Нормальная матрица. Матрица II: Матрица Терпения и Накопления

Ты - не раб!
Закрытый образовательный курс для детей элиты: "Истинное обустройство мира".
http://noslave.org

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Специальные случаи

Среди комплексных матриц все унитарные , эрмитовы и косоэрмитовы матрицы нормальны. Среди вещественных матриц все ортогональные , симметричные и кососимметричные матрицы нормальны. Однако неверно, что все нормальные матрицы либо унитарны, либо эрмитовы, либо косоэрмитовы. Например,

texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

не является ни унитарной, ни эрмитовой, ни косоэрмитовой, хотя и нормальна, поскольку

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): AA^* = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = A^*A.

Следствия

Предложение. Нормальная треугольная матрица диагональна .

Пусть A - нормальная верхняя треугольная матрица. Поскольку (A ∗ A ) ii = (AA ∗) ii , первая строка должна иметь ту же норму, что и первый столбец:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \left \|A e_1 \right\|^2 = \left \|A^* e_1 \right \|^2.

Первые элементы первой строки и первого столбца совпадают, а остаток первого столбца состоит из нулей. Из этого следует, что и в строке все элементы от 2 до n должны быть нулевыми. Продолжая эти рассуждения для пар строка/столбец с номерами от 2 до n , получим, что A диагональна.

Понятие нормальности важно, поскольку нормальные матрицы - это в точности те, которых касается спектральная теорема :

Предложение. Матрица A нормальна тогда и только тогда, когда существует диагональная матрица Λ и унитарная матрица U , такие что A = U ΛU ∗ .

Диагональные элементы матрицы Λ являются собственными числами , а столбцы U - собственными векторами матрицы A . (собственные значения в Λ идут в том же порядке, что и соответствующие им собственные столбцы в U ).

Другим способом высказать утверждение спектральной теоремы является утверждение, что нормальные матрицы - это в точности те матрицы, которые можно представить в виде диагональной матрицы путём выбора подходящего ортонормального базиса пространства C n . Также можно утверждать, что матрица нормальна тогда и только тогда, когда её собственное пространство совпадает с C n и собственные вектора ортогональны по стандартному скалярному произведению в C n .

Спектральная теорема для нормальных матриц является специальным случаем более общего разложения Шура , которое выполняется для всех квадратных матриц. Пусть A - квадратная матрица. Тогда, согласно разложению Шура, она унитарно подобна верхней треугольной матрице, скажем, B . Если A нормальна, то и B нормальна тоже. Но тогда B должна быть диагональной по причине, изложенной выше.

Спектральная теорема позволяет классифицировать нормальные матрицы в терминах спектра, например:

Предложение. Нормальная матрица унитарна тогда и только тогда, когда её спектр лежит на единичном круге комплексной плоскости. Предложение. Нормальная матрица является самосопряжённой тогда и только тогда, когда её спектр содержится в R .

В общем случае сумма или произведение двух нормальных матриц не обязательно будет нормальной матрицей. Однако выполняется следующее:

Предложение. Если A и B нормальны и выполняется AB = BA , то и AB , и A + B также нормальны. Более того, существует унитарная матрица U , такая, что UAU ∗ и UBU ∗ диагональны. Другими словами, A и B совместно приводимы к диагональной форме .

В этом частном случае столбцы матрицы U ∗ являются собственными векторами, как A , так и B , и образуют ортонормальный базис в C n . Утверждение следует из теорем, что над алгебраически замкнутым полем коммутирующие матрицы совместно приводимы к треугольному виду и что нормальная матрица приводима к диагональной, в последнем случае с дополнением, что это можно сделать одновременно.

Эквивалентные определения

Можно дать довольно длинный список эквивалентных определений нормальной матрицы. Пусть A - n × n комплексная матрица. Следующие высказывания эквивалентны:

A нормальна.
A является приводимой к диагональной форме с помощью унитарной матрицы.
Все точки пространства можно получить как линейные комбинации некоторого набора ортонормальных собственных векторов матрицы A .
||Ax || = ||A ∗ x || для любой x .
Норму Фробениуса матрицы A можно вычислить по собственным значениям матрицы A : Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{tr} (A^* A) = \sum\nolimits_j |\lambda_j|^2.
Эрмитова часть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (A + A^\ast)/2 и косоэрмитова части Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (A - A^{\ast})/2 матрицы A коммутируют.
A ∗ является многочленом (степени ≤ n − 1 ) от A .
A ∗ = AU для некоторой унитарной матрицы U .
U и P коммутируют, где U и P представляют полярное разложение A = UP на унитарную матрицу U и некую положительно определённую матрицу P .
A коммутирует с некоторой нормальной матрицей N , имеющей различные собственные значения.
σ i = |λ i | для всех 1 ≤ i ≤ n , где A имеет сингулярные собственные значения σ 1 ≥ ... ≥ σ n и собственные вектора |λ 1 | ≥ ... ≥ |λ n |.
Операторная норма нормальной матрицы A равна числовому и спектральному радиусу матрицы A . Это означает:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sup_{ \|x\|=1 } \|Ax\| = \sup_{ \|x\|=1 } |\langle Ax, x \rangle| = \max \{ |\lambda| : \lambda \in \sigma(A) \}

Некоторые, но не все перечисленные выше определения можно обобщить до нормальных операторов в бесконечномерных гильбертовых пространствах. Например, ограниченный оператор, удовлетворяющий (9), является лишь квазинормальным .

Аналогии

Иногда полезно (а иногда и вводит в заблуждение) рассматривать связи различных видов нормальных матриц как аналогию различных видов комплексных чисел:

Обратимые матрицы являются аналогом ненулевых комплексных чисел
Сопряжено-транспонированная матрица является аналогом сопряжённого числа
Унитарные матрицы является аналогом комплексных чисел с абсолютной величиной 1
Эрмитовы матрицы являются аналогами вещественных чисел
Эрмитовы положительно определённые матрицы являются аналогами положительных вещественных чисел
Косоэрмитовы матрицы являются аналогами чисто мнимых чисел

Можно комплексные числа вложить в нормальные 2 × 2 вещественные матрицы путём отображения

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a+bi \mapsto \begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix},

и при этом вложении сохраняются сложение и умножение. Легко проверить, что при этом сохранятся все выше перечисленные аналогии.

Напишите отзыв о статье "Нормальная матрица"

Примечания

Ссылки

Horn, Roger A. & Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6 .

Отрывок, характеризующий Нормальная матрица

– Это будет мой сюрприз, – ответила я.
– Ну, тогда пошли, герой! – улыбнулся врач.
Он повёл меня в небольшую, очень белую комнату, усадил в огромное (для моих габаритов) кресло и начал приготавливать инструменты. Приятного в этом, разумеется, было мало, но я упорно продолжала наблюдать за всем, что он делал и мысленно себе повторяла, что всё будет очень хорошо, и, что я ни за что не собираюсь сдаваться.
– Не бойся, сейчас я тебе сделаю укол, и ты ничего не будешь больше ни видеть, ни чувствовать, – сказал врач.
– Я не хочу укол, – возразила я, – я хочу видеть, как это выглядит.
– Ты хочешь видеть свои гланды?!. – удивился он.
Я гордо кивнула.
– Поверь мне, это не столь приятно, чтобы на них смотреть, – сказал врач, – и тебе будет больно, я не могу тебе этого разрешить.
– Вы не будете меня обезболивать или я не буду делать этого вообще, – упорно настаивала я, – Почему вы не оставляете мне права выбора? Если я маленькая, то ещё не значит, что я не имею права выбирать, как мне принимать мою боль!
Врач смотрел на меня, широко открыв глаза и казалось, не мог поверить в то, что слышал. Почему-то мне стало вдруг очень важно, чтобы он мне поверил. Мои бедные нервы уже видимо были на пределе, и я чувствовала, что ещё чуть-чуть, и по моей напряжённой физиономии польются предательские потоки слёз, а этого допустить было никак нельзя.
– Ну, пожалуйста, я клянусь, что никогда никому этого не скажу, – всё ещё упрашивала я.
Он долго на меня смотрел, а потом вздохнул и сказал:
– Я тебе разрешу, если ты скажешь мне, почему тебе это нужно.
Я растерялась. По-моему я тогда и сама не очень-то хорошо понимала, что заставило меня так настойчиво отвергать обычную, «спасительную» анестезию. Но я не разрешила себе расслабиться, понимая, что срочно нужно найти какой-то ответ, если я не хочу, чтобы этот чудесный врач передумал и всё пошло бы обычным путём.
– Я очень боюсь боли и вот теперь решила это перебороть. Если вы мне по-можете я буду очень вам благодарна, – краснея, сказала я.
Моя проблема была в том, что я совершенно не умела лгать. И я видела, что врач сразу же это понял. Тогда, не давая ему возможности что-либо сказать, я выпалила:
– Несколько дней назад я перестала чувствовать боль и хочу это проверить!..
Врач долго изучающе на меня смотрел.
– Ты кому-то об этом сказала? – спросил он.
– Нет, пока никому, – ответила я. И рассказала ему во всех подробностях случай на катке.
– Ну, ладно, давай попробуем, – сказал врач. – Но, если будет больно, ты уже не сможешь мне об этом сказать, поняла? Поэтому, сразу же подними руку, если только почувствуешь боль, договорились? Я кивнула.
Если честно, я абсолютно не была уверена, зачем я всё это затеваю. А также, не была полностью уверена и в том, смогу ли по-настоящему с этим справиться, и не придётся ли обо всей этой сумасшедшей истории горько пожалеть. Я видела, как врач подготавливает обезболивающий укол и ставит шприц на столик рядом с собой.
– Это на случай непредвиденного провала, – тепло улыбнулся он, – Ну что, поехали?
На секунду мне показалась дикой вся эта затея, и вдруг очень захотелось быть такой же, как все – нормальной, послушной девятилетней девочкой, которая закрывает глаза, просто потому, что ей очень страшно. А ведь мне и в правду было страшно… но так как не в моей привычке было отступать, я гордо кивнула и приготовилась наблюдать. Только много лет спустя я поняла, чем по-настоящему рисковал этот милый врач… И ещё, для меня навсегда осталось «тайной за семью печатями», почему он это сделал. Но тогда всё это казалось совершенно нормальным и, честно говоря, у меня не было времени, чтобы удивляться.
Операция началась, и я как-то сразу успокоилась – как будто откуда-то знала, что всё будет хорошо. Теперь я уже не смогла бы вспомнить всех подробностей, но очень хорошо помню то, как потряс меня вид «того», что столько лет беспощадно мучило меня и маму после каждого малейшего перегрева или простуды… Это оказались два серых, жутко сморщенных комочка какой-то материи, которая не была похожа даже на нормальную человеческую плоть! Наверное, увидя такую «гадость», у меня глаза стали, как ложки, потому что врач рассмеялся и весело сказал:
– Как видишь, не всегда из нас удаляется что-то красивое!
Через несколько минут операция была закончена и я не могла поверить, что всё уже позади. Мой отважный доктор мило улыбался, вытирая полностью вспотевшее лицо. Выглядел он почему-то, как «выжатый лимон»… Видимо мой странный эксперимент обошёлся ему не так уж и легко.
– Ну что, герой, всё ещё не больно? – внимательно глядя мне в глаза спросил он.
– Только чуть-чуть першит, – ответила я, что было искренней и абсолютной правдой.
В коридоре нас ждала очень расстроенная мама. Оказалось, что на работе у неё случились непредвиденные проблемы и, как бы она не просилась, начальство не захотело её отпускать. Я тут же постаралась её успокоить, но рассказывать обо всём пришлось, конечно же, врачу, так как разговаривать мне пока ещё было чуточку трудновато. После этих двух примечательных случаев, «самообезболивающий эффект» у меня начисто исчез и не появлялся больше уже никогда.

Насколько я себя помню, меня всегда привлекала в людях жажда жизни и умение находить радость даже в самых безнадёжных или грустных жизненных ситуациях. Сказать проще – я всегда любила «сильных духом» людей. Настоящим примером «выживания» в то время была для меня наша молодая соседка – Леокадия. Мою впечатлительную детскую душу поражало её мужество и её по-настоящему неистребимое желание жить. Леокадия была моим светлым кумиром и наивысшим примером того, как высоко человек способен вознестись над любым физическим недугом, не давая этому недугу разрушить ни его личность, ни его жизнь…
Некоторые болезни излечимы и нужно только лишь терпение, чтобы дождаться, когда же это наконец-то произойдёт. Её же болезнь была с ней на всю её оставшуюся жизнь и никакой надежды когда-то стать нормальным человеком у этой мужественной молодой женщины, к сожалению, не было.
Судьба-насмешница обошлась с ней очень жестоко. Когда Леокадия была ещё совсем маленькой, но абсолютно нормальной девочкой, ей «посчастливилось» очень неудачно упасть с каменных ступенек и сильно повредить себе позвоночник и грудную кость. Врачи поначалу даже не были уверены, сможет ли она вообще когда-то ходить. Но, спустя какое-то время, этой сильной, жизнерадостной девочке всё-таки удалось, благодаря её решительности и упорству, подняться с больничной койки и медленно, но уверенно начать заново делать свои «первые шаги»...
Вроде бы всё кончилось хорошо. Но, через какое-то время, к всеобщему ужасу, у неё спереди и сзади начал расти огромный, совершенно жуткий горб, который позже буквально изуродовал её тело до полной неузнаваемости… И, что было самое обидное – природа, как бы издеваясь, наградила эту голубоглазую девочку изумительно красивым, светлым и утончённым лицом, тем самым, как бы желая показать, какой дивной красавицей она могла бы быть, если бы ей не была приготовлена такая жестокая судьба...
Я даже не пытаюсь себе представить, через какую душевную боль и одиночество должна была пройти эта удивительная женщина, пытаясь, ещё маленькой девочкой, как-то привыкнуть к своей страшной беде. И как она могла выжить и не сломаться когда, много лет спустя, став уже взрослой девушкой, должна была смотреться на себя в зеркало и понимать, что простое женское счастье ей не дано испытать никогда, каким бы хорошим и добрым человеком она не являлась… Она принимала свою беду с чистой и открытой душой и, видимо, именно это помогло ей сохранить очень сильную веру в себя, не обозлившись на окружающий мир и не плача над своей злой, исковерканной судьбой.
До сих пор я, как сейчас помню, её неизменную тёплую улыбку и радостные светящиеся глаза, встречавшие нас каждый раз, вне зависимости от её настроения или физического состояния (а ведь очень часто я чувствовала, как по-настоящему ей было тяжело)… Я очень любила и уважала эту сильную, светлую женщину за её неиссякаемый оптимизм и её глубокое душевное добро. А уж, казалось, как раз она-то и не имела ни малейших причин верить тому же самому добру, потому, что во многом никогда так и не смогла почувствовать, что это такое по-настоящему жить. Или, возможно, почувствовала намного глубже, чем могли чувствовать это мы?..
Я была тогда ещё слишком маленькой девочкой, чтобы понять всю бездну различия между такой искалеченной жизнью и жизнью нормальных здоровых людей, но я прекрасно помню, что даже много лет спустя, воспоминания о моей чудесной соседке очень часто помогали мне переносить душевные обиды и одиночество и не сломаться когда было по-настоящему очень и очень тяжело.
Я никогда не понимала людей, которые вечно были чем-то недовольны и постоянно жаловались на свою, всегда неизменно «горькую и несправедливую», судьбу... И я никогда не понимала причину, которая давала им право считать, что счастье заранее предназначено им уже с самого их появления на свет и, что они имеют, ну, прямо-таки «законное право» на это ничем не нарушаемое (и совершенно незаслуженное!) счастье...

Матрицы A выполняется A ∗ = A T , и поэтому она нормальна, если A T A = AA T .

Нормальность является удобным тестом для приводимости к диагональной форме - матрица нормальна тогда и только тогда, когда она унитарно подобна диагональной матрице , а потому любая матрица A , удовлетворяющая уравнению A ∗ A = AA ∗ , допускает приведение к диагональной форме. (Две матрицы A и B называются унитарно подобными, если существует унитарная матрица S , для которой A = S -1 BS .)

Понятие нормальной матрицы можно распространить на нормальные операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах и нормальные элементы в C*-алгебрах .

Энциклопедичный YouTube

1 / 5
Среди комплексных матриц все унитарные , эрмитовы и косоэрмитовы матрицы нормальны. Среди вещественных матриц все ортогональные , симметричные и кососимметричные матрицы нормальны. Однако неверно, что все нормальные матрицы либо унитарны, либо эрмитовы, либо косоэрмитовы. Например,
A = (1 1 0 0 1 1 1 0 1) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}}
не является ни унитарной, ни эрмитовой, ни косоэрмитовой, хотя и нормальна, поскольку
A A ∗ = (2 1 1 1 2 1 1 1 2) = A ∗ A . {\displaystyle AA^{*}={\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}}=A^{*}A.}
Следствия

Предложение. Нормальная треугольная матрица диагональна .
Пусть A - нормальная верхне-треугольная матрица. Поскольку (A ∗ A ) ii = (AA ∗) ii , первая строка должна иметь ту же норму, что и первый столбец:
‖ A e 1 ‖ 2 = ‖ A ∗ e 1 ‖ 2 . {\displaystyle \left\|Ae_{1}\right\|^{2}=\left\|A^{*}e_{1}\right\|^{2}.}
Первые элементы первой строки и первого столбца совпадают, а остаток первого столбца состоит из нулей. Из этого следует, что и в строке все элементы от 2 до n должны быть нулевыми. Продолжая эти рассуждения для пар строка/столбец с номерами от 2 до n , получим, что A диагональна.
Понятие нормальности важно, поскольку нормальные матрицы - это в точности те, которых касается спектральная теорема :
Предложение. Матрица A нормальна тогда и только тогда, когда существует диагональная матрица Λ и унитарная матрица U , такие что A = U ΛU ∗ .
Диагональные элементы матрицы Λ являются собственными числами , а столбцы U - собственными векторами матрицы A . (собственные значения в Λ идут в том же порядке, что и соответствующие им собственные вектора в U ).
Другим способом высказать утверждение спектральной теоремы является утверждение, что нормальные матрицы - это в точности те матрицы, которые можно представить в виде диагональной матрицы путём выбора подходящего ортонормального базиса пространства C n . Также можно утверждать, что матрица нормальна тогда и только тогда, когда её собственное пространство совпадает с C n и собственные вектора ортогональны по стандартному скалярному произведению в C n .
Спектральная теорема для нормальных матриц является специальным случаем более общего разложения Шура , которое выполняется для всех квадратных матриц. Пусть A - квадратная матрица. Тогда, согласно разложению Шура, она унитарно подобна верхней треугольной матрице, скажем, B . Если A нормальна, то и B нормальна тоже. Но тогда B должна быть диагональной по причине, изложенной выше.
Спектральная теорема позволяет классифицировать нормальные матрицы в терминах спектра, например:
Предложение. Нормальная матрица унитарна тогда и только тогда, когда её спектр лежит на единичном круге комплексной плоскости. Предложение. Нормальная матрица является самосопряжённой тогда и только тогда, когда её спектр содержится в R .
В общем случае сумма или произведение двух нормальных матриц не обязательно будет нормальной матрицей. Однако выполняется следующее:
Предложение. Если A и B нормальны и выполняется AB = BA , то и AB , и A + B также нормальны. Более того, существует унитарная матрица U , такая, что UAU ∗ и UBU ∗ диагональны. Другими словами, A и B совместно приводимы к диагональной форме .
В этом частном случае столбцы матрицы U ∗ являются собственными векторами, как A , так и B , и образуют ортонормальный базис в C n . Утверждение следует из теорем, что над алгебраически замкнутым полем коммутирующие матрицы совместно приводимы к треугольному виду и что нормальная матрица приводима к диагональной, в последнем случае с дополнением, что это можно сделать одновременно.

Эквивалентные определения

Можно дать довольно длинный список эквивалентных определений нормальной матрицы. Пусть A - n × n комплексная матрица. Следующие высказывания эквивалентны:
1. A нормальна.
2. A является приводимой к диагональной форме с помощью унитарной матрицы.
3. Все точки пространства можно получить как линейные комбинации некоторого набора ортонормальных собственных векторов матрицы A .
4. ||Ax || = ||A ∗ x || для любого x .
5. Норму Фробениуса матрицы A можно вычислить по собственным значениям матрицы A : tr ⁡ (A ∗ A) = ∑ j | λ j | 2 . {\displaystyle \operatorname {tr} (A^{*}A)=\sum \nolimits _{j}|\lambda _{j}|^{2}.}
6. Эрмитова часть (A + A ∗) / 2 {\displaystyle (A+A^{\ast })/2} и косоэрмитова часть (A − A ∗) / 2 {\displaystyle (A-A^{\ast })/2} матрицы A коммутируют.
7. A ∗ является многочленом (степени ≤ n − 1 ) от A .
8. A ∗ = AU для некоторой унитарной матрицы U .
9. U и P коммутируют, где U и P представляют полярное разложение A = UP на унитарную матрицу U и некую положительно определённую матрицу P .
10. A коммутирует с некоторой нормальной матрицей N , имеющей различные собственные значения.
11. σ i = |λ i | для всех 1 ≤ i ≤ n , где A имеет сингулярные собственные значения
Квадратная матрица, перестановочная со своей сопряженной (т. е.)

Смотреть значение Нормальная Матрица в других словарях

Матрица — ж. изложница, льяло, льяк, гнездо, форма для отливки печатальных букв. Матрицовый или матричный, относящийся к матрице.
Толковый словарь Даля

Матрица — матрицы, ж. (нем. Matrize) (тех.). 1. Пластинка с выдавленными, вырезанными обратными знаками или изображениями чего-н., служащая формой для отливки или штамповки. С матриц отливают........
Толковый словарь Ушакова

Матрица Ж. — 1. Углубленная металлическая форма, применяемая при штамповке металла, при отливке типографских литер и т.п. 2. Обратная углубленная копия, снимаемая с набора на картоне,........
Толковый словарь Ефремовой

Матрица — -ы; ж. [от лат. matrix (matricis) - матка]
1. Техн. Углублённая металлическая форма, применяемая при отливке металла под давлением, при отливке типографских литер и т.п. Линотипная........
Толковый словарь Кузнецова

Вариационно-ковариационная Матрица (variance-covariance Matrix) — симметричная таблица ковариаций между некоторым числом случайных переменных. Дисперсии случайных переменных представлены на диагонали матрицы, а ковариаций выше и ниже диагонали.
Экономический словарь

Единица Нормальная Торговая — См. Единица биржевая
Экономический словарь

Калькуляции Себестоимости Нормальная (normal Costing) — Процесс калькуляции себестоимости, когда на объект учета затрат относится сумма потребленных материалов и людских ресурсов плюс сумма распределенных на базе нормальной........
Экономический словарь

Ковариационная Матрица — (variance-covariance matrix) – симметричная
матрица, содержащая
коэффициенты ковариации случайных величин, составляющих некоторый случайный вектор.
Экономический словарь

Логарифмически Нормальная Классификация — Классификация, при которой логарифмическое значение переменной следует за нормальной классификацией. Логарифмически нормальные классификации используются для описания........
Экономический словарь

Матрица — пространственная совокупность числовых значений, расположенных в узлах условной решетки.
Экономический словарь

Матрица Доля Рынка - Рост Рынка — матрица из четырех квадрантов, по которой рассчитывается
модель стратегического поведения компании. В матрице используется
вероятность
успеха при различных........
Экономический словарь

Матрица Инвестиционного Стиля Фонда, Специализирующегося На Акциях Внутреннего Рынка — Матрица инвестиционного стиля
фонда представляет собой -9-ячеечный квадрат, позволяющий определить как инвестиционную стратегию фонда, так и
размер компаний,........
Экономический словарь

Матрица Инвестиционного Стиля Фонда, Специализирующегося На Акциях Международных Рынков — , составляется на основе показателей, которые рассчитываются несколько иным способом, нежели для фондов, специализирующихся на акциях внутреннего рынка. На вертикальной........
Экономический словарь

Матрица Инвестиционного Стиля Фонда, Специализирующегося На Бумагах С Фиксированным Доходом — В матрице инвестиционного стиля фонда, специализирующегося на бумагах с фиксированным доходом и работающего либо на внутреннем, либо на международном рынках, представлены........
Экономический словарь

Матрица Маркетинговая Стратегическая — пространственная модель, образуемая пересечением координат двух факторов, дающая возможность оценить положение компании, фирмы на рынке и разработать маркетинговую........
Экономический словарь

Матрица Потребностей — матрица, благодаря которой можно произвести классификацию потребностей по признакам, характеризующим виды потребляемых товаров и категориям их потребителей.
Экономический словарь

Матрица Ресурсно-целевая — матрица, дающая возможность рассчитать объем необходимых ресурсов и их распределение по намечаемым программам.
Экономический словарь

Матрица Социальных Счетов — Матрица социальных счетов – это
набор взаимосвязанных статистических таблиц, представляющий схематическое изображение круговорота доходов в экономике в определенный........
Экономический словарь

Нормальная Взаимосвязь — (normal backwardation) – ожидаемое соотношение между текущей фьючерсной ценой и ценой
спот на
момент поставки, когда
фьючерсная цена меньше ожидаемой
цены спот.
Экономический словарь

Нормальная Инвестиционная Практика — Сведения об
инвестициях на
счете
клиента, находящиеся у
дилера-члена Национальной ассоциации дилеров по ценным
бумагам (National Association of Securities Dealers),........
Экономический словарь

Нормальная Мощность (normal Capacity) — Средний уровень выпуска, который необходимо обеспечить для удовлетворения потребностей заказчиков на срок в несколько периодов.
Экономический словарь

Нормальная Прибыль — -
прибыль, равная вмененным издержкам, вложенным в
производство владельцем фирмы
Экономический словарь

Нормальная Прибыль (норма Прибыли От Инвестиций) — - прибыль и норма прибыли от инвестиций, которые близки к средним показателям всех фирм.
Экономический словарь

Нормальная Продолжительность Рабочего Времени — См.
Продолжительность рабочего времени нормальная
Экономический словарь

Нормальная Производственная Мощность Оборудования — Объем производства, который ожидается получить в среднем на протяжении нескольких периодов или сезонов при нормальных
условиях, с учетом потерь
мощности в........
Экономический словарь

Нормальная Случайная Переменная — Случайная переменная с нормальным распределением вероятностей.
Экономический словарь

Нормальная Цена — цена, устанавливающаяся в результате долговременного
процесса
роста эластичности
предложения.
Экономический словарь

Платежная Матрица — - статистический
метод принятия решения, помогающий руководителю выбирать из возможных альтернатив.
Экономический словарь

Прибыль Нормальная — издержки предпринимателя, не включенные в
затраты, не отраженные в предпринимательских издержках согласно бухгалтерской документации, условно включенные в бухгалтерскую
прибыль.
Экономический словарь

Прибыль, Нормальная — - 1. часть предпринимательского дохода, платежи, которые должна делать фирма, чтобы приобрести и удержать предпринимательские способности, минимальная плата (доход),........
Экономический словарь

1. Пусть дан некоторый многочлен с коэффициентами из поля
Рассмотрим квадратную матрицу -го порядка
. (36)
Нетрудно проверить, что многочлен является характеристическим многочленом матрицы :
.
С другой стороны, минор элемента в характеристическом определителе равен . Поэтому и , .
Таким образом, матрица имеет единственный отличный от единицы инвариантный многочлен, равный .
Матрицу мы будем называть сопровождающей матрицей для многочлена .
Пусть дана матрица с инвариантными многочленами
Здесь все многочлены имеют степень выше пулевой, причем каждый из этих многочленов, начиная со второго, является делителем предыдущего. Сопровождающие матрицы для этих многочленов обозначим через .
Тогда квазидиагональная матрица -го порядка
(38)
имеет своими инвариантными многочленами многочлены (37) (см. теорему 4 на стр. 145). Поскольку матрицы и имеют одни и те же инвариантные многочлены, они подобны, т. е. существует всегда такая неособенная матрица , что
Матрица называется первой естественной нормальной формой для матрицы . Эта нормальная форма характеризуется: 1) квазидиагональным видом (38), 2) специальной структурой диагональных клеток (36) и 3) дополнительным условием: в ряду характеристических многочленов диагональных клеток каждый многочлен, начиная со второго, является делителем предыдущего.
2. Обозначим теперь через
(39)
элементарные делители матрицы в числовом поле . Соответствующие сопровождающие матрицы обозначим через
.
Поскольку – единственный элементарный делитель матрицы , то согласно теореме 5 квазидиагональная матрица
(40)
имеет своими элементарными делителями многочлены (39).
Матрицы и имеют одни и те же элементарные делители в поле . Поэтому эти матрицы подобны, т. е. существует всегда такая неособенная матрица , что
Матрица называется второй естественной нормальной формой для матрицы . Эта нормальная форма характеризуется: 1) квазидиагональным видом (40), 2) специальной структурой диагональных клеток (36) и 3) дополнительным условием: характеристический многочлен каждой диагональной клетки представляет собой степень неприводимого в поле многочлена.
Замечание. Элементарные делители матрицы в отличие от инвариантных многочленов существенно связаны с данным числовым полем . Если мы вместо исходного числового поля возьмем другое числовое поле (которому также принадлежат элементы данной матрицы ), то элементарные делители могут измениться. Вместе с элементарными делителями изменится и вторая естественная нормальная форма матрицы.
Так, например, пусть дана матрица с вещественными элементами. Характеристический многочлен этой матрицы будет иметь вещественные коэффициенты. В то же время этот многочлен может иметь комплексные корни. Если – поле вещественных чисел, то среди элементарных делителей могут быть и степени неприводимых квадратных трехчленов с вещественными коэффициентами. Если – поле комплексных чисел, то каждый элементарный делитель имеет вид .
3. Допустим теперь, что числовое поле содержит не только элементы матрицы , но и все характеристические числа этой матрицы. Тогда элементарные делители матрицы имеют вид
. (41)
Рассмотрим один из таких элементарных делителей
и поставим ему в соответствие следующую матрицу порядка :
. (42)
Нетрудно проверить, что эта матрица имеет только один элементарный делитель . Матрицу (42) мы будем называть жордановой клеткой, соответствующей элементарному делителю .
Жордановы клетки, соответствующие элементарным делителям (41), обозначим через
Тогда квазидиагональная матрица
имеет своими элементарными делителями степени (41).
Матрицу можно еще записать так:
Поскольку матрицы и имеют одни и те же элементарные делители, они подобны между собой, т. е. существует такая неособенная матрица , что
Матрица называется жордановой нормальной формой или просто жордановой формой матрицы . Жорданова форма характеризуется квазидиагональным видом и специальной структурой (42) диагональных клеток.-го порядка
Заметим еще, что если , то каждая из матриц
,
имеет только один элементарный делитель: . Поэтому для неособенной матрицы , имеющей элементарные делители (41), наряду с (III) и (IV) имеют место представления