Неравенства с корнем в знаменателе. Некоторые рекомендации к решению иррациональных неравенств

В данном уроке мы рассмотрим решение иррациональных неравенств, приведем различные примеры.

Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Урок: Иррациональные неравенства

При решении иррациональных неравенств довольно часто необходимо возводить обе части неравенства в некоторую степень, это довольно ответственная операция. Напомним особенности.

Обе части неравенства можно возвести в квадрат, если обе они неотрицательны, только тогда мы получаем из верного неравенства верное неравенство.

Обе части неравенства можно возвести куб в любом случае, если исходное неравенство было верным, то при возведении в куб мы получим верное неравенство.

Рассмотрим неравенство вида:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Функция может принимать любые значения, необходимо рассмотреть два случая.

В первом случае обе части неравенства неотрицательны, имеем право возвести в квадрат. Во втором случае правая часть отрицательна, и мы не имеем права возводить в квадрат. В таком случае необходимо смотреть на смысл неравенства: здесь положительное выражение (квадратный корень) больше отрицательного выражения, значит, неравенство выполняется всегда.

Итак, имеем следующую схему решения:

В первой системе мы не защищаем отдельно подкоренное выражение, т. к. при выполнении второго неравенства системы подкоренное выражение автоматически должно быть положительно.

Пример 1 - решить неравенство:

Согласно схеме, переходим к эквивалентной совокупности двух систем неравенств:

Проиллюстрируем:

Рис. 1 - иллюстрация решения примера 1

Как мы видим, при избавлении от иррациональности, например, при возведении в квадрат, получаем совокупность систем. Иногда эту сложную конструкцию можно упростить. В полученной совокупности мы имеем право упростить первую систему и получить эквивалентную совокупность:

В качестве самостоятельного упражнения необходимо доказать эквивалентность данных совокупностей.

Рассмотрим неравенство вида:

Аналогично предыдущему неравенству, рассматриваем два случая:

В первом случае обе части неравенства неотрицательны, имеем право возвести в квадрат. Во втором случае правая часть отрицательна, и мы не имеем права возводить в квадрат. В таком случае необходимо смотреть на смысл неравенства: здесь положительное выражение (квадратный корень) меньше отрицательного выражения, значит, неравенство противоречиво. Вторую систему рассматривать не нужно.

Имеем эквивалентную систему:

Иногда иррациональное неравенство можно решить графическим методом. Данный способ применим, когда соответствующие графики можно достаточно легко построить и найти их точки пересечения.

Пример 2 - решить неравенства графически:

а)

б)

Первое неравенство мы уже решали и знаем ответ.

Чтобы решить неравенства графически, нужно построить график функции, стоящей в левой части, и график функции, стоящей в правой части.

Рис. 2. Графики функций и

Для построения графика функции необходимо преобразовать параболу в параболу (зеркально отобразить относительно оси у), полученную кривую сместить на 7 единиц вправо. График подтверждает, что данная функция монотонно убывает на своей области определения.

График функции - это прямая, ее легко построить. Точка пересечения с осью у - (0;-1).

Первая функция монотонно убывает, вторая монотонно возрастает. Если уравнение имеет корень, то он единственный, по графику легко его угадать: .

Когда значение аргумента меньше корня, парабола находится выше прямой. Когда значение аргумента находится в пределах от трех до семи, прямая проходит выше параболы.

Имеем ответ:

Эффективным методом решения иррациональных неравенств является метод интервалов.

Пример 3 - решить неравенства методом интервалов:

а)

б)

согласно методу интервалов, необходимо временно отойти от неравенства. Для этого перенести в заданном неравенстве все в левую часть (получить справа ноль) и ввести функцию, равную левой части:

теперь необходимо изучить полученную функцию.

ОДЗ:

Данное уравнение мы уже решали графически, поэтому не останавливаемся на определении корня.

Теперь необходимо выделить интервалы знакопостоянства и определить знак функции на каждом интервале:

Рис. 3. Интервалы знакопостоянства к примеру 3

Напомним, что для определения знаков на интервале необходимо взять пробную точку и подставить ее в функцию, полученный знак функция будет сохранять на всем интервале.

Проверим значение в граничной точке:

Очевиден ответ:

Рассмотрим следующий тип неравенств:

Сначала запишем ОДЗ:

Корни существуют, они неотрицательны, обе части можем возвести в квадрат. Получаем:

Получили эквивалентную систему:

Полученную систему можно упростить. При выполнении второго и третьего неравенств первое истинно автоматически. Имеем::

Пример 4 - решить неравенство:

Действуем по схеме - получаем эквивалентную систему.

В данном уроке мы рассмотрим решение иррациональных неравенств, приведем различные примеры.

Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Урок: Иррациональные неравенства

Рассмотрим неравенство вида:

Итак, имеем следующую схему решения:

Пример 1 - решить неравенство:

Согласно схеме, переходим к эквивалентной совокупности двух систем неравенств:

Проиллюстрируем:

Рис. 1 - иллюстрация решения примера 1

В качестве самостоятельного упражнения необходимо доказать эквивалентность данных совокупностей.

Рассмотрим неравенство вида:

Аналогично предыдущему неравенству, рассматриваем два случая:

В первом случае обе части неравенства неотрицательны, имеем право возвести в квадрат. Во втором случае правая часть отрицательна, и мы не имеем права возводить в квадрат. В таком случае необходимо смотреть на смысл неравенства: здесь положительное выражение (квадратный корень) меньше отрицательного выражения, значит, неравенство противоречиво. Вторую систему рассматривать не нужно.

Имеем эквивалентную систему:

Пример 2 - решить неравенства графически:

а)

б)

Первое неравенство мы уже решали и знаем ответ.

Рис. 2. Графики функций и

График функции - это прямая, ее легко построить. Точка пересечения с осью у - (0;-1).

Имеем ответ:

Эффективным методом решения иррациональных неравенств является метод интервалов.

Пример 3 - решить неравенства методом интервалов:

а)

б)

теперь необходимо изучить полученную функцию.

ОДЗ:

Данное уравнение мы уже решали графически, поэтому не останавливаемся на определении корня.

Теперь необходимо выделить интервалы знакопостоянства и определить знак функции на каждом интервале:

Рис. 3. Интервалы знакопостоянства к примеру 3

Проверим значение в граничной точке:

Очевиден ответ:

Рассмотрим следующий тип неравенств:

Сначала запишем ОДЗ:

Корни существуют, они неотрицательны, обе части можем возвести в квадрат. Получаем:

Получили эквивалентную систему:

Пример 4 - решить неравенство:

Действуем по схеме - получаем эквивалентную систему.

Т.Д. Иванова

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ

ЦДО и НИТ СРПТЛ

УДК 511 (О75.3)

ББК 22. 1Я72

Составитель Т.Д.Иванова

Рецензент: Баишева М.И.– Кандидат педагогических наук, доцент кафедры

математического анализа математического факультета

Института математики и информатики Якутского

государственного университета

Методы решения иррациональных неравенств: Методическое пособие

М 34 для учащихся 9-11 классов /сост. Иванова Т.Д. с Сунтар Сунтарского улуса

РС(Я): ЦДО НИТ СРПТЛ, 2007, – 56 с.

Пособие адресовано старшеклассникам средней общеобразовательной школы, а также поступающим в вузы как методическое руководство по решению иррациональных неравенств. В пособии подробно разобраны основные методы решения иррациональных неравенств, приведены примеры решения иррациональных неравенств с параметрами, а также предложены примеры для самостоятельного решения. Учителя могут использовать пособие как дидактический материал для проведения самостоятельных работ, при обзорном повторении темы «Иррациональные неравенства».

В пособии отражён опыт работы учителя по изучению с учащимися темы «Иррациональные неравенства».

Задачи взяты из материалов вступительных экзаменов, методических газет и журналов, учебных пособий, перечень которых приведён в конце пособия

УДК 511 (О75.3)

ББК 22. 1Я72

 Т.Д.Иванова, сост.,2006.

 ЦДО НИТ СРПТЛ,2007.

Предисловие 5

Введение 6

Раздел I.Примеры решения простейших иррациональных неравенств 7

Раздел II.Неравенства вида
>g(x), g(x), g(x) 9

Раздел III. Неравенства вида
;
;

;
13

Раздел IV. Неравенства, содержащие несколько корней чётной степени 16

Раздел V. Метод замены (введение новой переменной) 20

Раздел VI. Неравенства вида f(x)
0; f(x)0;

Раздел VII. Неравенства вида
25

Раздел VIII. Использование преобразований подкоренного выражения

в иррациональных неравенствах 26

Раздел IX. Графическое решение иррациональных неравенств 27

Раздел X. Неравенства смешанного типа 31

Раздел ХI. Использование свойства монотонности функции 41

Раздел ХII. Метод замены функции 43

Раздел ХIII. Примеры решения неравенств непосредственно

методом интервалов 45

Раздел XIV. Примеры решения иррациональных неравенств с параметрами 46

Литература 56

РЕЦЕНЗИЯ

Данное методическое пособие предназначено для учащихся 10-11 классов. Как показывает практика, учащиеся школ, абитуриенты испытывают особые затруднения при решении иррациональных неравенств. Это связано с тем, что в школьной математике этот раздел рассматривается недостаточно, не рассматриваются, более расширенно, различные методы решения таких неравенств. Также учителя школ ощущают нехватку методической литературы, которая проявляется в ограниченном количестве задачного материала с указанием различных подходов, методов решения.

В пособии рассмотрено методы решения иррациональных неравенств. Иванова Т.Д. в начале каждого раздела знакомит учащихся с основной идеей метода, затем показываются примеры с объяснениями, а также предлагаются задачи для самостоятельного решения.

Составитель использует наиболее «эффектные» методы решения иррациональных неравенств, которые встречаются при поступлении в высшие учебные заведения с повышенными требованиями к знаниям учащихся.

Учащиеся, ознакомившись с данным пособием, могут приобрести неоценимый опыт и навык решения сложных иррациональных неравенств. Считаю, что данное пособие также будет полезно учителям математики, работающих в профильных классах, а также разработчикам элективных курсов.

Кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа математического факультета Института математики и информатики Якутского государственного университета

Баишева М.И.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Пособие адресовано старшеклассникам средней общеобразовательной школы, а также поступающим в вузы как методическое руководство по решению иррациональных неравенств. В пособии подробно разобраны основные методы решения иррациональных неравенств, даны примерные образцы оформления решения иррациональных неравенств, приведены примеры решения иррациональных неравенств с параметрами, а также предложены примеры для самостоятельного решения, для некоторых из них даны краткие ответы и указания.

При разборе примеров, самостоятельного решения неравенств, предполагается, что учащийся умеет решать линейные, квадратные и другие неравенства, владеет различными методами решения неравенств, в частности, методом интервалов. Предлагается решить неравенство несколькими способами.

Учителя могут использовать пособие как дидактический материал для проведения самостоятельных работ, при обзорном повторении темы «Иррациональные неравенства».

В пособии отражён опыт работы учителя по изучению с учащимися темы «Иррациональные неравенства».

Задачи подобраны из материалов вступительных экзаменов в высшие учебные заведения, методических газет и журналов по математике «Первое сентября», «Математика в школе», «Квант", учебных пособий, перечень которых приведён в конце пособия.

ВВЕДЕНИЕ

Иррациональными называют неравенства, в которые переменные или функция от переменной входят под знаком корня.

Основным стандартным методом решения иррациональных неравенств является последовательное возведение обеих частей неравенства в степень с целью освобождения от корня. Но эта операция часто приводит к появлению посторонних корней или, даже, к потере корней, т.е. приводит к неравенству, неравносильному исходному. Поэтому, надо очень тщательно следить за равносильностью преобразований и рассматривать только те значения переменной, при которых неравенство имеет смысл:

если корень четной степени, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным и значение корня тоже неотрицательное число.

если корень степени - нечётное число, то подкоренное выражение может принимать любое действительное число и знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

возводить в чётную степень обе части неравенства можно только, предварительно убедившись в их неотрицательности;

возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечётную степень всегда является равносильным преобразованием.

Раздел I . Примеры решения простейших иррациональных неравенств

Примеры 1- 6:

Решение:

1. а)
.

б)
.

2. а)

б)

3. а)
.

б)
.

4. а)

б)

5. а)
.

б)

6. а)
.

б)
.

8. а)
.

б)

9. а)
.

б)

11.

12. Найдите наименьшее целое положительное значение х, удовлетворяющее неравенству

13. а) Найдите середину промежутка решения неравенства

б) Найдите среднее арифметическое всех целых значений х, при которых неравенство имеет решение 4

14. Найдите наименьшее отрицательное решение неравенства

15. а)
;

б)

Раздел II. Неравенства вида >g(x), g(x), g(x)

Аналогично, как и при решении примеров 1-4, рассуждаем при решении неравенств указанного вида.

Пример 7 : Решить неравенство
> х + 1

Решение: ОДЗ неравенства: х -3. Для правой части есть два возможных случая:

а) х + 10 (правая часть неотрицательна) или б) х + 1

Рассмотрим а) Если х +10, т.е. х - 1, то обе части неравенства неотрицательны. Возводим обе части в квадрат: х + 3 > х + 2х + 1. Получаем квадратное неравенство х + х – 2 x х - 1, получаем -1

Рассмотрим б) Если х +1 х х -3

Объединяя решения случая а) -1 и б) х -3, запишем ответ: х
.

Все рассуждения при решении примера 7 удобно записать так:

Исходное неравенство равносильно совокупности систем неравенств
.

Ответ: .

Рассуждения при решении неравенств вида

1.> g (x ); 2. g (x ); 3. g (x ); 4. g (x ) можно кратко записать в виде следующих схем:

I. > g (x )

2. g (x )

3. g (x )

4. g (x )
.

Пример 8 :
х.

Решение: Исходное неравенство равносильно системе

х>0

Ответ: х
.

Задачи для самостоятельного решения:

б)

б)
.

б)

20. а)
x

б)

21. а)

Всякое неравенство, в состав которого входит функция, стоящая под корнем, называется иррациональным . Существует два типа таких неравенств:

В первом случае корень меньше функции g (x ), во втором - больше. Если g (x ) - константа , неравенство резко упрощается. Обратите внимание: внешне эти неравенства очень похожи, но схемы решения у них принципиально различаются.

Сегодня научимся решать иррациональные неравенства первого типа - они самые простые и понятные. Знак неравенства может быть строгим или нестрогим. Для них верно следующее утверждение:

Теорема. Всякое иррациональное неравенство вида

Равносильно системе неравенств:

Неслабо? Давайте рассмотрим, откуда берется такая система:

f (x ) ≤ g 2 (x ) - тут все понятно. Это исходное неравенство, возведенное в квадрат;
f (x ) ≥ 0 - это ОДЗ корня. Напомню: арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа;
g (x ) ≥ 0 - это область значений корня. Возводя неравенство в квадрат, мы сжигаем минусы. В результате могут возникнуть лишние корни. Неравенство g (x ) ≥ 0 отсекает их.

Многие ученики «зацикливаются» на первом неравенстве системы: f (x ) ≤ g 2 (x ) - и напрочь забывают два других. Результат предсказуем: неправильное решение, потерянные баллы.

Поскольку иррациональные неравенства - достаточно сложная тема, разберем сразу 4 примера. От элементарных до действительно сложных. Все задачи взяты из вступительных экзаменов МГУ им. М. В. Ломоносова.