Метод простых итераций. Метод простых итераций в общем виде

Пусть дана система n алгебраических уравнений с n неизвестными:

Алгоритм метода простой итерации:

Заметим, что здесь и в дальнейшем нижний индекс обозначает соответствующую компоненту вектора неизвестных, а верхний индекс - номер итерации (приближения).

Затем формируется циклический математический процесс, каждый цикл которого представляет собой одну итерацию. В результате каждой итерации получается новое значение вектора неизвестных. Для организации итерационного процесса запишем систему (1) в приведенном виде. При этом слагаемые, стоящие на главной диагонали, нормируются и остаются слева от знака равенства, а остальные переносятся в правую часть. Приведенная система уравнений имеет вид:

Заметим, что никогда не будет достигнуто, однако с каждой последующей итерацией вектор неизвестных все ближе приближается к точному решению.

12. Основная итерационная формула, применяемая в методе простой итерации, для решения нелинейного уравнения:

13. Критерий останова итерационного процесса в методе простой итерации для решения нелинейного уравнения:

Итерационный процесс заканчивается, если для каждой i-й компоненты вектора неизвестных будет выполнено условие достижения точности.
Заметим, что точное решение в методе простой итерации никогда не будет достигнуто, однако с каждой последующей итерацией вектор неизвестных все ближе приближается к точному решению

14. Критерий выбора вспомогательной функции F(x) для итерационного отрезка интервала :

Выполняя контрольную по математике на решение метода простой итерации сначала обязательно производят проверку условия сходимости. Для сходимости метода необходимо и достаточно, чтобы в матрице А абсолютные значения всех диагональных элементов были больше суммы модулей всех остальных элементов в соответствующей строке:

Недостатком итерационных методов является это достаточно жесткое условие сходимости, которое выполняется далеко не для всех систем уравнений.

Если условие сходимости выполнено, то на следующем этапе необходимо задать начальное приближение вектора неизвестных, в качестве которого обычно выбирается нулевой вектор:

15. Метод Гаусса, применяемый для решения систем линейных уравнений, предусматривает:

Метод основан на преобразовании матрицы к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений системы.

По аналогии с (2.1) систему (5.1) можно представить в следующей эквивалентной форме:

где g(x) - итерационная вектор-функция векторного аргумента. Системы нелинейных уравнений часто возникают непосредственно в виде (5.2) (например, в численных схемах для дифференциальных уравнений), в этом случае никаких дополнительных усилий для преобразования уравнений (5.1) в систему (5.2) не требуется. Если продолжить аналогию с методом простой итерации для одного уравнения, то итерационный процесс, основанный на уравнении (5.2), можно организовать следующим образом:

• 1) выбирается некоторый начальный вектор х ((,) е 5 о (х 0 , а) (предполагается, что х* е 5„(х 0 , а));
• 2) последующие приближения вычисляются по формуле

то итерационный процесс завершен и

Как и раньше, нам необходимо выяснить, при каких условиях

Обсудим этот вопрос, выполнив простой анализ. Вначале мы введем ошибку /г-го приближения как е (^ = x (i) - х*. Тогда мы можем записать

Подставим эти выражения в (5.3) и разложим g(x* + e (/i)) по степеням е (к> в окрестности х* как функцию векторного аргумента (предполагая, что все частные производные функции g(x) непрерывны). Учитывая также, что х* = g(x*), мы получим

или в матричной форме

В = {b nm } = I (х*)1 - итерационная матрица.

Если норма ошибки ||е®|| достаточно мала, то вторым слагаемым в правой части выражения (5.4) можно пренебречь, и тогда оно совпадает с выражением (2.16). Следовательно, условие сходимости итерационного процесса (5.3) вблизи точного решения описывается теоремой 3.1.

Сходимость метода простой итерации. Необходимое и достаточное условие для сходимости итерационного процесса (5.3):

и достаточное условие:

Эти условия имеют скорее теоретическое, чем практическое значение, так как мы не знаем х‘. По аналогии с (1.11) получим условие, которое может быть полезным. Пусть х* е 5 о (х 0 , а) и матрица Якоби для функции g(x)

существует для всех x e S n (x 0 , a ) (заметим, что C(x*) = В). Если элементы матрицы С(х) удовлетворяют неравенству

для всех х е 5„(х 0 , а), тогда достаточное условие (5.5) также выполняется для любой матричной нормы.

Пример 5.1 (метод простой итерации) Рассмотрим следующую систему уравнений:

Одна из возможностей представить эту систему в эквивалентной форме (5.2) - выразить Х из первого уравнения и х 2 из второго уравнения:

Тогда итерационная схема имеет вид

Точное решение х* е 5„((2, 2), 1). Выберем начальный вектор х (0) = (2,2) и ? р = КТ 5 . Результаты вычислений представлены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Эти результаты показывают, что сходимость довольно медленная. Для того чтобы получить количественную характеристику сходимости, проведем простой анализ, считая х (1/) точным решением. Матрица Якоби С(х) для нашей итерационной функции имеет вид

тогда матрица В приближенно оценивается как

Легко проверить, что ни условие (5.5), ни условие (5.6) не удовлетворяются, но сходимость имеет место, так как 5(B) ~ 0.8.

Часто можно ускорить сходимость метода простой итерации, слегка изменив процесс вычислений. Идея такой модификации очень проста: для вычисления п -й компоненты вектора х (А+1) можно использовать не только (т = п ,..., N ), но также уже вычисленные компоненты вектора следующего приближения х к ^ (/= 1,п - 1). Таким образом, модифицированный метод простой итерации может быть представлен в виде следующей итерационной схемы:

Если приближения, генерируемые итерационным процессом (5.3), сходятся, то итерационный процесс (5.8) сходится, как правило, быстрее за счет более полного использования информации.

Пример 5.2 (модифицированный метод простой итерации) Модифицированная простая итерация для системы (5.7) представляется в виде

Как и прежде, выберем начальный вектор х (0) = (2, 2) и г р = = 10 -5 . Результаты вычислений представлены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

I Теболыное изменение порядка вычислений привело к уменьшению количества итераций в два раза, а значит, и к уменьшению количества операций в два раза.

Заменим исходное уравнение на эквивалентное ,и будем строить итерации по правилу . Таким образом метод простой итерации - это одношаговый итерационный процесс. Для того, что бы начать данный процесс, необходимо знать начальное приближение . Выясним условия сходимости метода и выбор начального приближения.

Билет№29

Метод Зейделя

Метод Зейделя (иногда называемый методом Гаусса-Зейделя) является модификацией метода простой итерации, заключающейся в том, что при вычислении очередного приближения x (k+1) (см. формулы (1.13),(1.14)) его уже полученные компоненты x 1 (k+1) , ...,x i - 1 (k+1) сразу же используются для вычисления x i (k+1) .

В координатной форме записи метод Зейделя имеет вид:

X 1 (k+1) = c 11 x 1 (k) + c 12 x 2 (k) + ... + c 1n-1 x n-1 (k) + c 1n x n (k) + d 1
x 2 (k+1) = c 21 x 1 (k+1) + c 22 x 2 (k) + ... + c 2n-1 x n-1 (k) + c 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k) + d n
где x (0) - некоторое начальное приближение к решению.

Таким образом i-тая компонента (k+1)-го приближения вычисляется по формуле

Условие окончания итерационного процесса Зейделя при достижении точности ε в упрощенной форме имеет вид:

|| x (k+1) - x (k) || ≤ ε.

Билет№30

Метод прогонки

Для решения систем A x = b с трехдиагональной матрицей наиболее часто применяется метод прогонки, являющийся адаптацией метода Гаусса к этому случаю.

Запишем систему уравнений

d 1 x 1 + e 1 x 2 = b 1
c 2 x 1 + d 2 x 2 + e 2 x 3 = b 2
c 3 x 2 + d 3 x 3 + e 3 x 4 = b 3
... ... ...
c n-1 x n-2 + d n-1 x n-1 + e n-1 x n = b n-1
c n x n-1 + d n x n = b n

в матричном виде: A x = b где

A=

Выпишем формулы метода прогонки в порядке их применения.

1. Прямой ход метода прогонки (вычисление вспомогательных величин):

2. Обратный ход метода прогонки (нахождение решения):

Билет№31

Метод простых итерации

Суть метода простых итераций состоит в переходе от уравнения

f(x) = 0 (*)

к эквивалентному уравнению

x =φ(x) . (**)

Этот переход можно осуществить разными способами, в зависимости от вида f(x) . Например, можно положить

φ(x) =x +bf(x) ,(***)

где b = const, при этом корни исходного уравнения не изменятся.

Если известно начальное приближение к корню x 0 , то новое приближение

x 1 =φx(0) ,

т.е. общая схема итерационного процесса:

x k+1 =φ(x k) .(****)

Наиболее простой критерий окончания процесса

|x k +1 -x k |<ε.

Критерий сходимости метода простых итераций:

если вблизи корня |φ / (x) | < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого x , то итерации сходятся при любом начальном приближении.

Исследуем выбор константы b с точки зрения обеспечения максимальной скорости сходимости. В соответствии с критерием сходимости наибольшая скорость сходимости обеспечивается при |φ / (x)| = 0 . При этом, исходя из (***), b = –1/f / (x), и итерационная формула (****) переходит в х i =х i-1 -f(x i-1)/f/ (x i-1).- т.е. в формулу метода Ньютона. Таким образом, метод Ньютона является частным случаем метода простых итераций, обеспечивающим самую высокую скорость сходимости из всех возможных вариантов выбора функции φ(x ).

Билет№32

Метод Ньютона

Основная идея метода заключается в следующем: задаётся начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эта точка и берётся в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута необходимая точность.

Пусть - определённая на отрезке и дифференцируемая на нём вещественнозначная функция. Тогда формула итеративного исчисления приближений может быть выведена следующим образом:

где α - угол наклона касательной в точке .

Следовательно искомое выражение для имеет вид:

Билет№33

Метод золотого сечения
Метод золотого сечения позволяет исключать интервалы, вычисляя только одно значение функции на каждой итерации. В результате двух рассмотренных значений функции определяется интервал, который должен использоваться в дальнейшем. Этот интервал будет содержать одну из предыдущих точек и следующую точку, помещаемую симметрично ей. Точка делит интервал на две части так, что отношение целого к большей части равно отношению большей части к меньшей, т. е. равно так называемому «золотому сечению».

Деление интервала на неравные части позволяет найти еще более эффективный метод. Вычислим функцию на концах отрезка [a ,b ] и положим a =x 1 , b =x 2 . Вычислим также функцию в двух внутренних точках x 3 , x 4 . Сравним все четыре значения функции и выберем среди них наименьшее. Пусть, например, наименьшим оказалось f (x 3 ). Очевидно, минимум находиться в одном из прилегающих к нему отрезков. Поэтому отрезок [x 4 ,b ] можно отбросить и оставить отрезок .

Первый шаг сделан. На отрезке снова надо выбрать две внутренние точки, вычислив в них и на концах значения функции и сделать следующий шаг. Но на предыдущем шаге вычислений мы уже нашли функцию на концах нового отрезка и в одной его внутренней точке x 4 . Потому достаточно выбрать внутри еще одну точку x 5 определить в ней значение функции и провести необходимые сравнения. Это вчетверо уменьшает объем вычислений на одном шаге процесса. Как выгодно размещать точки? Каждый раз оставшийся отрезок делиться на три части и затем отбрасывается один из крайних отрезков.
Обозначим первоначальный интервал неопределенности через D .

Так как в общем случае может быть отброшен любой из отрезков Х 1 ,Х 3 или Х 4 ,Х 2 то выберем точки Х 3 и Х 4 так, чтобы длины этих отрезков были одинаковы:

x 3 -x 1 =x 4 -x 2 .

После отбрасывания получится новый интервал неопределенности длины D′ .
Обозначим отношение D /D′ буквой φ:

то есть положим , где - следующий интервал неопределенности. Но

по длине равен отрезку, отброшенному на предыдущем этапе, то есть

Поэтому получим:

.
Это приводит к уравнению или, что то же
.

Положительный корень этого уравнения дает

.

Билет№34

интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение.

Метод простых итераций основан на замене исходного уравнения эквивалентным уравнением:

Пусть известно начальное приближение к корню х = х 0 . Подставив его в правую часть уравнения (2.7), получим новое приближение , затем аналогичным образом получим и т. д.:

. (2.8)

Не при всех условиях итерационный процесс сходится к корню уравнения х . Рассмотрим этот процесс подробнее. На рис.2.6 приведена графическая интерпретация одностороннего сходящегося и расходящегося процесса. На рис.2.7 изображены двухсторонний сходящийся и расходящийся процессы. Расходящийся процесс характеризуется быстрым нарастанием значений аргумента и функции и аварийным завершением соответствующей программы.

При двухстороннем процессе возможно зацикливание, то есть бесконечное повторение одних и тех же значений функции и аргумента. Зацикливание отделяет расходящийся процесс от сходящегося.

Из графиков видно, что как при одностороннем, так и при двухстороннем процессе сходимость к корню определяется наклоном кривой вблизи корня. Чем меньше наклон, тем лучше сходимость. Как известно, тангенс угла наклона кривой равен производной кривой в данной точке.

Следовательно, чем меньше вблизи корня, тем быстрее сходится процесс.

Для того чтобы итерационный процесс был сходящимся, необходимо в окрестности корня выполнение следующего неравенства:

Переход от уравнения (2.1) к уравнению (2.7) можно осуществить различными способами в зависимости от вида функции f(x). При таком переходе необходимо построить функцию так, чтобы выполнялось условие сходимости (2.9).

Рассмотрим один из общих алгоритмов перехода от уравнения (2.1) к уравнению (2.7).

Умножим левую и правую части уравнения (2.1) на произвольную константу b и добавим к обеим частям неизвестное х. При этом корни исходного уравнения не изменятся:

Введем обозначение и перейдем от соотношения (2.10) к уравнению (2.8).

Произвольный выбор константы b позволит обеспечить выполнение условия сходимости (2.9). Критерием окончания итерационного процесса будет условие (2.2). На рис.2.8 приведена графическая интерпретация метода простых итераций при описанном способе представления (масштабы по осям X и Y различны).

Если функция выбрана в виде , то производная от этой функции будет . Наибольшая скорость сходимости будет при , тогда и итерационная формула (2.11) переходит в формулу Ньютона . Таким образом, метод Ньютона имеет самую высокую степень сходимости из всех итерационных процессов.

Программная реализация метода простых итераций выполнена в виде процедуры-подпрограммы Iteras (ПРОГРАММА 2.1).

Вся процедура практически состоит из одного цикла Repeat ... Until, реализующего формулу (2.11) с учетом условия прекращения итерационного процесса (формула (2.2)).

В процедуру встроена защита от зацикливания путем подсчета числа циклов с помощью переменной Niter. На практических занятиях необходимо убедиться путем прогона программы в том, как сказывается выбор коэффициента b и начального приближения на процессе поиска корня. При изменении коэффициента b характер итерационного процесса для исследуемой функции меняется. Он становится сначала двухсторонним, а потом зацикливается (рис.2.9). Масштабы по осям X и Y различны. Еще большее значение модуля b приводит к расходящемуся процессу.

Сравнение методов приближенного решения уравнений

Сравнение описанных выше методов численного решения уравнений проводилось с помощью программы, позволяющей на экране ПЭВМ наблюдать процесс нахождения корня в графическом виде. Процедуры, входящие в данную программу и реализующие сравниваемые методы, приведены ниже (ПРОГРАММА 2.1).

Рис. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 являются копиями экрана ПЭВМ при окончании итерационного процесса.

В качестве исследуемой функции во всех случаях было взято квадратное уравнение x 2 -x-6 = 0, имеющее аналитическое решение х 1 = -2 и х 2 = 3. Погрешность и начальные приближения принимались для всех методов равными. Результаты поиска корня х= 3, представленные на рисунках, таковы. Наиболее медленно сходится метод дихотомии - 22 итерации, самый быстрый - метод простых итераций при b = -0.2 - 5 итераций. Здесь нет противоречия с утверждением, что метод Ньютона является самым быстрым.

Производная исследуемой функции в точке х = 3 равна -0.2, то есть расчет в данном случае велся практически методом Ньютона с величиной производной в точке корня уравнения. При изменении коэффициента b скорость сходимости падает и постепенно сходящийся процесс сначала зацикливается, потом становится расходящимся.

1. Пусть известен отрезок , который содержит один корень уравнения f(x) = 0. Функция f является непрерывно дифференцируемой функцией на этом отрезке (f(x)ÎC 1 ). При выполнении этих условий можно применять метод простой итерации.

2. По функции f(x) строится функция j(x), удовлетворяющая трём условиям: она должна быть непрерывно дифференцируемой (j(x)ÎC 1 ), такая, что уравнение x = j(x) равносильно уравнению f(x)=0; должна также переводить отрезок в себя .

Будем говорить, что функция j(x) переводит отрезок [ a, b] в себя, если для любого x Î [ a, b], y = j(x) также принадлежит [ a, b] (y Î [ a, b]).

На функцию j(x) накладывается третье условие:

Формула метода: x n +1 = j(x n).

3. При выполнении этих трех условий для любого начального приближения x 0 Î последовательность итераций x n +1 = j(x n) сходится к корню уравнения: x = j(x) на отрезке ().

Как правило, в качестве x 0 выбирается один из концов .

,

где e – заданная точность

Число x n +1 при выполнении условия остановки итерационного процесса является приближенным значением корня уравнения f(x) = 0 на отрезке , найденным методом простой итерации с точностью e.

Построить алгоритм для уточнения корня уравнения: x 3 + 5x – 1 = 0 на отрезке методом простой итерации с точностью e.

1. Функция f(x) = x 3 +5x-1 является непрерывно дифференцируемой на отрезке , содержащем один корень уравнения.

2. Наибольшую трудность в методе простой итерации представляет построение функции j(x), удовлетворяющей всем условиям:

Рассмотрим: .

Уравнение x = j 1 (x) эквивалентно уравнению f(x) = 0, но функция j 1 (x) не является непрерывно дифференцируемой на отрезке .

Рис. 2.4. График функции j 2 (x)

С другой стороны, , следовательно, . Отсюда: – непрерывно дифференцируемая функция. Отметим, что уравнение:x = j 2 (x) эквивалентно уравнению f(x) = 0. Из графика (рис. 2.4) видно, что функция j 2 (x) переводит отрезок в себя.

Условие, что функция j(x) переводит отрезок в себя, можно переформулировать следующим образом: пусть – область определения функции j(x), а – область изменения j(x).

, .

Все условия для функции j(x) выполнены.

Формула итерационного процесса: x n +1 = j 2 (x n).

3. Начальное приближение: x 0 = 0.

4. Условие остановки итерационного процесса:

Рис. 2.5. Геометрический смысл метода простой итерации

.

При выполнении этого условия x n +1 – приближенное значение корня на отрезке , найденное методом простой итерации с точностью e . На рис. 2.5. иллюстрируется применение метода простой итерации.

Теорема о сходимости и оценка погрешности

Пусть отрезок содержит один корень уравнения x = j(x), функция j(x) является непрерывно дифференцируемой на отрезке , переводит отрезок в себя, и выполнено условие :

.

Тогда для любого начального приближения x 0 Î последовательность сходится к корню уравнения y = j(x) на отрезке и справедлива оценка погрешности :

.

Устойчивость метода простой итерации. При выполнении условий теоремы о сходимости алгоритм метода простой итерации является устойчивым.

Сложность метода простой итерации . Объем памяти ЭВМ, необходимый для реализации метода простой итерации, незначителен. На каждом шаге нужно хранить x n , x n +1 , q и e.

Оценим число арифметических действий, необходимых для реализации метода простой итерации. Запишем оценку для числа n 0 = n 0 (e) такого что, для всех n ³ n 0 выполняется неравенство:

Из этой оценки вытекает, что чем ближе q к единице, тем медленнее сходится метод.

Замечание. Не существует общего правила построения j(x) по f(x) так, чтобы выполнялись все условия теоремы о сходимости. Часто используется следующий подход: в качестве функции j выбирается функция j(x) = x + k× f(x), где k – константа.

При программировании метода простой итерации для остановки итерационного процесса часто требуют одновременного выполнения двух условий:

и .

Все остальные итерационные методы, которые мы будем рассматривать, являются частными случаями метода простой итерации. Например, при метод Ньютона является частным случаем метода простой итерации.