Объем пирамиды.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока .

Образовательная: Вывести формулу для вычисления объема пирамиды

Развивающая: развивать у учащихся познавательный интерес к учебным дисциплинам, умение применять свои знания на практике.

Воспитательная: воспитывать внимание, аккуратность, расширять кругозор учеников.

Оборудование и материалы: компьютер, экран, проектор, презентация “Объем пирамиды”.

1. Фронтальный опрос. Слайды 2, 3

Что называется пирамидой, основанием пирамиды, ребрами, высотой, осью, апофемой. Какая пирамида называется правильной, тетраэдром, усеченной пирамидой?

Пирамида - многогранник, состоящий из плоского многоугольника , точки , не лежащей в плоскости этого многоугольника и всех отрезков , соединяющих эту точку с точками многоугольника.

Данная точка называется вершиной пирамиды, а плоский многоугольник - основанием пирамиды. Отрезки , соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются рёбрами . Высота пирамиды - перпендикуляр , опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды. Пирамида, у которой в основании лежит правильный n-угольник , а основание высоты совпадает с центром основания называется правильной n-угольной пирамидой. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая её высоту. Правильная треугольная пирамида называется тетраэдром. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания, то она отсечет пирамиду, подобную данной. Оставшаяся часть называется усеченной пирамидой.

2. Вывод формулы для вычисления объема пирамиды V=SH/3 Слайды 4, 5, 6

1. Пусть SABC – треугольная пирамида с вершиной S и основанием АВС.

2. Дополним эту пирамиду до треугольной призмы с тем же основанием и высотой.

3. Эта призма составлена из трех пирамид:

1) данной пирамиды SABC.

2) пирамиды SCC 1 B 1 .

3) и пирамиды SCBB 1 .

4. У второй и третьей пирамид равные основания СС 1 В 1 и В 1 ВС и общая высота, проведенная из вершины S к грани параллелограмма ВВ 1 С 1 С. Поэтому у них равные объемы.

5. У первой и третьей пирамид тоже равные основания SAB и BB 1 S и совпадающие высоты, проведенные из вершины С к грани параллелограмма АВВ 1 S. Поэтому у них тоже равные объемы.

Значит, все три пирамиды имеют один и тот же объем. Так как сумма этих объемов равна объему призмы, то объемы пирамид равны SH/3.

Объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

3. Закрепление нового материала. Решение упражнений.

1) Задача № 33 из учебника А.Н. Погорелова. Слайды 7, 8, 9

По стороне основания? и боковому ребру b найдите объем правильной пирамиды, в основании которой лежит:

1) треугольник,

2) четырехугольник,

3) шестиугольник.

В правильной пирамиде высота проходит через центр окружности, описанной около основания. Тогда: (Приложение)

4. Исторические сведения о пирамидах. Слайды 15, 16, 17

Первым из наших современников, кто установил ряд необычных явлений, связанных с пирамидой, был французский ученый Антуан Бови. Исследуя пирамиду Хеопса в 30-х годах двадцатого столетия, он обнаружил, что тела мелких животных, случайно попавших в царскую комнату, мумифицировались. Причину этого Бови объяснил для себя формой пирамиды и, как оказалось, не ошибся. Его труды легли в основу современных исследований, в результате которых за последние 20 лет появилось множество книг и публикаций, подтверждающих, что энергия пирамид может иметь прикладное значение.

Тайна пирамид

Некоторые исследователи утверждают, что пирамида содержит в себе огромное количество информации о строении Вселенной, Солнечной системы и человека, закодированной в ее геометрической форме, а точнее, в форме октаэдра, половину которого и представляет пирамида. Пирамида вершиной вверх символизирует жизнь, вершиной вниз – смерть, потусторонний мир. Точно так же, как составные части Звезды Давида (Маген Давид), где треугольник, устремленный вверх, символизирует восхождение к Высшему Разуму, Богу, а треугольник, опущенный своей вершиной вниз, символизирует нисхождение души на Землю, материальное существование...

Цифровое значение кода, которым зашифрована в пирамиде информация о Вселенной, число 365, выбрано не случайно. Прежде всего, это годичный жизненный цикл нашей планеты. Кроме того, число 365 состоит из трех цифр 3, 6 и 5. Что они означают? Если в Солнечной системе Солнце проходит под номером 1, Меркурий – 2, Венера – 3, Земля – 4, Марс – 5, Юпитер – 6, Сатурн – 7, Уран – 8, Нептун – 9, Плутон – 10, то 3 – это Венера, 6 – Юпитер и 5 – Марс. Следовательно, Земля особенным образом связана именно с этими планетами. Сложив числа 3, 6 и 5, получаем 14, из которых 1 – это Солнце, а 4 – Земля.

Число 14 вообще имеет глобальное значение: на нем, в частности, основано строение кистей рук человека, общее число фаланг пальцев каждой из которых тоже 14. Этот код имеет отношение и к созвездию Большой Медведицы, в которую входит наше Солнце, и в котором некогда была еще одна звезда, погубившая Фаэтон, планету, находившуюся между Марсом и Юпитером, после чего в Солнечной системе появился Плутон, и изменились характеристики остальных планет.

Многие эзотерические источники утверждают, что человечество Земли уже четыре раза переживало всемирную катастрофу. Третья лемурианская раса знала Божественную науку о Вселенной, потом эту тайную доктрину передавали только посвященным. В начале циклов и полуциклов звездного года они строили пирамиды. Они вплотную подходили к открытию кода жизни. Цивилизации Атлантиды многое удавалось, но на каком-то уровне познания их остановила очередная планетарная катастрофа, сопровождавшаяся сменой рас. Вероятно, посвященные хотели передать нам, что в пирамидах заложено знание космических законов...

Специальные устройства в виде пирамид нейтрализуют негативное электромагнитное излучение на человека от компьютера, телевизора, холодильника и других электробытовых приборов.

В одной из книг описан случай, когда пирамида, установленная в салоне автомобиля, сокращала расход топлива и снижала содержание СО в отработанных газах.

Выдержанные в пирамидах семена огородных культур имели лучшую всхожесть и урожайность. В публикациях даже рекомендовалось замачивать семена перед посевом в пирамидной воде.

Было обнаружено, что пирамиды благотворно влияют на экологическую обстановку. Устраняют патогенные зоны в квартирах, офисах и дачных участках, создавая положительную ауру.

Голландский исследователь Пауль Дикенс в своей книге приводит примеры о лечебных свойствах пирамид. Он заметил, что с их помощью можно снимать головные боли, боли в суставах, останавливать кровотечения при небольших порезах и то, что энергия пирамид стимулирует обмен веществ и укрепляет иммунитет.

В некоторых современных публикациях отмечается, что лекарства, выдержанные в пирамиде, сокращают курс лечения, а перевязочный материал, насыщаясь положительной энергетикой, способствует заживлению ран.

Косметические крема и мази улучшают свое действие.

Напитки, в том числе и спиртные, улучшают свои вкусовые качества, а вода, содержащаяся в 40-% водке становится целебной. Правда для того, чтобы зарядить положительной энергией стандартную бутылку 0,5 литра, понадобится высокая пирамида.

В одной газетной статье рассказывается о том, что если хранить ювелирные изделия под пирамидой они самоочищаются и приобретают особый блеск, а драгоценные и полудрагоценные камни аккумулируют положительную биоэнергетику и потом постепенно ее отдают.

По утверждению американских ученых, продукты питания, например крупа, мука, соль, сахар, кофе, чай, побывав в пирамиде, улучшают свои вкусовые качества, а дешевые сигареты становятся похожими на своих благородных собратьев.

Возможно, для многих это будет не актуально, но в маленькой пирамиде самозатачиваются старые бритвенные лезвия, а в большой пирамиде вода не замерзает при -40 градусах по Цельсию.

По утверждению большинства исследователей, все это является доказательством существования энергии пирамид.

За 5000 лет своего существования, пирамиды превратились в некий символ, олицетворяющий стремление человека достичь вершины знаний.

5. Подведение итогов урока.

Список используемой литературы.

1) http://schools.techno.ru

2) Погорелов А. В. Геометрия 10-11, издательство “Просвещение”.

3) Энциклопедия “Древо познания” Маршалл К.

Теорема. Объём пирамиды равен произведению площади её oснования на треть её высоты.

Сначала докажем эту теорему для пирамиды треугольной, а затем и многоугольной.

1) На основании треугольной пирамиды SABC (черт. 102) построим такую призму SABCDE, у которой высота равна высоте пирамиды, а одно боковое ребро совпадает с ребром SB. Докажем, что объём пирамиды составляет третью часть объёма этой призмы. Отделим от призмы данную пирамиду. Тогда останется четырёхугольная пирамида SADEC (которая для ясности изображена отдельно). Проведём в ней секущую плоскость через вершину S и диагональ основания DC. Получившиеся от этого две треугольные пирамиды имеют общую вершину S и равные основания DEC и DAC, лежащие в одной плоскости; значит, согласно доказанной выше лемме пирамиды эти равновелики. Сравним одну из них, именно SDEC, с данной пирамидой. За основание пирамиды SDEC можно взять \(\Delta\)SDE; тогда вершина её будет в точке С и высота равна высоте данной пирамиды. Так как \(\Delta\)SDE = \(\Delta\)АВС, то согласно той же лемме пирамиды SDEC и SABC равновелики.

Призма ABCDES нами разбита на три равновеликие пирамиды: SABC, SDEC и SDAC. (Такому разбиению, очевидно, можно подвергнуть всякую треугольную призму. Это является одним из важных свойств треугольной призмы.) Таким образом, сумма объёмов трёх пирамид, равновеликих данной, составляет объём призмы; следовательно,

$$ V_{SABC} = \frac{1}{3} V_{SDEABC} = \frac{S_{ABC}\cdot H}{3} = S_{ABC}\frac{H}{3} $$

где Н есть высота пирамиды.

2) Через какую-нибудь вершину Е (черт. 103) основания многоугольной пирамиды SABCDE проведём диагонали ЕВ и ЕС.

Затем через ребро SE и каждую из этих диагоналей проведём секущие плоскости. Тогда многоугольная пирамида разобьётся на несколько треугольных, имеющих высоту, общую с данной пирамидой. Обозначив площади оснований треугольных пирамид через b 1 , b 2 , b 3 и высоту через Н, будем иметь:

объём SABCDE = 1 / 3 b 1 H + 1 / 3 b 2 H + 1 / 3 b 3 H = (b 1 + b 2 + b 3) H / 3 =

= (площади ABCDE) H / 3 .

Следствие. Если V, В и Н означают числа, выражающие в соответствующих единицах объём, площадь основания и высоту какой угодно пирамиды, то

Теорема. Объём усечённой пирамиды равен сумме объёмов трёх пирамид, имеющих высоту, одинаковую с высотой усечённой пирамиды, а основаниями: одна - нижнее основание данной пирамиды, другая - верхнее основание, а площадь основания третьей пирамиды равна среднему геометрическому площадей верхнего и нижнего оснований.

Пусть площади оснований усечённой пирамиды (черт. 104) будут В и b , высота Н и объём V (усечённая пирамида может быть треугольная или многоугольная - всё равно).

Требуется доказать, что

V = 1 / 3 BH + 1 / 3 b H + 1 / 3 H √Bb = 1 / 3 H (B + b + √Bb ),

где √Bb есть среднее геометрическое между B и b .

Для доказательства на меньшем основании поместим малую пирамиду, дополняющую данную усеченную пирамиду до полной. Тогда объём усечённой пирамиды V мы можем рассматривать как разность двух объёмов - полной пирамиды и верхней дополнительной.

Обозначив, высоту дополнительной пирамиды буквой х , мы найдём, что

V = 1 / 3 B (Н + х ) - 1 / 3 bх = 1 / 3 (BH + Bх - bх ) = 1 / 3 [ВH + (В - b )х ].

Для нахождения высоты х воспользуемся теоремой из , согласно которой мы можем написать уравнение:

$$ \frac{B}{b} = \frac{(H + x)^3}{x^2} $$

Для упрощения этого уравнения извлечём из обеих частей его арифметический квадратный корень:

$$ \frac{\sqrt{B}}{\sqrt{b}} = \frac{H + x}{x} $$

Из этого уравнения (которое можно рассматривать как пропорцию) получим:

$$ x\sqrt{B} = H\sqrt{b} + x\sqrt{b} $$

$$ (\sqrt{B} - \sqrt{b})x = H\sqrt{b} $$

и, следовательно,

$$ x = \frac{H\sqrt{b}}{\sqrt{B} - \sqrt{b}} $$

Подставив это выражение в формулу, выведенную нами для объёма V, найдём:

$$ V = \frac{1}{3}\left $$

Так как В - b = (√B + √b ) (√B - √b ), то по сокращении дроби на разность √B - √b получим:

$$ V = \frac{1}{3} BH +(\sqrt{B} + \sqrt{b})H\sqrt{b} =\\= \frac{1}{3}(BH+H\sqrt{Bb}+Hb) =\\= \frac{1}{3}H(B+b+\sqrt{Bb}) $$

т. е. получим ту формулу, которую требовалось доказать.

Теорема.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту .

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольную пирамиду ОАВС с объемом V, площадью основания S и высотой h . Проведем ось ох (ОМ2 - высота), рассмотрим сечение А1 В1 С1 пирамиды плоскостью, пер­пендикулярной к оси ох и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим через х абсциссу точки М 1 пересечения этой плоскости с осью ох, а через S{ x) - площадь сечения. Выразим S(x) через S , h и х . Заметим, что треугольники А 1 В 1 С 1 и АВС подобны. В самом деле А 1 В 1 II AB, поэтому треугольник ОА 1 В 1 подобен треугольнику ОАВ. С ледовательно, А 1 В 1 : А В= ОА 1: ОА .

Прямоугольные треугольники ОА 1 В 1 и ОАВ тоже подобны (они име­ют общий острый угол с вершиной О) . Поэтому , ОА 1: ОА = О 1 М 1 : ОМ = х: h . Таким образом А 1 В 1 : А В = х: h. Аналогично доказывается, что В1 С1: ВС = х: h и А1 С1: АС = х: h. Итак, треугольник А1 В1 С1 и АВС подобны с коэффициентом подобия х: h. Следовательно, S(x) : S = (х: h) ², или S(x) = S х ²/ h ².

Применим теперь основную формулу для вычисления объемов тел при a = 0, b = h получаем

Таким образом, объем исходной пирамиды равен 1/3Sh . Теорема доказана.

Следствие:

Объем V усеченной пирамиды, высота которой равна h, а площади основания равны S и S 1 , вычисляются по формуле

h - высота пирамиды

S верх. - площадь верхнего основания

S ниж. - площадь нижнего основания