теперь знаю…)

Я научился…

Самое трудное на уроке…

Если вы чувствовали себя на уроке комфортно, и у вас все получилось - поаплодируйте себе.

Если всё удалось не сразу, погладьте себя. Не переживайте, у вас все еще впереди!

СЛАЙД 16- 17 Наше общение завершается. Герои прощаются с вами

Методическая литература

1. Истомина М.Б. Математика 2 класс: Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений: Смоленск «Ассоциация CCI век» 2008.

2. Наглядная геометрия. Рабочая тетрадь 2 класс: Истомина М.Б.

4. Продукт семинара учителей начальных классов

Приложение 1

Самоанализ урока математики во 2 классе

Тема: «Угол. Виды углов»

Цель : создать условия для осознания и осмысления детьми новой информации

Для достижения поставленной цели стали приоритетными следующие задачи : образовательная: ввести понятия «угол», «виды углов»4 научить построению различных видов углов с помощью линейки и треугольника использовать в практических заданиях при построении углов полученные знания;

развивающие: развивать познавательный интерес к математике, формировать первичные геометрические навыки, навыки речевой культуры, мыслительных процессов; развивать образное воображение, творческое мышление;

воспитывающие: воспитывать нравственные качества личности и эстетические чувства, аккуратность, самостоятельность

Использовала такие методы обучения: проблемный, исследовательский, поисковый

Тип урока : открытие новых знаний

Продолжительность занятия - 35 мин.

Были использованы такие формы работы: парная (физминутка), микро-группы (работа по карточкам) и индивидуальная

Мною на протяжении урока создавалась атмосфера заинтересованности при изучении темы: связь с жизнью (какие углы нас окружают); пространственно-ориентировочная (физминутка), связь с русским языком («Математический словарь» давалось лексическое значение слов)

Учебные задания, упражнения, вопросы носили проблемный, исследовательский характер (исследовались углы)

Объяснение нового материала не преподносился в готовом виде, а дети посредством заданий ставили пред собой учебные задачи и находили способы их решения (геометрическая фигура в начале урока, затем в ходе практической работы (равные углы), физминутка)

При построении углов выполнялись упражнения по образцу. На протяжении урока добивалась, чтобы обучающиеся давали полные (развёрнутые) ответы и употребляли математическую терминологию (научную). Давала возможность детям проявить себя в качестве собеседника; строить работу по принципу диалога (вопросы задавались не назидательно). На протяжении урока старалась привлечь обучающихся к комментированию и оценки своей деятельности и деятельности одноклассников. Ребята совместно со мной размышляли и приходили к выводам (которые потом сверяли с трактовкой в учебнике «равные углы»)

Как уже говорила раньше: стимулировала обучающихся к высказываниям без боязни ошибиться, получить неправильные ответы.

На уроке создавалась атмосфера заинтересованности каждого обучающегося в работе класса и создании педагогической ситуации успеха, позволяющей каждому ученику проявить инициативу, самостоятельность.

В ходе урока я использовала собственные, оригинальные методические приёмы, а именно: здоровьесберегающие технологии прослеживались не только в физминутке (связь с жизнью), умение наблюдать и быть внимательными к окружающему миру, но и в практической работе (складывание листа «Наглядная геометрия»). Данная практическая работа позволила провести гимнастику для кистей рук, развивать моторику, кроме того, следила за осанкой на протяжении всего урока.

Конечно мне помогают в моей работе новые инновационные педагогические технологии (проблемное обучение, исследовательский метод) и информационно-коммуникативные технологии, которые позволили сделать урок ярким, интересным, научным (построение углов по плану). Компьютерные технологии обеспечили значительно более высокий уровень наглядности по сравнению с традиционными схемами, моделями. Презентационное сопровождение не заменимо, а органично дополнило практическую деятельность обучающихся, давая (вместе со смешариками) образец использования геометрических инструментов и алгоритм построения углов, т.е. позволили отработать практические навыки

Подобранный материал для упражнений соответствовал предметной теме занятия.

На уроке был использован материал занимательного характера (практическая работа, моделирование с помощью имеющихся под рукой учебных принадлежностей: ручек, карандашей), физ минутка и ИКТ (путешествие по «Геометринску» вместе с любимыми героями смешариками).

Объём учебного материала соответствовал возрастным особенностям. На данном уроке не предусмотрен дифференцированный подход, т к это был урок открытий новых знаний.

Воспитательные задачи были реализованы через практическую деятельность (аккуратность, самостоятельность), нравственные качества личности умения себя вести, слушаться (дома ставят вас в угол и почему? и за что?).

Отработка практических навыков по построению острых, тупых и прямых углов не позволила провести запланированную работу в группах.

В ходе урока выявлено, что у детей нет чётких навыков в построении углов, поэтому дом задание было изменено с учётом выявленных проблем.

Урок 14

Луч. Числовой луч. Угол. Виды углов. Построение прямого угла с помощью циркуля и линейки

Цели : Распознавание и изображение геометрических фигур: точки, прямой, прямого угла. Измерение длины отрезка и построение отрезка заданной длины Построение прямого угла на клетчатой бумаге

Планируемые результаты :

Знать понятия «луч», «числовой луч». Уметь распознать геометрические фигуры и изображать их на бумаге с разлиновкой в клетку, чертить луч и числовой луч Знать понятие «угол», виды углов. Уметь распознавать геометрические фигуры и изображать их на бумаге с разлиновкой в клетку, строить прямой угол.

Ход урока

1. Орг.момент

2. Актуализация знаний

Проверка дом.задания

3. Работа по теме урока:

На этом уроке мы рассмотрим луч и числовой луч. Вначале мы вспомним понятия «прямая», «отрезок» и «луч», рассмотрим их отличия. Введем понятие числового луча, познакомимся с историей его возникновения и решим ряд примеров.

Рассмотрите первый рисунок (рис. 1) и скажите, в чем отличия луча от прямой и отрезка.

Рис. 1. Отрезок, луч и прямая

Решение : 1. Прямая может быть продолжена сколько угодно в обе стороны – бесконечная линия, которая не имеет концов или границ.

2. Отрезок – часть прямой, которая ограничена с двух сторон. Так, на рисунке 1 отрезок – это .

3. Часть прямой, ограниченной точкой с одной стороны, – луч . На чертеже (рис. 1) изображён луч с началом в точке . Луч может быть продолжен по прямой только в одну сторону.

Рассмотрим луч с началом в точке (рис. 2). Отложим на нём равные отрезки – единичные отрезки . Единичные отрезки могут быть равны любому значению: одна клетка, один сантиметр, три сантиметра. Главное, чтобы каждый следующий единичный отрезок был равен предыдущему. Если мы пронумеруем эти отрезки цифрами, получим числовой луч .

Рис. 2. Числовой луч

С помощью числового луча можно изобразить любое число, потому что он бесконечен. Также очень легко сравнивать числа: чем правее точка от начала луча, тем с большим числом мы столкнулись.

Угол. Виды углов. Построение прямого угла с помощью циркуля и линейки

Луч – это часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой. На рисунке можно увидеть луч с началом в точке и луч с началом в точке (рис. 1).

Рис. 1. Лучи

Фигура, образованная двумя лучами с одним и тем же началом, называется углом. Лучи, образующие угол, называются сторонами угла , а их общее начало – вершиной угла (рис. 2).

Рис. 2. Углы

Угол может быть назван одной заглавной латинской буквой по его вершине. На рис. 2 можно увидеть угол и угол . Но углы можно обозначить и другим способом.

Угол многоугольника обозначают тремя заглавными буквами. Называть угол начинают с буквы, стоящей у одной стороны, затем называют букву у вершины, а заканчивают буквой у другой стороны. Например, в треугольнике , угол с вершиной является угол (рис. 3) или в обратном порядке – .

В треугольнике угол с вершиной – это угол или .

Рис. 3. Углы в треугольнике

Необходимо помнить, что в середине названия угла должна стоять та буква, которой обозначена вершина угла.

Иногда угол обозначают малой буквой или цифрой, ставя их внутри угла (рис. 4). Между сторонами угла проводят для ясности дужку.

Рис. 4. Обозначение угла буквой или цифрой

Рис. 5. Виды углов

Существуют различные виды углов.

1. Если стороны угла лежат на одной прямой, то такой угол называют развернутым. На рис. 6 угол М – развернутый (уместно сравнение с развернутым веером).

Рис. 6. Развернутый угол

2. Прямым углом называют тот угол, который составляет половину развернутого угла (рис. 7). Например, прямой угол можно получить путем складывания бумаги (если лист сложить дважды).

Рис. 7. Прямой угол

Для удобства определения, прямой угол или нет, есть особый инструмент – прямоугольный треугольник, у которого один из углов – прямой (рис. 8).

Рис. 8. Прямоугольный треугольник и его применение

3. Непрямые углы делятся на тупые и острые.

Угол, который меньше прямого, – это острый угол (рис. 9).

Рис. 9. Острый угол
Угол, который больше прямого, но меньше развернутого угла, – это тупой угол (рис. 10).

Рис. 10. Тупой угол

Найдите на чертеже прямые, тупые и острые углы (рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к заданию

В нахождении решения нам поможет инструмент – прямоугольный треугольник, который будет приложен к каждой из вершин треугольника путем совмещения одной из сторон. Если он будет совпадать с углом, то этот угол прямой. Если угол будет меньше прямого угла инструмента, то этот угол острый. А если же угол больше прямого угла инструмента – то это тупой угол.

Прямые углы:

Тупые углы:

Острые углы: , , ,

Луч и угол - основные сведения.

Луч идет из одной точки в бесконечность (и называется, например, «исходящим и точки A»).

Луч в геометрии - это аналогия со световым лучом в реальной жизни.

Из одной точки может исходить множество лучей.

Каждый луч называют, либо маленькими латинскими буквами: a, b, c, d,…, либо по начальной точке и любой другой точке на этом луче, например: AK

Это два луча (стороны угла ), которые выходят из одной точки (вершины угла ). В углу, как правило ставят дугу, которая обозначает угол.

Угол можно:

Обозначить точками: ∠AOB

Обозначить прямыми: ∠ab

Фактически прямая, только В - вершина, DC и DA - лучи.

Любой угол делит плоскость на 2 части : внутреннюю и внешнюю . У развернутого угла любую плоскость можно считать внутренней и внешней.

Внутреннюю часть угла можно разделить на 2 новых угла, проведя во внутренней части новый луч.

Если луч делит угол на два равных угла, то этот луч называется биссектрисой . Для запоминания используется стишок: "биссектриса - это такая крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам".

Логично, что каждая точка биссектрисы, равноудалена от прямых угла .

Обратите внимание, как на рисунке ниже обозначены углы - они нарисованы одинаковыми дугами, что означает на чертежах равенство данных углов.